Verfügbarkeit: Die Differential- und Integralrechnung umfassend und mit steter Berücksichtigung der Anwendung dargestellt

Die Differential- und Integralrechnung umfassend und mit steter Berücksichtigung der Anwendung dargestellt: 2

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1. Verfasser:	Dienger, Joseph 1818-1894 (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Stuttgart J. B. Metzle'sche Buchh. 1868
Ausgabe:	3., verb. Aufl.
Online-Zugang:	Volltext // Exemplar mit der Signatur: München, Deutsches Museum -- 1957 A 1699 (2 Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	XVI, 416 S. graph. Darst.

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adam_text	% Inhalts-Yerzeickiss. Dreizehnter Abschnitt. # Die Differentialgleichungen erster Ordnung. Seito §. 90. Entstehung der Differentialgleichung........................................3 Nothwendigkeit und Form der Integralgleichung............................4 §. 91, Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen.........................7 Beispiele: adx + b iy = 0; Rotation eines gefüllten Gefässes um seine Axe; ay2^ + 4x3 —2x5+6x-l-12 = 0; x(ays+b)-t-y(cx4-g)֊ = 0; (6 x y + 3 x)--- + 5y3 + 8x = 0; Erwärmung einer Flüssigkeit mittelst durchströmender heisserLuft; geometrische Aufgaben; Ausdehnung eines y a i G a։ x։ ■■■ · ---j ax; Stab von gleicher o b2 + x2 Spannung .............................................................. 8 Die Binomialreihe für imaginäre Veränderliche..............................15 Die logarithmischo Reihe für denselben Fall . ..........................18 Summe der Potenzen sämmtlicher Wurzeln einer algebraischen Gleichung . . 18 Die Reihen für x, sin x, cos x bei imaginärem x . . . ..................20 i? V §.92. Lineare Differentialgleichung; — + Xy + X1 = 0.............................21 ctx Beispiele: ^ + y = ax“; (l-x‘)֊ + sy = a; Ct X uX X X2 Summe der Reihe — + , + ... ; 1.4 4.0 /“ lx 1.2x* ax)8x; die Reihe 1 + ------- o a+1 (a-t-lyja-T-2; geometrische Aufgabe.................................................23 Die Gleichungen: — + XV + X, = 0; y” ~I֊ + Xym + ^։ = 0; oy dx · dx — + Xy4-X1yn = 0..................................................... (v X 27 innaus- verzeiunmss. F AA Seite Behandlung von ^ + Xy 4Xt y24-Xs = O . .·....................28 §.93. Integration der Gleichung (ax4-bxn+1ym)^4 cy4hx1 ym+1 = 0 ... 28 Beispiele: (4 — 3 x y2) x ^ 4 (2 4 5 x y2) y = 0; (4xy։-3x3)g + 2y։-5x2y = 0; (3xs-4y)^ -3x2y4 —= 0 ...................... ... 30 »X X Integration von (x2y24 ax) dy —· (bx2y24 ay) dx= 0; (14xy4x)dy = (14xy4ys)dx; (1 4xy 4y2)dy = (1 4 xy 4 x։) dx .... 31 §.94. Integration von axry dy 4 bxmyn dx = cdx........................32 Beispiele: 6x4y։— — 4x։yä= 1; 5x2^ — 3xays = 2y................33 dx dx Behandlung der Gleichung (A + A/x + A y) (x— y) dis + (B + B ։ + B j)^+C+C x + C y =0..........................33 §.95. Homogene Differentialgleichungen............................... 35 Die Gleiohung (ax4by 4 c)dy 4 (a x4b y4c )dx = 0...............36 Beispiele: — y = Vx։+ yJ ay — as^ + Vx 4 ys~ = 0; dx dx dx (x4y)—4- y = 2; geometrische Aufgaben; die Gleichung ~ = f ^ 37 §. 96. Unmittelbar integrirbare Gleichungen; Bedingung.................40 Beispiele: xm4-y4(y“4-x)֊^ = 0; 14 6xy-I- (y243x2)~ = 0 . . 