Verfügbarkeit: Vorlesungen über Zahlentheorie

Vorlesungen über Zahlentheorie:

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Lejeune Dirichlet, Peter Gustav 1805-1859 (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	[Braunschweig] [Vieweg] [1894]
Schlagworte:	Elementare Zahlentheorie Zahlentheorie Algebraische Zahlentheorie Aufsatzsammlung
Online-Zugang:	Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	XVII, 657 S.

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adam_text	1 N H A L T. Erster Abschnitt. Von der Theilbarkeit der Zahlen. Seite §. 1. Das Product aus zwei oder drei Factoren ist unabhängig von der Anordnung der Multiplication ........................ 1 §. 2. Producte aus beliebig vielen P actoren ............ 3 §. 3. Erklärung der Theilbarkeit einer Zahl durch eine andere ... 5 §. 4. Grösster gemeinschaftlicher Theiler zweier Zahlen........... 6 §. 5. Relative Primzahlen .·...;.............................. 8 §. 6. Grösster gemeinschaftlicher Theiler von beliebig vielen Zahlen 10 §. 7, Kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches von beliebig vielen Zahlen.....................................................11 §. 8. Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen; Zerlegung der zu- sammengesetzten Zahlen in Primzahlen. Die Anzahl der Prim- zahlen ist unbegrenzt.................................... 12 §. 9. Bildung aller Theiler einer Zahl aus den in ihr enthaltenen Primzahlen; Anzahl und Summe dieser Theiler...............16 §. 10. Bildung des grössten gemeinschaftlichen Theilers und des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen von beliebig vielen Zahlen aus den in diesen enthaltenen Primzahlen..........18 §. 11. Bestimmung der Anzahl y; (»։), welche angiebt, wie viele der ersten vraZahlen 1, 2, 3 . , . m relative Primzahlen zu der letz- ten m sind ................................................... 19 §. 12. Beweis des Satzes, dass = tp(m) tp(mr) ist, wenn m und m relative Primzahlen zu einander sind............. 23 §. 13. Beweis des Satzes: 2 p(n) — m, wo sich das Summenzeichen auf alle Divisoren «-der Zahl m bezieht...................24 §. 14. Anderer Beweis desselben Satzes ...........................26 §. 15. Bestimmung der höchsten Potenz einer Primzahl, welche in dom Producte 1.2.3...OT der ersten ganzen Zahlen aufgeht. Folgerungen՛ ............................................ 27 §. 16. Rückblick................................................ 29 x Inhalt. Seite Zweiter Abschnitt: Von der Congruenz der Zahlen. §. 17. Erklärung der Congruenz zweier Zahlen in Bezug auf eine dritte. Einfachste Operationen mit Congruenzen..............32 §. 18. Vollständiges Restsystem in Bezug auf einen Modulus .... 35 §. 19. Beweis des verallgemeinerten Fermat’schen Satzes.............37 §. 20. Anderer Beweis desselben Satzes..............................40 §. 21. Congruenzen mit unbekannten Grössen; Grad derselben .... 42 §. 22. Congruenz ersten Grades mit einer Unbekannten; Kriterium ihrer Möglichkeit; erste Methode der Auflösung..............43 §. 23. Digression über den Euler’schen Algorithmus..................46 §. 24. Zweite Methode der Auflösung der Congruenzen ersten Grades mit einer Unbekannten........................................51 ij. 25. Auflösung der Aufgabe, alle Zahlen zu finden, welche in Bezug auf gegebene Divisoren vorgeschriebene Reste lassen.........54 §. 26. Eine Congruenz mit einer Unbekannten, deren Modulus eine Primzahl ist, kann nicht mehr incongruente Wurzeln haben, als ihr Grad Einheiten enthält...............................57 §. 27. Ableitung des Wilson’schen Satzes aus dem Fermat’schen ... 61 ¡5. 28. Potenzreste; Exponent, zu welchem eine Zahl gehört..........62 §. 29. Ist p eine Primzahl und ď ein Divisor von p — 1, so gehören (f, (ď) nach p incongruente Zahlen zum Exponenten rf........64 §. 