Verfügbarkeit: Die Grundlagen der Arithmetik

Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl

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Bibliographische Detailangaben
1. Verfasser:	Frege, Gottlob 1848-1925 (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Stuttgart Reclam 1995
Schriftenreihe:	Universal-Bibliothek Nr. 8425
Schlagworte:	Arithmetik Zahl Mathematische Logik Grundlage Zahlbegriff Zahlentheorie Bibliografie Einführung Lehrbuch
Online-Zugang:	Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	159 S.
ISBN:	3150084253

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adam_text	INHALT § 1 IN DER MATHEMATIK IST IN NEUERER ZEIT EIN AUF DIE STRENGE DER BEWEISE UND SCHARFE FASSUNG DER BE GRIFFE GERICHTETES BESTREBEN ERKENNBAR . 25 § 2 DIE PRUEFUNG MUSS SICH SCHLIESSLICH AUCH AUF DEN BEGRIFF DER ANZAHL ERSTRECKEN. ZWECK DES BE WEISES . 25 § 3 PHILOSOPHISCHE BEWEGGRUENDE FUER SOLCHE UNTER SUCHUNG: DIE STREITFRAGEN, OB DIE GESETZE DER ZAHLEN ANALYTISCHE ODER SYNTHETISCHE WAHRHEI TEN, A PRIORI ODER A POSTERIORI SIND. SINN DIESER AUSDRUECKE . 26 § 4 DIE AUFGABE DIESES BUCHES . 28 I. MEINUNGEN EINIGER SCHRIFTSTELLER UEBER DIE NATUR DER ARITHMETISCHEN SAETZE SIND DIE ZAHLFORMELN BEWEISBAR? § 5 KANT VERNEINT DIES, WAS HANKEL MIT RECHT PARA DOX NENNT . 29 § 6 LEIBNIZENS BEWEIS VON 2 -I 2 = 4 HAT EINE LUECKE. GRASSMANNS DEFINITION VON A + B IST FEHLERHAFT . . 30 § 7 MILLS MEINUNG; DASS DIE DEFINITIONEN DER EINZEL NEN ZAHLEN BEOBACHTETE TATSACHEN BEHAUPTEN, AUS DENEN DIE RECHNUNGEN FOLGEN, IST UNBEGRUEN DET . 32 § 8 ZUR RECHTMAESSIGKEIT DIESER DEFINITIONEN IST DIE BEOBACHTUNG JENER TATSACHEN NICHT ERFORDERLICH 34 6 INHALT SIND DIE GESETZE DER ARITHMETIK INDUKTIVE WAHRHEITEN? § 9 MILLS NATURGESETZ. INDEM MILL ARITHMETISCHE WAHRHEITEN NATURGESETZE NENNT, VERWECHSELT ER SIE MIT IHREN ANWENDUNGEN . 36 § 10 GRUENDE DAGEGEN, DASS DIE ADDITIONSGESETZE IN DUKTIVE WAHRHEITEN SIND: UNGLEICHARTIGKEIT DER ZAHLEN; WIR HABEN NICHT SCHON DURCH DIE DE FINITION EINE MENGE GEMEINSAMER EIGENSCHAFTEN DER ZAHLEN; DIE INDUKTION IST WAHRSCHEINLICH UMGEKEHRT AUF DIE ARITHMETIK ZU GRUENDEN . 37 § 11 LEIBNIZENS EINGEBOREN . 40 SIND DIE GESETZE DER ARITHMETIK SYNTHETISCH A PRIORI ODER ANALYTISCH? § 12 KANT. BAUMANN. LIPSCHITZ. HANKEL. DIE INNERE ANSCHAUUNG ALS ERKENNTNISGRUND . 40 §13 UNTERSCHIED VON ARITHMETIK UND GEOMETRIE . . 42 § 14 VERGLEICHUNG DER WAHRHEITEN IN BEZUG AUF DAS VON IHNEN BEHERRSCHTE GEBIET . 