42 t% d z Integrirender Faktor .......................................... 42 §. 97. Bestimmung des integrirenden Faktors............................44 Allgemeine Beispiele: a p (y) 4- b p (x) ֊֊“ ֊— + i\|i(y)^ = 0; ....................« d y ax o z dy §.98. Integrirender Faktor von — = f (x,y), wenn die Konstante a, die in f vor- kommt, in g (f) F— 4- f nicht mehr enthalten ist.............48 Lö x o yj Faktor der Formxnf^-^-^ für Pdx4Qdy = 0........................48 Faktor- für —4Xy!+Xi = 0.............................50 y242\|y 4 i։ dx Besonderer Fall der Gleichung ^+ayi+bi!l* — ^ =0 ... 51 §. 99. Differentialgleichungen erster Ordnung und hähern Grades.......51 vm Inhalts-Verzeichnis?. Seit© 52 53 Beispiele: = a2 i = a x ; Gl)-(x y+x2+y 2) O +(x3 y+x y s+x3 y 2) li֊ s3 yä=0; (JL )_l(p) +2Lp._=0.................................. dxj Vdxy y dx 2y §. 10O. Integration von y = f (x, mit den Beispielen : ~՜ y CdO ~^ = ^՛ y = x —-H ax2 ^ und einer geometrischen Aufgabe....... dy Integration von x = f (y, —) mit den Beispielen: V^3D,-’-+r£. eD,+00։-H֊։ ■ ·56 Homogene Gleichungen mit: x2+ — y2= 0 und einer geometrischen Aufgabe...............................................57 Die Gleichungen: T4 (ä֊)‘+y(^) (g) -axg+xä=0; in u (dy m֊n — J = a xm + b ym durch Einführung neuer Veränderlichen gelöst . 59 Evolventen einer ebenen Kurve. Kreisevolvente............. . 60 §. 101. Integration mittelst Reihen Beispiele: x—- — 3y + bx։ = 0; (j —+ v։)(։֊-y) + b^ = 0; f dx J dx ■ v dx dx dy , , dy , ,/-ay-hbyi4-l 4-y2 = ax; — = ±y- ------- dx ՛ »■ dx ax4+ bx2-+- 1 63 63 Vierzehnter Abschnitt. Die Differentialgleichungen höherer Ordnung. §, 102. Möglichkeit der Integration. Form der Integralgleichung.........................69 Bildung der Differentialgleichung aus der Integralgleichung...................71 §. 103. Die Gleichungen : g = f (X), g = f (y), = f (g) , da+1y rf dny dn+ay r d^yA dy dy dx”+1 ~~ 1 VdxV ’ dx +2 VdxV’ dx։~ {X’dx’ d^y_ dy dn+1y d°y. dn+2y . / d y dn+ly dx2~ ՝y’ dx ’ dxn+l ~ ՝X dxn ’ dxn+s~ Vdx11 ’ dxn+V f — a * st«2 (b x) §. 104. Das Integral / -------j——֊ 8 x . . Jo a Geometrische Aufgaben................. Geradliniger Fall im widerstehenden Mittel Tautochrone im leeren Baum . . . . . 76 . 77 . 79 . 80 Inhalts-V erzeichniss. IX _ «i»2nX0X . Das Integral / ;֊—-z---■—j—............................... a J o (1 — 2acosx + as) §.105. Die lineare Differentialgleichung n“r Ordnung .............. §. 106. Lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten............. a^ + b^ + oy = 0. ^_14J!l+64?-96y = 0; dx dx 1 dx3 dxl dx d3y d։ y Hdy dl y j-j —ff-, i+7 —— 5y = 0; ■ V+ay = 0; dx3 dx dx 3 dx4 J S-4S+“ß-a,äf+“r·0....................................... Die Funktion f (x) aus f (x + y) f (x — y) = f (x) f (y) zu bestimmen . . . Beharrungszustand eines erwärmten Stabes................... Schwingungen eines kleinen Körpers......................... Gleichung mit den Koeffizienten A (a -1- b x)m............. i։ —+ as֊ + by = 0\| xy+ - 2xy֊ + y։ = 0; dx dx dx‘ dxj dx (2 +3x)ä^ + 7(2H-3x)^-t-4y = 0.......................... (II wX Gleichung mit den Koeffizienten a + b x. Integration durch bestimmte Inte- grale ..................................................... Vollständige Behandlung von x— b2xy = 0 , a 0 . . . . (t X fl/X Behandlung von x “-֊-ra֊ — b։xy = 0, a^ 0............... . . B dx3 dx Die Gleichung x ֊; — — bsxy = 0, a\| 0.................... ° dx dx Die Gleichung x —^ -f-a~- + b (a — b x) y = 0.............. dx՜ dx Die Gleichung ax — + by = 0, a^ 0,b 0...................... Co x a x §. 