Analysis: eine integrierte Darstellung ; Studienbuch für Studierende der Mathematik, Physik und anderer Naturwissenschaften ab 1. Semester 3 Funktionentheorie, Differentialgleichungen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
AULA-Verl.
1994
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| Ausgabe: | 7. Aufl., Nachdr. der 6., überarb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Studien-Texte : Mathematik
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Inhalt
1 Komplexe Zahlen 1
1.1 Der Körper der komplexen Zahlen 1
1.2 Einbettung von R in C 5
1.3 C als 2-dimensionalcr Vektorraum 8
1.4 Konjugiert komplexe Zahlen, Beträge 9
1.5 Polarkoordinatendarstellung von komplexen Zahlen 11
1.6 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen 15
1.7 C als metrischer Raum 19
1.8 Zahlenfolgen in C 20
1.9 Die RiEMANNSche Zahlenkugel, der Raum C 21
1.10 C als topologischer Raum 24
1.11 Kurven und Gebiete in C 33
1.12 Funktionen einer komplexen Variablen 38
1.13 Unendliche Reihen komplexer Zahlen 42
1.14 Die Funktionen ez, cosz, sinz 47
2 Lineare Abbildungen 53
2.1 Definition der linearen Abbildungen 53
2.2 Schiebungen, Drehstreckungen, Stürzungen 56
2.3 Die komplexe Darstellung von Geraden und Kreisen 58
2.4 Die Kreisverwandtschaft 60
2.5 Die Invarianz des Doppelverhältnisscs 63
2.6 Die Gruppeneigenschaft der linearen Abbildungen 67
2.7 Fixpunkte linearer Abbildungen 70
2.8 Die Normaldarstellung linearer Abbildungen 73
2.9 Spiegelpunkte 75
2.10 Abbildungen von Halbebenen und Kreisen 82
vi Inhalt
3 Differenzierbarkeit im Komplexen 88
3.1 Definition der Ableitung, Regularität 88
3.2 Ableitungsregeln 92
3.3 Die CAUCHY-RiEMANNSchen Differentialgleichungen 93
3.4 Der Zusammenhang mit der reellen Differenzierbarkeit 95
3.5 Regularität und CAUCHY-RiEMANNsche
Differentialgleichungen 98
3.6 Winkeltreue, Streckentreue, lokale Konformität 99
3.7 Lokale Eineindeutigkeit 104
3.8 Konforme Abbildungen 105
3.9 "Mehrdeutige Funktionen"; RiEMANNSche Flächen 106
4 Integration im Komplexen 117
4.1 Stetigkeitsmodul,
Funktionen von beschränkter Schwankung 117
4.2 Die Definition des RS-Integrals 119
4.3 Die Existenz des RS-Integrals 121
4.4 Eigenschaften des RS-Integrals 123
4.5 Berechnung von RS-Integralen 126
4.6 . Komplexe Kurvenintegrale 129
4.7 Der CAUCHYSche Integralsatz 137
4.8 Der CAUCHYSche Satz in allgemeineren Gebieten 148
4.9 Die CAUCHYSche Integralformel 153
4.10 CAUCHYSche Integrale; Existenz höherer Ableitungen 156
4.11 Stammfunktionen 165
4.12 Der Satz von Liouville,
der Fundamentalsatz der Algebra 168
4.13 Das Maximumprinzip 172
5 Potenzreihen, TAYLOR-Reihen, Identitätssatz 177
5.1 Funktionenfolgen 177
5.2 Funktionenreihen 182
5.3 Potenzreihen 185
5.4 TAYLOR-Entwicklung einer regulären Funktion 191
5.5 Analytische Fortsetzung, Identitätssatz 193
5.6 Der Satz von Casorati-Weierstrass 199
5.7 Der Abelsche Grenzwertsatz 201
Inhalt vii
6 LAURENT-Reihen, isolierte Singularitäten 210
6.1 LAURENT-Reihen 210
6.2 LAURENT-Entwicklung einer regulären Funktion 214
6.3 Isolierte Singularitäten 218
6.4 Hebbare Singularitäten 221
6.5 Pole 222
6.6 Wesentliche Singularitäten 224
7 Der Residuensatz mit Anwendungen 229
7.1 Der Residuensatz 229
+ CO
7.2 Integrale vom Typ / P(x) / Q(x) dx 233
— oo
+ OO
7.3 Integrale vom Typ / /(i)^"(ii 237
— oo
2ir
7.4 Integrale vom Typ / R(cos x, sin x) dx 242
o
7.5 Weitere Beispiele zur Anwendung des Residuenkalküls 244
7.6 Das Prinzip des Argumentes, der Satz von Rouche 253
8 Existenz- und Eindeutigkeitssätze für
Differentialgleichungen 258
8.1 LiPSCHiTZ-Bedingungen 258
8.2 Die Differentialgleichung y' = f(x,y) 262
8.3 Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung 272
8.4 Lineare Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung . 280
8.5 Explizite Differentialgleichungen n-ter Ordnung 284
8.6 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 287
9 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 291
9.1 Eine Darstellung der WRONSKi-Determinante 292
9.2 Die Lösung der inhomogenen Gleichung 293
9.3 Das d'ALEMBERTsene Reduktionsverfahren 300
9.4 Randwertaufgaben 307
10 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten 319
10.1 Die homogene Differentialgleichung,
komplexwertige Lösungen 319
viii Inhalt
10 2 Der Lösungsansatz; das charakteristische Polynom 322
10.3 Zwei Hilfssätze 323
10.4 Die komplexe Lösung der homogenen
Differentialgleichung 326
10.5 Die reelle Lösung der homogenen Differentialgleichung 328
10.6 Inhomogene Differentialgleichungen von speziellem Typ . 332
