L' isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld:
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | French |
| Veröffentlicht: |
Basel [u.a.]
Birkhäuser
2008
|
| Schriftenreihe: | Progress in mathematics
262 |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | L' isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XXII, 406 S. graph. Darst. |
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|---|---|
| adam_text | Table des matières
Préambule
.................................... xv
Bibliographie
................................. xxi
I
L isomorphisme entre les tours de
Lubin-
Tate
et de Drinfeld
et applications cohomologiques
par Laurent Fargues
Introduction
................................... 3
I
Décomposition cellulaire de la tour de
Lubin-
Tate
1.1
Hypothèses et notations
........................ 10
1.1.1
Espaces
............................ 11
1.1.2
Action
............................. 12
1.1.3
Scindage de l espace de Rapoport-Zink
........... 12
1.1.4
Donnée de descente de Rapoport-Zink
........... 12
1.1.5
Polygone de Newton des points de torsion
......... 13
1.2
Application des périodes
....................... 15
1.2.1
Définition
........................... 15
1.2.2
Interprétation en termes du cristal 0-extension
vectorielle universelle
..................... 17
1.2.3
La donnée de descente sur l espace des périodes
...... 18
1.2.4
Formules explicites pour l application des périodes
et applications
........................ 18
1.3
Domaine fondamental de
Laf
aille/
Gross-Hopkins.......... 21
1.3.1
Lien entre le domaine fondamental et les points CM
... 26
1.4
Généralisation d un théorème de
Gross-Hopkins.......... 26
1.5
L espace des paramètres de la décomposition cellulaire
...... 30
1.6
Les cellules rigides en niveau fini
................... 31
1.6.1
Digression philosophique
................... 31
1.6.2
Structures de niveau
..................... 31
vi
Table des matières
1.6.3
Fonctorialité de
Hecke des
Μα,κ
............. 32
1.6.4
Les cellules
.......................... 34
1.6.5
Bord des cellules
....................... 35
1.6.6
Donnée de recollement
.................... 36
1.6.7
Réécriture en termes des arrêtes orientées de l immeuble
. 37
1.7
Décomposition cellulaire des espaces rigides en niveau fini
..... 37
1.8
Modèles entiers des cellules
...................... 39
1.8.1
Niveau fini
.......................... 39
1.8.2
Niveau infini
......................... 44
1.8.3
Donnée de descente
..................... 45
1.9
Le schéma formel recollé en niveau fini
............... 45
1.10
Le schéma formel en niveau infini
.................. 46
1.11
Décomposition cellulaire écrasée en niveau fini
........... 47
1.12
Une autre décomposition cellulaire
.................. 48
A Normalisé d un schéma formel dans une extension de sa fibre générique
A.l Généralités sur les espaces rigides
.................. 49
A.
2
Schémas formels normaux
...................... 51
A.3 Normalisé dans une extension de la fibre générique
......... 52
В
Modules de Dieudonné et cristaux des O-modules
тг
-divisibles
B.l Un lemme sur les F-cristaux O-équivariants............
54
B.2 Structure du cristal de
Messing
d un O-module
π
-divisible
.... 56
B.3
О
-extension
vectorielle universelle d un O-module
тг
-divisible
... 56
B.4 Cristal de
Messing
généralisé et théorie de la déformation
..... 59
B.5 Exponentielle
тг
-adique
........................
60
B.5.1 O-puissances divisées
([17]
section
10, [11]
section
7) . . 60
B.5.2 Logarithme
.......................... 61
B.5.3 Exponentielle
......................... 63
B.6 Extension du cristal de
Messing
généralisé aux
О
-puissances
divisées
......................... 66
B.7 Théorie de la déformation des O-modules
π
-divisibles
.......
69
B.8 Théorie de Dieudonné classique des
О
-modules
TT-divisibles
........................ 69
Bibliographie
................................... 71
Table des matières
vii
II
L isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld
au niveau des points
ILI
Suite de Hodge-Tate des groupes p-divisibles dans le cas infiniment
ramifié
................................. 77
II.
1.1
Décomposition de Hodge-Tate d un O-module
π
-divisible
...........................
80
11.2 Propriétés particulières de l application de Hodge-Tate pour les
groupes
p-ái
visibles formels de dimension
1............. 81
11.2.1 Les périodes de Hodge-Tate vivent dans l espace
de Drinfeld
.......................... 81
11.2.2 Raffinement, d après Faltings
................ 82
11.