11.1. üurückführung auf die Form des §. 108 für die Gleichung (ai + b‘ x ^ + (ao + bo + co ։“”) y = 0........ Behandlung von: + a։xry — 0; ^1+1 il + [ai _ rJ£±«j y = o. dx2 x dx + La x2 Jy-U S+f?.-4 »-· a?+ * -f-)i =0.......................................... §. 112. Differentialgleichungen, denen gegebene bestimmte Integrale genügen Die Gleichung (aa + b2 x + ca x2) ֊֊^ + (a, -+- bt x) ֊ y + a0 := 0 . , . . dz. ax §. 107. §. 108. §. 109. §. HO. Seite 81 82 88 92 93 96 97 100 101 102 104 109 110 111 111 113 114 115 117 X Inhalts-Verzeichniss. * Die Gleichungen: (x — h)x։4-?H-(ax-t-b)x^ + (cx + d)y = Oj (IX (x—h)2x~-l-(ax + b) (x — h)~4֊ cx + d)y = 0; (x — h)2x2^ ¿-I- (ax + b)(x—h)xy^ + (cx2 ■+· dx-t-f) у = 0 werden wX (ix auf jene zurückgeführt..................... §. 113. Wiederholte Betrachtung der Gleichung (»! + b։ I + c։ x։) ^ + (a։ + b, x) ^ + a„ у .= 0.................... Beispiele: (1— x2) ~~ — 2x ^ + m(m+1)у = 0; (i-xS)3-xS+mäy=o..................................................... §.114. Integration der linearen Differentialgleichung mit zweitem Theile . . . . d2 у dy d2y §.115. Beispiele: ; + А —+ В у = X ; — ,-t-y = oosx; йха ах dx՜ d3y 1 dy 1 1 ։d3y d2y dy d?-Tdl+7-y=T ¿р-3х йГз+6ісгх-6у = ї; .... 4 ,П«І2У dy , x2 x [w-1]d?-xdi+y=- Щ; ՛ (I + (1 + x^ ~8y ~ г/14-х’ ах ах ах yi + x d2y 4 dy , dv „ . ■А--------+Il,֊-6x y = r............................................. dx2 x dx dx §. 116. Durchgang durch Differentialgleichungen niederer Ordnung............... Beispiele: Freier Fall mit Berücksichtigung der Aenderung der Schwere; •g-fc-4’+GDT1· g+r(^)Vr·.., У Й + гу О ·-· 0 · · · · Behandlung von -4-Х yr + = 0..................................... dx- dx dxy Integrirender Faktor von= (p (x, y, c), wenn diese Gleichung eine erste dx Integralgleichung von = f (x, y) ist................................. dx2 §. 117. Integration von Differentialgleichungen durch Aufsteigen zu höhem Ord- nungen ......................................................... Beispiele: — ax^ +x(^՜ ax) — (y — lax2) = a2; .T$D +-rt£-«r-................................ ........ Allgemeinere Darstellung................................................ §. 118. Fortsetzung. Anwendung des Vorstehenden................................ Seite 118 119 121 122 127 131 132 134 135 135 136 137 139 T XI Inhalts-Verzeichniss. ft »m· -24H5; 49 V^GD’-’^ s։· rö֊-«-)g+2lj-] L -49 -1 S) -H«‘-»y -wg=^............. y։-x։-2։y֊- dy y֊iT- dx §. 119. Integration mittelst Reihen . . „dy d3y Beispiele: x(jpJ -2֊ dx2 + x = 0, x—-a^+b2xy = 0; dx2 dx dsy dy xs (a0 4- b0 x) ^x֊a 4- x (»!bt x) — 4- (a2 + b։ x) y = 0 dx §. 120. §. 121. §. 