Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes: insbesondere über Oberflächen zweiter Ordnung
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Teubner
1869
|
| Ausgabe: | 2. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XVI, 456 S. |
Internformat
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichniss.
Erste Vorlesung·.
Au ¿7
*- fl
■~§s
Einleitung. Sdte
Die Ooordinaten.......................................... 1
Die senkrechte Projection einer begrenzten geraden Linie oder Ebene
auf eine unbegrenzte gerade Linie oder Ebene........... 4
^Dic Entfernung zweier Punkte von einander.................. 6
¿.Ausdruck des Neigungswinkels, den zwei gerade Linien bilden . . 7
Der Flächeninhalt eines Dreiecks........................... 9
Der körperliche Inhalt einer dreiseitigen Pyramide.........10
M
St
֊M
Zweite Vorlesung.
Die Ebene ini Raume.
Die Gleichung der Ebene in der allgemeinen und in der Normalibrm 16
Der senkrechte Abstand eines Punktes von einer Ebene.........18
Die Ebenen, welche die Neigungswinkel zweier gegebenen Ebenen
halbiren...................................................20
Sätze über sphärische Dreiecke.................................23
Sätze über Tetraeder...........................................26
Dritte Vorlesung.
Ebenen im Raume.
Al- f ß Das unharmonische und das harmonische Yerhältniss von zwei
Ebenenpaaren............................................28
Die Involution von drei Ebenenpaaren........................30
Allgemeine Sätze über sphärische Dreiecke...................36
Harmonische grösste Kreise auf der Kugeioberfläche. Grösste Kreise
auf der Kugeloberfläche, welche eine Involution bilden. Har-
monische Punkte und Punkte der Involution auf der Kugel-
oberfläche .................................................39
Vierte Vorlesung.
Das Pascal’sche Sechseck und damit verwandte
Figuren.
Sätze über sphärische Dreiecke................................43
Das Pascal’sche Sechseck auf der Kugeloberfläche..............46
Bemerkungen über die Geometrie auf der Kugeloberfläche .... 50
VITI
Inhaltsverzeickniss.
Fünfte Vorlesung.
Der Punkt im Raume und Punkte im Raume.
M ■ i y r Definition der Ebenencoordinaten und die Gleichung des Punktes
im Raume.................... ......................... 52
Die Gleichung des Punktes in der allgemeinen und in der Normal-
ip form. Der senkrechte Abstand eines Punktes von einer Ebene 54
— Der Punkt, welcher eine begrenzte gerade Linie halbirt oder auf
ihr im Unendlichen liegt.............................. 56
— J /3 Sätze über Dreiecke und Tetraeder....................... 58
— § (9 I*as anharmonische und das harmonische Verhältniss von zwei
Punktepaaren auf einer geraden Linie.................. 60
— § Pf Die Involution von drei Punktepaaren auf einer geraden Linie. . 62
Ein Satz vom Tetraeder............................................66
Sechste Vorlesung.
Homogene Coördinaten. Gerade Linien im Raume.
. §՝ IJ֊ Homogene Punktcoordinaten und homogene Ebenencoordinaten . 67
Lineare Ausdrücke der homogenen Coördinaten von Punkten, welche
auf einer geraden Linie oder einer Ebene liegen............ 69
Lineare Ausdrücke der homogenen Coördinaten von Ebenen, welche
sich in einer geraden Linie schneiden, od. durch einen Punkt gehen 71
Der senkrechte Abstand eines Punktes von einer geraden Linie . 75
Die kürzeste Entfernung zweier geraden Linien von einander . . 76
Siebente Vorlesung.
Determinanten.
Entwickelung dos Begriffes der Determinanten............... 79
Eigenschaften der Determinanten............................ 83
Die Auflösung linearer Gleichungen mit Hülfe von Determinanten 87
Eine besondere Art linearer Gleichungen.................... 88
ßeciproke Function......................................... 89
Das Multiplications-Theorem der Determinanten.............. 91
Anwendung des Multiplications-Theoremes auf ein algebraisches
Problem................................................ 92
Die Functional-Determinante gegebener Functionen........... 97
Erweiterung des Multiplications - Theoremes................ 98
Achte Vorlesung.