2.3
Formule exacte
........................ 84
11.3 Notations concernant les espaces de Lubin-Tate et de Drinfeld
. . 85
11.3.1 Modules de Dieudonné
.................... 86
11.3.2 Notations concernant les espaces de Lubin-Tate
...... 86
11.3.3 Notations concernant les espaces de Drinfeld
....... 87
11.3.4 Quelques rappels sur Drinfeld classique
.......... 88
11.4 Description de M.^ (K)
/
^ en termes de modules filtrés
..... 90
11.5 Description de M.Vr(K)/~ en termes de module filtré
....... 91
11.6 Prolongement des isogénies
...................... 92
11.6.1 Prolongement
......................... 92
11.6.2 Définition de l action de GLn{F) sur
М£?(К)
...... 92
11.7 Diverses descriptions des points de la tour de Lubin-Tate
en niveau infini
............................ 93
11.7.1
Description de M^{K) en termes de modules
filtrés rigidifiés
........................ 93
11.7.2 Description de
M%f{K)
uniquement en termes
du module de
Tate
...................... 94
11.7.3 Description de
Л4^(К)
en termes d algèbre linéaire
... 95
11.8 Diverses descriptions des points de la tour de Drinfeld
en niveau infini
............................ 96
11.8.1 Description de M^T(K) en termes de modules
filtrés rigidifiés
........................ 96
11.8.2 Description de M^{K) uniquement en termes
du module de
Tate
...................... 97
11.8.3 Description de M^{K) en termes d algèbre linéaire
... 98
11.
9
La bijection au niveau des points
.................. 98
11.9.1 L application M^{K)
—►
M%?{K)
........... 100
11.9.2
L application M%f(K)
—->
Mgr(K)
........... 101
11.9.3 Les deux applications sont inverses l une de l autre
.... 103
11.9.4 Retraçage des actions
.................... 103
viii Table
des matières
II.
9.5
Bijection
entre les points des espaces
de Berkovich associés
.................... 103
11.10
Traduction en termes de matrices de périodes
........... 104
11.11
Ľisomorphisme
conserve le degré
.................. 107
11.12
Un point de vue différent sur la bijection
.............. 109
11.12.1 Identification de Kn
-»
Kn/FilH avec l application
de Hodge-Tate de GD
.................... 110
11.12.2
Identification de Kn
-»
Кп/¥і а
avec l application
de Hodge-Tate de HD
.................... 111
11.12.3 L application M^{K)
—>
M%f(K)
........... 112
11.12.4 L application M%?(K)
—>
M^{K)
........... 115
11.12.5
Les deux applications sont inverses l une de l autre
.... 116
С
Périodes entières des groupes p-divisibles
Cl Groupes p-divisibles sur les anneaux d entiers de corps
non-archimédiens
........................... 118
C.2 Théorèmes de comparaison
...................... 119
C.2.1 Le déterminant des périodes divisé par
2ίπ
est
une unité p-adique
...................... 121
Bibliographie
................................... 130
III
L isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld
:
démonstration du résultat principal
111.1 La bestiole du côté Drinfeld ^
..................... 139
111.
2
Construction du morphisme X^,
—>
Ω...............
142
ΙΠ.2.1
Définition de l application de Hodge-Tate
sur une cellule de Sioo
.................... 142
111.
2.2
Rappels de quelques résultats de
[9]
sur l application
de Hodge-Tate dans le cas d un point
........... 144
111.
2.3
Quelques rappels sur le schéma formel
de Deligne-Drinfeld
...................... 145
111.
2.4
Sur le conoyau de l application de Hodge-Tate
...... 150
111.
2.5
Éclatement de la cellule et construction du morphisme
de la cellule éclatée vers
Ω
.................. 151
111.
2.6
Recollement des morphismes sur les cellules
........ 153
111.
3
Construction du morphisme X^
—>
Уса
.............. 157
111.
3.1
Etude des normalisés de
Ω
dans la tour de Drinfeld
.... 157
111.
3.2
Définition modulaire de
У^
................. 160
111.
3.3
Sur la suite de Hodge-Tate en niveau infini
........ 161
111.
3.4
Construction d éléments dans le module de Tate^
du 0£>-module formel spécial tiré en arrière sur
Хж
. . . 163
111.
3.5
Construction du morphisme
................. 166
Table des matières
ix
111.
3.6
Un remède au canular
.................... 168
111.
3.7
Construction du morphisme
................. 170
ΙΠ.4
Construction du morphisme
Уоо
—>
Ρ 1 .............
171
ΙΠ.4.1
Applications de Hodge-Tate
................. 172
111.
4.2
Éclatements et conoyau de l application de Hodge-Tate
. 173
111.4.3 Construction du morphisme
Уоо
—>
P(D(H))
....... 175
111.
5
Relèvement du morphisme
Уоо
—►
P™~1 vers
une cellule de l espace de
Lub
in-Tate
................ 177
111.
5.1
Eclatement équivariant de l espace
projectif
formel
.... 177
111.
5.2
Tiré en arrière de l éclatement de l espace projectif
vers
Уоо
............................ 178
Ш.5.3
Relèvement vers la cellule
.................. 179
111.
6
Construction du morphisme
Уоо
—>
ЗЄоо..............
179
111.
6.1
Caractérisation modulaire de Xx
.............. 179
111.6.2 Sur la suite de Hodge-Tate en niveau infini
........ 181
111.