122. Entwicklung von (x + 14- x2)1“ nach steigenden Potenzen von x . Reihen für cot m g , sinm ......................................... d2y . d2y _dy . _ Integration von x-r-j — y = 0; ֊֊ + P~ + Qy = 0.................... Ct X Ct X՝1 €L X d dy Die Gleichung — [(1 — x2) —֊] + [n (n + 1) — -------j] y = 0 . . . dx dx X — x* Verhältnisse bei den hier auftretenden Funktionen ....... dy 9 by Die (allgemeine) Riccatische Gleichung; -—H ayvH-bcxm = 0 dx x Die Gleichung — + a xn y2 + b xm = 0................... d y Eben so: ֊- + a y2 + X = 0 und besonderer Fall: a=1) X = j^si+B._v^ ix‘ §. 123. Differentialgleichungen, welche durch unmittelbare Differenzirung entstanden sind. Bedingung der Integrirbarkeit......................... Beispiele: 3y^4-2x^4-2y — 12x = 0; (3։-։’)5?+ e-‘)55-2—0; dx dx* dx2 Vdxy y x dy y2 dx + 2 = 0 Satz über den integrirenden Faktor bei linearen Differentialgleichungen Fünfzehnter Abschnitt. Integration der gleichzeitigen Differentialgleichungen. §. 124. Form der Integralgleichungen.......................................... Gleichzeitige Gleichungen erster Ordnung.............................. Allgemeiner Fall................................................... . Anzahl der willkürlichen Konstanten bei zwei Differentialgleichungen . . , Seite 139 141 141 145 147 148 150 155 157 158 159 159 163 165 166 167 169 171 xn §. 125. §. 126. §. 127. §. 128. §. 129. §. 130. §. 131. §. 132. g. 133. §. 134.· §. 135. Inhalts -Verzeichniss. c * Zurüekführuug auf eine partielle Differentialgleichung............... Folgerungen daraus................................................... Bedingung der Unabhängigkeit der Funktionen f in §. 125, III......... Untersuchung, ob sich aus einem System von nGleichungen: Pi (ji · · ·. y») = zi · · -, 9n (Yi, ..., y») = Zn die Grössen yty„ durch zt, ..., Zn ausdrücken lassen.........................- . . Gleichzeitige lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Beispiele zu §. 127.................................................. Beispiele der Integration gleichzeitiger Differentialgleichungen beliobiger Form: dxA2 / dyA2 dlx _ dx /~/ dy A2 i2y _ d? dl)+ fii) dP ~adt’ V Vlt^ + Vdly cU2 = adt Bewegung des Schwerpunkts der Planeten............................... Besonderer Fall der Ellipse.......................................... Folgerungen aus den Kcplerschen Gesetzen............................. /(1 — e2)2 d © —----------— in eine nach den Sinus der Vielfachen von (1 + e cos er)2 fl) fortschreitende Reihe........................................ Erwärmung eines kältern Luftstroms durch einen wärmern.................. _ . rr’»a։ „ f x t~1 cos a x Bestimmung von / -----------ox, / -----;----bi................... B Jo Vx ՝Jo Vx Die gegebenen Gleichungen sind nicht lauter Differentialgleichungen . . , Ausfluss der Luft aus einer Rfihre...................................... Luftmenge, welche durch Ventilation geliefert werden soll............... Das Prinzip des letzten Multiplikators.................................. Zwei gleichzeitige Differentialgleichungen.............................. t(y֊2)\| = y(t-S), x(y-z)^ = z(x —y)..................................... dzy dy Von ֊֊g + f (x) ~֊ ֊ F (x, y) = 0 kennt man eine erste Integralgleichung: d x dx dy — = p (x, y, c) ; die Urgleichung zu finden........................ Als Beispiel: = ^..................................... dx x dx x dy 1 8ip f dy $ p dy , dx* 2 dy Vdxj 8x dx՜1՜՝^- ֊-? = f (x, y) hat als erste Integralgleichung tp (x, y) ^ = a u. s. w. (siehe dx dx das obige zweite Beispiel).......................................