Aufgabensammlung der höheren Mathematik: mit 2570 Aufgaben mit Lösungen
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Format: | Buch |
Sprache: | German |
Veröffentlicht: |
Leipzig
Fachbuchverl.
1969
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Ausgabe: | 3. Aufl. |
Schriftenreihe: | Lehrbücher der Mathematik
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adam_text | INHALTSVERZEICHNIS 1. ANALYF ISCHE GEOMETRIE DER EBENE 1.1.
PUNKTKOORDINATEN AUF DER GERADEN UND IN DER EBENE. DER ABSTAND ZWEIER
PUNKTE .. . . . . .......- ... 1.2. TEILUNG EINER STRECKE IM GEGEBENEN
VERHAELTNIS. FLAECHENINHALT EINES DREIECKS, FLAECHENINHALT VON VIEI- ECKEN
......................... 1.3. GLEICHUNG EINER KURVE .... . ..... 1.4.
GLEICHUNG DER GERADEN: 1. IN NOR- MALFORM, 2. IN ALLGEMEINER FORM, 3. IN
ACHSENABSCHNITTSFORM.. .. . . . 1.5. WINKEL ZWISCHEN ZWEI GERADEN.
GLEICHUNG DES BUESCHELS ALBR GERA- DEN, DIE DURCH EINEN GEGEBENEN PUNKT
GEHEN. GLEICHUNG DER GE- RADEN, DIE DURCH ZWEI GEGEBENE PUNKTE GEHT
(ZWEIPUNKTE- GLEICHUNG). SCHNITTPUNKT ZWEIER GERADEN ..................
. ... 1.6. DIE (HESSESCHE) NORMALFORM DER GERADENGLEICHUNG. ABSTAND
EINES PUNKTES VON EINER GERADEN. GLEI- CHUNGEN DER WINKELHALBIERENDEN.
GLEICHUNG EINES BUESCHELS VON GE- RADEN, DIE DURCH DEN SCHNITTPUNKT
ZWEIER GEGEBENER GERADEN GEHEN . I .7. VERMISCHTEAUFGABENZURGEOMETRIE
DER GERADEN .... . ... . ...... . ... 1.8. KREIS. .... . ...... . .....
. .... . .. 1.9. ELLIPSE ........................ 1.10. HYPERBEL . .
...... . ............ . 1.1 I. PARABEL ... . . ........... . ......
1.12. LEITLINIEN, DURCHMESSER UND TAN- GENTEN VON KUWEN 2.ORDNUNG ...
1.13. TRANSFORMATION CARTESISCHER KOOR- DINATEN. DIE PARABELN Y=AX2+BXF
CUND X = AY2 3- BY 1 C. DIE HYPERBEL X.Y=K ...................... 1.14.
VERMISCHTE AUFGABEN ZU KURVEN 2. ORDNUNG ........ . . ........ . . 1.15.
ALLGEMEINE GLEICHUNG EINER KURVE 2.0RDNUNG .................... 1.16.
POLARKOORDINATEN .......,.. . . . . 1.17. ALGEBRAISCHE KURVEN 3. UND
HIJHE- RER ORDNUNG .... . . . ........ . . . . 1.18. TRANSZENDENTE
KURVEN ..... . . .. . 2.1. ADDITION VON VEKTOREN. MULTIPLIKA- TION EINES
VEKTORS MIT EINEM SKALAR 2.2. RECHTWINKLIGE KOORDINATEN EINES PUNKTES
UND EINES VEKTORS IMRAUM 2.3. SKALARPRODUKT ZWEIER VEKTOREN .. 2.4.
VEKTORPRODUKT ZWEIER VEKTOREN .. 2.5. GEMISCHTES PRODUKT DREIER VEKTO-
REN (SPATPRODUKT). ... . ......... . ANALYTISCHE GCOMEFRIE DES R
GLEICHUNG EINER EBENE .......... GRUNDLEGENDE AUFGABEN ZUR EBENE
GLEICHUNGEN DER GERADEN.. .. . ... GERADE UND EBENE .............