6.3
Construction d éléments dans le module de
Tate
du groupe
de
Lubin-
Tate
universel tiré en arrière sur
Ух,
...... 181
111.
6.4
Construction du morphisme de
ýoo
vers
ЗЄоо
....... 184
111.
7
Construction de l isomorphisme
................... 185
111.
7.1
De nouveaux éclatements
.................. 186
111.
7.2
Retour aux suites de Hodge-Tate en niveau infini
..... 188
III.
7.3
Démonstration du théorème principal
........... 190
D
Compléments sur les schémas formels Tr-adiques
D.l Quelques lemmes d algèbre
тг
-adique
.................
193
D.2 Rappels sur les schémas formels
тг
-adiques
.............
194
D.3 Morphismes affines
.......................... 194
D.4 Limite
projective
dans la catégorie des schémas formels
тг
-adiques
195
D.5 Normalisation dans la fibre générique
................ 195
D.6 Commutation de la normalisation dans la fibre
générique et du passage à la limite
projective
............ 197
D.
7
Eclatements formels admissibles
................... 198
D.7.1 Définition et premières propriétés
.............. 198
D.7.2 Adhérence schématique de la fibre générique
...... 199
D.7.3 Transformée stricte
...................... 200
D.7.4 Commutation à la limite
projective
............. 201
Bibliographie
................................... 201
x
Table des matières
IV
Comparaison de la cohomologie des deux tours
IV.
1
Schémas formels Tr-adiques
...................... 211
IV.
1.1
Rappels sur les schémas formels Tr-adiques
......... 212
IV.
1.2
Morphismes topologiquement de type fini
......... 212
IV.1.3 Morphismes topologiquement de présentation finie
.... 213
IV.
1.4
Morphismes affines
...................... 213
IV.
1.5
Morphismes finis
....................... 214
IV.
1.6
Morphismes topologiquement plats
............. 214
IV.
1.7
Limite
projective
dans la catégorie des schémas
formels Tr-adiques
....................... 215
IV.1.8 Adhérence schématique de la fibre générique
...... 215
IV.
1.9
Eclatements formels admissibles
.............. 217
IV.
2
La
topologie
des ouverts admissibles
................. 220
IV.
2.1
La catégorie des ouverts admissibles
............ 220
IV.2.2 La
topologie
et le topos admissible
............. 221
IV.2.3 Le topos admissible
..................... 222
IV.2.4 Topos limite
projective
contre topos total
......... 223
IV.
2.5
Fonctorialité de la
topologie
et du topos admissible
.... 225
IV.
2.6
Commutation des topos admissibles à la
limite
projective
....................... 226
IV.
3
Le point de vue spectral sur la
topologie
admissible
........ 231
IV.3.1 Rappels sur les espaces spectraux
.............. 231
IV.3.2 Prétopologie quasicompacte sur les espaces spectraux
et passage à la limite
projective
............... 231
IV.3.3 Application au topos admissible
.............. 233
IV.
3.4
Description de l espace
ΧτΐΒ
comme espace de Zariski-
Riemann
:
le point de vue de Huber et Fujiwara
..... 233
IV.
3.5
Ouverts surconvergents et espace analytique
deBerkovich
......................... 238
IV.4 Étude des morphismes finis localement libres
............ 239
IV.4.1 Morphismes finis localement libres
............. 239
IV.4.2 Morphismes finis localement libres rig-étales
........ 241
IV.4.3 Rigidité
............................ 243
IV.
4.4
Décomplétion des schémas formels finis localement
libres rig-étales
........................ 246
IV.
5
Étude d une certaine catégorie de morphismes rig-étales
...... 249
IV.5.1 Définitions
.......................... 249
IV.
5.2
Les morphismes de type
(£)
engendrent la
topologie
étale des espaces rigides usuels
............... 250
IV.5.3 Rigidité
............................ 251
IV.5.4 Décomplétion
......................... 251
Table
des matières
x¡
IV.6 Le topos rig-étale d un schéma formel
π
-adique
quasicompact
. . . 252
IV.
6.1
Sur un point concernant les
topologies
de Grothendieck
....................... 252
IV.6.
2
Définitions
.......................... 253
IV.6.3 Lien entre les sites Xg_rig_ét et
jtr¡g_ét
pour
X
admissible
...................... 254
IV.
6.4
Le théorème principal sur la décomplétion
des topos rig-étales
...................... 255
IV.
7
Le topos rig-étale d un schéma formel
тг
-adique
non-quasicompact
........................... 257
IV.7.1 Le topos
............................ 257
IV.7.2 Cycles
evanescente
...................... 259
IV.
7.3
Cohomologie à support compact
.............. 259
IV.
8
Le formalisme des faisceaux
èqui
variants lisses
........... 259
IV.8.1 Hypothèses
.......................... 259
IV.8.2 G-faisceaux lisses
....................... 260
IV.