43 § 15 ANSICHTEN VON LEIBNIZ UND ST. JEVONS . 44 § 16 DAGEGEN MILLS HERABSETZUNG DES KUNSTFERTIGEN HANDHABENS DER SPRACHE. DIE ZEICHEN SIND NICHT DARUM LEER, WEIL SIE NICHTS WAHRNEHMBARES BEDEUTEN . 45 §17 UNZULAENGLICHKEIT DER INDUKTION. VERMUTUNG, DASS DIE ZAHLGESETZE ANALYTISCHE URTEILE SIND; WORIN DANN IHR NUTZEN BESTEHT. WERTSCHAETZUNG DER ANALYTISCHEN URTEILE . 46 II. MEINUNGEN EINIGER SCHRIFTSTELLER UEBER DEN BEGRIFF DER ANZAHL § 18 NOTWENDIGKEIT, DEN ALLGEMEINEN BEGRIFF DER AN ZAHL ZU UNTERSUCHEN . 47 INHALT 7 §19 DIE DEFINITION DARF NICHT GEOMETRISCH SEIN . 48 § 20 IST DIE ZAHL DEFINIERBAR? HANKEL. LEIBNIZ . 49 IST DIE ANZAHL EINE EIGENSCHAFT DER AEUSSERN DINGE? §21 MEINUNGEN VON M. CANTOR UND E. SCHROEDER . . 50 § 22 DAGEGEN BAUMANN : DIE AEUSSERN DINGE STELLEN KEI NE STRENGEN EINHEITEN DAR. DIE ANZAHL HAENGT SCHEINBAR VON UNSERER AUFFASSUNG AB . 50 § 23 MILLS MEINUNG, DASS DIE ZAHL EINE EIGENSCHAFT DES AGGREGATS VON DINGEN SEI, IST UNHALTBAR . 52 § 24 UMFASSENDE ANWENDBARKEIT DER ZAHL. MILL. LOCKE. LEIBNIZENS UNKOERPERLICHE METAPHYSI SCHE FIGUR. WENN DIE ZAHL ETWAS SINNLICHES WAE RE, KOENNTE SIE NICHT UNSINNLICHEM BEIGELEGT WER DEN . 53 § 25 MILLS PHYSIKALISCHER UNTERSCHIED ZWISCHEN 2 UND 3. NACH BERKELEY IST DIE ZAHL NICHT REALITER IN DEN DINGEN, SONDERN DURCH DEN GEIST GESCHAF FEN . 55 IST DIE ZAHL ETWAS SUBJEKTIVES? § 26 LIPSCHITZS BESCHREIBUNG DER ZAHLBILDUNG PASST NICHT RECHT UND KANN EINE BEGRIFFSBESTIMMUNG NICHT ERSETZEN. DIE ZAHL IST KEIN GEGENSTAND DER PSYCHOLOGIE, SONDERN ETWAS OBJEKTIVES . 56 § 27 DIE ZAHL IST NICHT, WIE SCHLOEMILCH WILL, VORSTEL LUNG DER STELLE EINES OBJEKTS IN EINER REIHE . 59 DIE ANZAHL ALS MENGE § 28 THOMAES NAMENGEBUNG . 60 8 INHALT III. MEINUNGEN UEBER EINHEIT UND EINS DRUECKT DAS ZAHLWORT EIN EINE EIGENSCHAFT VON GEGENSTAENDEN AUS? § 29 VIELDEUTIGKEIT DER AUSDRUECKE POVDG UND EIN HEIT. E. SCHROEDERS ERKLAERUNG DER EINHEIT ALS ZU ZAEHLENDEN GEGENSTANDES IST SCHEINBAR ZWECKLOS. DAS ADJEKTIV EIN ENTHAELT KEINE NAEHERE BESTIM MUNG, KANN NICHT ALS PRAEDIKAT DIENEN . 61 § 30 NACH DEN DEFINITIONSVERSUCHEN VON LEIBNIZ UND BAUMANN SCHEINT DER BEGRIFF DER EINHEIT GAENZLICH ZU VERSCHWIMMEN . 63 § 31 BAUMANNS MERKMALE DER UNGETEILTHEIT UND AB GEGRENZTHEIT. DIE IDEE DER EINHEIT WIRD UNS NICHT VON JEDEM OBJEKTE ZUGEFUEHRT (LOCKE) . 64 § 32 DOCH DEUTET DIE SPRACHE EINEN ZUSAMMENHANG MIT DER UNGETEILTHEIT UND ABGEGRENZTHEIT AN, WOBEI JEDOCH DER SINN VERSCHOBEN WIRD . 