Mathematik für Informatiker:
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
München
Pearson Studium
[2008]
|
| Ausgabe: | 2., aktualisierte Aufl. |
| Schriftenreihe: | it-informatik
Always learning Pearson Studium |
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| Beschreibung: | XXXIII, 809 Seiten Diagramme |
| ISBN: | 9783827373205 |
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Inhaltsübersicht
Vorwort xxvii
Teil I Mathematisches Grundwissen 1
Kapitel 1 Mengen und Aussagen 3
Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen 43
Kapitel 3 Abbildungen, Äquivalenzrelationen und
partielle Ordnungen 81
Teil II Grundlagen der Diskreten Mathematik 117
Kapitel 4 Kombinatorik ng
Kapitel 5 Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung 153
Kapitel 6 Algebraische Strukturen 193
Kapitel 7 Restklassenringe und Anwendungen 249
Kapitel 8 Homomorphismen und Faktorstrukturen 299
Teil IM Grundlagen der Linearen Algebra 331
Kapitel 9 Vektoren und Matrizen 333
Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme 375
Kapitel 11 Abstrakte Vektorräume und Anwendungen 417
Kapitel 12 Polynome 461
Kapitel 13 Formale Potenzreihen und rationale
Funktionen 513
Teil IV Grundlagen der Analysis 539
Kapitel 14 Die Axiomatik reeller Zahlen 541
Kapitel 15 Folgen 573
Kapitel 16 Reihen 613
Kapitel 17 Stetige Funktionen 653
Kapitel 18 Differentialrechnung 697
Kapitel 19 Integralrechnung 739
Literaturverzeichnis 781
Symbolverzeichnis 785
Register 793
Inhaltsverzeichnis
Vorwort xxvü
Teil I Mathematisches Grundwissen 1
Kapitel 1 Mengen und Aussagen 3
Einführung 4
1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre 6
A. Was ist eine Menge? 6
B. Beschreibungen von Mengen 7
C. Teilmengenbeziehung und Gleichheit bei Mengen 7
D. Die Mächtigkeit einer Menge 8
E. Eine Menge, die nicht fehlen darf 9
1.2 Grundlegende Zahlbereiche 9
A. Mengenbezeichnungen für Zahlbereiche 9
B. Zum Unterschied zwischen rationalen und reellen Zahlen . 10
C. Ein weiterer Grund für Zahlbereichserweiterungen 12
D. Eine grundlegende Eigenschaft reeller Zahlen 12
E. Die Lösung reeller quadratischer Gleichungen 13
1.3 Verknüpfungen von Mengen 15
A. Vier grundlegende Verknüpfungen von Mengen 15
B. Die disjunkte Mengenvereinigung 16
C. Grundgesetze bei Mengenverknüpfungen 17
D. Regeln bei Mächtigkeiten von endlichen Mengen 20
1.4 Aussagen und deren logische Verknüpfungen 21
A. Wahrheitswerte logischer Aussagen 21
B. Verknüpfungen von Aussagen und Wahrheitstafeln 22
C. Zur Äquivalenz von Aussagen 23
D. Die logische Grundlage dreier Beweismethoden 24
E. Gesetzmäßigkeiten bei Verknüpfungen von Aussagen 26
F. Normalformen bei aussagenlogischen Formeln 27
1.5 Potenzmenge und kartesische Produkte 27
A. Die Potenzmenge einer Menge 27
B. Mengensysteme 28
C. Kartesische Produkte 29
1.6 Zur Bildung von mehrfachen Verknüpfungen 30
A. Das Summen- und das Produktzeichen 30
B. Grundregeln für das Rechnen mit Summen und Produkten . 32
C. /7-fache kartesische Produkte 33
1.7 Verknüpfungen bei beliebigen Indexmengen 35
A. Reihen - Summation unendlich vieler Zahlen 35
B. Schnitte und Vereinigungen über Mengensystemen 35
C. Existenz- und Allquantor 36
1.8 Exkurs: Das Auswahlaxiom 38
Zusammenfassung 39
Übungsaufgaben 40
Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen 43
Einführung 44
2.1 Vollständige Induktion 46
A. Die Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Ordnung . 46
B. Das Prinzip der vollständigen Induktion 47
C. Zwei Beispiele zur vollständigen Induktion 49
D. Die Fakultätsfunktion und deren Wachstumsverhalten . 52
E. Die geometrische Summe 54
F. Die Summenregel aus der Kombinatorik 55
2.2 Primfaktorzerlegung 56
A. Die Teilbarkeitsrelation 56
B. Primzahlen 57
C. Eine zweite Form des Prinzips der vollständigen Induktion . 58
D. Die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen 60
E. Ein naives Faktorisierungsverfahren 62
2.3 Darstellungen ganzer Zahlen 63
A. Division mit Rest 63
B. Die B-adische Darstellung einer ganzen Zahl 65
C. Korrektheit und Terminierung bei Algorithmen 67
D. Zur Komplexität eines Algorithmus 68
2.4 Der Euklidische Algorithmus 69
A. Größte gemeinsame Teiler 69
B. Die Berechnung des ggT zweier Zahlen 70
C. Die Berechnung der Vielfachsummendarstellung eines ggT . 72
D. Eine Anwendung des erweiterten
Euklidischen Algorithmus 74
E. Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen . . 74
Zusammenfassung 75
Übungsaufgaben 77
Kapitel 3 Abbildungen, Äquivalenzrelationen und partielle
Ordnungen 81
Einführung 82
3.1 Grundlagen über Relationen 84
A. Was ist eine Relation? 84
B. Umkehrung und Verkettung von Relationen 84
C. Gerichtete Graphen 85
3.2 Der Abbildungsbegriff 86
A. Was versteht man unter einer Abbildung? 86
B. Schreib- und Sprechweisen bei Abbildungen 87
C. Spezielle Eigenschaften bei Abbildungen 88
D. Die Urbildpartition zu einer Abbildung 90
E. Zur Umkehrung von Abbildungen 91
F. Die Verkettung von Abbildungen 92
3.3 Besonderheiten bei endlichen Mengen 93
3.4 Gleichmächtigkeit 96
A. Was bedeutet die Gleichmächtigkeit zweier Mengen? 96
B. Die Gleichmächtigkeit von N, von Z und von Q 96
C. Die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen 98
3.5 Ordnungsrelationen 100
A. Partielle Ordnungen 100
B. Einige Beispiele partieller Ordnungen 101
C. Totale Ordnungen 102
3.6 Äquivalenzrelationen 103
A. Was ist eine Äquivalenzrelation? 103
B. Beispiele von Äquivalenzrelationen 103
C. Äquivalenzklassen 105
D. Restklassen modulo n 105
E. Repräsentantensysteme 107
3.7 Exkurs: Kontinuumshypothese und Hasse-Diagramme 108
A. Abbildungen und kartesische Produkte 108
B. Zur Kontinuumshypothese 108
C. Kleinste und größte Elemente in partiell
geordneten Mengen 109
D. Wohlordnungen als spezielle Ordnungen 109
E. Darstellung partieller Ordnungen durch Hasse-Diagramme . 110
F. Reduktion und Normalformen 110
Zusammenfassung 112
Übungsaufgaben 114
Teil II Grundlagen der Diskreten Mathematik 117
Kapitel 4 Kombinatorik 119
Einführung 120
4.1 Grundregeln des Zählens 122
A. Die Summenregel 122
B. Die Gleichmächtigkeitsregel 122
C. Die Produktregel 123
D. Die Potenzregel 124
4.2 Binomialkoeffizienten 125
A. Potenzmengen und charakteristische Funktionen 125
B. Was ist ein Binomialkoeffizient? 126
C. Gesetzmäßigkeiten bei Binomialkoeffizienten 126
D. Der Binomialsatz 129
4.3 Abbildungen auf endlichen Mengen 132
A. Die Rückführung auf Standardmengen 132
B. Die Anzahl der injektiven und bijektiven Abbildungen . 132
C. Formale Beweise 133
4.4 Das Inklusions-Exklusions-Prinzip 135
A. Der Spezialfall bei Vereinigungen von drei Mengen 135
B. Die allgemeine Inklusions-Exklusions-Formel 135
C. Ein weiterer Beweis der Inklusions-Exklusions-Formel . 137
D. Die Siebformel 137
4.5 Anwendungen der Siebformel 138
A. Die Euler-Funktion 138
B. Die Multiplikativität der Euler-Funktion 140
C. Die Anzahl der surjektiven Abbildungen
zwischen zwei endlichen Mengen 141
4.6 Exkurs: Darstellung von Permutationen 142
A. Eine erste Darstellungsmöglichkeit von Permutationen . 142
B. Die Zykelschreibweise 143
C. Multiplikation von Zyklen 144
D. Transpositionen - die einfachsten Permutationen 144
E. Zur Eindeutigkeit der Darstellung von Permutationen 145
Zusammenfassung 147
Übungsaufgaben 149
Kapitel 5 Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung 153