10.7 Die EuLERSche Differentialgleichung 340
11 Potenzeihenansatz,
spezielle Funktionen, Separation der Variablen 344
11.3 Potenzreihenansatz 344
11.2 Die HERMiTESche und die LEGENDRESche
Differentialgleichung 350
11.3 Die BESSELSche Differentialgleichung 354
11.4 Separation der Variablen 360
12 Lineare Systeme von Differentialgleichungen
erster Ordnung 368
12.1 Lösungsgesamtheiten 370
12.2 Existenz eines Fundamentalsystems
des homogenen Systems 377
12.3 Die Lösung des inhomogenen Systems 381
12.4 Systeme linearer Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten 387
Sachregister 404 |
| adam_txt |
Inhalt
1 Komplexe Zahlen 1
1.1 Der Körper der komplexen Zahlen 1
1.2 Einbettung von R in C 5
1.3 C als 2-dimensionalcr Vektorraum 8
1.4 Konjugiert komplexe Zahlen, Beträge 9
1.5 Polarkoordinatendarstellung von komplexen Zahlen 11
1.6 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen 15
1.7 C als metrischer Raum 19
1.8 Zahlenfolgen in C 20
1.9 Die RiEMANNSche Zahlenkugel, der Raum C 21
1.10 C als topologischer Raum 24
1.11 Kurven und Gebiete in C 33
1.12 Funktionen einer komplexen Variablen 38
1.13 Unendliche Reihen komplexer Zahlen 42
1.14 Die Funktionen ez, cosz, sinz 47
2 Lineare Abbildungen 53
2.1 Definition der linearen Abbildungen 53
2.2 Schiebungen, Drehstreckungen, Stürzungen 56
2.3 Die komplexe Darstellung von Geraden und Kreisen 58
2.4 Die Kreisverwandtschaft 60
2.5 Die Invarianz des Doppelverhältnisscs 63
2.6 Die Gruppeneigenschaft der linearen Abbildungen 67
2.7 Fixpunkte linearer Abbildungen 70
2.8 Die Normaldarstellung linearer Abbildungen 73
2.9 Spiegelpunkte 75
2.10 Abbildungen von Halbebenen und Kreisen 82
vi Inhalt
3 Differenzierbarkeit im Komplexen 88
3.1 Definition der Ableitung, Regularität 88
3.2 Ableitungsregeln 92
3.3 Die CAUCHY-RiEMANNSchen Differentialgleichungen 93
3.4 Der Zusammenhang mit der reellen Differenzierbarkeit 95
3.5 Regularität und CAUCHY-RiEMANNsche
Differentialgleichungen 98
3.6 Winkeltreue, Streckentreue, lokale Konformität 99
3.7 Lokale Eineindeutigkeit 104
3.8 Konforme Abbildungen 105
3.9 "Mehrdeutige Funktionen"; RiEMANNSche Flächen 106
4 Integration im Komplexen 117
4.1 Stetigkeitsmodul,
Funktionen von beschränkter Schwankung 117
4.2 Die Definition des RS-Integrals 119
4.3 Die Existenz des RS-Integrals 121
4.4 Eigenschaften des RS-Integrals 123
4.5 Berechnung von RS-Integralen 126
4.6 . Komplexe Kurvenintegrale 129
4.7 Der CAUCHYSche Integralsatz 137
4.8 Der CAUCHYSche Satz in allgemeineren Gebieten 148
4.9 Die CAUCHYSche Integralformel 153
4.10 CAUCHYSche Integrale; Existenz höherer Ableitungen 156
4.11 Stammfunktionen 165
4.12 Der Satz von Liouville,
der Fundamentalsatz der Algebra 168
4.13 Das Maximumprinzip 172
5 Potenzreihen, TAYLOR-Reihen, Identitätssatz 177
5.1 Funktionenfolgen 177
5.2 Funktionenreihen 182
5.3 Potenzreihen 185
5.4 TAYLOR-Entwicklung einer regulären Funktion 191
5.5 Analytische Fortsetzung, Identitätssatz 193
5.6 Der Satz von Casorati-Weierstrass 199
5.7 Der Abelsche Grenzwertsatz 201
Inhalt vii
6 LAURENT-Reihen, isolierte Singularitäten 210
6.1 LAURENT-Reihen 210
6.2 LAURENT-Entwicklung einer regulären Funktion 214
6.3 Isolierte Singularitäten 218
6.4 Hebbare Singularitäten 221
6.5 Pole 222
6.6 Wesentliche Singularitäten 224
7 Der Residuensatz mit Anwendungen 229
7.1 Der Residuensatz 229
+ CO
7.2 Integrale vom Typ / P(x) / Q(x) dx 233
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7.3 Integrale vom Typ / /(i)^"(ii 237
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7.4 Integrale vom Typ / R(cos x, sin x) dx 242
o
7.5 Weitere Beispiele zur Anwendung des Residuenkalküls 244
7.6 Das Prinzip des Argumentes, der Satz von Rouche 253
8 Existenz- und Eindeutigkeitssätze für
Differentialgleichungen 258
8.1 LiPSCHiTZ-Bedingungen 258
8.2 Die Differentialgleichung y' = f(x,y) 262
8.3 Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung 272
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8.6 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 287
9 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 291
9.1 Eine Darstellung der WRONSKi-Determinante 292
9.2 Die Lösung der inhomogenen Gleichung 293
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10 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
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10.1 Die homogene Differentialgleichung,
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11.3 Potenzreihenansatz 344
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