A. L. Cauchy's Vorlesungen über die Differenzialrechnung, mit Fourier's Auflösungsmethode der bestimmten Gleichungen verbunden:
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Braunschweig
Meyer
1836/46
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| adam_text | Inhaltsverzeichniß
«
Differenzialrechnung.
Von
Vorerinnerungen.
den
Seite-
veränderlichen Größen, ihren Grenzen
unendlich kleinen
Großen. Von den continnirlichen und discontinuirlichem entwickelten
und den
unentwickelten, einfachen oder zusammengesetzten u. s.
convergirenden oder divergirenden Reihen
und
Von den
.
.
w-
anrtionem
.
.
.
.
.
«
Erste Vorlesung.
Gegenstand der Differenzialrechnung- abgeleitete anetionen
der Functionen mit einer veränderlichen Größe
und
Differenziale
.
.
.
Zweite Vorlesung.
Das
der Summe
Differenzial
mehrerer Functionen ist gleich der Summe
ihrer Differenziale. Folgerungen ans diesem Prinzipe. Differenziale
der imaginären Functionen
.
.
Dritte
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Vorlesung.
Differenziale und til-geleitete Funrtionen der verschiedenen Ordnnnqen für die
Functionen mit einer veränderlichen Große. Vertauschung der unabhängig verändcrlichen Größe
.
.
Vierte
215
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
Vorlesung.
Relationem welche zwischen den reellen
anciionen
von
einer
Veränderlichen
ihren abgeleiteten Functionen oder Differenzialen der verschiedenen
Ordnungen statt finden·
nnd
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
Fitnfte Vorlesung.
Bestimmung
der
Werthe, welche reelle Functioncn einer einzigen Veränder.
.
heben annehmen,
wenn
0 “_ :06‚ 0°, N°,
ItOetc...erscheinen
tm
0
_
sie unter den unbestimmten Formen:
.
—-
-—————
0
im
.
.
.
,
.
41
Sechste Vorlesung.
Ueber die
abgeleiteten
der
Funetienen, welche unendlich kleine Größen ausdrücken.
Siebente
Vorlesung.
lieber die Marimn und Minima der reellen
anctionen mit einer veränderlichenGrbße..-.............«-
61.
VIII
—
—-
‘
Achte Vorlesung.
Entwickelung einer
reellen
Funetion
Seite
den
nach
steigenden und ganzen
oder der Differenz x—a, in welcher a
von x
Potenzen der Veränderlichen x
einen besondern Werth dieser Veränderlichen bezeichnet
Neunte
Maclaurinscher
und
.
.
.
.
.
69
.
.
.
.
80
Vorlesung.
Tapiorscher Lehrsah
.
.
.
.
.
.
.
.
Zehnte VorlesungRegeln über die Convergenz der Reihen. Anwendung dieser Regeln auf die
Maelaurinsche und Taylorsehe Reihe
.
‘
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
Elfte Vorlesung.
Von den Wes-them
bekommen,
welche
die
Functionen einer einzigen veränderlichen Größe
diese Bereinderliche imaginår wird
wenn
.
.
.
.
.
.
105
Zwölste Vorlesung.
Differenziale und abgeleitete Funetionen der verschiedenen Ordnungen für
anetionen einer einzigen imaginären veränderlichen Größe
.
.
die
.
.
131
Dreizehnte Vorlesung.
Situationen, welche zwischen den Funktionen einer imaginären Veränderlichen
und ihren verschiedenen Disserenzialen oder abgeleiteten Funktionen
statt finden. Entwickelung dieser Functionen nach den steigenden spotenzen von x , ober der Differenz x—a, in welcher a einen besondern Werth der Bereinderlichen x bezeichnet
140
_.
x
.
.
.
.
.
.
.
Viel-zehnte Vorlesung.
Ueber die
Auflösung
der
algebraischen
und transeendenten
legung der ganzen Functionen in reelle Factoren
Gleichungen. Zer-
des
ersten
oder
zwei-
tenGrades-..........·-......154
Funfzehnte Vorlesung.