SPHAERISCHE UND ZYLINDRISCHE FLAECHEN ....................... KONISCHE
FLAECHEN UND ROTATIONS- FLAECHEN ... . ............. . ... . .. EFLIPWID,
NYPCRBOLOIDE, PARABOLOIDE ..... . ............ .. 8 INHALTSVERZEICHNIS
4. HOEHERE ALGEBRA . . . . . . .... . ..... 76 6.6. ABLEITUNG DER
ARKUSFUNKTION ..,.. 1 1 1 4.1. DETERMINANTEN ..... . ..... . . . . .. 76
6.7. ABLEITUNG DER HYPERBELFUNKTIONEN 11 2 4.2. LINEARE
GLEICHUNGSSYSTEME .. . ... 78 6.8. VERMISCHTE BEISPIELE UND AUFGABEN ZUR
DIFFERENTIATION . . . ...... . .... 11 3 4.3. KOMPLEXE ZAHLEN .... . . .
. . .. . .. 81 4.4. GLEICHUNGEN .HOEHEREN GRADES. 6.9. ABLEITUNGEN
HOEHERER ORDNUNG. . .. 114 NAEHERUNGSWEISE LOESUNG EINER 6.10. ABLEITUNG
IMPLIZITER FUNKTIONEN .. 115 GLEICHUNG ..................... 84 6.1 1.
DIFFERENTIAL EINER FUNKTION .. . . . . 117 6.12. PARAMETERDARSTELLUNG
EINER KURVEN- 5. EINFUEHRUNG IN DIE ANAIYSIS . . ..... 87 GLEICHURIG ..
.. . . . . .. . .... . . . . . . 1 18 5.1. VERAENDERLICHE GROESSEN UND
FUNKTIONEN .................... 87 7. ANNA&NGEN DER .4BLEITUNG EINER
FUNKTION ....... .. . . . . ... . . . . . . 120 5.2. ZAHLENFOLGEN.
GRENZWERT EINER VERAENDERLICHEN. GRENZWERT EINER 7.1. GESCHWINDIGKEIT UND
BESCHLEUNI- FUNKTION ..................... 89 GUNG
......................... 120 5.3. GRENZWERTEIGENSCHAFTEN. BECTIM- 7.2.
HAUPTSAETZE DER DIFFERENTIAL- MUNG EINFACHER ,,UNBESTIMMTER AUS- RECHNUNG
...................... 121 DRUECKE DER FORM - 0 UND - W 93 7.3.
BESTIMMUNG UNBESTIMMTER AUS- SINA ,.0 DRUECKE; 1 HOSPITALSCHE REGEL . . .
. 124 9,- 5.4. LIM - ., ................... 95 N+O 7.4. STEIGEN UND
FALLEN EINER FUNKTION. 5.5. *UNBESTIMMTE AUSDRUECKE DER MAXIMUM UND
MINIMUM .. .. . . . 125 FORM ,,M - W UND *ON 00 .. . . 96 7.5.
EXTREMWERTAUFGABEN ...... . ..... 129 5.6. VERMISCHTE BEISPIELE ZUR
BERECH- 7.6. KONVEXITAET UND KONKAVITAET. NUNG VON GRENZWERTEN . ...... .
.. 96 WENDEPUNKTE EINER KURVE. 5.7. ORDNUNG KLEINER - GEGEN NULL
KURVENDISKUSSION ... . ... . ...... 131 STREBENDER GROESSEN .. . . . . .
...,.. 97 8. UNBESTIMR~LTES IITEGRAL ... ... . .. . 133 5.8. STETIGKEIT
EINER FUNKTION .. . ..... 98 5.9. ASYMPTOTEN .................. . 101
8.1. UNBESTIMMTES INTEGRAL. INTEGRAL EINER SUMME .. . .... . . .. .
...... 133 5.10. DIE ZAHL E ........ . ........... 102 8.2. INTEGRATION
DURCH SUBSTITUTION ... 134 6. ABLEITUNG UND DIFFERENTIAL . . ...... 104
8.3. INTEGRALE VON DER FORM 6. I. ABLEITUNG ALGEBRAISCHER UND TRIGO-
NOMETRISCHER FUNKTIONEN ........ 104 6.2. ABLEITUNG DER FUNKTION EINER
FUNKTION ...................... 106 MIT ANGABE GEEIGNETER SUB- 6.3.
TANGENTE UND NORMALEEINER EBENEN STITUTIONEN ....... . .... . . ..... .