Ganze homogene Functionen. Anwendungen der
Determinanten.
Eigenschaften ganzer homogener Functionen.................. 99
Die Determinante ganzer homogener Functionen. Eigenschaften
dieser Determinante und ihrer partiellen Difterentialquotienteu 101
Bedingungsgleichung zwischeu den homogenen Coördinaten von
vier Punkten in einer Ebene............................103
T nhaltsv erzeichniss.
ÏX
Seit«
Ableitung der sieben Formen der Eedingungagleichung dcrlnvolution 105
Verschiedene Aufgaben........................................109
Der geometrische Ort einer geraden Linie,’welche auf drei gege-
benen geraden Linien gleitet.................................112
Keimte Vorlesung.
Allgemeine Eigenschaften der Oberflächen zweiter
Ordnung.
V Definition der Oberfläche zweiter Ordnung....................
Ul. Analytische Bestimmung der Oberflächen zweiter Ordnung durch
L Punkte auf ihnen...............................................
Oberflächen zweiter Ordnung, welche sich in derselben Raumcurve
schneiden..................................................
Oberflächen zweiter Ordnung, welche sich in ebenen Curven
schneiden..................................................
Die Schnittpunkte von drei Oberflächen zweiter Ordnung ....
Die Schnittpunkte von zw ei Oberflächen zweiter Ordnung und einer
Ebene......................................................
Die Schnittpunkte von einer Oberfläche zweiter Ordnung und zwei
Ebenen ........................................................
117
118
120
121
124
127
128
Zehnte Vorlesung.
i/lf.tjljM ¿/ Pole und Polarebenen der Oberflächen zweiter
Ordnung.
Definition von Pol und Polarebene einer Oberfläche zweiter Ordnung
Die Gleichung der iolarcbene einer Oberfläche zweiter Ordnung
Eigenschaften der Pole und Polarebenen einer Oberfläche zweiter
Ordnung .................................................
Relationen zwischen den Coördinaten des Poles und den Coördinaten
der Polarebene einer Oberfläche zweiter Ordnung..........
Analytischer Ausdruck der Oberflächen zweiter Ordnung durch
Ebenencoordinaten............................................
180
131
132
134
135
Elfte Vorlesung.
Weitere allgemeine Eigenschaften der Oberflächen
zweiter Ordnung.
f-ify Analytische Bestimmung der Oberflächen zweiter Ordnung durch
ihre Tangentenebenen....................................138
Oberflächen zweiter Ordnung, welche acht Ebenen berühren . . 139
Oberflächen zweiter Ordnung, welche von zwei Kegeln zweiter
Ordnung ringsum berührt werden .........................142
Tangentenebenen an drei Oberflächen zweiter Ordnung........143
^ , Tangentenebenen von einem Punkte ¡in zwei Oberflächen zweiter
^ ՛ Ordnung. Tangentenebenen einer Oberfläche zweiter Ordnung,
welche durch eine gegebene gerade Linie gehen...........114
X
Inhal tsverzeichniss.
Zwölfte Vorlesung.
№ j
«1
Fortsetzung der zehnten Vorlesung über Pole und
Polarebenen der Oberflächen zweiter Ordnung.
JJecinrocität.
1 Reite
Harmonische Polarebenen einer Oberfläche zweiter Ordnung. . . 145
Die Gleichung des Poles. Relationen zwischen den. Coördinaten
des Poles-und der Polarebene einer Oberfläche zweiter Ordnung 146
Sätze über Pole und Polarebenen einer Oberfläche zweiter Ordnung 148
•Das Princip der Reciprocität.................................. 151
fti-l
№
Dreizehnte Vorlesung.
Mittelpunkt der Oberfläche zweiter Ordnung.
Transformation der Coördinaten mit Beibehaltung
der Richtung der Coordinatenaxen.
