Mathematische Methoden für Ökonomen:
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2009
|
| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
|
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Funktionen 1
1.1 Grundbegriffe........................... 2
1.2 Umkehrfunktion, Verkettung .................. 11
1.3 Bivariate Funktionen....................... 15
1.4 Multivariate Funktionen..................... 18
1.5 Weitere Eigenschaften multivariater Funktionen........ 20
1.6 Ordnungen und Äquivalenzrelationen.............. 22
Aufgaben................................ 29
Matrizen und Vektoren 31
2.1 Matrizen.............................. 32
2.2 Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen ....... 35
2.3 Multiplikation von Matrizen................... 39
2.4
Inverse
Matrizen......................... 42
2.5 Lineare Abbildungen....................... 45
2.6 Geometrie des Rn......................... 47
2.7 Weitere Eigenschaften von Mengen
imi
........... 52
2.8 Orthogonale Matrizen und Abbildungen............ 55
Aufgaben................................ 59
Folgen und Reihen 61
3.1 Zahlenfolgen............................ 63
3.2 Mehrdimensionale Folgen.................... 71
3.3 Weitere Eigenschaften von Folgen................ 73
3.4 Reihen............................... 74
3.5 Geometrische Reihe ....................... 76
3.6 Anwendung: Finanzmathematik................. 77
3.7 Konvergenzkriterien für Reihen................. 82
3.8 Stetigkeit von Funktionen.................... 86
3.9 Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen........... 90
3.10 Fixpunkte einer Funktion.................... 93
3.11 Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher...... 96
Aufgaben................................ 100
Differenzierbare Funktionen einer Variablen 103
4.1 Ableitung, Differential, Elastizität ............... 104
4.2 Ableitungsregeln......................... 111
4.3 Erste und zweite Ableitung................... 114
4.4 Nullstellen und
Extrema
..................... 117
4.5 Wendepunkte........................... 121
4.6 Monotonie, Konkavität, Konvexität............... 124
4.7 Höhere Ableitungen und Taylor-Polynom ........... 126
4.8 Regel von L Hospital....................... 129
4.9 Mittelwertsatz .......................... 130
4.10 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung....... 132
Aufgaben................................ 141
Differenzierbare Funktionen mehrerer Variablen 145
5.1 Ableitung, Differential, Elastizitäten.............. 146
5.2 Ableitungsregeln......................... 152
5.3 Ableitung vektorwertiger Funktionen.............. 154
5.4 Kettenregel und totale Ableitung................ 158
5.5 Homogenität ........................... 160
5.6 Implizite Funktionen....................... 165
5.7 Richtungsableitung........................ 171
5.8 Lokale lineare Approximation.................. 173
Aufgaben................................ 177
Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen 179
6.1
Extrema
im Innern des Definitionsbereichs........... 180
6.2
Extrema
am Rand des Definitionsbereichs........... 184
6.3 Globale
Extrema
......................... 186
6.4
Extrema
unter Nebenbedingungen............... 190
6.5 Enveloppentheorem........................ 199
6.6 Hinreichende Charakterisierung von
Extrema
unter
Nebenbedingungen........................ 202
6.7 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen............... 203
6.8 Taylor-Polynom.......................... 213
Aufgaben................................ 215
Integralrechnung 217
7.1 Stammfunktionen......................... 218
7.2 Unbestimmte Integrale...................... 223
7.3 Bestimmte Integrale....................... 225
7.4 Weitere Rechenregeln für bestimmte Integrale......... 227
7.5 Berechnung von Flächen..................... 228
7.6 Partielle Integration....................... 233
7.7 Integration durch Substitution ................. 235
7.8 Uneigentliche Integrale...................... 237
7.9 Integralrechnung in mehreren Variablen............ 242
7.10 Ableitung unter dem Integral.................. 249
Aufgaben................................ 250
