Classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf:
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| adam_text | Table des matières
1
Définitions
11
1.1
Algebres,
cogćbres
et
algebres
de
Hopf............... 11
1.1.1
Algebres
et cogèbres
..................... 11
1.1.2
Dualité entre
algebres
et cogèbres
.............. 12
1.1.3
Bigèbres
............................ 13
1.1.4
Algebres
«le
Hopf....................... 14
1.1.5
Moduleset comodules
.................... 15
1.1.6
Invariants et coïnvariants
.................. 17
1.1.7
Produits tensoriel et cotensoriel
............... 18
1.1.8
Algebres
modules et
algebres
comodules
.......... 18
1.2
Produits croisés et extensions clivées
................ 20
1.2.1
Cocycles
............................ 20
1.2.2
Produits croisés
........................ 20
1.2.3
Extensions clivées
...................... 21
1.2.4
Algebres /r-comodule
tordues
................ 23
1.3
Extensions de Hopf-Galois
...................... 24
1.3.1
Définition
........................... 24
1.3.2
Fonctorialité de Gai
..................... 25
1.3.3
Torsion
............................ 26
1.3.4
Homotopie pour les extensions de Hopf-Galois
....... 26
1.4
Objets bigaloisiens
.......................... 27
1.4.1
Structures monoïdales
.................... 27
1.4.2
Objets bigaloisiens
...................... 28
1.4.3
Existence et unicité de la structure d objet bigaloisien
. . 28
1.4.4
Reconstruction tannakienne
................. 30
1.4.5
Cohomologie paresseuse et cocycles
............. 34
2
Objets Galoisiens de Uq(g) à homotopie près
37
2.1
Rappels
................................ 38
2.1.1
Extensions galoisiennes et objets galoisiens
........ 38
2.1.2
Cocycles et extensions clivées
................ 39
2.1.3
Les
algebres
enveloppantes quantiques de Drinfeld-Jimbo
. 41
2.2
Le résultat
............................... 42
2.3
Démonstration du théorème
..................... 43
2.3.1
Cocycles sur Gr Uq(g) provenant d une famille
λ
..... 43
2.3.2
L algèbre comodule
Αχ
comme
ř/q(g)-extension
clivée
... 44
TABLE DES MATIÈRES
2.3.3
Démonstration du théorème
................. 52
Objets Galoisiens de Oq(SL(2))
53
3.1
Hopf-Galois extensions and bi-Galois
objects
............ 54
3.2
The
Hopf
algebra
Biß)
and the comodule algebra B(E, F)
. . . . 56
3.3
Classification up to isomorphism
.................. 58
3.4
Galois objects up to homotopy
................... 63
Objets
galoisiens
de
dim
< 15 69
4.1
Objets
galoisiens
d une algèbre
de Hopf de
dimension
ρ......
69
4.2
Objets galoisiens d une algèbre de
Hopf de
dimension
4...... 70
4.2.1
Algebres
de groupe
...................... 70
4.2.2
Algèbre de Sweedler
..................... 71
4.3
Dimension
6.............................. 72
4.3.1
Algebres
de groupes
..................... 72
4.3.2
Algèbre k°3 des fonctions sur le groupe diédral
...... 73
4.4
Dimension
8.............................. 73
4.4.1
Algebres
de
Hopf semisimples................ 73
4.4.2
Algebres
de
Hopf
pointées non
semisimples ........ 76
4.4.3
Algèbre de
Hopf {A ^)*
ni
semisimple
ni pointée
..... 81
4.5
Dimension
9.............................. 81
4.5.1
Algebres
de groupes
..................... 81
4.5.2
Algèbre de
Taft T9...................... 82
4.6
Dimension
10............................. 83
4.6.1
Algebres
de groupes
..................... 83
4.6.2
Algebres
des fonctions sur le groupe
dihedral D5
..... 84
4.7
Dimension
12............................. 84
4.7.1
Algebres
de
Hopf
semisimples
................ 84
4.7.2
Algebres
de
Hopf
pointées non semisimples
........ 88
4.7.3
Algèbre de
Hopf
duale
d une algèbre pointée
........ 91
4.8
Dimension
14............................. 91