Der Mittelpunkt einer Oberfläche zweiter Ordnung ist der Pol der
Ebene im Unendlichen....................................155
Analytische Bestimmung des Mittelpunktes einer Oberfläche zweiter
Ordnung.................................................156
Coordinatentransformation mit Reihehaltung der Richtung der Co-
ordinatenaxen ........................................158
Bedingungsgleichung für die Oberflächen zweiter Ordnung ohne
Mittelpunkt.............................................160
Vierzehnte Vorlesung.
Criterium des Kegels zweiter Ordnung. Tangenten-
kegel der Oberfläche zweiter Ordnung.
Die Bedingungsgleichung für den Kegel zweiter Ordnung .... 161
Der A symptoten - Kegel einer Oberfläche zweiter Ordnung .... 164
Der analytische Ausdruck des Kegels zweiter Ordnung in Ebenen-
coordinaten..............................................166
Der Tangentenkege] einer Oberfläche zweiter Ordnung..........169
Fünfzehnte Vorlesung.
(Jriterium der Grenzfläche zweiter Ordnung.
Die Schnittern՝ ve einer Ebene und einer 0berfläche
zweiter Ordnung als Grenzfläche zweiter Ordnung
aufgefasst.
Definition der Grenzflächen zweiter Ordnung..................171
Die Bedingungsgleichung für eine Grenzfläche zweiter Ordnung . 172
Die Grenzfläche zweiter Ordnung stellt sich als Kegelschnitt dar 174
Die Kegelschnitte auf den Oberflächen zweiter Ordnung ausge-
driiekt als Grenzflächen zweiter Ordnung.................175
Inhaltsverzeichniss.
XI
Sechszehnte Vorlesung·.
Kegel zweiter Ordnung, welche durch die Schnitt-
curve zweier Oberflächen zweiter Ordnung
hindurchgehen.
Seite
Bestimmung der vier Kegel zweiter Ordnung, welche durch die
. Schnittcurve zweier Oberflächen zweiter Ordnung gehen. . . 178
Systeme harmonischer Pole einer Oberfläche zweiter Ordnung. . 181
Das, zweien Oberflächen zweiter Ordnung gemeinschaftliche System
harmonischer Pole...........................................183
Die Bedingung, dass eine Oberfläche zweiter Ordnung durch ein
System harmonischer Pole einer gegebenen Oberfläche zweiter
Ordnung hindurchgehe....................................... 188
Bedingungsgleichungen für eine Oberfläche zweiter Ordnung, welche
durch das, zweien gegebenen Oberflächen zweiter Ordnung ge-
meinschaftliche System harmonischer Pole geht..............192
Zwei Systeme harmonischer Pole einer Oberfläche zweiter Ordnung
sind die acht Schnittpunkte von drei Oberflächen zweiter
Ordnung.....................................................196
Die Oberfläche zweiter Ordnung, die durch die Spitzen der zwölf
Kegel zweiter Ordnung geht, welche sich durch die Schnitt-
curve je zweier von drei Oberflächen zweiter Ordnung legen
lassen........♦.........................................198
. Conjugirte Durchmesser einer Oberfläche zweiter Ordnung. . . . 200
Sätze über conjugirte Durchmesser einer Oberfläche zweiter Ordnung 201
Siebenzehnte Vorlesung.
Grenzflächen zweiter Ordnung,welche acht, beliebig
gegebene Ebenen berühren.