8 Lineare Gleichungen 253
8.1 Lösung einer linearen Gleichung................. 253
8.2 Elementare Zeilenumformungen................. 254
8.3 Das Gauß-Jordan-Verfahren................... 255
8.4 Inversion einer Matrix...................... 263
Aufgaben................................ 266
9 Grundbegriffe der linearen Algebra 267
9.1 Linearkombinationen und Erzeugnis.............. 267
9.2 Lineare Unterräume....................... 270
9.3 Lineare Unabhängigkeit..................... 271
9.4 Basis und Dimension....................... 273
9.5 Rang einer Matrix........................ 276
9.6 Mehr über lineare Gleichungen................. 279
9.7 Vektorräume ........................... 283
Aufgaben................................ 286
10 Determinanten und Eigenwerte von Matrizen 289
10.1 Determinanten.......................... 289
10.2 Eigenwerte ............................ 296
10.3 Eigenwerte von symmetrischen Matrizen............ 303
Aufgaben................................ 307
11 Lineare Optimierung 309
11.1 Grafische Lösung......................... 312
11.2 Das Simplexverfahren...................... 313
11.3 Die Mathematik des Simplexverfahrens............. 317
11.4 Das Simplexverfahren in Tableauform............. 322
11.5 Die Zweiphasenmethode zur Gewinnung einer Anfangslösung 329
11.6 Dualität.............................. 335
Aufgaben................................ 345
12 Differential- und Differenzengleichungen 349
12.1 Differentialgleichungen...................... 350
12.2 Differenzengleichungen...................... 363
Aufgaben................................ 388
Aufgaben................................ 100
4 Differenzierbare Funktionen einer Variablen 103
4.1 Ableitung, Differential, Elastizität ............... 104
4.2 Ableitungsregeln......................... 111
4.3 Erste und zweite Ableitung................... 114
4.4 Nullstellen und
Extrema
..................... 117
4.5 Wendepunkte........................... 121
4.6 Monotonie, Konkavität, Konvexität............... 124
4.7 Höhere Ableitungen und Taylor-Polynom ........... 126
4.8 Regel von L Hospital....................... 129
4.9 Mittelwertsatz .......................... 130
4.10 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung....... 132
Aufgaben................................ 141
5 Differenzierbare Funktionen mehrerer Variablen 145
5.1 Ableitung, Differential, Elastizitäten.............. 146
5.2 Ableitungsregeln......................... 152
5.3 Ableitung vektorwertiger Funktionen.............. 154
5.4 Kettenregel und totale Ableitung................ 158
5.5 Homogenität ........................... 160
5.6 Implizite Funktionen....................... 165
5.7 Richtungsableitung........................ 171
5.8 Lokale lineare Approximation.................. 173
Aufgaben................................ 177
6 Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen 179
6.1
Extrema
im Innern des Definitionsbereichs........... 180
6.2
Extrema
am Rand des Definitionsbereichs........... 184
6.3 Globale
Extrema
......................... 186
6.4
Extrema
unter Nebenbedingungen............... 190
6.5 Enveloppentheorem........................ 199
6.6 Hinreichende Charakterisierung von
Extrema
unter
Nebenbedingungen........................ 202
6.7 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen............... 203
6.8 Taylor-Polynom.......................... 213
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7 Integralrechnung 217
7.1 Stammfunktionen......................... 218
7.2 Unbestimmte Integrale...................... 223
7.3 Bestimmte Integrale....................... 225
7.4 Weitere Rechenregeln für bestimmte Integrale......... 227
7.5 Berechnung von Flächen..................... 228
7.6 Partielle Integration....................... 233
7.7 Integration durch Substitution ................. 235
7.8 Uneigentliche Integrale...................... 237
7.9 Integralrechnung in mehreren Variablen............ 242
7.10 Ableitung unter dem Integral.................. 249
Aufgaben................................ 250
8 Lineare Gleichungen 253
8.1 Lösung einer linearen Gleichung................. 253