4.8.1
Algebres
de groupe
...................... 91
4.8.2
Algèbre de fonctions sur le groupe non abélien Dj
.... 92
4.9
Dimension
15............................. 92
4.9.1
Algèbre du groupe cyclique C 15
............... 92
Objets galoisiens de Hn
93
5.1
Objets galoisiens de la famille Hn
.................. 93
5.1.1
Présentation de Hn
...................... 93
5.1.2
Objet galoisien de Hn
.................... 96
5.2
Objets galoisiens de
#2 ....................... 100
5.2.1
Présentation de H2 et quotient de O^(SL(2))
...... 100
5.2.2
Objets galoisiens de H2
................... 102
|
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Table des matières
1
Définitions
11
1.1
Algebres,
cogćbres
et
algebres
de
Hopf. 11
1.1.1
Algebres
et cogèbres
. 11
1.1.2
Dualité entre
algebres
et cogèbres
. 12
1.1.3
Bigèbres
. 13
1.1.4
Algebres
«le
Hopf. 14
1.1.5
Moduleset comodules
. 15
1.1.6
Invariants et coïnvariants
. 17
1.1.7
Produits tensoriel et cotensoriel
. 18
1.1.8
Algebres
modules et
algebres
comodules
. 18
1.2
Produits croisés et extensions clivées
. 20
1.2.1
Cocycles
. 20
1.2.2
Produits croisés
. 20
1.2.3
Extensions clivées
. 21
1.2.4
Algebres /r-comodule
tordues
. 23
1.3
Extensions de Hopf-Galois
. 24
1.3.1
Définition
. 24
1.3.2
Fonctorialité de Gai
. 25
1.3.3
Torsion
. 26
1.3.4
Homotopie pour les extensions de Hopf-Galois
. 26
1.4
Objets bigaloisiens
. 27
1.4.1
Structures monoïdales
. 27
1.4.2
Objets bigaloisiens
. 28
1.4.3
Existence et unicité de la structure d'objet bigaloisien
. . 28
1.4.4
Reconstruction tannakienne
. 30
1.4.5
Cohomologie paresseuse et cocycles
. 34
2
Objets Galoisiens de Uq(g) à homotopie près
37
2.1
Rappels
. 38
2.1.1
Extensions galoisiennes et objets galoisiens
. 38
2.1.2
Cocycles et extensions clivées
. 39
2.1.3
Les
algebres
enveloppantes quantiques de Drinfeld-Jimbo
. 41
2.2
Le résultat
. 42
2.3
Démonstration du théorème
. 43
2.3.1
Cocycles sur Gr Uq(g) provenant d'une famille
λ
. 43
2.3.2
L'algèbre comodule
Αχ
comme
ř/q(g)-extension
clivée
. 44
TABLE DES MATIÈRES
2.3.3
Démonstration du théorème
. 52
Objets Galoisiens de Oq(SL(2))
53
3.1
Hopf-Galois extensions and bi-Galois
objects
. 54
3.2
The
Hopf
algebra
Biß)
and the comodule algebra B(E, F)
. . . . 56
3.3
Classification up to isomorphism
. 58
3.4
Galois objects up to homotopy
. 63
Objets
galoisiens
de
dim
< 15 69
4.1
Objets
galoisiens
d'une algèbre
de Hopf de
dimension
ρ.
69
4.2
Objets galoisiens d'une algèbre de
Hopf de
dimension
4. 70
4.2.1
Algebres
de groupe
. 70
4.2.2
Algèbre de Sweedler
. 71
4.3
Dimension
6. 72
4.3.1
Algebres
de groupes
. 72
4.3.2
Algèbre k°3 des fonctions sur le groupe diédral
. 73
4.4
Dimension
8. 73
4.4.1
Algebres
de
Hopf semisimples. 73
4.4.2
Algebres
de
Hopf
pointées non
semisimples . 76
4.4.3
Algèbre de
Hopf {A'^)*
ni
semisimple
ni pointée
. 81
4.5
Dimension
9. 81
4.5.1
Algebres
de groupes
. 81
4.5.2
Algèbre de
Taft T9. 82
4.6
Dimension
10. 83
4.6.1
Algebres
de groupes
. 83
4.6.2
Algebres
des fonctions sur le groupe
dihedral D5
. 84
4.7
Dimension
12. 84
4.7.1
Algebres
de
Hopf
semisimples
. 84
4.7.2
Algebres
de
Hopf
pointées non semisimples
. 88
4.7.3
Algèbre de
Hopf
duale
d'une algèbre pointée
. 91
4.8
Dimension
14. 91
4.8.1
Algebres
de groupe
. 91
4.8.2
Algèbre de fonctions sur le groupe non abélien Dj
. 92
4.9
Dimension
15. 92
4.9.1
Algèbre du groupe cyclique C'15
. 92
Objets galoisiens de Hn
93
5.1
Objets galoisiens de la famille Hn
. 93
5.1.1
Présentation de Hn
. 93
5.1.2
Objet galoisien de Hn
. 96
5.2
Objets galoisiens de
#2 . 100
5.2.1
Présentation de H2 et quotient de O^(SL(2))
. 100
5.2.2
Objets galoisiens de H2
. 102 |
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