՝. d du 3ui — -^p։ = mit der ersten Integralgleichung p (x, y, y ) = «............. Drei gleichzeitige Differentialgleichungen ............................ Vier gleichzeitige Differentialgleichungen.............................. Allgemeine Formel...................................................... Andere Darstellung derselben........................................... Seite 171 175 176 177 181 187 195 196 200 201 203 206 209 211 211 213 215 215 217 218 220 220 221 221 222 224 225 226 Inbalts-Verzeichniss. XHI Soite §. 136. Besondere Fälle ...........................................................227 Beispiel des §. 129 wiederholt.............................................229 Gleichzeitige Differentialgleichungen der analytischen Mechanik .... 231 §. 137. Ueberflüssige Integrationskonstanten.......................................233 §. 138. Integration mittelst ßeihen................................................235 t, , „ dy 8 S f z 8 S Besonderer Fall von — = -—, — = -—, n. s. w..............................236 dx 8y dx dz §. 139. Verallgemeinerung des letzten Beispiels in §. 136 ........................ 237 Eigenthümlicbe Form der Integralgleichungen, wenn man die Anfangswerthe der Veränderlichen als Konstanten einführt.................................237 Lineare Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten .... 233 Sechszehnter Abschnitt. Von den besondern Auflösungen der Differentialgleichungen erster Ordnung. §. 140. Begriff der besondern Auflösung............................................240 Geometrische Theorie derselben.............................................241 Verhältniss zum integrirenden Faktor................... ..... 244 §. 141. Analytische Theorie der besondern Auflösung ...............................245 §. 142. Beispiele..................................................................249 Die Gleichung der Kurven zu finden, welche eine gegebene Kurve als ein- hiillende Kurve haben..................................................252 §. 143. Herstellung der besondern Auflösung aus der Differentialgleichung .... 253 Beispiele................................................................. 255 Siebenzehnter Abschnitt. · Die periodischen Reihen von Fourier und Lagrange. §. 144. Gränzwerth von J i fz) sin p z 8 z bei wachsendem ft.......................259 „ . f* F(z)iw։«z_ J o sinz §. 145. Die Fourierschen Reihen . . . ,........................................266 §.146. Anwendung auf die Entwicklung der unendlichen Produkte für sinx , cosx . 268 Hilfssatz, die Theorie der unendlichen Doppelreihen betreffend . . . ■ ■ 270 Die unendliche Reihe für tg ............................................. 2/3 §. 147. Erweiterung der Formeln des §. 145.........................................2(4 §. 148. Anwendung der erhaltenen Sätze: Eine Funktion von x zu finden, die beständig 1 oder x sei . 276 Gleichung des Umfangs eines Trapezes..................................... 27/ Reihensummirungen .........................................................279 §- 149. Erweiterung für Funktionen mehrerer Veränderlichen............................ Beispiel..................................................................... XIV Inhalts-Verzeichmss, §. 150. Andere Formen der Fourierschen Reihen . * ................... §. 151. Anwendung auf die näherungsweise Berechnung von /?«»* . . . . Berechnung der Bernoullischen Zahlen....................... _ 2gg Summirung der Reihe a 4- (a -t- h)r +... ■+- (a ·+- n h)1......... 290 §. 152. Die Fourierschen Integrale.............................. 291 Beispiele.............................................................292 /·+ oo /»b 8u /№ + ։)(·-։) F(z)8z.................................... §. 153. Erweiterung für Funktionen mehrerer Veränderlichen.....................29^ Wärmebewegung in einem Ringe............................................... Achtzehnter Abschnitt. Die Eulerschen Integrale oder die Gammafunktionen. §. 104. Erklärung und Grundeigenschaften........................................301 У·® /» V»-։ Я x Г 303 Andere Erklärung von Г(а)............................................. . 304 Die Gleichung Г(а) Г( 1 — а) = —; y„ 1+x 8X։ Уо 1 + 6x У о (Ì + ,,,т8х...............305 - ։) l W §. 155. Berechnung der Grösse Г(а)...........................................30ß l (n) für n = oo..................308 1 §. 156. • §. 157. §. 158. 1 1 1 + + · · .4--- 2 3 n eos 8 x fZ , / . ax-;» /xm-1 J o sm x11 Jo 1 .-ÌW» bx 8x . ƒ wH· ! e- cx Jl cos bx8x...........................310 Differenzirnng der Gammafunktion..........................................312 2 4 /т_1Л rfffl)- -1 m Beweis der Gleichung · · F(~՜) = V՜ , if . 2« . (m — 1)« m Die Gleichung sin— sin— . .. sin--------— —------- mm m 2“-՜1 Beweis der Gleichung 315 316 Г(а)Г(а+ —)..Г(а + —-֊) = Г(та)т-ашУт(2я)”-1 ... 317 т т §.159. Werth von а(а+ 1) (а+ 2)... (а + п — 1)...............................318 Es ist Г(а + n) = УІл (а 4- n)“+n~ z t~ (+» (R, Gr R = 0..........320 Beweis der Gleichung Gr 1:2- Cn ^ 1) t_ _ у2я.......................320 Пп~ї Berechnung von Г(а).................................................322 §. 160. Verallgemeinerung der Formel in §. 154, .............................322 1 Inhalts-V erzeichniss. XV §. 161. §. 162. §. 163. §. 164. §. 165. 8. 166. §. 167. §. 168. §. 169. §. 170. §. 171. Neunzehnter Abschnitt. Reduktion vielfacher Integrale nach verschiedenen Methoden. Das Integral J J·. f (։ + y +. ·) x“~l y’-1.. 8 x 8 y..., ausgedehnt auf alle positiven Werthe, für die x ■+· y -+- .. — k........................ Erweiterungen und Anwendungen.......................................... Das Integral J J ,. F (x, y,..) f [ / (x, y, z,..)] 8 x 8 y.., ausgedehnt auf alle՝ positiven Werthe, für die p (x, y,..) 0............................. Oberfläche des dreiaxigen Ellipsoids................................... Das Integral jJ.. x։՛՜1 yq՜1,. V —-—-g _ ^-----------fl x 8 y..., x“ yß +.. 5= 1 . . ............................................ /* r ■» 1 _ fx« + v0 4-. ,1 Das Integral JJ.. z՜1 y’՜1 ·-V + 8x 8y 1 ’ ’ x։ + yi։ + ..