64 § 33 DIE UNTEILBARKEIT (G. KOEPP) IST ALS MERKMAL DER EINHEIT NICHT HALTBAR . 65 SIND DIE EINHEITEN EINANDER GLEICH? § 34 DIE GLEICHHEIT ALS GRUND FUER DEN NAMEN EIN HEIT*. E. SCHROEDER. HOBBES. HUME. THOMAE. DURCH ABSTRAKTION VON DEN VERSCHIEDENHEITEN DER DINGE ERHAELT MAN NICHT DEN BEGRIFF DER AN ZAHL, UND DIE DINGE WERDEN DADURCH NICHT EINAN DER GLEICH . 66 § 35 DIE VERSCHIEDENHEIT IST SOGAR NOTWENDIG, WENN VON MEHRHEIT DIE REDE SEIN SOLL. DESCARTES. E. SCHROEDER. ST. JEVONS . . . .YY . 68 § 36 DIE ANSICHT VON DER VERSCHIEDENHEIT DER EINHEI TEN STOESST AUCH AUF SCHWIERIGKEITEN. VERSCHIEDE NE EINSEN BEI ST. JEVONS . 68 § 37 LOCKES, LEIBNIZENS, HESSES ERKLAERUNGEN DER ZAHL AUS DER EINHEIT ODER EINS . 70 YY INHALT 9 § 38 EINS IST EIGENNAME, EINHEIT BEGRIFFSWORT. ZAHL KANN NICHT ALS EINHEITEN DEFINIERT WERDEN. UNTERSCHIED VON UND UND + . 70 § 39 DIE SCHWIERIGKEIT, GLEICHHEIT UND UNTERSCHEID BARKEIT DER EINHEITEN ZU VERSOEHNEN, WIRD DURCH DIE VIELDEUTIGKEIT VON EINHEIT VERDECKT . 72 VERSUCHE, DIE SCHWIERIGKEIT ZU UEBERWINDEN § 40 RAUM UND ZEIT ALS MITTEL DES UNTERSCHEIDENS. HOBBES. THOMAE. DAGEGEN: LEIBNIZ, BAUMANN, ST. JEVONS . 73 §41 DER ZWECK WIRD NICHT ERREICHT . 75 § 42 DIE STELLE IN EINER REIHE ALS MITTEL DES UNTER SCHEIDENS. HANKELS SETZEN . 75 § 43 SCHROEDERS ABBILDUNG DER GEGENSTAENDE DURCH DAS ZEICHEN 1 . 76 § 44 JEVONS ' ABSTRAHIEREN VOM CHARAKTER DER UNTER SCHIEDE MIT FESTHALTUNG IHRES VORHANDENSEINS. DIE 0 UND DIE 1 SIND ZAHLEN WIE DIE ANDERN. DIE SCHWIERIGKEIT BLEIBT BESTEHEN . 77 LOESUNG DER SCHWIERIGKEIT § 45 RUECKBLICK . 79 § 46 DIE ZAHLANGABE ENTHAELT EINE AUSSAGE VON EINEM BEGRIFFE. EINWAND, DASS BEI UNVERAENDERTEM BE GRIFFE DIE ZAHL SICH AENDERE . 80 § 47 DIE TATSAECHLICHKEIT DER ZAHLANGABE ERKLAERT SICH AUS DER OBJEKTIVITAET DES BEGRIFFES . 81 § 48 AUFLOESUNG EINIGER SCHWIERIGKEITEN . 82 § 49 BESTAETIGUNG BEI SPINOZA . 83 § 50 E. SCHROEDERS AUSFUEHRUNG . 84 § 51 BERICHTIGUNG DERSELBEN . 85 § 52 BESTAETIGUNG IN EINEM DEUTSCHEN SPRACHGEBRAU CHE . 85 § 53 UNTERSCHIED ZWISCHEN MERKMALEN UND EIGEN SCHAFTEN EINES BEGRIFFES. EXISTENZ UND ZAHL . 86 10 INHALT $ 54 EINHEIT KANN MAN DAS SUBJEKT EINER ZAHLANGABE NENNEN. UNTEILBARKEIT UND ABGEGRENZTHEIT DER EINHEIT. GLEICHHEIT UND UNTERSCHEIDBARKEIT . . 87 IV. DER BEGRIFF DER ANZAHL JEDE EINZELNE ZAHL IST EIN SELBSTAENDIGER GEGENSTAND § 55 VERSUCH, DIE LEIBNIZISCHEN DEFINITIONEN DER EINZELNEN ZAHLEN ZU ERGAENZEN . 