30. Primitive Wurzeln einer Primzahl. Indices. Dritte Methode, Congruenzen ersten Grades aufzulösen.........................67 ¡5. 31. Binomische Congruenzen, deren Modulus eine Primzahl ist. Kriterium ihrer Möglichkeit; Anzahl ihrer Wurzeln............71 Dritter Abschnitt: Von den quadratischen Kesten. §. 32. Quadratische Reste und Nichtrestc.............................75 §. 38. Ist der Modulus eine ungerade Primzahl p, so zerfallen die durch p nicht theilbaren Zahlen in gleich viel Reste und Nicht- reste. Charakter eines Productes aus mehreren Factoren. Sym- bol von Legendre...................................................76 §. 84. Elementarer Beweis der vorhergehenden, sowie der Sätze von Fermat und Wilson............................................79 §. 35. Fall, in welchem der Modulus eine Potenz einer ungeraden Primzahl ist . ..............................................81 §. 36. Fall, in welchem der Modulus eine JPotenz der Zahl 2 ist ... 83 §. 37. Fall, in welchem der Modulus eine beliebige Zahl ist..........85 §. 38. Der verallgemeinerte Wilson’sche Satz.........................87 §. 39. Reduction der Aufgabe, die Moduln zu linden, von denen eine gegebene Zahl quadratischer Rest ist ........................88 §. 40. Die Zahl — 1 ist quadratischer Rest aller Primzahlen vou der Form 4n -)- 1, und Nichtrest aller Primzahlen von der Form 4 n + 3......................................................90 §. 41. Die Zahl 2 ist quadratischer Rest aller Primzahlen von der Form 8 n -(- 1 und 8 n -j— 7, Nichtrest aller Primzahlen von der Form 8 n + 3 und 8» -j֊ 5..................................91 Inhalt. Xi Scite §. 42. Inhalt des Reciprocitätssatzes..................................94 §. 43. Erster Theil des Beweises; Umformung des früheren Kriteriums für den Charakter einer Zahl. Neuer Beweis des Satzes über die Zahl 2......................................................96 §. 44. Zweiter Theil des Beweises...................................99 §. 45. Anwendung des Reciprocitätssatzes auf die Aufgabe, den Cha- rakter einer gegebenen Zahl in Bezug auf eine gegebene Prim- zahl zu bestimmen ....................................................103 §. 46. Jacobi’s Verallgemeinerung des Symbols von Legendre. Ver- allgemeinerter Reciprocitätssatz.................................... 104 §. 47. Anwendung dieser Verallgemeinerung auf die Werthbestim- mung eines Symbols . . . ......................................110 §. 48. Zweiter Beweis des Reciprocitätssatzes: Vorbereitungen. . . . 112 §. 49. Erster Theil des Beweises......................................113 ¡j. 50. Lemma: ist q eine Primzahl von der Form 8 n -)- 1, so giebt es unterhalb 2 y q -\|— 1 mindestens eine ungerade Primzahl, von welcher q quadratischer Nichtrest ist......................116 §. 51. Zweiter Theil des Beweises für den Reciprocitätssatz...........117 §. 52. Aufstellung der Linearformen, in denen die Primzahlen ent- halten sind, von welchen eine gegebene Zahl quadratischer Rest oder Nichtrest^ist...............................................121 Vierter Abschnitt: Von den quadratischen Formen. §. 53. Binäre quadratische Formen; Coëfficiënten und Variabele der- selben; ihre Determinante. Ausschluss der Formen, deren Determinante eine Quadratzahl ist............................128 §. 54. Transformation der Formen. Eigentliche und uneigentliche Substitutionen...............................................130 5֊, 55. Zusammengesetzte Substitutionen.............................132 §. 56. Eigentliche und uneigentliche Aequivalenz der Formen .... 135 §. 57. Formen, welche Bich selbst uneigentlich äquivalent sind .... 137 ij. 58. Zweiseitige Formen. Jede sich selbst uneigentlich äquivalente Form ist einer zweiseitigen Form äquivalent..................139 §. 59. Eintheilung aller Formen von eiuer bestimmten Determinante in Classen; vollständiges System nicht äquivalenter Formen. Zwei Hauptprobleme der Lehre von der Aequivalenz............141 §. 