8.2 Elementare Zeilenumformungen................. 254
8.3 Das Gauß-Jordan-Verfahren................... 255
8.4 Inversion einer Matrix...................... 263
Aufgaben................................ 266
9 Grundbegriffe der linearen Algebra 267
9.1 Linearkombinationen und Erzeugnis.............. 267
9.2 Lineare Unterräume....................... 270
9.3 Lineare Unabhängigkeit..................... 271
9.4 Basis und Dimension....................... 273
9.5 Rang einer Matrix........................ 276
9.6 Mehr über lineare Gleichungen................. 279
9.7 Vektorräume........................... 283
Aufgaben................................ 286
10 Determinanten und Eigenwerte von Matrizen 289
10.1 Determinanten.......................... 289
10.2 Eigenwerte ............................ 296
10.3 Eigenwerte von symmetrischen Matrizen............ 303
Aufgaben................................ 307
11 Lineare Optimierung 309
11.1 Grafische Lösung......................... 312
11.2 Das Simplexverfahren...................... 313
11.3 Die Mathematik des Simplexverfahrens............. 317
11.4 Das Simplexverfahren in Tableauform............. 322
11.5 Die Zweiphasenmethode zur Gewinnung einer Anfangslösung 329
11.6 Dualität.............................. 335
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12 Differential- und Differenzengleichungen 349
12.1 Differentialgleichungen...................... 350
12.2 Differenzengleiehungen...................... 363
Aufgaben................................ 388
A
Das griechische Alphabet 389
В
Mengen 391
С
Summen und Produkte 397
D
Komplexe Zahlen 403
E
Kurzlösungen 411
Ausgewählte Lehrbücher 427
Index 429
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Funktionen 1
1.1 Grundbegriffe. 2
1.2 Umkehrfunktion, Verkettung . 11
1.3 Bivariate Funktionen. 15
1.4 Multivariate Funktionen. 18
1.5 Weitere Eigenschaften multivariater Funktionen. 20
1.6 Ordnungen und Äquivalenzrelationen. 22
Aufgaben. 29
Matrizen und Vektoren 31
2.1 Matrizen. 32
2.2 Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen . 35
2.3 Multiplikation von Matrizen. 39
2.4
Inverse
Matrizen. 42
2.5 Lineare Abbildungen. 45
2.6 Geometrie des Rn. 47
2.7 Weitere Eigenschaften von Mengen
imi"
. 52
2.8 Orthogonale Matrizen und Abbildungen. 55
Aufgaben. 59
Folgen und Reihen 61
3.1 Zahlenfolgen. 63
3.2 Mehrdimensionale Folgen. 71
3.3 Weitere Eigenschaften von Folgen. 73
3.4 Reihen. 74
3.5 Geometrische Reihe . 76
3.6 Anwendung: Finanzmathematik. 77
3.7 Konvergenzkriterien für Reihen. 82
3.8 Stetigkeit von Funktionen. 86
3.9 Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen. 90
3.10 Fixpunkte einer Funktion. 93
3.11 Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher. 96
Aufgaben. 100
Differenzierbare Funktionen einer Variablen 103
4.1 Ableitung, Differential, Elastizität . 104
4.2 Ableitungsregeln. 111
4.3 Erste und zweite Ableitung. 114
4.4 Nullstellen und
Extrema
. 117
4.5 Wendepunkte. 121
4.6 Monotonie, Konkavität, Konvexität. 124
4.7 Höhere Ableitungen und Taylor-Polynom . 126
4.8 Regel von L'Hospital. 129
4.9 Mittelwertsatz . 130
4.10 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung. 132
Aufgaben. 141
Differenzierbare Funktionen mehrerer Variablen 145
5.1 Ableitung, Differential, Elastizitäten. 146
5.2 Ableitungsregeln. 152
5.3 Ableitung vektorwertiger Funktionen. 154
5.4 Kettenregel und totale Ableitung. 158
5.5 Homogenität . 160
5.6 Implizite Funktionen. 165
5.7 Richtungsableitung. 171
5.8 Lokale lineare Approximation. 173
Aufgaben. 177
Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen 179
6.1
Extrema
im Innern des Definitionsbereichs. 180
6.2
Extrema
am Rand des Definitionsbereichs. 184
6.3 Globale
Extrema
. 186
6.4
Extrema
unter Nebenbedingungen. 190
6.5 Enveloppentheorem. 199
6.6 Hinreichende Charakterisierung von
Extrema
unter
Nebenbedingungen. 202
6.7 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen. 203
6.8 Taylor-Polynom. 213
Aufgaben. 215
Integralrechnung 217
7.1 Stammfunktionen. 218
7.2 Unbestimmte Integrale. 223
7.3 Bestimmte Integrale. 225
7.4 Weitere Rechenregeln für bestimmte Integrale. 227
7.5 Berechnung von Flächen. 228