Entwickelung einer Funetion von x; welche für x=a unendlich wird,
nach den steigenden Potenzen von x—a. Zerlegung der rationalen
Brüche................·....182
Sechszehnte Vorlesung.
Differenziale der anetionen mehrerer veränderlicher Größen. Partielle
geleitete Functionen und partielle Differenziale
.
.
.
.
.
.
ab.
.
196
Siebzehnte Vorlesung.
Gebrauch der partiellen abgeleiteten Funceionen bei der Differenzirung der
zusammengesehten Functionen. Differenziale unentwickelter Functionen.
Lehrsaiz
von
den
homogenen anctionen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
202
Achtzehnte Vorlesung.
verschiedenen Ordnungen für die Funetionen mehrerer
Differenziale
änderlicherGrdßen.
der
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ver.
.
209
1x
__
.....
Neunzehnte Vorlesung.
Methode zur einfachem Bestimmung der Totaldisserenziale mehrerer unab215
hängiger Beranderlicher. Symbolische Werthe dieser Differenziale
Zwanzig ste Vorlesung.
Marima und Minima der Functionen mit mehreren veränderlichen Größen
Ein und
220
.
zwanzigste Vorlesung.
Von den
Bedingungen, welche erfüllt werden müssen, damit ein Totaldisserenzial das Zeichen nicht ändert, wenn die Werthe der Differenziale
der unabhängigen Veränderlichen geändert werden
Gebrauch
der
.
.
261
.
Zwei und zwanzigste Vorlesung.
unbestimmten Fartoren bei der Bestimmung der Marima und
Minima..............
Drei und
Entwickelung
dehnung
.
.
.
.
.
4
·
.
zwanzigste Vorlesung.
Funrtionen von· mehreren veränderlichen Größen, Ausden Taylorschen Lehrsatzes aus Funetionen dieser Art
der
.
.
der
Auflösung
Anhang.
244
.
bestimmten Gleichung-en
Erster Abschnitt
Methode zur Bestimmung zweier Grenzen jeder reellen Wurzel und zur Un251
terscheidung der imaginären Wurzeln von den reellen
51 und 2. Substitution mehrerer Zahlen in die Functionen, ”@@?
durch successive Differenzirung gebildet werden· Zeichenreihe der
Resultate. Zahl der Zeichenwechsel, welche surcessive verschwinden,
.
wenn
Zahl allmählich
die substituirte
von
___—16
.
+% wächst
bis
II
§Z. Dieser Satz findet auch dann statt, wenn die substituirte Zahl
255
mehrere mittlere Funktionen verschwinden macht
4.
den
258
für
Dieser Satz gibt auch
§
Fall gleicher Wurzeln
dann
wenn
5.
Er
statt§
findet auch
dieselbe Substitution mehrere Funktionen in verschiedenen Theilen der Reihe verschwinden macht
258
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sätzen erhellet, wie die Reihe ihre Zeichcnwechsel verliert- senachdem die Wurzeln reell, gleich oder ungleich, oder inm259
ginär sind
5 7. Allgemeiner Satz über die progressive Abnahme der Zahlder
259
wechsel.
der Anzahl der Wur§ 8. Anwendung dieses Satzes zur
zeln einer Gleichung zwischen zwei gegebenen Grenzen
§ 9. Der Descartessche Lehrsatz über die Zahl der positiven oder ne261
gativen Wurzeln ist eine Folgerung aus diesem Satze
§ 10. Aus demselben Satze erhellet, in welchen Intervallen die Wur262
zeln allein gesucht werden müssen
§ 11. Regel zur Bestimmung des Zeichens, welches man den verschwindenden Funetiouen beilegen muß. Beispiel dieser Regel des dop-
§
6« Aus diesen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Zeichen-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Bestimmung
.
.
.
.
.
.
.
.
-
.
.
.
.
X
_.—
.—
Seite
pelten Zeichens.