60. Eigentliche Darstellung der Zahlen durch quadratische Formen; Congruenzwurzeln, zu welchen die Darstellungen gehören. Zurückführung auf die beiden Hauptprobleme...................143 §. 61. Reduction des zweiten Problems, aus einer gegebenen Substi- tution, durch welche eine Form in eine ihr äquivalente Form übergeht, alle ähnlichen Substitutionen zu finden, auf den Fall, in welchem beide Formen identisch sind. Theiler der Formen und Classen....................................................146 §- 62. Reduction des Problems, alle Substitutionen zu finden, durch welche eine Form in sich selbst übergeht, auf die vollständige Auflösung der Pell’schen Gleichung. Lösung derselben für den Fall eiuer negativen Determinante......................................149 XTI Inhalt. Seite 63. Angriff ileś ersten Hauptproblems in der Lehre von der Aequi-: valenz; zu entscheiden, ob zwei Formen von gleicher Deter- minante äquivalent sind, oder nicht, und im ersteren Falle eino Substitution zu finden, durchweiche die eine der beiden Formen , in die andere übergeht. Benachbarte Formen ·.-..... 153 $. 64. Negative Determinantou. Positive Formen. Reducirte Formen. Jede Form ist einer reducirteu Form äquivalent . . . . ... . 154 §. 65. Ausnahmefälle, in welchen zwei nicht identische reducirte Formen äquivalent sind . ...................................157 §. 66. Die Aequivalenz oder · Nichtäquivalenz zweier Formen von gleicher negativer Determinante wird durch Vergleichung mit reducirten Formen erkannt......................... 159 §. 67. Die Anzahl der Formenclassen für eine negative Determinante. ist endlich . . ............................................161 §. 68. Zerlegung der Zahlen in zwei Quadratzahlen................ 164 §. 69. Zerlegung der Zahlen in eine einfache und eine doppelte Quadratzahl.............................................. 166· §. 70. Darstellung der Zahlen durch die Formen xl -j- 3 y2 und 2# -!֊ ¡2Xi/ -f 21/2. ...................... ..... 168 §. 71. Darstellung der Zahlen durch die Formen x2 -j- by2 und 2x2 4 2X1/ + 3i/2......................................... 171 §. 72. Positive Determinanten. Erste und zweite Wurzel eiuer Form 173 §. 73, Beziehungen zwischen den gleichnamigen oder ungleichnamigen Wurzeln zweier eigentlich oder uneigentlich äquivalenten For- men. Benachbarte Formen...............................................174 §. 74. Reducirte Formen von positiver Determinante; Eigenschaften ihrer Wurzeln .............................................. 176 §. 75. Es giebt nur eine endliche Anzahl reducirte։· h ermen von einer gegebenen positiven Determinante . . . .......................178 §. 76. Jede Form von positiver Determinante ist einer reducirten Form äquivalent...............................................180 §. 77. Jede reducirte Form von positiver Determinante hat eine und nur eine nach rechts benachbarte reducirte Form, und ebenso eine und nur eine nach links benachbarte reducirte Form . . 182 §. 78. Eintheilung der reducirten Formen von positiver Determinante in Perioden von gerader Gliederauzahl .......................185 §. 79. Entwicklung der Wurzeln der reducirten Formen von positiver Determinante in periodische Kettenbrüche . . . .............189 §. 80. Digression über die Umformung unregelmässiger Kettenbrüche in regelmässige . ............................................192 §. 81. Lemma ans der Theorie der Kettcnbrüehe.................... 195 §. 82. Je zwei äquivalente reducirte Formen von positiver Determi- nante gehören einer uud derselben Periode an. Abschluss des Problems, zu eutscheideu, ob zwei Formen von gleicher positiver Determinante äquivalent sind oder nicht......................197 §. 83. Lösung der Fellachen Gleichung für positive Determinanten in positiven Zahlen durch die Betrachtung der Periodeu der reducirten Formen................................................... 200 Inhalt. XIII Scito $. 