Einführung 154
5.1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 156
A. Der Ergebnisraum 156
B. Ereignisse 157
C. Was versteht man unter einer Wahrscheinlichkeit? 158
D. Grundregeln für das Arbeiten mit
Wahrscheinlichkeitsräumen 160
5.2 Laplace-Modelle und vier Kugel-Modelle 162
A. Was ist ein Laplace-Modell? 162
B. Die vier grundlegenden Experimente als Kugel-Modelle . . . 163
C. Die vier Kugel-Modelle nochmals im Überblick 165
5.3 Zufallsvariablen und induzierte Wahrscheinlichkeitsfunktionen 166
A. Laplace-Modelle im Hintergrund 166
B. Zufallsvariable und Transformation 168
C. Schreibweisen beim Umgang mit Zufallsvariablen 170
D. Indikatorvariablen und relative Häufigkeiten 170
5.4 Mehrstufige Experimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten . 171
A. Was versteht man unter einer bedingten
Wahrscheinlichkeit? 171
B. Zwei Beispiele für den Umgang mit bedingten
Wahrscheinlichkeiten 172
C. Die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit 173
D. Die Formel von Bayes 174
E. Ein Beispiel aus der Medizin 174
5.5 Stochastische Unabhängigkeit 176
A. Die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse 176
B. Stochastische Unabhängigkeit bei mehreren Ereignissen . 177
C. Die Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen 177
5.6 Erwartungswert und Varianz 177
A. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen 177
B. Eine alternative Formel zur Berechnung
des Erwartungswertes 179
C. Die Varianz einer Zufallsvariablen 179
D. Die wichtigsten Gesetzmäßigkeiten beim Bilden von
Erwartungswerten 181
E. Die wichtigsten Gesetzmäßigkeiten bei der Berechnung von
Varianzen 183
5.7 Binomial Verteilungen 185
A. Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten 185
B. Binomial-verteilte Zufallsvariablen 186
C. Der Erwartungswert einer binomial-verteilten
Zufallsvariablen 186
D. Die Varianz einer binomial-verteilten Zufallsvariablen . 188
Zusammenfassung 189
Übungsaufgaben 190
Kapitel 6 Algebraische Strukturen 193
Einführung 194
6.1 Monoide 196
A. Was versteht man allgemein unter einer Verknüpfung? . 196
B. Assoziative und kommutative Verknüpfungen 197
C. Das neutrale Element: von der Halbgruppe zum Monoid . 198
D. Beispiele von Monoiden 199
6.2 Gruppen 203
A. Invertierbarkeit 203
B. Die Definition einer Gruppe und die Einheitengruppe eines
Monoids 204
C. Beispiele von Einheitengruppen und Gruppen 206
6.3 Untergruppen und der Satz von Lagrange 208
A. Teilmonoide und Untergruppen 208
B. Die Untergruppen von (Z, +, 0) 210
C. Zur Erzeugung von Teilmonoiden und zyklische Gruppen . 211
D. Linksnebenklassen von Untergruppen und der Satz von
Lagrange 213
E. Die Ordnung eines Gruppenelementes 215
6.4 Ringe und Körper 217
A. Was versteht man unter der algebraischen Struktur
eines Ringes? 217
B. Allgemeine Rechengesetze bei Ringen 219
C. Integritätsbereiche 220
D. Die Einheitengruppe eines Ringes, Schiefkörper und Körper 221
E. Grundlegende Beispiele von Ringen 222
F. Eine Übersicht verschiedener Kategorien von Ringen 224
6.5 Der Körper der komplexen Zahlen 225
A. Grundmenge, Verknüpfungen und Nachweis
der Körpereigenschaft 225
B. Die reellen Zahlen als Teilkörper der komplexen Zahlen . . . 228
C. Imaginäre Einheit, Real- und Imaginärteil 228
D. Die konjugiert Komplexe und der Betrag einer komplexen
Zahl 230
E. Die Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten . 231
F. Die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus 232
6.6 Der Schiefkörper der Quaternionen 234
A. Die Grundmenge und die Verknüpfungen bei Quaternionen 234
B. Der Nachweis der Schiefkörpereigenschaft 234
6.7 Exkurs: Verbände und Boole'sche Algebren 237
A. Die Definition eines Verbandes 237
B. Gesetzmäßigkeiten bei allgemeinen Verbänden 237
C. Einige Beispiele von Verbänden 239
D. Die Vollständigkeit eines Verbandes sowie
kleinstes und größtes Element 239
E. Komplementarität und Distributivität 240
F. Boole'sche Verbände 241
Zusammenfassung 243
Übungsaufgaben 245
Kapitel 7 Restklassenringe und Anwendungen 249
Einführung 250
7.1 Modulares Rechnen 252
A. Die Kongruenz modulo n und Restklassenarithmetik 252
B. Der Restklassenring Zn 254
C. Einheiten modulo n 255
D. Welche Restklassenringe sind Körper? 258
E. Effizientes Potenzieren in Restklassenringen 258
F. Die Sätze von Euler und Fermat 260
G. Die Ordnung modulo n und primitive Elemente
in Restklassenkörpern 261
7.2 Das RSA-Public-Key-Cryptosystem 262
A. Grundbegriffe der Kryptographie 262
B. Beschreibung der Schlüssel beim RSA-System 263
C. Die korrekte Arbeitsweise des RSA-Systems 264
D. Schlüsselgenerierung und Sicherheit beim RSA-System . . . 265
E. Ein Beispiel zum RSA-System 267
7.3 Das Grundmodell bei fehlerkorrigierenden Codes 270
A. Grundbegriffe der Codierungstheorie 270
B. Die Eigenschaft der „Linearität" bei Codes 272
C. Weitere Aspekte des Grundmodells der Codierungstheorie . 273
D. Anforderungen an gute Codes 276
7.4 Kugelpackungsschranke und (7,4)-Hamming-Code 277
A. Minimalabstand und Korrekturleistung eines Codes 277
B. Die Kugelpackungsschranke und perfekte Codes 279
C. Beispiele perfekter Codes 281
7.5 Prüfzeichencodierung 283
A. Der ISBN-Code 283
B. Eigenschaften des ISBN-Codes 284
C. Der EAN-Code 286
7.6 Exkurs: Der Chinesische Restsatz 287
A. Einführendes Beispiel und allgemeine Problemstellung . . . 287
B. Die Beschreibung der Lösungsmenge 288
C. Die Lösbarkeit bei relativ primen Restsystemen 289
D. Die iterative Berechnung der Lösung 292
Zusammenfassung 294
Übungsaufgaben 296
Kapitel 8 Homomorphismen und Faktorstrukturen 299
Einführung 300
8.1 Homomorphismen bei Gruppen 302
A. Strukturerhaltende Abbildungen auf Monoiden
und Gruppen 302
B. Spezielle Eigenschaften bei Gruppen-Homomorphismen . . . 303
C. Kern und Bild bei Gruppen-Homomorphismen 304
D. Urbilder bei Gruppen-Homomorphismen 305
E. Nochmals zur Ordnung eines Gruppenelementes 307
F. Beispiele von Gruppen-Homomorphismen 307
8.2 Normalteiler und Faktorgruppen 308
A. Äquivalenzen modulo einer Untergruppe und Normalteiler 308
B. Kongruenzrelationen auf Gruppen neutrale Klassen und
Normalteiler 310
C. Kerne von Homomorphismen als neutrale Klassen 312
D. Verknüpfung von Klassen und Faktorgruppen 312
E. Neutrale Klassen als Kerne von Homomorphismen 314
8.3 Homomorphismen bei Ringen und Ideale 314
A. Was ist ein Teilring von /?? 314
B. Was ist ein Ring-Homomorphismus? 315
C. Was ist der Kern eines Ring-Homomorphismus? 315
D. Ideale 315
E. Hauptidealbereiche 316
F. Die Charakteristik eines Körpers 317
8.4 Kongruenzen bei Ringen, Ideale und Faktorringe 318
A. Kongruenzrelationen auf Ringen 318
B. Faktorringe und die Klassenmultiplikation 319
C. Maximale Ideale und Körper als Faktorringe 320
8.5 Exkurs: Homomorphiesätze 322
A. Der Homomorphiesatz für Gruppen 322
B. Ein weiteres Beispiel: Alternierende Gruppen 323
C. Der Homomorphiesatz für Ringe 324
D. Nochmals der Chinesische Restsatz 324
Zusammenfassung 326
Übungsaufgaben 328
Teil IM Grundlagen der Linearen Algebra 331
Kapitel 9 Vektoren und Matrizen 333
Einführung 334
9.1 Vektorräume 336
A. n-Tupelräume als Vektorräume 336
B. Die Axiomatik abstrakter Vektorräume 337
C. Matrixräume 339
D. Spezielle Klassen quadratischer Matrizen 340
E. Zeilen- und Spaltenvektoren als Matrizen 341