Die vier Grenzflächen zweiter Ordnung, welche acht gegebene
Ebenen berühren.............................................205
Die Bedingung, dass eine Oberfläche zweiter Ordnung ein System
harmonischer Polarebenen einer gegebenen Oberfläche zweiter
Ordnung berühre.............................................209
Bedingungsgleicliungeu für eine Oberfläche zweiter Ordnung, welche
das, zweien gegebenen Oberflächen zweiter Ordnung gemein-
schaftliche System harmonischer Polarebenen berührt.... 210
Zwei Systeme harmonischer Polarebenen einer Oberfläche zweiter
Ordnung sind die acht Tangentenebenen an drei Oberflächen
zweiter Ordnung............................................ 211
Die Oberfläche zweiter Ordnung, welche drei Systeme harmonischer
Polarebenen berührt, von welchen jedes zweien von drei ge-
gebenen Oberflächen zweiter Ordnung zugehört.................213
Sätze über Kegelschnitte.......................................2X5
Sätze über conj ugirte Durchmesser einer Oberfläche zweiter Ordnung 217
XII
Inhaltsverzeichnis։։.
Achtzehnte Vorlesung.
Lineare Coordinaten-Transformation. Transfor-
mation rechtwinkliger Coordinatensysteme mit
demselben Anfangspunkte.
ö r Seite
Geometrische Deutung linearer homogener Substitutionen. Coor-
dinaten-Transformation .....................................210
Barycentrische Coördinaten..................................221
Lineare Transformation der Ebenencoordinaten.............. 223
JA՝ éof Die schiefwinkligen Coördinaten...............................225
— £Die rechtwinkligen Coordinatensysteme mit demselben Anfangs-
punkte ............................................... 228
Mannigfaltige Belationen zwischen den Coëfficiënten in den Trans-
formationsformeln rechtwinkliger Coordinatensysteme .... 221)
Geometrische Interpretation jener Belationen................239
Neunzehnte Vorlesung.
Transformation der Oberflächen zweiter Ordnung
auf die Hauptaxen.
Geometrische Bestimmung der Hauptaxen einer Oberfläche zweiter
Ordnung................................................ 240
..ƒ j , j Algebraische Auffassung des Problemes der Hauptaxen einer Ober-
fläche zweiter Ordnung................................................242
Die kubische Gleichung A = o, von welcher die Hauptaxen einer
Oberfläche zweiter Ordnung abhängen.....................244
Die Bestimmung der Hauptaxen einer Oberfläche zweiter Ordnung 245
— £i ·. Die Realität der Wurzeln der kubischen Gleichung A = o. . . . 247
- £$■■}՛JfeDie verschiedenen Geschlechter der Oberflächen zweiter Ordnung 249
Die Grenzen der Wurzeln der kubischen Gleichung A = o . . . 251
Untersuchung des Falles, wenn zwei Wurzeln der kubischen Glei-
chung A = o einander gleich sind. Botationsoberflächen . . 252
Das Problem der Hauptaxen einer Oberfläche zweiter Ordnung als
Maximums- oder Minimums-Aufgabe.........................255
Zwanzigste Vorlesung.
Transformation homogener Functionen zweiter
Ordnung durch lineare homogene Substitutionen.
Mannigfaltige Belationen zwischen den Coëfficiënten irgend welcher
linearen homogenen Substitutionen und den Coëfficiënten ihrer
Auflösungen.............................................250
Eigenschaften der linearen homogenen Substitutionen, welche eine
gegebene homogene Function der zweiten Ordnung transfor-
miren in die Summe von Quadraten der Variabein..........262
Eigenschaften der linearen homogenen Substitutionen, welche zwei
gegebene homogene Functionen zweiter Ordnung transformiren
in die Summe von Quadraten der Variabein....................267
Inbaltsverzeiehniss.
XIII
Scite
Bestimmung der linearen homogenen Substitutionen, welche zwei
gegebene homogene Functionen zweiter Ordnung transformiren
in die Summe von Quadraten der Variahein................273
Die Natur der Gleichung J = o, von welcher diese Bestimmung
der Substitutionen abhängt..............................276
Einundzwanzigste Vorlesung.
Das Problem der Hauptaxen der Curven zweiter
Ordnung. Confocale Kegelschnitte und elliptische
Coordinateli in der Ebene.