Folgerungen
der imaginären Wurzeln
§ 12 bis 15. Anwendung der
Beispiele
.
.
.
die
Beziehung aus
in
.
.
.
Anzahl
262
.
Lehrsätze uuf verschiedene
vorhergehenden
Anwendung dieser Sätze aus binomische Gleichungen
·
.
.
.
.
263
.
.
oder
§ 16 bis 19.
im Allgemeinen aus solche, in welchen mehrere auf einander folgende......-.....2137
Gliederfehlen.....
520. Intervalle, in welchen keine Wurzeln gesucht werden müssen.
Intervalle, in welchen die reellen Wurzeln gesucht werden müssen.
Die Wurzeln können in diesen Intervallen reell oder imaginär sein
§ 21. Aufgabe über die Unterscheidung der imaginären Wurzeln- Ber-
schiedeneAufldsungsarten derselben
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
·
271
272
§ 22 Bedingungen für den Fall, wo die Natur der beiden nngezeigten
27—1
Wurzeln ungewiß ist
§ 23. Constructiom welche diese Bedingungen ausdrückt- wenn die beiden
Resultate f(a) und f(b) dasselbe Zeichen + haben
274
§ 24. Prinzip der Auflösung
275
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
der
529
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
§
Unterscheidung
gleichen Wurzeln.
§ 27. Construction für den Fall, wo die beiden Resultate f(a)
dasselbe Zeichen haben
§ 28. Regel zur Unterscheidung der imaginären
2.6.
.
.
.
Unterscheidungsmerkmals der imaginären
§ 25 Analytischer Ausdruck des
.
.
.
.
.
.
Wurzeln
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Wurzeln
und
f(b)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
276
277
.
228
278
.«
279
Anwendung dieser Regel auf Beispiele
§31 und 32. Anwendung derselben Prinzipien auf den Fall, wo in
den bei-den verglicheneu Reihen die Zeichen auf eine beliebige Weise
auf einander folgen. Regel zur Bildung der Reihe der Jndice8.
Beispiel..-.......·........2-Bt
§ 33. Relation zwischen zwei aus einander folgenden Indien«-J Folgerung
in Beziehung auf den lenken Judex. Allgemeines Verfahren zur
282
Bestimmung der Natur der Wurzeln
1
am
dem
Ende
34.
Der
nächsten
Inder
nach
rechten
liegende
§
283
sich im Laufe der Operation diesem Ende beständig
und 30.
.
.
.
.
.
*
.
.
.
.
.
.
.
.
nähert
.
.
.
.
Ausgabe ist für alle möglichen Fälle auf die Anwendung der
285
Regel m § 28 zurückgeführt·
des
der
und
Natur
36
87.
§
Anwendung
Verfahrens zur Bestimmung
der Wurzeln
286
290
§ 38. Allgemeine Regel zur Bestimmung der Grenzen der
2.93
§ 39. 40 und 41· Anwendung dieser Regel auf Beispiele
§
65.
Die
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Wurzeln
§
42.
Uebersicht
aller frühern
Beispiele
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
299
Zweiter Abschnitt
Methode zur Berechnung der Werthe der Wurzeln, deren Grenzen bekannt
sind, nebst Bemerkungen über die Convergenz der Approrimationen
und über die Distiuction der Wurzeln
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
305
Seite
305
gl. Prinzip der lineären Approrimatiom Newtonsche Methode
§2. Bedingungen, welchen diese Methode genügen muß. Zu lösende
Aufgabe.·.....··...·.......306
§ 3. Die Grenzen können einander immer so nahe gebracht werben, daß
die gegebene Gleichung f(x)=0 zwischen ihnen eine einzige Wurzel
307
hat, die Gleichung f’(x)=0 und f”(x)=0 aber keine
.
.
.
§
4. Aus der
sich- ob die
Reihen ergibt
Vergleichung
Bedingungen erfüllt sind Beispiel
der
.
-.
.
.
.
.
vorhergehenden
.
.
.
.
308
.