F. Eine Übersicht über Vektoren und Matrizen 342
9.2 Teilräume und deren Erzeugung 343
A. Was versteht man unter einem Teilraum? 343
B. Linearkombinationen, lineare Hülle und
Erzeugung von Vektorräumen 345
C. Endlich erzeugte Vektorräume und kanonische Basen 347
9.3 Matrixalgebren 348
A. Die Matrixmultiplikation 348
B. Spezialfälle bei der Matrixmultiplikation 349
C. Gesetzmäßigkeiten bei der Matrixmultiplikation 350
D. Die quadratischen Matrizen als K-Algebra 351
E. Invertierbare Matrizen 354
9.4 Lineare Abbildungen 357
A. Was ist eine K-lineare Abbildung? 357
B. Matrizen als K-lineare Abbildungen 358
C. Darstellung linearer Abbildungen als Matrizen 358
D. Die Matrixmultiplikation als Hintereinanderausführung
linearer Abbildungen 360
9.5 Komplexe Zahlen und Quatemionen als Matrixalgebren 361
A. Veranschaulichung linearer Abbildungen auf R2 361
B. Die komplexen Zahlen als Matrixalgebra 362
C. Die Quatemionen als Matrixring über C 364
D. Die Quatemionen als Matrixalgebra über 1R 365
9.6 Exkurs: Kerne von linearen Abbildungen und Faktorräume . . . 367
A. Der Kern einer linearen Abbildung 367
B. Faktorräume und Kongruenzrelationen bei Vektorräumen . . 367
Zusammenfassung 369
Übungsaufgaben 371
Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme 375
Einführung 376
10.1 Die Struktur der Lösungsmenge 378
A. Was ist ein lineares Gleichungssystem? 378
B. Grundproblemstellungen 379
C. Eine erste Analyse der Lösungsmenge 379
10.2 Die Lösungsmenge bei einer Gleichung 381
A. Der einfachste Fall 381
B. Eine Gleichung mit zwei Variablen 382
C. Ein konkretes Zahlenbeispiel 382
D. Die Lösungsmenge bei (1, Jj)-Systemen 384
E. Einige einfache Beispiele 385
10.3 Elementare Zeilenumformungen 389
A. Zielsetzung 389
B. Die drei Arten elementarer Zeilenumformungen 390
C. Die zu Zeilenumformungen gehörende Äquivalenzrelation . 392
10.4 Treppenmatrizen und der Gauß-Algorithmus 393
A. Normierte Treppenmatrizen 393
B. Pivotierung und Transformation in Treppengestalt 394
C. Der Gauß-Algorithmus 396
D. Ein Beispiel zum Gauß-Algorithmus 398
10.5 Die Lösungsmenge bei allgemeinen Problemen 400
A. Ein vorbereitendes Resultat 400
B. Die Entscheidung der Lösbarkeit 400
C. Die Beschreibung des homogenen Lösungsraumes 402
D. Zusammenfassung und Beispiele 403
10.6 Invertierbare Matrizen 406
A. Elementarmatrizen 406
B. Die Eindeutigkeit des Ergebnisses beim Gauß-Algorithmus . 409
C. Invertierbarkeitskriterien für Matrizen 410
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Zusammenfassung 413
Übungsaufgaben 414
Kapiteln Abstrakte Vektorräume und Anwendungen 417
Einführung 418
11.1 Basen 420
A. Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit 420
B. Beispiele zur linearen (Un-)Abhängigkeit 422
C. Minimale Erzeugersysteme alias Basen 423
D. Spaltenraum und Zeilenraum einer Matrix 424
E. Berechnung einer Basis des Spaltenraumes einer Matrix . . . 425
11.2 Die Dimension eines Vektorraumes 427
A. Die Gleichmächtigkeit von je zwei Basen 427
B. Beispiele zum Dimensionsbegriff 429
C. Charakterisierungen von Basen und die Dimension
von Teilräumen 430
11.3 Zur Darstellung linearer Abbildungen 432
A. Zur Existenz von injektiven, surjektiven, bijektiven
linearen Abbildungen 432
B. Koordinatisierung allgemeiner Vektorräume 433
C. Darstellung allgemeiner linearer Abbildungen als Matrizen . 433
D. Verkettung allgemeiner linearer Abbildungen 434
E. Dimensionsformeln und die Summenbildung
bei Vektorräumen 436
11.4 Eigenwerte und Eigenvektoren 437
A. Was versteht man unter einem 0-invarianten Teilraum? . 437
B. Darstellungen unter Berücksichtigung 0-invarianter
Teilräume 438
C. Zur Diagonalisierbarkeit von j 439
D. Die Suche nach Eigenwerten 443
11.5 Orthogonalität und Decodieren bei Hamming-Codes 444
A. Standard-Skalarprodukt und Orthogonalität 444
B. Innere versus äußere Darstellung bei Teilräumen 446
C. Generator- und Kontrollmatrix beim (7, 4)-Hamming-Code . 446
D. Grundlagen zur Theorie allgemeiner linearer Codes 447
E. Ein Decodierverfahren für den (7, 4)-Hamming-Code 449
F. Die Familie der binären Hamming-Codes 450
11.6 Exkurs: Nicht endlich erzeugbare Vektorräume 451
A. Der Vektorraum aller Abbildungen von L nach K 451
B. Der Teilraum der Abbildungen mit endlichem Träger 452
C. Basen für allgemeine Vektorräume 454
Zusammenfassung 456
Kapitel 12 Polynome 461
Einführung 462
12.1 Polynomringe 464
A. Faltung versus punktweise Multiplikation 464
B. Die Algebra der formalen Potenzreihen 466
C. Die Teilalgebra der Polynome 468
D. Eine „Herleitung" der Faltungsformel 470
E. Schreibtechnische Vereinfachungen und
die Bedeutung des Symbols x 471
12.2 Arithmetische Eigenschaften von Polynomen 473
A. Die Einheiten von K[x] 473
B. Teilbarkeit und Assoziiertheit bei Polynomen 474
C. Die Polynomdivision 475
D. Größte gemeinsame Teiler bei Polynomen 477
E. Irreduzibilität und Faktorisierbarkeit 479
12.3 Auswertung und Nullstellen 481
A. Was versteht man unter der Auswertung eines Polynoms? . 481
B. Nullstellen bei Polynomen 483
C. Zur Gleichheit zweier Polynome 485
D. Effiziente Auswertung: das Horner-Schema 485
12.4 Interpolation 487
A. Was versteht man unter Interpolation? 487
B. Das Interpolationspolynom 488
C. Die Interpolationsformel nach Lagrange 489
D. Die Interpolation nach Newton 491
E. Interpolation und Chinesischer Restsatz 492
12.5 Polynom-Restklassen und zyklische Codes 493
A. Rechnen modulo einem Polynom 493
B. Restklassenkörper bei Polynomen 494
C. Zyklische Codes 495
12.6 Diskrete und schnelle Fourier-Transformation 497
A. Die Auswertungs-Interpolations-Methode 497
B. Was ist die diskrete Fourier-Transformation? 498
C. Die schnelle Fourier-Transformation 500
D. Die inverse Fourier-Transformation 502
12.7 Anwendungen in der Linearen Algebra 503
A. Das Minimalpolynom einer Matrix 503
B. Eigenwerte als Nullstellen des Minimalpolynoms 504
C. Zum Grad des Minimalpolynoms einer Matrix 505
Zusammenfassung 506
Übungsaufgaben 509
Kapitel 13 Formale Potenzreihen und rationale Funktionen 513
Einführung 514
13.1 Der Ring der formalen Potenzreihen 516
A. Die Einheiten von K[[x]] 516
B. Invertieren von Linearfaktoren — Geometrische Reihen . 517
13.2 Der Körper der rationalen Funktionen 518
A. Der Quotientenkörper von K[x] 518
B. Das Rechnen mit rationalen Funktionen 519
13.3 Partialbruchzerlegung 520
A. Erster Teil der Partialbruchzerlegung 520
B. Der Spezialfall bei Zerfall in Linearfaktoren 524
C. Zweiter Teil der Partialbruchzerlegung 526
13.4 Exkurs: Schieberegisterfolgen und lineare Rekursionen 527
A. Was versteht man unter einer linearen Schieberegisterfolge? 527
B. Lineare Schieberegisterfolgen als rationale Funktionen . 529
C. Das Lösen linearer Rekursionen 530
Zusammenfassung 534
Übungsaufgaben 535
Teil IV Grundlagen der Analysis 539
Kapitel 14 Die Axiomatik reeller Zahlen 541
Einführung 542
14.1 Angeordnete Körper 544
A. Was versteht man unter einer Anordnung eines Körpers? . . 544
B. Der zu einer Anordnung gehörende Positivbereich 545
C. Grundregeln bei angeordneten Körpern 547
D. Konsequenzen aus der Anordnung eines Körpers 548
14.2 Absolutbetrag und Bewertungen 550
A. Der Absolutbetrag bei angeordneten Körpern 550
B. Grundregeln für das Rechnen mit Beträgen 550
C. Die komplexen Zahlen als bewerteter Körper 551