136 KURVE ......................... 107 8.4. PARTIELLE INTEGRATION
...... . ... . .. 137 6.4. FAELLE DER NICHTDIFFERENZIERBARKEIT 8.5.
INTEGRATION TRIGONOMETRISCHER STETIGER FUNKTIONEN ............ . 108
FUNKTIONEN ......... . . ..... . . . . 138 6.5, ABLEITUNG DER
LOGARITHMUS- UND 8.6. INTEGRATION RATIONALER ALGEBRAISCHER
EXPONENTIALFUNKTION ...... . ..... 110 FUNKTIONEN ..... . . ...... . .
..... 140 INHALTSVERZEICHNIS 8.7. INTEGRATION EINIGER IRRATIONALER AL-
GEBRAISCHER FUNKTIONEN ......... 141 8.8. INTEGRATION EINIGER
TRANSZENDENTER FUNKTIONEN .................... 144 8.9. INTEGRATION DER
HYPERBELFUNKTIO- NEN. SUBSTITUTION DURCH HYPERBEL- FUNKTIONEN..
................... 145 8.10. VERMISCHTE BEISPIELE ZUR INTEGRATION 146
9. BESTIMMTES INTEGRAL ............. 148 9.1. BERECHNUNG DES BESTIMMTEN
INTE- GRALS.. ........................ 148 9.2. FLAECHENBERECHNUNG
............. 150 9.3. VOLUMEN EINES ROTATIONSKOERPERS . 152 9.4.
BOGENLAENGE EINES EBENEN KURVEN- STUECKS ........................ 153 9.5.
OBERFLAECHE EINES ROTATIONSKOERPERS 155 9.6. AUFGABEN AUS DER PHYSIK
........ 155 9.7. UNEIGENTLICHE INTEGRALE ......... 158 9.8. MITTELWERT
EINER FUNKTION ....... 160 9.9. DIE (SEHNEN-) TRAPEZFORMEL UND DIE
SIMPSONSCHE REGEL .......... 160 10. KRUEMMUNG EBENER UND RAEUMLICLZER
KURVEII ........................ 163 10.1. KRUEMMUNG EINER EBENEN KURVE.
KRUEMMUNGSMITTELPUNKT UND KRUEMMUNGSRADIUS. EVOLUTE ...... 163 10.2.
BOGENLAENGE EINER RAUMKURVE .... 164 10.3. ABLEITUNG EINER VEKTORFUNKTION
NACH EINEM SKALAR UND IHRE MECHA- NISCHE UND GEOMETRISCHEBEDEUTUNG.
BEGLEITENDES DREIBEIN EINER KURVE 165 10.4. KRUEMMUNG UND WINDUNG EINER
RAUMKURVE ................... 167 11. PARTIELLE ABLEITUNGEN,
VOLLSRAENDIGE DIFFERENTIALE UND DEREN ANWENDUNG 169 11 .I. FUNKTIONEN
ZWEIER VERAENDERLICHER UND IHRE GEOMETRISCHE DARSTELLUNG 169 1 1.2.
PARTIELLE ABLEITUNGEN 1.ORDNUNG . 171 11.3. VOLLSTAENDIGES DIFFERENTIAL
1.ORDNUNG .................... 172 11.4. ABLEITUNGEN MITTELBARER FUNK-
TIONEN ......................... 174 11.5. ABLEITUNGEN IMPLIZITER FUNK-
TIONEN ......................... 175 11.6. PARTIELLE ABLEITUNGEN UND
VOLLSTAEN- DIGE DIFFERENTIALE HOEHERER ORDNUNG 176 11.7. INTEGRATION
VOLLSTAENDIGER DIFFEREN- TIALE.. ......................... 179 11.8.
SINGULAERE PUNKTE,EINER EBENEN KURVE.. ....................... 180 11.9.