88 § 56 DIE VERSUCHTEN DEFINITIONEN SIND UNBRAUCHBAR, WEIL SIE EINE AUSSAGE ERKLAEREN, VON DER DIE ZAHL NUR EIN TEIL IST . 89 § 57 DIE ZAHLANGABE IST ALS EINE GLEICHUNG ZWISCHEN ZAHLEN ANZUSEHEN . 90 § 58 EINWAND DER UNVORSTELLBARKEIT DER ZAHL ALS EINES SELBSTAENDIGEN GEGENSTANDES. DIE ZAHL IST UEBER HAUPT UNVORSTELLBAR . . 90 § 59 EIN GEGENSTAND IST NICHT DESHALB VON DER UNTER SUCHUNG AUSZUSCHLIESSEN, WEIL ER UNVORSTELLBAR IST . 91 § 60 SELBST KONKRETE DINGE SIND NICHT IMMER VORSTELL BAR. MAN MUSS DIE WOERTER IM SATZE BETRACHTEN, WENN MAN NACH IHRER BEDEUTUNG FRAGT . 92 § 61 EINWAND DER UNRAEUMLICHKEIT DER ZAHLEN. NICHT JEDER OBJEKTIVE GEGENSTAND IST RAEUMLICH . 93 UM DEN BEGRIFF DER ANZAHL ZU GEWINNEN, MUSS MAN DEN SINN EINER ZAHLENGLEICHUNG FESTSTELLEN § 62 WIR BEDUERFEN EINES KENNZEICHENS FUER DIE ZAH LENGLEICHHEIT . 94 § 63 DIE MOEGLICHKEIT DER EINDEUTIGEN ZUORDNUNG ALS SOLCHES. LOGISCHES BEDENKEN, DASS DIE GLEICHHEIT FUER DIESEN FALL BESONDERS ERKLAERT WIRD . 94 § 64 BEISPIELE FUER EIN AEHNLICHES VERFAHREN: DIE RICH INHALT 11 TUNG, DIE STELLUNG EINER EBENE, DIE GESTALT EINES DREIECKS . 95 § 65 VERSUCH EINER DEFINITION. EIN ZWEITES BEDEN KEN: OB DEN GESETZEN DER GLEICHHEIT GENUEGT WIRD . . YY . 97 § 66 DRITTES BEDENKEN: DAS KENNZEICHEN DER GLEICH HEIT IST UNZUREICHEND . 98 § 67 DIE ERGAENZUNG KANN NICHT DADURCH GESCHEHEN, DASS MAN ZUM MERKMAL EINES BEGRIFFES DIE WEISE NIMMT, WIE EIN GEGENSTAND EINGEFUEHRT IST . . 99 §68 DIE ANZAHL ALS UMFANG EINES BEGRIFFES . 100 § 69 ERLAEUTERUNG . 101 ERGAENZUNG UND BEWAEHRUNG UNSERER DEFINITION §70 DER BEZIEHUNGSBEGRIFF . 102 §71 DIE ZUORDNUNG DURCH EINE BEZIEHUNG . 104 § 72 DIE BEIDERSEITS EINDEUTIGE BEZIEHUNG. BEGRIFF DER ANZAHL . 105 § 73 DIE ANZAHL, WELCHE DEM BEGRIFFE F ZUKOMMT, IST GLEICH DER ANZAHL, WELCHE DEM BEGRIFFE G ZUKOMMT, WENN ES EINE BEZIEHUNG GIBT, WELCHE DIE UNTER F FALLENDEN GEGENSTAENDE DEN UNTER G FALLENDEN BEIDERSEITS EINDEUTIG ZUORDNET . 106 § 74 NULL IST DIE ANZAHL, WELCHE DEM BEGRIFFE SICH SELBST UNGLEICH ZUKOMMT . 107 § 75 NULL IST DIE ANZAHL, WELCHE EINEM BEGRIFFE ZU KOMMT, UNTER DEN NICHTS FAELLT. KEIN GEGENSTAND FAELLT UNTER EINEN BEGRIFF, WENN NULL DIE DIESEM ZUKOMMENDE ANZAHL IST . 108 § 76 ERKLAERUNG DES AUSDRUCKS N FOLGT IN DER NATUERLI CHEN ZAHLENREIHE UNMITTELBAR AUF M . 109 §77 1 IST DIE ANZAHL, WELCHE DEM BEGRIFFE GLEICH 0 ZUKOMMT . 110 § 78 SAETZE, DIE MITTELS UNSERER DEFINITIONEN ZU BEWEI SEN SIND . 111 §79 DEFINITION DES FOLGENS IN EINER REIHE . 