§Pf.). Lehnsaiz 1. Wenn in den beiden verglichenen Reihen die Zeichen der
eorrespondirenden Glieder dieselben sind-so findet diese Bedingungwenn man beliebige zwischenliegende Zahlen substituirt, immer stattLehnsatz 2. Wenn für ein gegebenes Intervall das letzte Glied der
Reihe der Jndices Null ist, so ist dieser letzte Judex auch immer
Null, was für eine zwischenliegendezahl man auch substituiren 111119- 309
§ 6. Lineäre Approrimatiom
welcher größer ist
als
Beweis.
dieselbe
.
Genäherter Werth der Wurzel,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
«
311
.
312
genäherter Werth als die Wurzel.
313
beiden
dieser
Werthe
§8.Vergleichung
§ 9. Convergenz der lineären Anproximatiow Die Differenz zweier genäherter Wertheisr dem Quadrate des Bruches proportional, welcher
die Differenz der beiden vorhergehenden Werthe ausdrückt
314
§ 10. Construction, welche I) den durch die newtonsche Regel gegebenen
Raherungswerth und 2) eine zweite, zur Vervollständigung der Ap515
proriination erforderliche Grenze ausdrückt
§ 11. Aus dieser Construction erhellen die Bedingungen, welche die An3I7
wendung der newtonschen Regel voraus-seht
12.
Man
nur
dann
das
der
lineären
§
darf
Verfahren
Approrimation
anwenden, wenn die drei letzten Glieder der Reihe der Jndices
......318
001sind......
vier
der
der
lineåren
513. Unterscheidung
Fälle
Approximation· Die
newtonsche Regel muß auf die Grenze angewandt werden, welche
für f”(x) und f(x) einerlei Zeichen gibt. Aeußere und innere
320
Grenze......
§ 14. Aus der Construetion
daß
durch
der Grenzen immer ein Intervall bilden läßt- für welches die drei
letzten Glieder der Reihe der Jndices 0 0 1 sind. Ueber den besondern Fall, wo die Funetionen f” (x) und f(x) einen gemeinschaft321
lichen Fattor haben
§ 15. Zusammenstellung der
Resultate in Beziehung auf
die Bedingungen, welche statt finden müssen, wenn man zur Ve321
rechnung der Wurzel übergehen will
§ M- Regel zur Bestimmung zweier neuer Grenzen, welche mehr als
die vorhergehenden genähert sind
322
der
§17. Eigenschaften der fünf verschiedenen Grenzen, welche
linearen Approrimation vorkommen
32.8
57.
Kleinerer
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
sich
erhellet-
.
.
Zusammenziehung
·
.
.
porhergehenden
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
.
.
.
.
.
.
bei
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Seite
§ IS. Anwendung auf zweigliedrige Gleichungen. Construetion. Folgerungen über die den beiden neuen Grenzen gemeinschaftlichen Ziffern.
über die
Allgemeine Bemerkungen
exegetischen Methoden
Aufgabe, welche gelöst werden muß, damit bei der Berechnung der Wurzeln keine überflüssigen Operationen vorkommen.
§ 20. Regel für die abgeknrzte Division der Zahlen
§ 21. Verschiedene Bemerkungen über diese
Beispiele der geord-
§ 19.
324
von
Bieta.
neten
§
Division
.
.
.
.
.
Regel
.
.
-
.
326
327
328
vorhergehende Regel kann auch zur Bestimmung der Ziffern
Wurzel einer Gleichung des zweiten Grades angewandt werden-
22. Die
der
58eifpiel..............
331
..
§ 23. Dieselbe Regel für die Division mit einem veranderlichen Divisor
läßt sich auch auf Zahlengleichungen beliebiger Grade anwenden.
Beispiel.......
§ l. Regel für die Substitution der Näherungswerthe der Wurzel in
die gegebene Funetion und ihre abgeleiteten, damit üeberflüssige
.
vermieden werden
Rechnungen
§
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25. Man kann die Berechnung der zweiten
stimmung der newtonschen Approximation
Grenze, welche zur Beerforderlich ist, durch die
Betrachtung der Differenz der beiden Grenzen umgeben. Ausdruck
dieser Differenz Ausdruck einer Größe,
diese Differenz nicht
übersteigen kann.