8.3
Les différentes opérations reliant G-faisceaux,
G-faisceaux lisses et faisceaux
................ 261
IV.8.4 Les G-faisceaux lisses forment un topos
.......... 266
IV.
8.5
Le théorème d acyclicité
................... 266
IV.8.6 Faisceaux lisses sur une tour formée par un
pro-torseur
.......................... 270
IV.9 Cohomologie à support compact équivariante-lisse des
espaces analytiques de Berkovich
................... 274
IV.9.1 Rappels sur les faisceaux mous sur le site étale
...... 274
IV.9.
2
Les quatre suites spectrales de cohomologie de
Cech
per¬
mettant de calculer la cohomologie à support compact
. . 276
IV.9.3 Ouverts distingués
...................... 278
IV.9.4 Les sites quasi-étales, quasi-étales compacts et étales
. . . 281
IV.9.5 Faisceaux équivariants lisses
................. 282
IV.9.
6
Résolutions molles de Godement-Berkovich
........ 285
IV.9.
7
Le complexe de cohomologie à support compact
équivariant lisse
....................... 287
IV.
9.8
Le complexe de cohomologie équivariant lisse à support
dans un domaine analytique compact
........... 287
IV.
9.9
Les opérations d induction/restriction pour les faisceaux
équivariants lisses
...................... 289
IV.9.
10
Les quatre résolutions/suites spectrales permettant
de calculer la cohomologie à support compact
équivariante lisse
....................... 293
xii
Table des matières
IV.
10
Cohomologie à support compact équivariante-lisse
des espaces rigides généralisés
.................... 295
IV.
11
Cohomologie à support compact équivariante-
lisse des tours d espaces analytiques
................. 301
IV.
11.1
Hypothèses et notations
................... 301
IV.
11.2
Faisceaux de
Hecke
sur la tour
............... 302
IV.
11.3
Le complexe de cohomologie à support compact
de la tour
........................... 305
IV.
11.4
Objets cartésiens sur la tour et domaine fondamental
pour l action des correspondances de
Hecke........ 306
IV.
11.5
Faisceaux cartésiens sur la tour et espaces de périodes
. . 312
IV.
11.6
Résolution de
Cech
de la cohomologie de la tour
par la cohomologie des cellules
............... 315
IV.
11.7
Rajout d une donnée de descente
.............. 315
IV.
12
Faisceaux de
Hecke
cartésiens et faisceaux rigides équivariants
en niveau infini
............................ 316
IV.
12.1
Faisceaux lisses sur une tour
................ 316
IV.12.2 Principaux résultats
..................... 317
IV.13 Application aux tours de
Lubin-
Tate et de
Drinfeld
........ 319
IV.
13.1
La correspondance de Jacquet-Langlands
locale géométrique
...................... 319
IV.
13.2
Comparaison des complexes de cohomologie
des deux tours
........................ 320
Bibliographie
................................... 321
Index
....................................... 323
II
L isomorphisme des deux tours
Une autre approche en égales caractéristiques
par Alain
Genestier et
Vincent Lafforgue
Introduction
...................................329
I
Rappels sur les deux tours et énoncé du théorème
1.1
Notations
................................ 331
1.2
О
et
ÖD-modules
formels
....................... 332
1.3
Tour de Lubin-Tate
.......................... 333
1.4
Tour de Drinfeld
............................ 335
1.5
Enoncé du théorème
.......................... 337
Table
des matières
xiii
II
Théorèmes de représentabilité explicites
11.
1
Modules de coordonnées
....................... 341
11.2 Côté Lubin-Tate
............................ 343
11.2.1 Structures de niveau
..................... 345
11.2.2 Action du groupe GLd(K)
χ
Dx et de la donnée
de descente
.......................... 346
11.3 CôtéDrinfeld
............................. 348
11.3.1 Structures de niveau
..................... 359
11.
3.2
Action du groupe
GL<j(iT) x Dx
et de la donnée
de descente
.......................... 361
11.3.3 Le recouvrement mentionné en
1.5,
associé aux
Simplexes
de l immeuble de Bruhat-Tits de FGLd(K)
........ 363
III
Tour de Lubin-Tate et domaines fondamentaux
III.
1
Décomposition cellulaire de la tour
................. 365
III.
2
Le domaine fondamental
....................... 369
IV
Réduction aux domaines fondamentaux
IV.
1
Enoncé du théorème
.......................... 371
IV.2 Unicité de
ψρ
-tQd
et de ses localisés, équivariance
et recollement
............................. 373
V
Démonstration du théorème
IV.
1.1
V.l L anneau intermédiaire
........................ 379
V.l.l Etude de
Aim
........................ 380
V.1.2 Intermède
:
le déterminant de
Moore............ 381
V.1.3 Fin de l étude de AXnt
.................... 382
V.2 Produit
................................. 383
V.2.1 Le produit côté Lubin-Tate
................. 383
V.2.2 Le produit côté Drinfeld
................... 385
V.3 Décomposition
............................. 387
V.3.1 Lemmes techniques
...................... 390
V.3.
