Leçons de calcul différentiel et de calcul intégral: 1 Calcul différentiel
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Bachelier
1840
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|---|---|
| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
INTRODUCTION......................................
PREMIÈRE PARTIE.
Principes généraux. — Théorie. — Applications
analytiques.
PREMIÈRE LEÇON. — Définitions des variables et
des fonctions continues et discontinues, explici-
tes ou implicites, simples ou composées. — Des
limites des fonctions, application aux fonctions
(i -+- xY, ———-, - —. — Derivces et diffe-
v X X
rentielles. — Objet du Calcul différentiel...
DEUXIÈME LEÇON. — Calcul des dérivées et des
différentielles des fonctions simples, a -+■ x,
a
a — x, ax , - , Xe, ar, Lr, sin x, cos#, arc sin x,
X
arccos#......................................
TROISIÈME LEÇON. — Dérivées et différentielles
des fonctions de fonctions, des fonctions compo-
sées et des fonctions implicites..................
QUATRIÈME LEÇON. — Des dérivées et des diffé-
rentielles successives. — Formules pour le chan-
gement de la variable indépendante. — Dérivées
et différentielles des fonctions imaginaires.
CINQUIÈME LEÇON. — Relations qui existent entre
les fonctions réelles d’une seule variable et leurs
dérivées ou différentielles de diversordres.—Dé-
I’ajjce
xiij
. à 7
8 à 1?.
13 à 32
?,3 à 32
a
XI TAIÎI.E UES MATIÈRES.
monstration des formules fondamentales
Ffo -M)— F(g0) _ F(» fo,+CA)
f(xa -+- fi) —f (x0) ~fW(x„- ֊6hy
F (x) _ FW(Sg)
7W)~f™Ô*Y
hn
F(*o ■+■ A) ֊ F(*0) = —-73—FM(*0 + ®*)»
FW = —----------■ FW (0x).
։?,3...»
SIXIÈME LEÇON. — Application des premiers prin-
cipes du calcul différentiel à diverses questions
d’analyse où il n’entre qu’une seule variable in-
dépendante. — ire Application : Détermination
des véritables valeurs des quantités qui se pré-
sentent sous l’une des formes indéterminées
~ , oX oc, o°, 00°, i °?. — arae Application :
Définition et comparaison des quantités infini-
ment petites des divers ordres, détermination de
l’ordre d’une quantité infiniment petite. — Mé-
thode infinitésimale, règles dont l’ensemble cons-
titue cette méthode.........................
SEPTIÈME LEÇON. —Suite des applications analyti-
ques. 3:ne Application : Recherche des maxima et
des minimu d’une fonction d’une seule variable.
HUITIÈME LEÇON. — Suite des applications ana-
lytiques. 4me Application : Développement d’une
fonction réelle suivant les puissances ascendantes
et entières de la variable; formules de Taylor et
de Maclaurin ........................
NEUVIÈME LEÇON. — Suite des applications ana-
lytiques. Règles générales de la convergence des
séries réelles. — Application de ces règles aux
formules de Taylor et de Maclaurin, et en parti-
culier aux développements des fonctions cos x,
l’ajjes.
•33 à 4»
41 à 5?,
53 à 5(i
5·: à 64
TABLE DE MATIÈRES.
sinx, «*,l(i +. «), arc tanga;, (i +x)F , (x -+- A)1“.
— Démonstration des formules de Taylor et de
Maclaurin, par la méthode des coefficients et
des exposants indéterminés...................
DIXIÈME LEÇON. — Suite des applications analyti-
ques. Règle de convergence des séries dont le
terme général est imaginaire. Application aux
formules de Taylor et de Maclaurin...........
ONZIÈME LEÇON. — Suite des applications analy-
tiques. 5me Application : Développement d’une
fonction de x qui devient infinie pour x — a ,
suivant les puissances ascendantes de x — a.
— Décomposition des fractions rationnelles en
fractions simples............................
DOUZIÈME LEÇON. — Suite des applications ana-
lytiques. 6mi! Application : Conséquences de
quelques-unes des formules précédemment ob-
tenues, formules de Moivre. — Sens précis des
notations x· , «*, Lx, sin x, cos x , dans le cas
où la variable x devient imaginaire. — Exten-
sion des formules
xaxb = xa+b, axa? = «*+- ,
cos (a: + y) = cos a; cosy — sin x sin/,
sin (x -h y) — sin x cos y -I- sin y cos a.՛,
E (xy) = lx 4- Ly,
vîi
rilges.