.
.
.
.
.
welche
.
33?
.
.
Grenze,
526. Zweite
Betrachtung
aigeleitete
welche ebenfalls zur Bestimmung der Appeoximation dienen könnte€ 27 und 28. Bestimmung der Ordnung der Decimalziiffer des« Quotienten, bei welcher man in der Division stehen bleiben muß, um alle
der Secante
der
aus
welche jede Operation geben kann und
welche dem Werthe der Wurzel nicht
angehört. Gesetz, nach welchem die Anzahl der durch jede Operation erhaltenen Ziffern zunimmt-
339
genauen Ziffern zu finden,
keine Ziffer zu bestimmen,
340
Regel für
naherungsweise Berechnung
Wurzel·
34.1
§80 Anwendung dieser Regel auf ein Beispiel.
den
der
31.
der
§
Anwendung
Differenzialrechnung aus
einfachsten Fall
linearen Approximation. Relation zwischen dem Fehler eines genäherten Werthes und der Differenz zweier Grenzen, wovon die eine
durch die Tangente in einem nahe bei dem Durchschnittspunkte liegenden Punkte und die andere durch eine Parallele zu der Tan351
gente im Durchschnittspunkte bestimmt wird
die
§ 29-
.
.
§
32. Endrelation
§
33.
dem
343
des Werthes der
.
.
.
.
.
.
.
.
.
zwischen dem Fehler oo einer gewissen Naherung
Fehler co der folgenden Näherung
.
des
Graden
.
.
.
.
.
und
‘)
.
353
Approrimation
zweiten
Maaß
Endeonvergenz
§ 34. allgemeiner Ausdruck der Convergenz der Approximation, welche
aus einer Berührung der dritten, vierten u. s- w. Ordnungi
sich
ergibt
§ 35 Allgemeine Bemerkungen über
.
Wurzeln
.
.
.
.
der
»-
.
.
.
.
die
unterscheidung
der
_
.
Zoo
imaginaren
356
XIII
—-
—-
5 36- Wenn Für.) nicht gleich f’(x) ist, so wird die Aufgabe durch die
im ersten Abschnitte bewiesenen Sätze geköfl
358
§ 37. Dasselbe Verfahren kann auf Funktionen von einer beliebigen um
359
zahl von Veränderlichen angewandt werden
§ 38. Auflösung derselben Aufgabe in dem besondern Falle, wo F(x)=
«
.
.
.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f (X)i!‘t-..................359
§39-Beispiel·..................361
362
§ 40. Neue Regel zur unterscheidung der imaginären Wurzeln
§ 41. Gebrauch der Approximation des zweiten Grades zur Unterscheidung der imaginären Wurzeln. Erster Fall, wo das Zeichen von
.
f (x)undf(x)--l·ist
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
M
.
.
.
366
.
.
867
§42. Allgemeine Bedingungen für den ersten Fall
§ 43. Untersuchung des zweiten Falles, wo das Zeichen von f ”(x),—
und das von f(x), + ist. Bedingungen für beide Grenzen
§ 44. Untersuchung des dritten Falles, wo das Zeichen von f (x)- +
Und das von HX),
ist. Bedingungen für beide Grenzen
45.
§
Untersuchung des vierten Falles, wo das Zeichen von f”(x) und
von f (x),
ist. Bedingungen für beide Grenzen
§ 46. Allgemeine Regel zur Unterscheidung bet—imaginären Wurzeln
vermittelst der Eigenschaften der.Berührung der zweiten Ordnung.
§ 47. Lehrsalz von Sturm zur Bestimmung der Anzahl-der reellen
Wurzeln einer gegebenen Gleichung zwischen gegebenen Grenzen
.
.
.
.
.
—-
—-
.
.
.
.
.
-
.
.
368
M
370
370
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