7.6 Partielle Integration. 233
7.7 Integration durch Substitution . 235
7.8 Uneigentliche Integrale. 237
7.9 Integralrechnung in mehreren Variablen. 242
7.10 Ableitung unter dem Integral. 249
Aufgaben. 250
8 Lineare Gleichungen 253
8.1 Lösung einer linearen Gleichung. 253
8.2 Elementare Zeilenumformungen. 254
8.3 Das Gauß-Jordan-Verfahren. 255
8.4 Inversion einer Matrix. 263
Aufgaben. 266
9 Grundbegriffe der linearen Algebra 267
9.1 Linearkombinationen und Erzeugnis. 267
9.2 Lineare Unterräume. 270
9.3 Lineare Unabhängigkeit. 271
9.4 Basis und Dimension. 273
9.5 Rang einer Matrix. 276
9.6 Mehr über lineare Gleichungen. 279
9.7 Vektorräume . 283
Aufgaben. 286
10 Determinanten und Eigenwerte von Matrizen 289
10.1 Determinanten. 289
10.2 Eigenwerte . 296
10.3 Eigenwerte von symmetrischen Matrizen. 303
Aufgaben. 307
11 Lineare Optimierung 309
11.1 Grafische Lösung. 312
11.2 Das Simplexverfahren. 313
11.3 Die Mathematik des Simplexverfahrens. 317
11.4 Das Simplexverfahren in Tableauform. 322
11.5 Die Zweiphasenmethode zur Gewinnung einer Anfangslösung 329
11.6 Dualität. 335
Aufgaben. 345
12 Differential- und Differenzengleichungen 349
12.1 Differentialgleichungen. 350
12.2 Differenzengleichungen. 363
Aufgaben. 388
Aufgaben. 100
4 Differenzierbare Funktionen einer Variablen 103
4.1 Ableitung, Differential, Elastizität . 104
4.2 Ableitungsregeln. 111
4.3 Erste und zweite Ableitung. 114
4.4 Nullstellen und
Extrema
. 117
4.5 Wendepunkte. 121
4.6 Monotonie, Konkavität, Konvexität. 124
4.7 Höhere Ableitungen und Taylor-Polynom . 126
4.8 Regel von L'Hospital. 129
4.9 Mittelwertsatz . 130
4.10 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung. 132
Aufgaben. 141
5 Differenzierbare Funktionen mehrerer Variablen 145
5.1 Ableitung, Differential, Elastizitäten. 146
5.2 Ableitungsregeln. 152
5.3 Ableitung vektorwertiger Funktionen. 154
5.4 Kettenregel und totale Ableitung. 158
5.5 Homogenität . 160
5.6 Implizite Funktionen. 165
5.7 Richtungsableitung. 171
5.8 Lokale lineare Approximation. 173
Aufgaben. 177
6 Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen 179
6.1
Extrema
im Innern des Definitionsbereichs. 180
6.2
Extrema
am Rand des Definitionsbereichs. 184
6.3 Globale
Extrema
. 186
6.4
Extrema
unter Nebenbedingungen. 190
6.5 Enveloppentheorem. 199
6.6 Hinreichende Charakterisierung von
Extrema
unter
Nebenbedingungen. 202
6.7 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen. 203
6.8 Taylor-Polynom. 213
Aufgaben. 215
7 Integralrechnung 217
7.1 Stammfunktionen. 218
7.2 Unbestimmte Integrale. 223
7.3 Bestimmte Integrale. 225
7.4 Weitere Rechenregeln für bestimmte Integrale. 227
7.5 Berechnung von Flächen. 228
7.6 Partielle Integration. 233
7.7 Integration durch Substitution . 235
7.8 Uneigentliche Integrale. 237
7.9 Integralrechnung in mehreren Variablen. 242
7.10 Ableitung unter dem Integral. 249
Aufgaben. 250
8 Lineare Gleichungen 253
8.1 Lösung einer linearen Gleichung. 253
8.2 Elementare Zeilenumformungen. 254
8.3 Das Gauß-Jordan-Verfahren. 255
8.4 Inversion einer Matrix. 263
Aufgaben. 266
9 Grundbegriffe der linearen Algebra 267
9.1 Linearkombinationen und Erzeugnis. 267
9.2 Lineare Unterräume. 270
9.3 Lineare Unabhängigkeit. 271
9.4 Basis und Dimension. 273
9.5 Rang einer Matrix. 276
9.6 Mehr über lineare Gleichungen. 279
9.7 Vektorräume. 283
Aufgaben. 286
10 Determinanten und Eigenwerte von Matrizen 289
10.1 Determinanten. 289
10.2 Eigenwerte . 296
10.3 Eigenwerte von symmetrischen Matrizen. 303
Aufgaben. 307
11 Lineare Optimierung 309
11.1 Grafische Lösung. 312
11.2 Das Simplexverfahren. 313
11.3 Die Mathematik des Simplexverfahrens. 317
11.4 Das Simplexverfahren in Tableauform. 322
11.5 Die Zweiphasenmethode zur Gewinnung einer Anfangslösung 329
11.6 Dualität. 335
Aufgaben. 345
12 Differential- und Differenzengleichungen 349
12.1 Differentialgleichungen. 350
12.2 Differenzengleiehungen. 363
Aufgaben. 388
A
Das griechische Alphabet 389
В
Mengen 391
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Summen und Produkte 397
D
Komplexe Zahlen 403
E
Kurzlösungen 411
Ausgewählte Lehrbücher 427
Index 429 |
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