ENVELOPPE EINER EBENEN KURVEN- SCHAR ......................... 181
11.10. TANGENTIALFLAECHE UND FLAECHEN- NORMALE ....................... 182
11.11. SKALARES FELD. NIVEAULINIEN UND NIVEAUFLAECHEN. ABLEITUNG
NACHEINER GEGEBENEN RICHTUNG. GRADIENT ... 184 11.12. EXTREMUM EINER
FUNKTION ZWEIER VERAENDERLICHER ................. 185 12.1. BEGRIFF DER
DIFFERENTIALGLEICHUNG .. 187 12.2. INTEGRATION DER DIFFERENTIALGLEI-
CHUNGEN 1, ORDNUNG DURCH TREN- NUNG DER VERAENDERLICHEN. ORTHO- GONALE
TRAJEKTORIEN ............. 188 12.3. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG
1. HOMOGENE, 2. LINEARE, 3. BERNOULLISCHE ................ 191 12.4.
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN, DIE DIFFE- RENTIALE EINES PRODUKTS ODER QUO-
TIENTEN ENTHALTEN ............... 192 12.5. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1.
ORDNUNG, DIE EIN VOFTSTAENDIGES DIFFERENTIAL ENTHALTEN. INTEGRIERENDER
FAKTOR .. 193 12.6. DIKERENTIALGIEICHUNGEN L.QRDNUNG, DIE NICHT NACH Y
AUFGEIEST SIND. GLEICHUNGEN VON LAGRANSSE UND CIAIRAUT
....................... X94 12.7. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN HOEHERER
ORDNUNG, DIE SICH AUF GLEICHUNGEN NIEDRIGERER ORDNUNG ZURUECKFUEHREN
LASSEN ............ . . . . . . ... . .. . 196 12.8. LINEARE HOMOGENE
DIFFERENTIALGLEI- CHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFFIZIEN- TEN......
...................... 197 12.9. LINEARE INHOMOGENE DIFFERENTIAL-
GLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN .................. .. . . 198
12.10. BEISPIELE VON DIFFERENTIALGLEICHUN- GEN VERSCHIEDENER TYPEN.
...... . . 200 12.11. LINEARE ERR1ER.SCHE DIFFERENTIAL- GLEICHUNG ... .
. ....... ......... 201 12.12. SYSTEME LINEARER DIFFERENTIALGLEI-
CHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFFI- ZIENTEN ........................ 201
12.13, LINEARE (PARTIELLE) DIFFERENTIALGLEI- CHUNGEN 2. ORDNUNG (METHODE
DER CHARAKTERISTIKEN) ... ...... . .. . . . 202 13. DOPPEL-, DREIFC~CLI-
INID KURCETI- INTEGRALE.. .... . . . . . . .. . . . .... . . 204 13.1.
FLIICHENBERECHNUNG MIT HILFE DES DOPPELINTEGRALS . .. .. .. . .... . . .
. 204 13.2. SCHWERPUNKT UND TRAEGHEITS- MOMENT EINER FLAECHE BEI HOMO-
GENER MASSENVERTEILUNG (DICHTE @ = 1) ........ . . . . . .. . . 205
13.3. BERECHNUNG DES RAUMINHALTS MIT HILFE DES DOPPELINTEGRALS . . . .
... 206 13.4. INHALT GEKRUEMMTER FLAECHEN ... . . . 208 13.5.
DREIFACHINTEGRAL UND SEINE ANWEN- DUNG ......................... 208
13.6. KURVENINTEGRAL. GREENSCHER INLE- GRALSATZ ..... .. .... .. . ... .
. . . . .. 210 13.7. OBERFLAECHENINTEGRALE. INTEGRALSAETZE VON
GAUSS-OSTROGRADSKI UND STOKES 213 14. REIHEN .......... . ... . . . . . .
.... 216 14.1. ZAHLENREIHEN ..... . ... . . ......, 216 14.2.
GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ EINER FUNKTIONENREIHE ..... . . .. . .. . . .
218 14.3. POTENZREIHEN . . . . .... . ...... . .. 220 14.4. TAYLOR- UND
MACLAURIN-REIHEN .. . 221 14.5. ANWENDUNG VON REIHEN BEI NAEHE-
RUNGSBERECHNUNGEN ..... . ..,.... 223 14.6. TAYLOR-REIHE EINER FUNKTION
ZWEIER VERAENDERLICHER ... . .... . . ...,. . . 225 14.7. FOURIER-REIHE.
FOURIERSCHES INTEGRAL 226 LOESUNGEN .. . . . . ...... .. . .. . ........
. 230 ANHANG (KURVEN, TABELLEN) . . . . . . . ... . . 305
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