Algebraische Auffassung des Problemes der Hauptaxen eines Kegel-
schnittes .....................................................280
Die quadratische Gleichung, von welcher die Hauptaxen des Kegel-
schnittes abhängen........................................... 282
Mannigfaltige Relationen, welche mit der Lösung des Problemes
Zusammenhängen........................................... 283
Confocale Kegelschnitte........................................286
Elliptische Coordinaten in der Ebene...........................289
Ausdruck für den Bogen der Ellipse.....................290
Doppelter Ausdruck für dÄ Flächeninhalt der Ellipse............291
Relation zwischen den Längen zweier Tangenten der Ellipse und
dem von ihnen begrenzten Bogen........................... . 291
Zweiundzwanzigste Vorlesung.
Das Problem der Hauptaxen der Oberflächen
zweiter Ordnung. Confocale Oberflächen zweiter
Ordnung und elliptische Kaum coordinaten.
Algebraische Auffassung des Problemes der Hauptaxen einer Ober-
fläche zweiter Ordnung...................................... 296
Die kubische Gleichung, von welcher die Hauptaxen abhängen , 298
Mannigfaltige Relationen, welche mit der Lösung des Problemes
Zusammenhängen............................................299
՛ . Confocale Oberflächen zweiter Ordnung.......................307
L Elliptische Coordinaten im Raume..............................310
Krünmmngscurven der Oberflächen zweiter Ordnung. Diflerential-
formeln für elliptische Coordinaten.......................311
Umfang der Kriimmungscurve auf dom Ellipsoid................313
Flächeninhalt und kubischer Inhalt des Ellipsoidos............314
Elliptische Kugelcoordinaten. Sphärische Kegelschnitte........315
Umfang und Inhalt der sphärischen Ellipse.....................317
Ein Princip auf der Kugeloberfläche...........................318
XIV
Inhaltsverzeichniss.
Dr chmdz wanzigste Vorlesnng.
Kürzeste Linien auf dem Ellipsoid,
1 Seite
Tangentenebene und. Normale einer Oberfläche. Sclmiiegungsebene
einer Curve im Raume...................................... . 320
Differentialgleichung der kürzesten Linien auf einer Oberfläche . 322
Erste Integration der Differentialgleichung der kürzesten Linien
auf dem Ellipsoid.............................................324
Das vollständige Integral der kürzesten Linien auf dem Ellipsoid 328
Relation zwischen den Längen zweier kürzesten Linien auf dem
Ellipsoid, welche eine Krümmungslinie berühren und dem von
den Berührungspunkten begrenzten Bogen der Krümmungslinie 333
Vierundzwanzigste Vorlesung.
Focalcurven der Oberflächen zweiter Ordnung.
Die Eocalellipse, die Focalhyperbel, die imaginäre Eoealellipse . 336
Erweiterung des Begriffes der confocalcn Oberflächen zweiter
Ordnung.................................................338
Confocale Rotationsoberflächen zweiter Ordnung. Brennpunkte der-
selben...................................................342
Rotationsoberflächen zweiter Ordnung, welche einen Brennpunkt
gemein haben............................................344
Rotationskegel, welche eine Oberfläche zweiter Ordnung ringsum
berühren...............................................349
Fiinfundzwanzigste Vorlesung.
Die A x e n dea Körpers.
Definition des imaginären Bildes eines Körpers...............352
Das imaginäre Bild eines Körpers ist unabhängig von der Lage
des Körpers.............................................352
Die Axon des Körpers....................................... 355
Die Hauptaxen des Körpers................................... 357
Bestimmung der Axen eines Körpers............................360
Die Axensysteme eines Körpers hängen ab von confocalcn Ober-
flächen ...................................................
Seclisiiikdzwanzigste Vorlesung.
Geometrische Deutung der kubischen Gleichung
¿/ = o, von welcher die Hauptaxen einer 0berfläche
zweiter Ordnung abhängen.
Sätze, welche hervorgehen aus der geometrischen Deutung der
kubischen Gleichung, von welcher die Hauptaxen einer, erstens
durch ihre Gleichung in Punktcoordinatcn gegebenen Ober-
fläche zweiter Ordnung abhängen...........................365
Zweitens, wenn die Gleichung der Oberfläche zweiter Ordnung in
Ebenencoordinatcn gegeben ist.............................368
Inhaltsverzeiehniss.