2
Décomposition côté Lubin-Tate
............... 394
V.3.3 Décomposition côté Drinfeld
................ 399
V.4 Déterminants et structure de
Õ-algèbre
sur AInt
.......... 403
V.5 Démonstration de IV.l.
1.2...................... 405
Bibliographie
................................... 405
|
| adam_txt |
Table des matières
Préambule
. xv
Bibliographie
. xxi
I
L'isomorphisme entre les tours de
Lubin-
Tate
et de Drinfeld
et applications cohomologiques
par Laurent Fargues
Introduction
. 3
I
Décomposition cellulaire de la tour de
Lubin-
Tate
1.1
Hypothèses et notations
. 10
1.1.1
Espaces
. 11
1.1.2
Action
. 12
1.1.3
Scindage de l'espace de Rapoport-Zink
. 12
1.1.4
Donnée de descente de Rapoport-Zink
. 12
1.1.5
Polygone de Newton des points de torsion
. 13
1.2
Application des périodes
. 15
1.2.1
Définition
. 15
1.2.2
Interprétation en termes du cristal 0-extension
vectorielle universelle
. 17
1.2.3
La donnée de descente sur l'espace des périodes
. 18
1.2.4
Formules explicites pour l'application des périodes
et applications
. 18
1.3
Domaine fondamental de
Laf
aille/
Gross-Hopkins. 21
1.3.1
Lien entre le domaine fondamental et les points CM
. 26
1.4
Généralisation d'un théorème de
Gross-Hopkins. 26
1.5
L'espace des paramètres de la décomposition cellulaire
. 30
1.6
Les cellules rigides en niveau fini
. 31
1.6.1
Digression philosophique
. 31
1.6.2
Structures de niveau
. 31
vi
Table des matières
1.6.3
Fonctorialité de
Hecke des
Μα,κ
. 32
1.6.4
Les cellules
. 34
1.6.5
Bord des cellules
. 35
1.6.6
Donnée de recollement
. 36
1.6.7
Réécriture en termes des arrêtes orientées de l'immeuble
. 37
1.7
Décomposition cellulaire des espaces rigides en niveau fini
. 37
1.8
Modèles entiers des cellules
. 39
1.8.1
Niveau fini
. 39
1.8.2
Niveau infini
. 44
1.8.3
Donnée de descente
. 45
1.9
Le schéma formel recollé en niveau fini
. 45
1.10
Le schéma formel en niveau infini
. 46
1.11
Décomposition cellulaire écrasée en niveau fini
. 47
1.12
Une autre décomposition cellulaire
. 48
A Normalisé d'un schéma formel dans une extension de sa fibre générique
A.l Généralités sur les espaces rigides
. 49
A.
2
Schémas formels normaux
. 51
A.3 Normalisé dans une extension de la fibre générique
. 52
В
Modules de Dieudonné et cristaux des O-modules
тг
-divisibles
B.l Un lemme sur les F-cristaux O-équivariants.
54
B.2 Structure du cristal de
Messing
d'un O-module
π
-divisible
. 56
B.3
О
-extension
vectorielle universelle d'un O-module
тг
-divisible
. 56
B.4 Cristal de
Messing
généralisé et théorie de la déformation
. 59
B.5 Exponentielle
тг
-adique
.
60
B.5.1 O-puissances divisées
([17]
section
10, [11]
section
7) . . 60
B.5.2 Logarithme
. 61
B.5.3 Exponentielle
. 63
B.6 Extension du cristal de
Messing
généralisé aux
О
-puissances
divisées
. 66
B.7 Théorie de la déformation des O-modules
π
-divisibles
.
69
B.8 Théorie de Dieudonné "classique" des
О
-modules
TT-divisibles
. 69
Bibliographie
. 71
Table des matières
vii
II
L'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld
au niveau des points
ILI
Suite de Hodge-Tate des groupes p-divisibles dans le cas infiniment
ramifié
. 77
II.
1.1
Décomposition de Hodge-Tate d'un O-module
π
-divisible
.
80
11.2 Propriétés particulières de l'application de Hodge-Tate pour les
groupes
p-ái
visibles formels de dimension
1. 81
11.2.1 Les périodes de Hodge-Tate vivent dans l'espace
de Drinfeld
. 81
11.2.2 Raffinement, d'après Faltings
. 82
11.