65 à
l à 79
8o à 90
au cas où les variables x, y prennent des va-
leurs imaginaires. — Transformer sin ma; et
cos mx en un polynôme ordonné suivant les
puissances ascendantes de sin x, cos x. —Exprimer
les puissances entières de sin x, cos x en fonc-
tions linéaires des sinus et des cosinus des arcs
multiples, ix, 3x, etc.......................... 91 à 108
TREIZIÈME LEÇON. — Différentielles des fonctions
explicites ou implicites de plusieurs variables
C. .
TABLE DES MATIÈRES.
VÜj
indépendantes. — Application aux fonctions ho-
mogènes ou aux fonctions de la somme de plu-
sieurs variables.............................
QUATORZIÈME LEÇON. — Différentielles succes-
sives des fonctions de plusieurs variables indé-
pendantes. — Ces différentielles conservent la
même valeur quand on intervertit seulement
l’ordre dans lequel les différentiations sont ef-
fectuées. — Nouvelle manière de définir et de cal-
culer les différentielles premières et successives.
— Formules symboliques. .. ..................
QUINZIÈME LEÇON. —Application à des questions
d’analyse qui dépendent de plusieurs variables
indépendantes, ire Application : Maxima et mi-
nima des fonctions de plusieurs, variables liées
entre elles par une seule équation...........
SEIZIÈME LEÇON. — Suite des applications analy-
tiques. 2me Application : Maxima et minima des
fonctions de plusieurs variables lices entre elles
par plusieurs équations......................
DIX-SEPTIÈME LEÇON. — Limites de la conver-
gence de la série qui donne le développement
d’une fonction donnée F(.r). —Limite des res-
tes ou des erreurs que l’on commet en s’arrêtant
à un terme quelconque de ces séries. — Dé-
monstration nouvelle et très générale des for-
mules de Taylor et de Maclaurin ..................
DIX-HUITIÈME LEÇON. — Développement des
fonctions implicites. — Série de Lagrange. —
Limites de la convergence de cette série. — Dé-
monstration qu’on a donnée de cette série jus-
qu à M. Cauchy....................................
DIX-NEUVIÈME LEÇON.—Sur les dérivées de deux
ou de plusieurs variables considérées comme
dépendantes prises successivement par rapport à
Pages.
iog à 117
118 à 128
12g à 141
142 à 14g
15o à 16 !
162 à 172
TABLE DES MATIÈRES.
diverses variables considérées comme indépen-
dantes. — Sur l’emploi de la différentiation
pour l’élimination des constantes et des fonc-
tions arbitraires......................
SECONDE PARTIE.
Applications géométriques ou recherches des pro-
priétés DES COURBES PLANES , DES COURBES A DOUBLE
COURBURE ET DES SURFACES.
VINGTIÈME LEÇON. — De la tangente et de la nor-
male à unecourbe plane et située dans un plan,
pris pour plan unique des coordonnées. — Lon-
gueurs appelées Tangente, Normale, Sous-tan-
gente , Sous - normale. — Équation de la cy-
cloïde....................... .........
VINGT-UNIÈME LEÇON. — Asymptotes des cour-
bes planes. — Propriétés diverses des courbes
planes déduites de leurs équations. — Points
singuliers............................. .
VINGT-DEUXIÈME LEÇON. — Moyen de détermi-
ner quand une courbe tourne sa concavité ou sa
convexité vers les axes des coordonnées. —
Analyse d’une courbe ou discussion de son
équation ; application à quelques courbes. —
Différentielle de l’arc d’une courbe...
VINGT-TROISIÈME LEÇON. — De la courbure , du
rayon et du centre de courbure d’une courbe
plane..................................
VINGT-QUATRIÈME LEÇON. —Détermination ana-
lytique du centre de courbure. — Théorie des
développées et des développantes. — Applica-
tion à diverses courbes....................
VINGT-CINQUÏÈJVIE LEÇON. — Du contact des
courbes, de l’ordre de ce contact.......
ix
Pages.
1^3 à 188
189 à 200
20։ à 218
2«g à 228
229 à 240
241 à a54
255 à 27։
X
TABLE DES MATIÈRES.
l agea.