D. Grundregeln für das Rechnen mit Bewertungen 553
E. Die p-adischen Bewertungen 554
14.3 Archimedisch angeordnete Körper 554
A. Die Bernoulli-Ungleichung 554
B. Das archimedische Axiom 555
C. Konsequenzen des archimedischen Axioms 555
14.4 Vollständig angeordnete Körper 557
A. Beschränkte und unbeschränkte Mengen 557
B. Intervalle in angeordneten Körpern 558
C. Supremum und Infimum, Maximum und Minimum 559
D. Das Vollständigkeitsaxiom 561
14.5 Wurzeln und die Unvollständigkeit der rationalen Zahlen . . . 562
A. Zur Existenz von Wurzeln 562
B. Konsequenzen für die Existenz vollständiger Anordnungen . 563
C. Gesetzmäßigkeiten beim Rechnen mit Wurzeln 564
14.6 Exkurs: Die reellen Zahlen als Dedekind-Schnitte 565
A. Was versteht man unter einem Dedekind-Schnitt? 565
B. Die reellen Zahlen als die Menge aller Dedekind-Schnitte . . 566
C. Die Ausnahmestellung der reellen Zahlen 568
Zusammenfassung 569
Übungsaufgaben 570
Kapitel 15 Folgen 573
Einführung 574
15.1 Häufungspunkte und Grenzwerte 576
A. Fast überall geltende Eigenschaften bei Folgen 576
B. Was ist ein Häufungspunkt, was ein Grenzwert? 577
C. Ein Grundrepertoire an konvergenten Folgen 580
D. Uneigentliche Konvergenz 582
15.2 Grenzwertsätze 583
15.3 Beschränktheit, Monotonie und Teilfolgen 587
A. Beschränktheit bei Folgen 587
B. Monotonie bei Folgen 588
C. Der Begriff der Teilfolge 589
15.4 Konvergenzkriterien und Charakterisierungen der
Vollständigkeit 591
A. Intervallschachtelungen 591
B. Konvergenz bei monotonen und beschränkten Folgen 593
C. Die Euler'sche Zahl 595
D. Limes superior und Limes inferior 596
E. Zur Approximation ic-ter Wurzeln 599
15.5 Landau-Symbole 600
A. Die O-Notation 600
B. Die Cl-, die 0- und die o-Notation 602
C. Zum Wachstumsverhalten von Funktionen 602
D. Zur Effizienz von Algorithmen 604
E. Die Komplexität eines Problems 604
15.6 Exkurs: Cauchy-Folgen 605
A. Was versteht man unter einer Cauchy-Folge? 605
B. Das Cauchy-Kriterium der Vollständigkeit 606
Zusammenfassung 608
Übungsaufgaben 610
Kapitel 16 Reihen B13
Einführung 614
16.1 Konvergenzkriterien bei Reihen 616
A. Die zu einer Folge gehörende Reihe 616
B. Die geometrische und die harmonische Reihe 617
C. Das Leibniz- und das Cauchy-Konvergenzkriterium 618
D. Absolute Konvergenz, Majoranten- und
Minorantenkriterium 621
E. Das Quotienten- und das Wurzelkriterium bei Reihen 623
F. Die Reihendarstellung der Euler'schen Zahl 626
16.2 Der Konvergenzbereich bei Potenzreihen 628
A. Potenzreihen aus analytischem Blickwinkel 628
B. Der Konvergenzradius bei Potenzreihen 628
C. Das Quotienten- und das Wurzelkriterium bei Potenzreihen 630
D. Der Identitätssatz für Potenzreihen 632
E. Reihen mit allgemeinem Entwicklungspunkt 633
16.3 Konvergenzverhalten bei Umordnung und Faltung 634
A. Umordnungen bei Reihen 634
B. Konvergenz bei Faltung von Reihen 635
16.4 Reihendarstellungen rationaler und reeller Zahlen 637
A. Die ß-adische Darstellung einer reellen Zahl 637
B. Zur Eindeutigkeit der B-adischen Darstellung 639
C. Rationale Zahlen mit endlicher ß-adischer Darstellung . 640
D. B-adische Darstellungen von rationalen im Vergleich zu
irrationalen Zahlen 641
E. Zur Gleitkomma-Darstellung reeller Zahlen 643
16.5 Wartezeitprobleme und geometrische Verteilungen 644
A. Grundlagen bei abzählbar unendlichen
Wahrscheinlichkeitsräumen 644
B. Ein Wartezeitproblem 645
Zusammenfassung 648
Übungsaufgaben 650
Kapitel 17 Stetige Funktionen 653
Einführung 654
17.1 Der Stetigkeitsbegriff 656
A. Was versteht man unter Stetigkeit? 656
B. Gleichmäßig stetige und Lipschitz-stetige Funktionen 657
17.2 Stetigkeit bei elementaren Funktionen 659
A. Das Folgenkriterium zur Stetigkeit 659
B. Die punktweise Verknüpfung stetiger Funktionen 660
C. Umkehrung und Verkettung bei stetigen Funktionen 661
D. Stetige Fortsetzbarkeit von Funktionen 663
17.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 666
A. Zwischenwertsätze bei stetigen Funktionen 666
B. Maximum und Minimum bei stetigen reellwertigen
Funktionen 667
17.4 Stetigkeit bei Funktionenfolgen und Potenzreihen 670
A. Die punktweise Konvergenz bei Funktionenfolgen 670
B. Die gleichmäßige Konvergenz bei Funktionenfolgen 670
C. Die Supremumsnorm bei beschränkten Funktionen 672
D. Die Stetigkeit von Potenzreihen 672
17.5 Exponential- und Logarithmusfunktionen 674
A. Die Funktionalgleichung zur Exponentialfunktion 674
B. Das Verhalten der Exponentialfunktion auf Q und auf M . . . 675
C. Der natürliche Logarithmus 677
D. Exponential- und Logaritmenfunktionen zu allgemeinen
Basen 678
E. Potenzfunktionen mit reellen Exponenten 679
F. Die Poisson-Verteilung 680
17.6 Trigonometrische Funktionen 682
A. Das Verhalten der Exponentialfunktion auf der imaginären
Achse 682
B. Die Definition von Sinus und Cosinus 683
C. Funktionale Eigenschaften von Sinus und Cosinus 684
D. Die Potenzreihendarstellung von Cosinus und Sinus 685
E. Was ist n? 685
F. Die Formel von de Moivre 688
17.7 Exkurs: Das schwache Gesetz der großen Zahlen 689
Zusammenfassung 692
Übungsaufgaben 694
Kapitel 18 Differentialrechnung 697
Einführung 698
18.1 Die Ableitung einer Funktion 700
A. Was versteht man unter der Differenzierbarkeit
einer Funktion? 700
B. Die geometrische Interpretation der Ableitung 701
C. Differenzierbarkeitskriterien 701
D. Einige Beispiele differenzierbarer Funktionen 703
18.2 Ableitungsregeln 705
A. Die Linearität der Ableitung 705
B. Produkt- und Quotientenregel 706
C. Die Kettenregel 708
D. Die Ableitung bei Umkehrfunktionen 710
E. Höhere Ableitungen 712
18.3 Mittelwertsätze und Extrema 713
A. Unterscheidung verschiedener Extremaisteilen 713
B. Die Mittelwertsätze der Differentialrechnung 714
C. Kriterien für Monotonie und Extrema 716
D. Regeln von de l'Höpital 718
18.4 Approximation durch Taylor-Polynome 722
A. Was ist ein Taylor-Polynom? 722
B. Der Satz von Taylor 724
C. Ein weiteres Kriterium für lokale Extremalstellen 726
D. Taylor-Reihen und analytische Funktionen 727
18.5 Exkurs: Zur iterativen Lösung von Gleichungen 729
A. Ein allgemeines Iterationsprinzip 729
B. Ein Fixpunktsatz 729
C. Das Newton-Verfahren 731
D. Die Regula falsi 733
Zusammenfassung 734
Übungsaufgaben 736
Kapitel 19 Integralrechnung 739
Einführung 740
19.1 Integration von Treppenfunktionen 742
A. Was versteht man unter einer Treppenfunktion? 742
B. Was ist das Integral einer Treppenfunktion? 743
C. Ober-, Unter- und Riemann-Integral 744
D. Eigenschaften des Riemann-Integrals 746
19.2 Riemann-integrierbare Funktionen 748
A. Gleichmäßige Approximation durch Treppenfunktionen . . . 748
B. Die Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen 749
C. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung 750
19.3 Integration als Umkehrung der Differentiation 750
A. Additionsregel und Integralfunktion 750
B. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 751
C. Stammfunktionen 752
19.4 Integrationsregeln 755
A. Substitutionsregel und Transformationsformel 755
B. Die Regel der partiellen Integration 757
C. Integration bei rationalen Funktionen 759
19.5 Integration bei Funktionenfolgen 760
A. Vertauschung von Integral und Grenzwertbildung 760
B. Integration und Stammfunktionen von Potenzreihen 761
C. Vertauschung von Differenzieren und Grenzwertbildung . . . 763
D. Differenzieren von Potenzreihen 763