2.3
Formule exacte
. 84
11.3 Notations concernant les espaces de Lubin-Tate et de Drinfeld
. . 85
11.3.1 Modules de Dieudonné
. 86
11.3.2 Notations concernant les espaces de Lubin-Tate
. 86
11.3.3 Notations concernant les espaces de Drinfeld
. 87
11.3.4 Quelques rappels sur Drinfeld classique
. 88
11.4 Description de M.^ (K)
/
^ en termes de modules filtrés
. 90
11.5 Description de M.Vr(K)/~ en termes de module filtré
. 91
11.6 Prolongement des isogénies
. 92
11.6.1 Prolongement
. 92
11.6.2 Définition de l'action de GLn{F) sur
М£?(К)
. 92
11.7 Diverses descriptions des points de la tour de Lubin-Tate
en niveau infini
. 93
11.7.1
Description de M^{K) en termes de modules
filtrés rigidifiés
. 93
11.7.2 Description de
M%f{K)
uniquement en termes
du module de
Tate
. 94
11.7.3 Description de
Л4^(К)
en termes d'algèbre linéaire
. 95
11.8 Diverses descriptions des points de la tour de Drinfeld
en niveau infini
. 96
11.8.1 Description de M^T(K) en termes de modules
filtrés rigidifiés
. 96
11.8.2 Description de M^{K) uniquement en termes
du module de
Tate
. 97
11.8.3 Description de M^{K) en termes d'algèbre linéaire
. 98
11.
9
La bijection au niveau des points
. 98
11.9.1 L'application M^{K)
—►
M%?{K)
. 100
11.9.2
L'application M%f(K)
—->
Mgr(K)
. 101
11.9.3 Les deux applications sont inverses l'une de l'autre
. 103
11.9.4 Retraçage des actions
. 103
viii Table
des matières
II.
9.5
Bijection
entre les points des espaces
de Berkovich associés
. 103
11.10
Traduction en termes de matrices de périodes
. 104
11.11
Ľisomorphisme
conserve le degré
. 107
11.12
Un point de vue différent sur la bijection
. 109
11.12.1 Identification de Kn
-»
Kn/FilH avec l'application
de Hodge-Tate de GD
. 110
11.12.2
Identification de Kn
-»
Кп/¥і\а
avec l'application
de Hodge-Tate de HD
. 111
11.12.3 L'application M^{K)
—>
M%f(K)
. 112
11.12.4 L'application M%?(K)
—>
M^{K)
. 115
11.12.5
Les deux applications sont inverses l'une de l'autre
. 116
С
Périodes entières des groupes p-divisibles
Cl Groupes p-divisibles sur les anneaux d'entiers de corps
non-archimédiens
. 118
C.2 Théorèmes de comparaison
. 119
C.2.1 Le déterminant des périodes divisé par
2ίπ
est
une unité p-adique
. 121
Bibliographie
. 130
III
L'isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld
:
démonstration du résultat principal
111.1 La bestiole du côté Drinfeld ^
. 139
111.
2
Construction du morphisme X^,
—>
Ω.
142
ΙΠ.2.1
Définition de l'application de Hodge-Tate
sur une cellule de Sioo
. 142
111.
2.2
Rappels de quelques résultats de
[9]
sur l'application
de Hodge-Tate dans le cas d'un point
. 144
111.
2.3
Quelques rappels sur le schéma formel
de Deligne-Drinfeld
. 145
111.
2.4
Sur le conoyau de l'application de Hodge-Tate
. 150
111.
2.5
Éclatement de la cellule et construction du morphisme
de la cellule éclatée vers
Ω
. 151
111.
2.6
Recollement des morphismes sur les cellules
. 153
111.
3
Construction du morphisme X^
—>
Уса
. 157
111.
3.1
Etude des normalisés de
Ω
dans la tour de Drinfeld
. 157
111.
3.2
Définition modulaire de
У^
. 160
111.
3.3
Sur la suite de Hodge-Tate en niveau infini
. 161
111.
3.4
Construction d'éléments dans le module de Tate^
du 0£>-module formel spécial tiré en arrière sur
Хж
. . . 163
111.
3.5
Construction du morphisme
. 166
Table des matières
ix
111.
3.6
Un remède au canular
. 168
111.
3.7
Construction du morphisme
. 170
ΙΠ.4
Construction du morphisme
Уоо
—>
Ρ""1 .
171
ΙΠ.4.1
Applications de Hodge-Tate
. 172
111.
4.2
Éclatements et conoyau de l'application de Hodge-Tate
. 173
111.4.3 Construction du morphisme
Уоо
—>
P(D(H))
. 175
111.
5
Relèvement du morphisme
Уоо
—►
P™~1 vers
une cellule de l'espace de
Lub
in-Tate
. 177
111.
5.1
Eclatement équivariant de l'espace
projectif
formel
. 177
111.
5.2
Tiré en arrière de l'éclatement de l'espace projectif
vers
Уоо
. 178
Ш.5.3
Relèvement vers la cellule
. 179
111.
6
Construction du morphisme
Уоо
—>
ЗЄоо.
179
111.
6.1
Caractérisation modulaire de Xx
. 179
111.6.2 Sur la suite de Hodge-Tate en niveau infini
. 181
111.