112 12 INHALT §80 BEMERKUNGEN HIERZU. OBJEKTIVITAET DES FOLGENS . 113 §81 ERKLAERUNG DES AUSDRUCKS ' X GEHOERT DER MIT Y ENDENDEN CP-REIHE AN . 114 § 82 ANDEUTUNG DES BEWEISES, DASS ES KEIN LETZTES GLIED DER NATUERLICHEN ZAHLENREIHE GIBT . 114 § 83 DEFINITION DER ENDLICHEN ANZAHL. KEINE ENDLICHE ANZAHL FOLGT IN DER NATUERLICHEN ZAHLENREIHE AUF SICH SELBER . 115 UNENDLICHE ANZAHLEN § 84 DIE ANZAHL, WELCHE DEM BEGRIFFE ENDLICHE AN ZAHL ZUKOMMT, IST EINE UNENDLICHE . 116 § 85 DIE CANTORSCHEN UNENDLICHEN ANZAHLEN; MAECHTIGKEIT. ABWEICHUNG IN DER BENENNUNG . 117 § 86 CANTORS FOLGEN IN DER SUKZESSION UND MEIN FOL GEN IN DER REIHE . 118 V. SCHLUSS §87 DIE NATUR DER ARITHMETISCHEN GESETZE . 119 §88 KANTS UNTERSCHAETZUNG DER ANALYTISCHEN URTEILE . 119 § 89 KANTS SATZ: OHNE SINNLICHKEIT WUERDE UNS KEIN GEGENSTAND GEGEBEN WERDEN. KANTS VERDIENST UM DIE MATHEMATIK . 121 § 90 ZUM VOLLEN NACHWEIS DER ANALYTISCHEN NATUR DER ARITHMETISCHEN GESETZE FEHLT EINE LUECKENLOSE SCHLUSSKETTE . 122 §91 ABHILFE DIESES MANGELS IST DURCH MEINE BEGRIFFS SCHRIFTMOEGLICH . 123 ANDERE ZAHLEN § 92 SINN DER FRAGE NACH DER MOEGLICHKEIT DER ZAHLEN NACH HANKEL . 124 § 93 DIE ZAHLEN SIND WEDER RAEUMLICH AUSSER UNS NOCH SUBJEKTIV . 125 § 94 DIE WIDERSPRUCHSLOSIGKEIT EINES BEGRIFFES VER INHALT 13 BUERGT NICHT, DASS ETWAS UNTER IHN FALLE, UND BEDARF SELBST DES BEWEISES . 125 § 95 MAN DARF NICHT OHNE WEITERES (C-B) ALS EIN ZEI CHEN ANSEHN, DAS DIE SUBTRAKTIONSAUFGABE LOEST . . 126 § 96 AUCH DER MATHEMATIKER KANN NICHT WILLKUERLICH ETWAS SCHAFFEN . . 127" § 97 BEGRIFFE SIND VON GEGENSTAENDEN ZU UNTERSCHEI DEN . 128 §98 HANKELS ERKLAERUNG DER ADDITION . 129 §99 MANGELHAFTIGKEIT DER FORMALEN THEORIE . 129 § 100 VERSUCH, KOMPLEXE ZAHLEN DADURCH NACHZUWEI SEN, DASS DIE BEDEUTUNG DER MULTIPLIKATION IN BE SONDERER WEISE ERWEITERT WIRD . 130 § 101 DIE MOEGLICHKEIT EINES SOLCHEN NACHWEISES IST FUER DIE KRAFT EINES BEWEISES NICHT GLEICHGILTIG . . 131 §102 DIE BLOSSE FORDERUNG, ES SOLLE EINE OPERATION AUSFUEHRBAR SEIN, IST NICHT IHRE ERFUELLUNG . 131 §103 KOSSAKS ERKLAERUNG DER KOMPLEXEN ZAHLEN IST NUR EINE ANWEISUNG ZUR DEFINITION UND VERMEI DET NICHT DIE EINMISCHUNG VON FREMDARTIGEM. DIE GEOMETRISCHE DARSTELLUNG . YY 132 §104 ES KOMMT DARAUF AN, DEN SINN EINES WIEDER ERKENNUNGSURTEILS FUER DIE NEUEN ZAHLEN FESTZU SETZEN . 133 §105 DER REIZ DER ARITHMETIK LIEGT IN IHREM VER NUNFTCHARAKTER . 135 § 106-109 RUECKBLICK . 135
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