19.6 Uneigentliche Integrale und der zentrale Grenzwertsatz 768
A. Integration über unbeschränkten Intervallen 768
B. Verteilungsfunktionen und Dichten 768
C. Der zentrale Grenzwertsatz 771
D. Integration bei Undefinierten Stellen 773
Zusammenfassung 775
Übungsaufgaben 777
Literaturverzeichnis 781
Symbolverzeichnis 785
Register 793 |
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Inhaltsübersicht
Vorwort xxvii
Teil I Mathematisches Grundwissen 1
Kapitel 1 Mengen und Aussagen 3
Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen 43
Kapitel 3 Abbildungen, Äquivalenzrelationen und
partielle Ordnungen 81
Teil II Grundlagen der Diskreten Mathematik 117
Kapitel 4 Kombinatorik ng
Kapitel 5 Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung 153
Kapitel 6 Algebraische Strukturen 193
Kapitel 7 Restklassenringe und Anwendungen 249
Kapitel 8 Homomorphismen und Faktorstrukturen 299
Teil IM Grundlagen der Linearen Algebra 331
Kapitel 9 Vektoren und Matrizen 333
Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme 375
Kapitel 11 Abstrakte Vektorräume und Anwendungen 417
Kapitel 12 Polynome 461
Kapitel 13 Formale Potenzreihen und rationale
Funktionen 513
Teil IV Grundlagen der Analysis 539
Kapitel 14 Die Axiomatik reeller Zahlen 541
Kapitel 15 Folgen 573
Kapitel 16 Reihen 613
Kapitel 17 Stetige Funktionen 653
Kapitel 18 Differentialrechnung 697
Kapitel 19 Integralrechnung 739
Literaturverzeichnis 781
Symbolverzeichnis 785
Register 793
Inhaltsverzeichnis
Vorwort xxvü
Teil I Mathematisches Grundwissen 1
Kapitel 1 Mengen und Aussagen 3
Einführung 4
1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre 6
A. Was ist eine Menge? 6
B. Beschreibungen von Mengen 7
C. Teilmengenbeziehung und Gleichheit bei Mengen 7
D. Die Mächtigkeit einer Menge 8
E. Eine Menge, die nicht fehlen darf 9
1.2 Grundlegende Zahlbereiche 9
A. Mengenbezeichnungen für Zahlbereiche 9
B. Zum Unterschied zwischen rationalen und reellen Zahlen . 10
C. Ein weiterer Grund für Zahlbereichserweiterungen 12
D. Eine grundlegende Eigenschaft reeller Zahlen 12
E. Die Lösung reeller quadratischer Gleichungen 13
1.3 Verknüpfungen von Mengen 15
A. Vier grundlegende Verknüpfungen von Mengen 15
B. Die disjunkte Mengenvereinigung 16
C. Grundgesetze bei Mengenverknüpfungen 17
D. Regeln bei Mächtigkeiten von endlichen Mengen 20
1.4 Aussagen und deren logische Verknüpfungen 21
A. Wahrheitswerte logischer Aussagen 21
B. Verknüpfungen von Aussagen und Wahrheitstafeln 22
C. Zur Äquivalenz von Aussagen 23
D. Die logische Grundlage dreier Beweismethoden 24
E. Gesetzmäßigkeiten bei Verknüpfungen von Aussagen 26
F. Normalformen bei aussagenlogischen Formeln 27
1.5 Potenzmenge und kartesische Produkte 27
A. Die Potenzmenge einer Menge 27
B. Mengensysteme 28
C. Kartesische Produkte 29
1.6 Zur Bildung von mehrfachen Verknüpfungen 30
A. Das Summen- und das Produktzeichen 30
B. Grundregeln für das Rechnen mit Summen und Produkten . 32
C. /7-fache kartesische Produkte 33
1.7 Verknüpfungen bei beliebigen Indexmengen 35
A. Reihen - Summation unendlich vieler Zahlen 35
B. Schnitte und Vereinigungen über Mengensystemen 35
C. Existenz- und Allquantor 36
1.8 Exkurs: Das Auswahlaxiom 38
Zusammenfassung 39
Übungsaufgaben 40
Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen 43
Einführung 44
2.1 Vollständige Induktion 46
A. Die Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Ordnung . 46
B. Das Prinzip der vollständigen Induktion 47
C. Zwei Beispiele zur vollständigen Induktion 49
D. Die Fakultätsfunktion und deren Wachstumsverhalten . 52
E. Die geometrische Summe 54
F. Die Summenregel aus der Kombinatorik 55
2.2 Primfaktorzerlegung 56
A. Die Teilbarkeitsrelation 56
B. Primzahlen 57
C. Eine zweite Form des Prinzips der vollständigen Induktion . 58
D. Die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen 60
E. Ein naives Faktorisierungsverfahren 62
2.3 Darstellungen ganzer Zahlen 63
A. Division mit Rest 63
B. Die B-adische Darstellung einer ganzen Zahl 65
C. Korrektheit und Terminierung bei Algorithmen 67
D. Zur Komplexität eines Algorithmus 68
2.4 Der Euklidische Algorithmus 69
A. Größte gemeinsame Teiler 69
B. Die Berechnung des ggT zweier Zahlen 70
C. Die Berechnung der Vielfachsummendarstellung eines ggT . 72
D. Eine Anwendung des erweiterten
Euklidischen Algorithmus 74
E. Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen . . 74
Zusammenfassung 75
Übungsaufgaben 77
Kapitel 3 Abbildungen, Äquivalenzrelationen und partielle
Ordnungen 81
Einführung 82
3.1 Grundlagen über Relationen 84
A. Was ist eine Relation? 84
B. Umkehrung und Verkettung von Relationen 84
C. Gerichtete Graphen 85
3.2 Der Abbildungsbegriff 86
A. Was versteht man unter einer Abbildung? 86
B. Schreib- und Sprechweisen bei Abbildungen 87
C. Spezielle Eigenschaften bei Abbildungen 88
D. Die Urbildpartition zu einer Abbildung 90
E. Zur Umkehrung von Abbildungen 91
F. Die Verkettung von Abbildungen 92
3.3 Besonderheiten bei endlichen Mengen 93
3.4 Gleichmächtigkeit 96
A. Was bedeutet die Gleichmächtigkeit zweier Mengen? 96
B. Die Gleichmächtigkeit von N, von Z und von Q 96
C. Die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen 98
3.5 Ordnungsrelationen 100
A. Partielle Ordnungen 100
B. Einige Beispiele partieller Ordnungen 101
C. Totale Ordnungen 102
3.6 Äquivalenzrelationen 103
A. Was ist eine Äquivalenzrelation? 103
B. Beispiele von Äquivalenzrelationen 103
C. Äquivalenzklassen 105
D. Restklassen modulo n 105
E. Repräsentantensysteme 107
3.7 Exkurs: Kontinuumshypothese und Hasse-Diagramme 108
A. Abbildungen und kartesische Produkte 108
B. Zur Kontinuumshypothese 108
C. Kleinste und größte Elemente in partiell
geordneten Mengen 109
D. Wohlordnungen als spezielle Ordnungen 109
E. Darstellung partieller Ordnungen durch Hasse-Diagramme . 110
F. Reduktion und Normalformen 110
Zusammenfassung 112
Übungsaufgaben 114
Teil II Grundlagen der Diskreten Mathematik 117
Kapitel 4 Kombinatorik 119
Einführung 120
4.1 Grundregeln des Zählens 122
A. Die Summenregel 122
B. Die Gleichmächtigkeitsregel 122
C. Die Produktregel 123
D. Die Potenzregel 124
4.2 Binomialkoeffizienten 125
A. Potenzmengen und charakteristische Funktionen 125
B. Was ist ein Binomialkoeffizient? 126
C. Gesetzmäßigkeiten bei Binomialkoeffizienten 126
D. Der Binomialsatz 129
4.3 Abbildungen auf endlichen Mengen 132
A. Die Rückführung auf Standardmengen 132
B. Die Anzahl der injektiven und bijektiven Abbildungen . 132
C. Formale Beweise 133
4.4 Das Inklusions-Exklusions-Prinzip 135
A. Der Spezialfall bei Vereinigungen von drei Mengen 135
B. Die allgemeine Inklusions-Exklusions-Formel 135
C. Ein weiterer Beweis der Inklusions-Exklusions-Formel . 137
D. Die Siebformel 137
4.5 Anwendungen der Siebformel 138
A. Die Euler-Funktion 138
B. Die Multiplikativität der Euler-Funktion 140
C. Die Anzahl der surjektiven Abbildungen
zwischen zwei endlichen Mengen 141
4.6 Exkurs: Darstellung von Permutationen 142
A. Eine erste Darstellungsmöglichkeit von Permutationen . 142
B. Die Zykelschreibweise 143
C. Multiplikation von Zyklen 144
D. Transpositionen - die einfachsten Permutationen 144
E. Zur Eindeutigkeit der Darstellung von Permutationen 145
Zusammenfassung 147
Übungsaufgaben 149
Kapitel 5 Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung 153