84. Kleinste positive Auflösung der Pell’schen Gleichung.........207 85. Darstellung aller Auflösungen der Pell’schen Gleichung durch die kleinste, positivo Auflösung derselben . . . ■..........209 Fünfter Abschnitt: Bestimmung der Anzahl der Classen, in welche die binären quadratischen Formen von gegebener Determinante zerfallen. §. 86. Feststellung des Gebietes von Zahlen, welche durch das voll- ständige System ursprünglicher Formen der ersten oder zweiten Art eigentlich dargestellt werden............................213 §. 87. Anzahl dieser Darstellungen für den Fall einer negativen Determinante; für den Fall einer positiven Determinante wird die Anzahl der Darstellungen dadurch auf eine endliche redu- cirt, dass den darstellenden Zahlen neue Beschränkungen aufer- legt werden . *..................................................... 215 §. 88. Bccapitulation. Doppelte Erzeugungsart desselben Gebietes von Zahlen. Fundamentalgleichung.................................219 §. 89. Umformung der rechten Seite...................·..............221 §. 90. Die Fundamentalgleichung wird so umgeformt, dass auch un- eigentliche Darstellungen zugelassen werden..........................224 §. 91. Digrossion über die Anzahl aller Darstellungen einer Zahl durch das Formensystem. Anwendung auf die Zerlegung der Zahlen in zwei Qnailratzahlen................................226 §. 92. Digression über einige in der Theorie der elliptischen Functionen auftretende uucndlichc Reihen ...............................230 §. 93. Beschränkungen, welche den die Fonuenclassen repräsentiren- den Formen auferlegt werden..................................233 §. 94. Eintheilung der Werthenpaare der darstellenden Zahlen in eine bestimmte Anzahl von arithmetischen Doppelreihen ..... 235 §. 95. Grenzwerth der linken Seite der Fundamentalgleichung für den Fall einer negativen Determinante........................289 §. 96. Ausdruck der Classenanzahl für eine negative Determinante als Grenzwerth einer unendlichen Reihe...........................242 §. 97. Beziehung zwischen der Classenanzahl der Formen der ersten Art und der Classenanzahl der Formen der zweiten Art für eine negative Determinante...................................243 §. 98. Greuzwerth der linken Seite der Fundamentalgleichung für den Fall einer positiven Determinante; Ausdruck der Classen- anzahl als Grenzwerth einer unendlichen Reihe...................... . 244 §. 99. Beziehung zwischen der Classenanzahl der Formen der ersten Art und der Classcnanzahl der Formen der zweiten Art für eine positive Determinante...................................218 §. 100. Rcduction der Bestimmung der Classenanzahl auf den Fall, dass die Determinante durch keine Quadratzahl theilbar ist. . 251 §. 101. Untersuchung über die Convergenz und über die Stetigkeit der zu betrachtenden unendlichen Reihen......................254 §. 102. Besondere Behandlung des ersten Hauptfalls, in welchem die Determinante die Form 4 re ֊¡֊ 1 hat........................259 XIV Inhalt. Seite §. 103. Summation der unendlichen Reihe für diesen Fall........260 §. 104. Endresultat für diesen Fall.............................264 §. 105. Summation der unendlichen Reihe in den übrigen Fällen . . 268 §. 106. Zusammenstellung der Formeln, durch welche die Classen- anzahl bestimmt wird...................................275 §. 107. Betrachtung der den positiven Determinanten entsprechenden Formeln; Umformung des Endresultates für den Fall T == 1 (mod. 4)...............................................277 §. 108. Umformung für den Fall T s 3 (mod. 4)...............280 §. 109. Umformung für den F’all D =s 2 (mod. 8)...............282 §. 110. Umformung für den Fall J) = 6 (mod. 8)...............283 8 u p p 1 e m e n t e. I. Ueber einige Sätze aus der Theorie der Kreistheilung von Gauss. §. 111. Lemma aus der Theorie der Fourier sehen Reihen...........287 §. 