6.3
Construction d'éléments dans le module de
Tate
du groupe
de
Lubin-
Tate
universel tiré en arrière sur
Ух,
. 181
111.
6.4
Construction du morphisme de
ýoo
vers
ЗЄоо
. 184
111.
7
Construction de l'isomorphisme
. 185
111.
7.1
De nouveaux éclatements
. 186
111.
7.2
Retour aux suites de Hodge-Tate en niveau infini
. 188
III.
7.3
Démonstration du théorème principal
. 190
D
Compléments sur les schémas formels Tr-adiques
D.l Quelques lemmes d'algèbre
тг
-adique
.
193
D.2 Rappels sur les schémas formels
тг
-adiques
.
194
D.3 Morphismes affines
. 194
D.4 Limite
projective
dans la catégorie des schémas formels
тг
-adiques
195
D.5 Normalisation dans la fibre générique
. 195
D.6 Commutation de la normalisation dans la fibre
générique et du passage à la limite
projective
. 197
D.
7
Eclatements formels admissibles
. 198
D.7.1 Définition et premières propriétés
. 198
D.7.2 Adhérence "schématique" de la fibre générique
. 199
D.7.3 Transformée stricte
. 200
D.7.4 Commutation à la limite
projective
. 201
Bibliographie
. 201
x
Table des matières
IV
Comparaison de la cohomologie des deux tours
IV.
1
Schémas formels Tr-adiques
. 211
IV.
1.1
Rappels sur les schémas formels Tr-adiques
. 212
IV.
1.2
Morphismes topologiquement de type fini
. 212
IV.1.3 Morphismes topologiquement de présentation finie
. 213
IV.
1.4
Morphismes affines
. 213
IV.
1.5
Morphismes finis
. 214
IV.
1.6
Morphismes topologiquement plats
. 214
IV.
1.7
Limite
projective
dans la catégorie des schémas
formels Tr-adiques
. 215
IV.1.8 Adhérence "schématique" de la fibre générique
. 215
IV.
1.9
Eclatements formels admissibles
. 217
IV.
2
La
topologie
des ouverts admissibles
. 220
IV.
2.1
La catégorie des ouverts admissibles
. 220
IV.2.2 La
topologie
et le topos admissible
. 221
IV.2.3 Le topos admissible
. 222
IV.2.4 Topos limite
projective
contre topos total
. 223
IV.
2.5
Fonctorialité de la
topologie
et du topos admissible
. 225
IV.
2.6
Commutation des topos admissibles à la
limite
projective
. 226
IV.
3
Le point de vue spectral sur la
topologie
admissible
. 231
IV.3.1 Rappels sur les espaces spectraux
. 231
IV.3.2 Prétopologie quasicompacte sur les espaces spectraux
et passage à la limite
projective
. 231
IV.3.3 Application au topos admissible
. 233
IV.
3.4
Description de l'espace
\ΧτΐΒ\
comme espace de Zariski-
Riemann
:
le point de vue de Huber et Fujiwara
. 233
IV.
3.5
Ouverts surconvergents et espace analytique
deBerkovich
. 238
IV.4 Étude des morphismes finis localement libres
. 239
IV.4.1 Morphismes finis localement libres
. 239
IV.4.2 Morphismes finis localement libres rig-étales
. 241
IV.4.3 Rigidité
. 243
IV.
4.4
Décomplétion des schémas formels finis localement
libres rig-étales
. 246
IV.
5
Étude d'une certaine catégorie de morphismes rig-étales
. 249
IV.5.1 Définitions
. 249
IV.
5.2
Les morphismes de type
(£)
engendrent la
topologie
étale des espaces rigides usuels
. 250
IV.5.3 Rigidité
. 251
IV.5.4 Décomplétion
. 251
Table
des matières
x¡
IV.6 Le topos rig-étale d'un schéma formel
π
-adique
quasicompact
. . . 252
IV.
6.1
Sur un point concernant les
topologies
de Grothendieck
. 252
IV.6.
2
Définitions
. 253
IV.6.3 Lien entre les sites Xg_rig_ét et
jtr¡g_ét
pour
X
admissible
. 254
IV.
6.4
Le théorème principal sur la décomplétion
des topos rig-étales
. 255
IV.
7
Le topos rig-étale d'un schéma formel
тг
-adique
non-quasicompact
. 257
IV.7.1 Le topos
. 257
IV.7.2 Cycles
evanescente
. 259
IV.
7.3
Cohomologie à support compact
. 259
IV.
8
Le formalisme des faisceaux
èqui
variants lisses
. 259
IV.8.1 Hypothèses
. 259
IV.8.2 G-faisceaux lisses
. 260
IV.
8.3
Les différentes opérations reliant G-faisceaux,
G-faisceaux lisses et faisceaux
. 261
IV.8.4 Les G-faisceaux lisses forment un topos
. 266
IV.