Einführung 154
5.1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 156
A. Der Ergebnisraum 156
B. Ereignisse 157
C. Was versteht man unter einer Wahrscheinlichkeit? 158
D. Grundregeln für das Arbeiten mit
Wahrscheinlichkeitsräumen 160
5.2 Laplace-Modelle und vier Kugel-Modelle 162
A. Was ist ein Laplace-Modell? 162
B. Die vier grundlegenden Experimente als Kugel-Modelle . . . 163
C. Die vier Kugel-Modelle nochmals im Überblick 165
5.3 Zufallsvariablen und induzierte Wahrscheinlichkeitsfunktionen 166
A. Laplace-Modelle im Hintergrund 166
B. Zufallsvariable und Transformation 168
C. Schreibweisen beim Umgang mit Zufallsvariablen 170
D. Indikatorvariablen und relative Häufigkeiten 170
5.4 Mehrstufige Experimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten . 171
A. Was versteht man unter einer bedingten
Wahrscheinlichkeit? 171
B. Zwei Beispiele für den Umgang mit bedingten
Wahrscheinlichkeiten 172
C. Die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit 173
D. Die Formel von Bayes 174
E. Ein Beispiel aus der Medizin 174
5.5 Stochastische Unabhängigkeit 176
A. Die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse 176
B. Stochastische Unabhängigkeit bei mehreren Ereignissen . 177
C. Die Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen 177
5.6 Erwartungswert und Varianz 177
A. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen 177
B. Eine alternative Formel zur Berechnung
des Erwartungswertes 179
C. Die Varianz einer Zufallsvariablen 179
D. Die wichtigsten Gesetzmäßigkeiten beim Bilden von
Erwartungswerten 181
E. Die wichtigsten Gesetzmäßigkeiten bei der Berechnung von
Varianzen 183
5.7 Binomial Verteilungen 185
A. Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten 185
B. Binomial-verteilte Zufallsvariablen 186
C. Der Erwartungswert einer binomial-verteilten
Zufallsvariablen 186
D. Die Varianz einer binomial-verteilten Zufallsvariablen . 188
Zusammenfassung 189
Übungsaufgaben 190
Kapitel 6 Algebraische Strukturen 193
Einführung 194
6.1 Monoide 196
A. Was versteht man allgemein unter einer Verknüpfung? . 196
B. Assoziative und kommutative Verknüpfungen 197
C. Das neutrale Element: von der Halbgruppe zum Monoid . 198
D. Beispiele von Monoiden 199
6.2 Gruppen 203
A. Invertierbarkeit 203
B. Die Definition einer Gruppe und die Einheitengruppe eines
Monoids 204
C. Beispiele von Einheitengruppen und Gruppen 206
6.3 Untergruppen und der Satz von Lagrange 208
A. Teilmonoide und Untergruppen 208
B. Die Untergruppen von (Z, +, 0) 210
C. Zur Erzeugung von Teilmonoiden und zyklische Gruppen . 211
D. Linksnebenklassen von Untergruppen und der Satz von
Lagrange 213
E. Die Ordnung eines Gruppenelementes 215
6.4 Ringe und Körper 217
A. Was versteht man unter der algebraischen Struktur
eines Ringes? 217
B. Allgemeine Rechengesetze bei Ringen 219
C. Integritätsbereiche 220
D. Die Einheitengruppe eines Ringes, Schiefkörper und Körper 221
E. Grundlegende Beispiele von Ringen 222
F. Eine Übersicht verschiedener Kategorien von Ringen 224
6.5 Der Körper der komplexen Zahlen 225
A. Grundmenge, Verknüpfungen und Nachweis
der Körpereigenschaft 225
B. Die reellen Zahlen als Teilkörper der komplexen Zahlen . . . 228
C. Imaginäre Einheit, Real- und Imaginärteil 228
D. Die konjugiert Komplexe und der Betrag einer komplexen
Zahl 230
E. Die Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten . 231
F. Die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus 232
6.6 Der Schiefkörper der Quaternionen 234
A. Die Grundmenge und die Verknüpfungen bei Quaternionen 234
B. Der Nachweis der Schiefkörpereigenschaft 234
6.7 Exkurs: Verbände und Boole'sche Algebren 237
A. Die Definition eines Verbandes 237
B. Gesetzmäßigkeiten bei allgemeinen Verbänden 237
C. Einige Beispiele von Verbänden 239
D. Die Vollständigkeit eines Verbandes sowie
kleinstes und größtes Element 239
E. Komplementarität und Distributivität 240
F. Boole'sche Verbände 241
Zusammenfassung 243
Übungsaufgaben 245
Kapitel 7 Restklassenringe und Anwendungen 249
Einführung 250
7.1 Modulares Rechnen 252
A. Die Kongruenz modulo n und Restklassenarithmetik 252
B. Der Restklassenring Zn 254
C. Einheiten modulo n 255
D. Welche Restklassenringe sind Körper? 258
E. Effizientes Potenzieren in Restklassenringen 258
F. Die Sätze von Euler und Fermat 260
G. Die Ordnung modulo n und primitive Elemente
in Restklassenkörpern 261
7.2 Das RSA-Public-Key-Cryptosystem 262
A. Grundbegriffe der Kryptographie 262
B. Beschreibung der Schlüssel beim RSA-System 263
C. Die korrekte Arbeitsweise des RSA-Systems 264
D. Schlüsselgenerierung und Sicherheit beim RSA-System . . . 265
E. Ein Beispiel zum RSA-System 267
7.3 Das Grundmodell bei fehlerkorrigierenden Codes 270
A. Grundbegriffe der Codierungstheorie 270
B. Die Eigenschaft der „Linearität" bei Codes 272
C. Weitere Aspekte des Grundmodells der Codierungstheorie . 273
D. Anforderungen an gute Codes 276
7.4 Kugelpackungsschranke und (7,4)-Hamming-Code 277
A. Minimalabstand und Korrekturleistung eines Codes 277
B. Die Kugelpackungsschranke und perfekte Codes 279
C. Beispiele perfekter Codes 281
7.5 Prüfzeichencodierung 283
A. Der ISBN-Code 283
B. Eigenschaften des ISBN-Codes 284
C. Der EAN-Code 286
7.6 Exkurs: Der Chinesische Restsatz 287
A. Einführendes Beispiel und allgemeine Problemstellung . . . 287
B. Die Beschreibung der Lösungsmenge 288
C. Die Lösbarkeit bei relativ primen Restsystemen 289
D. Die iterative Berechnung der Lösung 292
Zusammenfassung 294
Übungsaufgaben 296
Kapitel 8 Homomorphismen und Faktorstrukturen 299
Einführung 300
8.1 Homomorphismen bei Gruppen 302
A. Strukturerhaltende Abbildungen auf Monoiden
und Gruppen 302
B. Spezielle Eigenschaften bei Gruppen-Homomorphismen . . . 303
C. Kern und Bild bei Gruppen-Homomorphismen 304
D. Urbilder bei Gruppen-Homomorphismen 305
E. Nochmals zur Ordnung eines Gruppenelementes 307
F. Beispiele von Gruppen-Homomorphismen 307
8.2 Normalteiler und Faktorgruppen 308
A. Äquivalenzen modulo einer Untergruppe und Normalteiler 308
B. Kongruenzrelationen auf Gruppen neutrale Klassen und
Normalteiler 310
C. Kerne von Homomorphismen als neutrale Klassen 312
D. Verknüpfung von Klassen und Faktorgruppen 312
E. Neutrale Klassen als Kerne von Homomorphismen 314
8.3 Homomorphismen bei Ringen und Ideale 314
A. Was ist ein Teilring von /?? 314
B. Was ist ein Ring-Homomorphismus? 315
C. Was ist der Kern eines Ring-Homomorphismus? 315
D. Ideale 315
E. Hauptidealbereiche 316
F. Die Charakteristik eines Körpers 317
8.4 Kongruenzen bei Ringen, Ideale und Faktorringe 318
A. Kongruenzrelationen auf Ringen 318
B. Faktorringe und die Klassenmultiplikation 319
C. Maximale Ideale und Körper als Faktorringe 320
8.5 Exkurs: Homomorphiesätze 322
A. Der Homomorphiesatz für Gruppen 322
B. Ein weiteres Beispiel: Alternierende Gruppen 323
C. Der Homomorphiesatz für Ringe 324
D. Nochmals der Chinesische Restsatz 324
Zusammenfassung 326
Übungsaufgaben 328
Teil IM Grundlagen der Linearen Algebra 331
Kapitel 9 Vektoren und Matrizen 333
Einführung 334
9.1 Vektorräume 336
A. n-Tupelräume als Vektorräume 336
B. Die Axiomatik abstrakter Vektorräume 337
C. Matrixräume 339
D. Spezielle Klassen quadratischer Matrizen 340
E. Zeilen- und Spaltenvektoren als Matrizen 341
