Einführung in die Funktionentheorie:
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| Veröffentlicht: |
Basel [u.a.]
Birkhäuser
2008
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Preface vii
Zur Entstehung dieses Buches xi
Einleitung: Vom Begriff der Funktion 1
1 Stereographische Projektion und die linearen Substitutionen 3
1.1 Einführung der komplexen Zahlen .................. 3
1.1.1 Geometrische Interpretation der komplexen Zahlen und der
Grundrechnungsarten nach Gauß............... 4
1.1.2 Die Methode der stereographischen Projektion....... 7
1.2 Die Transformation durch reziproke Radien............. 11
1.3 Gruppencharakter der linearen Substitution............. 15
1.4 Die linearen gebrochenen Substitutionen und die Kreisverwandtschaft 18
1.5 Winkeltreue der stereographischen Projektion............ 26
1.6 Kinematische Deutung der linearen ganzen Substitution...... 30
1.6.1 Die elliptische Substitution.................. 31
1.6.2 Die hyperbolische Substitution................ 32
1.6.3 Die allgemeine ganze lineare Substitution.......... 32
1.6.4 Der parabolische Fall...................... 35
1.7 Die kinematische Deutung der linearen gebrochenen Substitution . 35
1.8 Grundlagen der Lie-Theorie...................... 41
1.9 Invarianz des Doppelverhältnisses................... 45
1.10 Ein Übungsblatt zur Vorlesung.................... 48
2 Begriff der analytischen Funktion 53
2.1 Bedingungen der Konformität einer Abbildung........... 53
2.2 Begriffe der analytischen Funktion.................. 59
2.2.1 Einfache Beispiele: Polynome und rationale Funktionen . . 60
2.2.2 Der allgemeine Begriff..................... 62
2.3 Rationale Funktionen als konforme Abbildungen.......... 69
vi
Inhaltsverzeichnis
2.4 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen und Strömungstheorie 84
2.4.1 Inkompressibilität der Strömung............... 85
2.4.2 Wirbelfreiheit der Strömung.................. 89
2.4.3 Strömungskurven........................ 94
2.5 Formale Erzeugungsprinzipien analytischer Funktionen....... 106
2.6 Exponentialfunktion und Logarithmus................ 109
2.7 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrungen..... 122
2.8 Die allgemeine Potenz za ....................... 129
2.9 Historische Bemerkungen....................... 135
3 Der Cauchysche Integralsatz 139
3.1 Vom Begriff der Kurve oder des Weges................ 139
3.2 Begriff des Kurvenintegrals...................... 145
3.3 Erster Beweis des Cauchyschen Integralsatzes............ 151
3.4 Anwendung des Cauchyschen Integralsatzes............. 168
3.5 Zweiter Beweis des Cauchyschen Integralsatzes........... 172
4 Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen 179
4.1 Die Cauchysche Integralformel .................... 179
4.2 Die Potenzentwicklung einer regulär analytischen Funktion .... 180
4.3 Die Potenzreihen im komplexen Gebiet................ 187
4.3.1 Formale Erzeugungsprinzipien analytischer Funktionen . . . 195
4.4 Weitere unmittelbare Anwendungen der Cauchyschen Integrations¬
formel .................................. 201
4.5 Isolierte Singularitäten analytischer Funktionen........... 203
4.5.1 Hebbare Singularitäten .................... 204
4.5.2 Polstellen............................ 205
4.5.3 Wesentliche Singularitäten................... 207
4.5.4 Laurentreihen.......................... 208
4.6 Die Funktionen, die die einfachsten Singularitäten besitzen .... 212
4.7 Anwendungen des Cauchyschen Residuensatzes........... 216
5 Mehrdeutige analytische Funktionen 231
5.1 Die Riemannsche Fläche........................ 231
5.2 Funktionentheorie auf der Riemannschen Fläche .......... 240
5.3 Der Weierstraßsche Begriff der analytischen Fortsetzung...... 251
Literatur 264
|
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Inhaltsverzeichnis
Preface vii
Zur Entstehung dieses Buches xi
Einleitung: Vom Begriff der Funktion 1
1 Stereographische Projektion und die linearen Substitutionen 3
1.1 Einführung der komplexen Zahlen . 3
1.1.1 Geometrische Interpretation der komplexen Zahlen und der
Grundrechnungsarten nach Gauß. 4
1.1.2 Die Methode der stereographischen Projektion. 7
1.2 Die Transformation durch reziproke Radien. 11
1.3 Gruppencharakter der linearen Substitution. 15
1.4 Die linearen gebrochenen Substitutionen und die Kreisverwandtschaft 18
1.5 Winkeltreue der stereographischen Projektion. 26
1.6 Kinematische Deutung der linearen ganzen Substitution. 30
1.6.1 Die elliptische Substitution. 31
1.6.2 Die hyperbolische Substitution. 32
1.6.3 Die allgemeine ganze lineare Substitution. 32
1.6.4 Der parabolische Fall. 35
1.7 Die kinematische Deutung der linearen gebrochenen Substitution . 35
1.8 Grundlagen der Lie-Theorie. 41
1.9 Invarianz des Doppelverhältnisses. 45
1.10 Ein Übungsblatt zur Vorlesung. 48
2 Begriff der analytischen Funktion 53
2.1 Bedingungen der Konformität einer Abbildung. 53
2.2 Begriffe der analytischen Funktion. 59
2.2.1 Einfache Beispiele: Polynome und rationale Funktionen . . 60
2.2.2 Der allgemeine Begriff. 62
2.3 Rationale Funktionen als konforme Abbildungen. 69
vi
Inhaltsverzeichnis
2.4 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen und Strömungstheorie 84
2.4.1 Inkompressibilität der Strömung. 85
2.4.2 Wirbelfreiheit der Strömung. 89
2.4.3 Strömungskurven. 94
2.5 Formale Erzeugungsprinzipien analytischer Funktionen. 106
2.6 Exponentialfunktion und Logarithmus. 109
2.7 Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrungen. 122
2.8 Die allgemeine Potenz za . 129
2.9 Historische Bemerkungen. 135
3 Der Cauchysche Integralsatz 139
3.1 Vom Begriff der Kurve oder des Weges. 139
3.2 Begriff des Kurvenintegrals. 145
3.3 Erster Beweis des Cauchyschen Integralsatzes. 151
3.4 Anwendung des Cauchyschen Integralsatzes. 168
3.5 Zweiter Beweis des Cauchyschen Integralsatzes. 172
4 Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen 179
4.1 Die Cauchysche Integralformel . 179
4.2 Die Potenzentwicklung einer regulär analytischen Funktion . 180
4.3 Die Potenzreihen im komplexen Gebiet. 187
4.3.1 Formale Erzeugungsprinzipien analytischer Funktionen . . . 195
4.4 Weitere unmittelbare Anwendungen der Cauchyschen Integrations¬
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4.5 Isolierte Singularitäten analytischer Funktionen. 203
4.5.1 Hebbare Singularitäten . 204
4.5.2 Polstellen. 205
4.5.3 Wesentliche Singularitäten. 207
4.5.4 Laurentreihen. 208
4.6 Die Funktionen, die die einfachsten Singularitäten besitzen . 212
4.7 Anwendungen des Cauchyschen Residuensatzes. 216
5 Mehrdeutige analytische Funktionen 231
5.1 Die Riemannsche Fläche. 231
5.2 Funktionentheorie auf der Riemannschen Fläche . 240
5.3 Der Weierstraßsche Begriff der analytischen Fortsetzung. 251
Literatur 264 |
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