XV
Siebennndzwanzigstc Vorlesung.
Bedingungen für die Rotationsoberflächen zweiter
Ordnung.
* ։ ։ Seite
Direete Herleitung der Bedingungen für die Rotationsoberflächcn
zweiter Ordnung.....................................371
Die Bedingungsgleichung für die Gleichheit zweier Hauptaxen
einer Oberfläche zweiter Ordnung stellt sich dar als die ver-
schwindende Summe von Quadraten.........................375
Achtlindzwanzigste Vorlesung.
Schnitte von Oberflächen ziveiter Ordnung und
Ebenen. Kreisschnitte.
Bestimmung des Mittelpunktes eines, auf einer Oberfläche zweiter
Ordnung liegenden Kegelschnittes.............................385
Gerade Linien auf den Oberflächen zweftor Ordnung.................389
l’arabelschnitte auf den Oberflächen zweiter Ordnung.............390
Bestimmung der Hauptaxen eines, auf einer Oberfläche zweiter
Ordnung liegenden Kegelschnittes..............................392
Die quadratische Gleichung, von welcher diese Hauptaxen abhängen 395
Die Criterien der drei Arten Kegelschnitte auf einer Oberfläc,he
zweiter Ordnung...............................................397
Die Bedingungsgleichung für die Gleichheit der Hauptaxen eines
ebenen Schnittes auf einer Oberfläche zweiter Ordnung stellt
sich dar als die verschwindende Summe von Quadraten. . . 398
Bestimmung der Kreissehnitte auf Oberflächen zweiter Ordnung . 402
Ncunundzwanzigste Vorlesung.
Krümmungsradien der Normalschnitte und schiefen
ebenen Schnitte der Oberflächen.
Die Tangente einer Curve in der Ebene.....................408
Der Krümmungskreis, der Krümmungsradius und der Krümmungs-
mittelpimkt einer Curve in der Ebene.................410
Der Krümmungskreis, der Krümmungsradius und der Krünnnungs-
mittoipunkt des Normalschnittes einer Oberfläche.....412
Der Krümmungskreis, der Krümmungsradius und der Krümmungs-
mittelpunkt des ebenen schiefen Schnittes einer Oberfläche . 417
Dreissigste Vorlesung.
Krümmungscurven der Oberflächen.
Die Hauptschnitte einer Oberfläche in einem gegebenen Tunkte
derselben............................................421
Die Differentialgleichung der Krümmungscurven auf einer gegebenen
Oberfläche...........................................425
XVI
Inhaltsverzeichniss.
Seite
Kriimmungscurven auf dem Ellipsoid...........................427
Eine zweite Definition der Krümmungscurven auf einer gegebenen
Oberfläche...............................................428
Einunddreissigste Vorlesung.
Das Theorem von Dupin.
Erster Beweis des Theoremes..................................420
Zweiter Beweis desselben Theoremes...........................438
Anhang.
Planeten Bewegung.
Die Bewegung des Planeten geschieht in einer durch die Sonne
gehenden ganz bestimmten Ebene...........................438
Die von dem R.adiusvector beschriebenen Flächenräume sind pro-
portional den Zeiten, in welchen sie beschrieben werden . . 440
Die Planetenbahn ist ein Kegelschnitt in einer Ebene, welche
durch die Sonne geht....................................44
Die Planetenbahn ist ein Kegelschnitt. In einem Brennpunkte des
Kegelschnittes liegt die Sonne...........................448
Die Plafaetenbahn ist eine Ellipse oder Hyperbel oder Parabel je
nachdem die Constante h der lebendigen Kraft negativ oder
positiv ist oder verschwindet............................450
Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten um die Sonne ver-
halten sich wie die Kuben der grossen Axen der Planeten-
bahnen .......................................................452
Das Problem zweier Körper....................................452
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