F. Eine Übersicht über Vektoren und Matrizen 342
9.2 Teilräume und deren Erzeugung 343
A. Was versteht man unter einem Teilraum? 343
B. Linearkombinationen, lineare Hülle und
Erzeugung von Vektorräumen 345
C. Endlich erzeugte Vektorräume und kanonische Basen 347
9.3 Matrixalgebren 348
A. Die Matrixmultiplikation 348
B. Spezialfälle bei der Matrixmultiplikation 349
C. Gesetzmäßigkeiten bei der Matrixmultiplikation 350
D. Die quadratischen Matrizen als K-Algebra 351
E. Invertierbare Matrizen 354
9.4 Lineare Abbildungen 357
A. Was ist eine K-lineare Abbildung? 357
B. Matrizen als K-lineare Abbildungen 358
C. Darstellung linearer Abbildungen als Matrizen 358
D. Die Matrixmultiplikation als Hintereinanderausführung
linearer Abbildungen 360
9.5 Komplexe Zahlen und Quatemionen als Matrixalgebren 361
A. Veranschaulichung linearer Abbildungen auf R2 361
B. Die komplexen Zahlen als Matrixalgebra 362
C. Die Quatemionen als Matrixring über C 364
D. Die Quatemionen als Matrixalgebra über 1R 365
9.6 Exkurs: Kerne von linearen Abbildungen und Faktorräume . . . 367
A. Der Kern einer linearen Abbildung 367
B. Faktorräume und Kongruenzrelationen bei Vektorräumen . . 367
Zusammenfassung 369
Übungsaufgaben 371
Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme 375
Einführung 376
10.1 Die Struktur der Lösungsmenge 378
A. Was ist ein lineares Gleichungssystem? 378
B. Grundproblemstellungen 379
C. Eine erste Analyse der Lösungsmenge 379
10.2 Die Lösungsmenge bei einer Gleichung 381
A. Der einfachste Fall 381
B. Eine Gleichung mit zwei Variablen 382
C. Ein konkretes Zahlenbeispiel 382
D. Die Lösungsmenge bei (1, Jj)-Systemen 384
E. Einige einfache Beispiele 385
10.3 Elementare Zeilenumformungen 389
A. Zielsetzung 389
B. Die drei Arten elementarer Zeilenumformungen 390
C. Die zu Zeilenumformungen gehörende Äquivalenzrelation . 392
10.4 Treppenmatrizen und der Gauß-Algorithmus 393
A. Normierte Treppenmatrizen 393
B. Pivotierung und Transformation in Treppengestalt 394
C. Der Gauß-Algorithmus 396
D. Ein Beispiel zum Gauß-Algorithmus 398
10.5 Die Lösungsmenge bei allgemeinen Problemen 400
A. Ein vorbereitendes Resultat 400
B. Die Entscheidung der Lösbarkeit 400
C. Die Beschreibung des homogenen Lösungsraumes 402
D. Zusammenfassung und Beispiele 403
10.6 Invertierbare Matrizen 406
A. Elementarmatrizen 406
B. Die Eindeutigkeit des Ergebnisses beim Gauß-Algorithmus . 409
C. Invertierbarkeitskriterien für Matrizen 410
n TMt»,.*i u—i—'---•• " * •
Zusammenfassung 413
Übungsaufgaben 414
Kapiteln Abstrakte Vektorräume und Anwendungen 417
Einführung 418
11.1 Basen 420
A. Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit 420
B. Beispiele zur linearen (Un-)Abhängigkeit 422
C. Minimale Erzeugersysteme alias Basen 423
D. Spaltenraum und Zeilenraum einer Matrix 424
E. Berechnung einer Basis des Spaltenraumes einer Matrix . . . 425
11.2 Die Dimension eines Vektorraumes 427
A. Die Gleichmächtigkeit von je zwei Basen 427
B. Beispiele zum Dimensionsbegriff 429
C. Charakterisierungen von Basen und die Dimension
von Teilräumen 430
11.3 Zur Darstellung linearer Abbildungen 432
A. Zur Existenz von injektiven, surjektiven, bijektiven
linearen Abbildungen 432
B. Koordinatisierung allgemeiner Vektorräume 433
C. Darstellung allgemeiner linearer Abbildungen als Matrizen . 433
D. Verkettung allgemeiner linearer Abbildungen 434
E. Dimensionsformeln und die Summenbildung
bei Vektorräumen 436
11.4 Eigenwerte und Eigenvektoren 437
A. Was versteht man unter einem 0-invarianten Teilraum? . 437
B. Darstellungen unter Berücksichtigung 0-invarianter
Teilräume 438
C. Zur Diagonalisierbarkeit von j 439
D. Die Suche nach Eigenwerten 443
11.5 Orthogonalität und Decodieren bei Hamming-Codes 444
A. Standard-Skalarprodukt und Orthogonalität 444
B. Innere versus äußere Darstellung bei Teilräumen 446
C. Generator- und Kontrollmatrix beim (7, 4)-Hamming-Code . 446
D. Grundlagen zur Theorie allgemeiner linearer Codes 447
E. Ein Decodierverfahren für den (7, 4)-Hamming-Code 449
F. Die Familie der binären Hamming-Codes 450
11.6 Exkurs: Nicht endlich erzeugbare Vektorräume 451
A. Der Vektorraum aller Abbildungen von L nach K 451
B. Der Teilraum der Abbildungen mit endlichem Träger 452
C. Basen für allgemeine Vektorräume 454
Zusammenfassung 456
Kapitel 12 Polynome 461
Einführung 462
12.1 Polynomringe 464
A. Faltung versus punktweise Multiplikation 464
B. Die Algebra der formalen Potenzreihen 466
C. Die Teilalgebra der Polynome 468
D. Eine „Herleitung" der Faltungsformel 470
E. Schreibtechnische Vereinfachungen und
die Bedeutung des Symbols x 471
12.2 Arithmetische Eigenschaften von Polynomen 473
A. Die Einheiten von K[x] 473
B. Teilbarkeit und Assoziiertheit bei Polynomen 474
C. Die Polynomdivision 475
D. Größte gemeinsame Teiler bei Polynomen 477
E. Irreduzibilität und Faktorisierbarkeit 479
12.3 Auswertung und Nullstellen 481
A. Was versteht man unter der Auswertung eines Polynoms? . 481
B. Nullstellen bei Polynomen 483
C. Zur Gleichheit zweier Polynome 485
D. Effiziente Auswertung: das Horner-Schema 485
12.4 Interpolation 487
A. Was versteht man unter Interpolation? 487
B. Das Interpolationspolynom 488
C. Die Interpolationsformel nach Lagrange 489
D. Die Interpolation nach Newton 491
E. Interpolation und Chinesischer Restsatz 492
12.5 Polynom-Restklassen und zyklische Codes 493
A. Rechnen modulo einem Polynom 493
B. Restklassenkörper bei Polynomen 494
C. Zyklische Codes 495
12.6 Diskrete und schnelle Fourier-Transformation 497
A. Die Auswertungs-Interpolations-Methode 497
B. Was ist die diskrete Fourier-Transformation? 498
C. Die schnelle Fourier-Transformation 500
D. Die inverse Fourier-Transformation 502
12.7 Anwendungen in der Linearen Algebra 503
A. Das Minimalpolynom einer Matrix 503
B. Eigenwerte als Nullstellen des Minimalpolynoms 504
C. Zum Grad des Minimalpolynoms einer Matrix 505
Zusammenfassung 506
Übungsaufgaben 509
Kapitel 13 Formale Potenzreihen und rationale Funktionen 513
Einführung 514
13.1 Der Ring der formalen Potenzreihen 516
A. Die Einheiten von K[[x]] 516
B. Invertieren von Linearfaktoren — Geometrische Reihen . 517
13.2 Der Körper der rationalen Funktionen 518
A. Der Quotientenkörper von K[x] 518
B. Das Rechnen mit rationalen Funktionen 519
13.3 Partialbruchzerlegung 520
A. Erster Teil der Partialbruchzerlegung 520
B. Der Spezialfall bei Zerfall in Linearfaktoren 524
C. Zweiter Teil der Partialbruchzerlegung 526
13.4 Exkurs: Schieberegisterfolgen und lineare Rekursionen 527
A. Was versteht man unter einer linearen Schieberegisterfolge? 527
B. Lineare Schieberegisterfolgen als rationale Funktionen . 529
C. Das Lösen linearer Rekursionen 530
Zusammenfassung 534
Übungsaufgaben 535
Teil IV Grundlagen der Analysis 539
Kapitel 14 Die Axiomatik reeller Zahlen 541
Einführung 542
14.1 Angeordnete Körper 544
A. Was versteht man unter einer Anordnung eines Körpers? . . 544
B. Der zu einer Anordnung gehörende Positivbereich 545
C. Grundregeln bei angeordneten Körpern 547
D. Konsequenzen aus der Anordnung eines Körpers 548
14.2 Absolutbetrag und Bewertungen 550
A. Der Absolutbetrag bei angeordneten Körpern 550
B. Grundregeln für das Rechnen mit Beträgen 550
C. Die komplexen Zahlen als bewerteter Körper 551
D. Grundregeln für das Rechnen mit Bewertungen 553