VINGT-SIXIÈME LEÇON. — Usage des coordon-
nées polaires pour la détermination de la tan-
gente, de l’arcj, du rayon de courbure et du
centre de courbure d’une courbe plane. — Ap-
plication à la spirale d’Archimède et aux spi-
rales logarithmique et hyperbolique. — Diffé-
rentielle d’un secteur curviligne........... 272 à ?.85
VINGT-SEPTIÈME LEÇON. — Propriétés des cour-
bes planes ou à double courbure situées d’une
manière quelconque dans l’espace. — Tangen-
tes , Plans tangents. — Normales, Plan normal.
— Asymptotes. — Points singuliers..... 286 à щ
VINGT-HUITIÈME LEÇON. — Du plan oscillateur
d’une courbe quelconque. — Normale princi-
pale.................................... 2g5 à З04
VINGT-NEUVIÈME LEÇON. — Des deux courbures
du rayon de courbure, du centre de courbure
et du cercle oscillateur d’une courbe quelconque.
— Application à l’hélice.............. 3o5 à 3i3
TRENTIÈME LEÇON. — Détermination analytique
du centre de courbure. — Développée et déve-
loppante d’une courbe quelconque....... 3i4 à 322
TRENTE-UNIÈME LEÇON.—Du contactdes courbes
situées d’une manière quelconque dans l’espace.
— Ordre.de ce contact. — Courbes osculatrices ;
application au cercle osculateur........ 3a3 à 33/j
TRENTE-DEUXIÈME LEÇON. — Plan tangent et
Normale aux surfaces courbes. — Application à
diverses surfaces...................... 335 à 348
TRENTE-TROISIÈME LEÇON. — Courbure d’une
surface. — Rayons de courbure des sections fai-
tes dans la surface par des plans normaux. —
Rayons de courbure principaux........... 34») à 36«.
TRENTE - QUATRIÈME LEÇON. — Détermination
TABLE OES VLiTlÈUJÎS. xj
l’ages.
analytique des sections de courbure principales,
et des rayons de courbure principaux. — llayon
de courbure d’une courbe quelconque tracée
sur la surface.......................... 361 à 376
TRENTE-CINQUIÈME LEÇON. — Nouvelles pro-
priétés des sections principales. — Lignes de
courbure des surfaces. — Centres de courbure.
■— Surface lieu des centres de courbure. 377 à 3q3
TRENTE-SIXIÈME LEÇON. — Des surfaces qui sont
oseulatrices Tune de (’autre en un point qui leur
est commun. — Sur les divers ordres de con-
tact des surfaces courbes.................. 3c)4 à 4°6
TRENTE-SEPTIÈME LEÇON. — Des surfaces que
peuvent engendrer, en se mouvant dans l’es-
pace , des lignes droites ou courbes, de forme
constante ou variable. — Cas où l’équation de
la génératrice renferme des constantes arbitrai-
res ou meme des fonctions arbitraires. — Ap-
plication au cas où il n’y a qu’une seule fonc-
tion arbitraire que l’on détermine par la condi-
tion que la surface passera par une ligne donnée
ou sera circonscrite à une surface donnée. —
Application aux surfaces cylindriques, coniques,
conoïdes, de révolution................. 4°7 à 433
TRENTE-HUITIÈME LEÇON. — Équations aux dé-
rivées partielles des surfaces engendrées par le
mouvement des lignes qui se meuvent dans l’es-
pace d’une manière déterminée. — Application
aux surfaces cylindriques, coniques, conoïdes,
de révolution, développables, etc ...... 434 ;l 44®
TRENTE-NEUVIÈME LEÇON. — Des lignes et des
surfaces enveloppes. — Leur équation finie.. . 449 4®®
QUARANTIÈME LEÇON. — Équations aux déri-
vées partielles des surfaces enveloppées et des
surfaces enveloppes. — Cas où ces surfaces doi-
TABLE DES MATIÈRES.
X .l
vent passer par des directrices données ou être
circonscrites à des surfaces données...
QUARANTE-UNIÈME LEÇON. — Principes élé-
mentaires du calcul des résidus. — Applica-
tion à la décomposition des fractions ration-
nelles......................... -...........
QUARANTE-DEUXIÈME LEÇON. — Principes
élémentaires du calcul direct aux différences
finies.................................
PREMIERE NOTE. — Sur une méthode nouvelle
d’interpolation........................
DEUXIÈME NOTE. — Sur la condition de conver-
gence de la série qui donnerait le développe-
ment de la plus petite racine de l’équation
y = x cos y.................. ..............
FIN I K I.A TABLE DES MATIÈRES.
Pages.
4% à 483
484 à 4i)8
499 à 5i2
5i3 à5ï6
627 à 531
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