£l..................................................... /’a f P (։) 8x / f (a x + b y) 8 y, a, a, b positiv................. o J o ra / (։) Das Integral /8x / f (ax։■+- by։) 8y, a, a, b positiv ...... Das Integral J J J :(a։x + b2y* + c2zä-+- ax + ßy-t-y z + 5) 8 x 8 y 8 z Das Integral /•I« ^ cospdgt dp o J 0 [asbz sin՜ $ 4- a2 c2 sin1՛® coszp + b2c3 cos1 y cos ipj Das Integral fff.. (A+Xi 81 8 y 8 z.............. Die elliptischen Koordinaten von Lamé.................................. Umformung dreifacher Integrale......................................... Oberfläche des dreiaxigen Ellipsoids................................... Verallgemeinerungen.................................................... Das Integral fff ’(»1 x+bi y+ci . a!s + W y+c2 Z, a3 x+b3 y + c3 z) 8 x 0 y 8 z r՞ n /+ 1 * / 8 tp / f (ki cos g cosp+ki sin q cos p 4- k3 sin p) cos pdp . . . J o J ֊,;* /’s n pTi sin p 8 p 8V / ֊—----------------------■ ;----------;--------------« ■ · 0 1 o [l+c! —2c [cos e cos p + sin a sin p cos ( p — \|?)]]ä Anziehung eines dreiaxigen Ellipsoids auf einen Funkt.................. Folgerungen aus §. 170................................................. Die Sätze von Ivory, Newton, Mac-Laurin................................ 8* F 8։F 8։F Werth von 8^։ + g^։+ g^î ra allgemeinsten Falle....................... Suite 325 327 330 332 336 338 340 343 346 348 350 351 355 356 359 364 367 370 371 377 378 379 XVI Inhalts-V erzeichniss. Anhang. Seite Zu §. 6, VIII. Allgemeine Formel für das Produkt zweier Determinanten .... 384 Zu §. 9, I. Andere Form für Gr (1 H- —)m...................................386 m Zu §. 14, II. Beweis von —— = ui x“ ՜1, wenn x negativ......................387 Zu §.28,11. Beispiele springender Grössen. Anderer Beweis, dass / (x) konstant ist, 8 (x) wenn —j — = 0.................................................388 o x Zu §. 44, I. Unmittelbarer Beweis der Umformungsformel......................389 /+7tF(re® ) n(n — 1) .. 1 —¡rr-j— = ----z—-----f” F” (0) . . . 390 -It C ¿1t Zu §. 53. Strenger Beweis der allgemeinen Formel ........... 392 Zu §. 54. Summe mehrerer konvergenten Reihen. Produkt derselben . , . , . 393 Zu §. 56. Lässt f(a-)-h) sich in die Beihe A-J-Bh+Chi+.. entwickeln, so ist dies die Taylorsche Reihe.....................................395 Zu §. 57, V. Zur Formel für (1-b a)m............................... . . 396 Zu §.58, V und §. 57,1V. Zur Konvergenz unendlicher Produkte................396 m m (m — 1) Untersuchung von 1 — — H----—_----- —.........................398 1 1 iZ Verwandlung von Reihen in Produkte und umgekehrt..............399 Zu §. 56 — 59. Bemerkung wegen der vorausgesetzten Stetigkeit...............399 Zu §. 60, II. Beweis der in der Note auf S. 289 angegebenen Sätze........389 Zu §. 61,1. Beweis für b = od............................................400 Zu § 61, V. Zur Differenzirung unendlicher Reihen...........................401 x3 Zu §. 61, VII. Strenger Beweis für arc (sin — x) x + -f-...................402 o Zu §. 86. Nachträgliche Anwendung von §. 54, XII .... ...............404 Zu §. 87, UI. Ebenso..........................................................405 Die Gleichung J“l (x) F (x) 8 x = (— (x) F (x) öx. Folgerungen............406 Die Sätze von Bürmann und Lagrange...........................................410 Auflösung der Gleichung p (x) = 0 ...........................415 Zu §. 126. Bemerkung in Bezug auf andere Anordnung..........................415 Verbesserungen.............................................................. 416
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