112. Bestimmung des Werthes der Summe q (h, ri) für den Fall, in welchem 7i -z 0 (mod. 4) und h = 1 ist..................... 289 §·. 113. Allgemeine Sätze über die Summen ip(h, n)...............293 §. 114. Bestimmung von g (l, n)..................................295 §. 115. Bestimmung von q (h, n), wenn n eine ungerade Primzahl ist; dritter Beweis des Reciprocitätssatzes und der Sätze über den Charakter der Zahlen — 1 und 2...........................297 §. 116. Beweis eines in den §§. 103, 105 benutzten Satzes........300 II. Ueber den Grenzwerth einer unendlichen Reihe. §. 117. Beweis eines Satzes aus der Theorie der harmonischen Reihen 304 §. 118. Ausspruch und Erläuterung eines allgemeineren Satzes . . . 306 §. 119. Beweis desselben..........................................308 III. Ueber einen geometrischen Satz. §. 120. Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt einer ebenen Figur und der Anzahl der innerhalb dieser Figur liegenden Gitter- puncte................................................. ..... 311 IV. Ueber die Geschlechter, in welche die Classen der quadratischen Formen von bestimmter Determinante zerfallen. §. 121. Sätze über den Charakter aller durch eine und dieselbe quadra- tische Form darstellbaren Zahlen.................................313 §. 122. Eintheilung der quadratischen Formen in Geschlechter . . . 315 Inhalt. x ßeite §. 123. Beweis, dass der einen Hälfte der angebbaren Totalokaraktere keine wirklich existirenden Formen entsprechen .............319 §. 124. Beweis einer Gleichung zwischen zwei Producten aus je zwei unendlichen Reihen .........................................320 §. 125. Beweis, dass der einen Hälfte der angebbaren Totalcharaktere wirklich existirende Geschlechter entsprechen, und dass jedes dieser Geschlechter gleich viele Formenclassen enthält . . . 323 §. 126. Vervollständigung dieses Beweises ........................328 V. Theorie der Potenzreste für zusammengesetzte Moduli. §. 127. Dritter Beweis des verallgemeinerten Fermat’sehen Satzes (§. 19) 331 §. 128. Beweis der Existenz von primitiven Wurzeln für einen Modulus, der eine beliebige Potenz einer ungeraden Primzahl ist . . . 332 Ş5. 129. Theorie der Iadices für solche Moduli......................330 ij. 130, Fall, wenn der Modulus eine Potenz der Zahl 2 ist; Indices . 337 S. 131. Fall, wenn der Modulus eine beliebig zusammengesetzte Zahl ist; Indices................................................339 VI. Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Prim- zahlen enthält. §. 132. Beweis einer allgemeinen Gleichung z-wischen einem unend- lichen Product und einer unendlichen Reihe..........................342 tj. 133. Specialisirung dieses Satzes; Eintheilung der Reihen L in drei Classen Xj, X2, Xg..........................................345 §. 134. Grenzwcrthe dieser Reihen........................... . . . . 348 135. Beweis, dass die Grenzwerfhe der Reihen X2 von Null ver- schieden sind; Zusammenhang mit der Theorie der quadra- tischen Formen...................................................351 §. 136. Beweis, dass die Grenzwerthc der Reihen Xs von Null ver- schieden sind...................................................... 354 ij. 137. Beweis des Satzes über die arithmetische Progression .... 357 VII. Ueber einige Sätze aus der Theorie der Kreistheilung. §. 138. Beweis einer Eigenschaft des Ausdrucks fi (m).............360 §, 139. Bilduug der Gleichung, deren Wurzeln die primitiven unten Wurzeln der Einheit sind; Zerlegung der linken Seite der- selben in zwei Factoren, für den Fall, dass m eine ungerade durch kein Quadrat theilbare Zahl P ist....................363 §. 140. Berechnung der Coefficicnten dieser Factoren..............367 Vin. Ueber die PeU’sche Gleichung. 