8.5
Le théorème d'acyclicité
. 266
IV.8.6 Faisceaux lisses sur une tour formée par un
pro-torseur
. 270
IV.9 Cohomologie à support compact équivariante-lisse des
espaces analytiques de Berkovich
. 274
IV.9.1 Rappels sur les faisceaux mous sur le site étale
. 274
IV.9.
2
Les quatre suites spectrales de cohomologie de
Cech
per¬
mettant de calculer la cohomologie à support compact
. . 276
IV.9.3 Ouverts distingués
. 278
IV.9.4 Les sites quasi-étales, quasi-étales compacts et étales
. . . 281
IV.9.5 Faisceaux équivariants lisses
. 282
IV.9.
6
Résolutions molles de Godement-Berkovich
. 285
IV.9.
7
Le complexe de cohomologie à support compact
équivariant lisse
. 287
IV.
9.8
Le complexe de cohomologie équivariant lisse à support
dans un domaine analytique compact
. 287
IV.
9.9
Les opérations d'induction/restriction pour les faisceaux
équivariants lisses
. 289
IV.9.
10
Les quatre résolutions/suites spectrales permettant
de calculer la cohomologie à support compact
équivariante lisse
. 293
xii
Table des matières
IV.
10
Cohomologie à support compact équivariante-lisse
des espaces rigides généralisés
. 295
IV.
11
Cohomologie à support compact équivariante-
lisse des tours d'espaces analytiques
. 301
IV.
11.1
Hypothèses et notations
. 301
IV.
11.2
Faisceaux de
Hecke
sur la tour
. 302
IV.
11.3
Le complexe de cohomologie à support compact
de la tour
. 305
IV.
11.4
Objets cartésiens sur la tour et domaine fondamental
pour l'action des correspondances de
Hecke. 306
IV.
11.5
Faisceaux cartésiens sur la tour et espaces de périodes
. . 312
IV.
11.6
Résolution de
Cech
de la cohomologie de la tour
par la cohomologie des cellules
. 315
IV.
11.7
Rajout d'une donnée de descente
. 315
IV.
12
Faisceaux de
Hecke
cartésiens et faisceaux rigides équivariants
en niveau infini
. 316
IV.
12.1
Faisceaux lisses sur une tour
. 316
IV.12.2 Principaux résultats
. 317
IV.13 Application aux tours de
Lubin-
Tate et de
Drinfeld
. 319
IV.
13.1
La correspondance de Jacquet-Langlands
locale géométrique
. 319
IV.
13.2
Comparaison des complexes de cohomologie
des deux tours
. 320
Bibliographie
. 321
Index
. 323
II
L'isomorphisme des deux tours
Une autre approche en égales caractéristiques
par Alain
Genestier et
Vincent Lafforgue
Introduction
.329
I
Rappels sur les deux tours et énoncé du théorème
1.1
Notations
. 331
1.2
О
et
ÖD-modules
formels
. 332
1.3
Tour de Lubin-Tate
. 333
1.4
Tour de Drinfeld
. 335
1.5
Enoncé du théorème
. 337
Table
des matières
xiii
II
Théorèmes de représentabilité explicites
11.
1
Modules de coordonnées
. 341
11.2 Côté Lubin-Tate
. 343
11.2.1 Structures de niveau
. 345
11.2.2 Action du groupe GLd(K)
χ
Dx et de la donnée
de descente
. 346
11.3 CôtéDrinfeld
. 348
11.3.1 Structures de niveau
. 359
11.
3.2
Action du groupe
GL<j(iT) x Dx
et de la donnée
de descente
. 361
11.3.3 Le recouvrement mentionné en
1.5,
associé aux
Simplexes
de l'immeuble de Bruhat-Tits de FGLd(K)
. 363
III
Tour de Lubin-Tate et domaines fondamentaux
III.
1
Décomposition cellulaire de la tour
. 365
III.
2
Le domaine fondamental
. 369
IV
Réduction aux domaines fondamentaux
IV.
1
Enoncé du théorème
. 371
IV.2 Unicité de
ψρ
-tQd
et de ses localisés, équivariance
et recollement
. 373
V
Démonstration du théorème
IV.
1.1
V.l L'anneau intermédiaire
. 379
V.l.l Etude de
Aim
. 380
V.1.2 Intermède
:
le déterminant de
Moore. 381
V.1.3 Fin de l'étude de AXnt
. 382
V.2 Produit
. 383
V.2.1 Le produit côté Lubin-Tate
. 383
V.2.2 Le produit côté Drinfeld
. 385
V.3 Décomposition
. 387
V.3.1 Lemmes techniques
. 390
V.3.
2
Décomposition côté Lubin-Tate
. 394
V.3.3 Décomposition côté Drinfeld
. 399
V.4 Déterminants et structure de
Õ-algèbre
sur AInt
. 403
V.5 Démonstration de IV.l.
1.2. 405
Bibliographie
. 405 |
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