141. Satz über die rationalen Näherungswerthe für die Quadrat- wurzel aus einer positiven Zahl I), welche keine vollständige Quadratzahl ist................................................ 371 XVI Inhalt Seite g. 142. . Beweis . des Satzes , dass der Gleichung t2—l)u2= 1 immer durch ganze Zahlen t, u Genüge geschehen kann, deren letztere u von Null verschieden ist................................ . ......373 IX. lieber die Convergenz und Stetigkeit einiger unendlichen Reihen. §. 143. Methode der theilweisen Summation .........................376 §. 144. Eigenschaften der Dirichlet’sclien Reihen................. 381 X. Ueber die Composition der binären quadratischen Formen. §. 145. Lemma über die Congruenzen zweiten Grades ................387 i;. 146. Composition zweier einigen Formen. Fundamentalsatz .... 389 §. 147. Composition zweier oder mehrerer einigen Classen...........391 §. 148. Wichtigste specielle Fälle der Composition.................393 g. 149. Perioden und Gruppen von ursprünglichen Classen der ersten Art ... ............................................. 395 §. 150. Vergleichung der Anzahl der Classen von beliebigem Theiler mit der Anzahl der ursprünglichen Classen der ersten Art . . 397 g. 151. Resultat dieser Vergleichung...............................400 g. 152. Composition der Geschlechter...............................407 §. 153. Anzahl der zweiseitigen ursprünglichen Classen erster Art - . 409 §. 154. Vierter Beweis des Recipirocitätssatzes....................413 §. 155. lieber die Anzahl der wirklich existirenden Geschlechter . . 410 §. 156. Ableitung aller Lösungen der Gleichung a æ2 -(- b y2 -f- cz2֊ 0 aus einer gegebenen.................................... 418 §. 157. Hauptsatz über die Lösbarkeit dieser Gleichung.............428 §. 158. Jede Classe des Ilauptgeschlechtes entsteht durch Duplication 432 XI. lieber die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen. §. 159. Theorie der complcx.cn ganzen Zahlen von Gauss.............434 §. 160. Zahlenkörper...............................................452 §. 161. Permutationen eines Körpers............................ 456 §. 162. Resultanten von Permutationen..............................461 g. 163. Multipla und Divisoren von Permutationen ..................463 §. 164. Irreducibele Systeme. Endliche Körper .....................466 §. 165. Permutationen endlicher Körper........................... 474 g. 166. Gruppen von Permutationen................................ 482 §. 167. Spuren, Normen, Discriminante!! .......................... 486 §. 168. Moduln...............................................!.. 493 g. 169. Theilbarkeit der Moduln.............................. ... 495 §. 170. Producte und Quotienten von Moduln, Ordnungen..............500 g. 171. Congruenzen und Zahlclassen................................507 §. 172. Endliche Moduln........................................... 514 g. 173. Ganze algebraische Zahlen.................................. . .524 §. 174. Theilbarkeit der ganzen Zahlen.............................531 §. 175. System der ganzen Zahlen eines endlichen Körpers...........535 Inhalt. XVII Seite §. 176. Zerlegung in unzerlegbare Factoren. Ideale Zahlen.............540 §. 177. Ideale. Theilbarkeit und Multiplication.......................550 §. 178. Relative Primideale ..........................................554 §. 179. Primideale....................................................560 §. 180. Normen der Ideale. Congruenzen .........................564 §. 181. Idcalclassen und deren Composition.......................... 573 tj. 182. Zerlegbare Formen und deren Composition . ....................580 §. 183. Einheiten eines endlichen Körpers.............................590 §. 184. Anzahl der Idealclassen.......................................603 §. 185. Beispiel aus der Kreistheilung................................012 §. 186. Quadratische Körper...........................................634 §. 187. Moduln in quadratischen Körpern . .......................640
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