E. Die p-adischen Bewertungen 554
14.3 Archimedisch angeordnete Körper 554
A. Die Bernoulli-Ungleichung 554
B. Das archimedische Axiom 555
C. Konsequenzen des archimedischen Axioms 555
14.4 Vollständig angeordnete Körper 557
A. Beschränkte und unbeschränkte Mengen 557
B. Intervalle in angeordneten Körpern 558
C. Supremum und Infimum, Maximum und Minimum 559
D. Das Vollständigkeitsaxiom 561
14.5 Wurzeln und die Unvollständigkeit der rationalen Zahlen . . . 562
A. Zur Existenz von Wurzeln 562
B. Konsequenzen für die Existenz vollständiger Anordnungen . 563
C. Gesetzmäßigkeiten beim Rechnen mit Wurzeln 564
14.6 Exkurs: Die reellen Zahlen als Dedekind-Schnitte 565
A. Was versteht man unter einem Dedekind-Schnitt? 565
B. Die reellen Zahlen als die Menge aller Dedekind-Schnitte . . 566
C. Die Ausnahmestellung der reellen Zahlen 568
Zusammenfassung 569
Übungsaufgaben 570
Kapitel 15 Folgen 573
Einführung 574
15.1 Häufungspunkte und Grenzwerte 576
A. Fast überall geltende Eigenschaften bei Folgen 576
B. Was ist ein Häufungspunkt, was ein Grenzwert? 577
C. Ein Grundrepertoire an konvergenten Folgen 580
D. Uneigentliche Konvergenz 582
15.2 Grenzwertsätze 583
15.3 Beschränktheit, Monotonie und Teilfolgen 587
A. Beschränktheit bei Folgen 587
B. Monotonie bei Folgen 588
C. Der Begriff der Teilfolge 589
15.4 Konvergenzkriterien und Charakterisierungen der
Vollständigkeit 591
A. Intervallschachtelungen 591
B. Konvergenz bei monotonen und beschränkten Folgen 593
C. Die Euler'sche Zahl 595
D. Limes superior und Limes inferior 596
E. Zur Approximation ic-ter Wurzeln 599
15.5 Landau-Symbole 600
A. Die O-Notation 600
B. Die Cl-, die 0- und die o-Notation 602
C. Zum Wachstumsverhalten von Funktionen 602
D. Zur Effizienz von Algorithmen 604
E. Die Komplexität eines Problems 604
15.6 Exkurs: Cauchy-Folgen 605
A. Was versteht man unter einer Cauchy-Folge? 605
B. Das Cauchy-Kriterium der Vollständigkeit 606
Zusammenfassung 608
Übungsaufgaben 610
Kapitel 16 Reihen B13
Einführung 614
16.1 Konvergenzkriterien bei Reihen 616
A. Die zu einer Folge gehörende Reihe 616
B. Die geometrische und die harmonische Reihe 617
C. Das Leibniz- und das Cauchy-Konvergenzkriterium 618
D. Absolute Konvergenz, Majoranten- und
Minorantenkriterium 621
E. Das Quotienten- und das Wurzelkriterium bei Reihen 623
F. Die Reihendarstellung der Euler'schen Zahl 626
16.2 Der Konvergenzbereich bei Potenzreihen 628
A. Potenzreihen aus analytischem Blickwinkel 628
B. Der Konvergenzradius bei Potenzreihen 628
C. Das Quotienten- und das Wurzelkriterium bei Potenzreihen 630
D. Der Identitätssatz für Potenzreihen 632
E. Reihen mit allgemeinem Entwicklungspunkt 633
16.3 Konvergenzverhalten bei Umordnung und Faltung 634
A. Umordnungen bei Reihen 634
B. Konvergenz bei Faltung von Reihen 635
16.4 Reihendarstellungen rationaler und reeller Zahlen 637
A. Die ß-adische Darstellung einer reellen Zahl 637
B. Zur Eindeutigkeit der B-adischen Darstellung 639
C. Rationale Zahlen mit endlicher ß-adischer Darstellung . 640
D. B-adische Darstellungen von rationalen im Vergleich zu
irrationalen Zahlen 641
E. Zur Gleitkomma-Darstellung reeller Zahlen 643
16.5 Wartezeitprobleme und geometrische Verteilungen 644
A. Grundlagen bei abzählbar unendlichen
Wahrscheinlichkeitsräumen 644
B. Ein Wartezeitproblem 645
Zusammenfassung 648
Übungsaufgaben 650
Kapitel 17 Stetige Funktionen 653
Einführung 654
17.1 Der Stetigkeitsbegriff 656
A. Was versteht man unter Stetigkeit? 656
B. Gleichmäßig stetige und Lipschitz-stetige Funktionen 657
17.2 Stetigkeit bei elementaren Funktionen 659
A. Das Folgenkriterium zur Stetigkeit 659
B. Die punktweise Verknüpfung stetiger Funktionen 660
C. Umkehrung und Verkettung bei stetigen Funktionen 661
D. Stetige Fortsetzbarkeit von Funktionen 663
17.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 666
A. Zwischenwertsätze bei stetigen Funktionen 666
B. Maximum und Minimum bei stetigen reellwertigen
Funktionen 667
17.4 Stetigkeit bei Funktionenfolgen und Potenzreihen 670
A. Die punktweise Konvergenz bei Funktionenfolgen 670
B. Die gleichmäßige Konvergenz bei Funktionenfolgen 670
C. Die Supremumsnorm bei beschränkten Funktionen 672
D. Die Stetigkeit von Potenzreihen 672
17.5 Exponential- und Logarithmusfunktionen 674
A. Die Funktionalgleichung zur Exponentialfunktion 674
B. Das Verhalten der Exponentialfunktion auf Q und auf M . . . 675
C. Der natürliche Logarithmus 677
D. Exponential- und Logaritmenfunktionen zu allgemeinen
Basen 678
E. Potenzfunktionen mit reellen Exponenten 679
F. Die Poisson-Verteilung 680
17.6 Trigonometrische Funktionen 682
A. Das Verhalten der Exponentialfunktion auf der imaginären
Achse 682
B. Die Definition von Sinus und Cosinus 683
C. Funktionale Eigenschaften von Sinus und Cosinus 684
D. Die Potenzreihendarstellung von Cosinus und Sinus 685
E. Was ist n? 685
F. Die Formel von de Moivre 688
17.7 Exkurs: Das schwache Gesetz der großen Zahlen 689
Zusammenfassung 692
Übungsaufgaben 694
Kapitel 18 Differentialrechnung 697
Einführung 698
18.1 Die Ableitung einer Funktion 700
A. Was versteht man unter der Differenzierbarkeit
einer Funktion? 700
B. Die geometrische Interpretation der Ableitung 701
C. Differenzierbarkeitskriterien 701
D. Einige Beispiele differenzierbarer Funktionen 703
18.2 Ableitungsregeln 705
A. Die Linearität der Ableitung 705
B. Produkt- und Quotientenregel 706
C. Die Kettenregel 708
D. Die Ableitung bei Umkehrfunktionen 710
E. Höhere Ableitungen 712
18.3 Mittelwertsätze und Extrema 713
A. Unterscheidung verschiedener Extremaisteilen 713
B. Die Mittelwertsätze der Differentialrechnung 714
C. Kriterien für Monotonie und Extrema 716
D. Regeln von de l'Höpital 718
18.4 Approximation durch Taylor-Polynome 722
A. Was ist ein Taylor-Polynom? 722
B. Der Satz von Taylor 724
C. Ein weiteres Kriterium für lokale Extremalstellen 726
D. Taylor-Reihen und analytische Funktionen 727
18.5 Exkurs: Zur iterativen Lösung von Gleichungen 729
A. Ein allgemeines Iterationsprinzip 729
B. Ein Fixpunktsatz 729
C. Das Newton-Verfahren 731
D. Die Regula falsi 733
Zusammenfassung 734
Übungsaufgaben 736
Kapitel 19 Integralrechnung 739
Einführung 740
19.1 Integration von Treppenfunktionen 742
A. Was versteht man unter einer Treppenfunktion? 742
B. Was ist das Integral einer Treppenfunktion? 743
C. Ober-, Unter- und Riemann-Integral 744
D. Eigenschaften des Riemann-Integrals 746
19.2 Riemann-integrierbare Funktionen 748
A. Gleichmäßige Approximation durch Treppenfunktionen . . . 748
B. Die Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen 749
C. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung 750
19.3 Integration als Umkehrung der Differentiation 750
A. Additionsregel und Integralfunktion 750
B. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 751
C. Stammfunktionen 752
19.4 Integrationsregeln 755
A. Substitutionsregel und Transformationsformel 755
B. Die Regel der partiellen Integration 757
C. Integration bei rationalen Funktionen 759
19.5 Integration bei Funktionenfolgen 760
A. Vertauschung von Integral und Grenzwertbildung 760
B. Integration und Stammfunktionen von Potenzreihen 761
C. Vertauschung von Differenzieren und Grenzwertbildung . . . 763
D. Differenzieren von Potenzreihen 763
19.6 Uneigentliche Integrale und der zentrale Grenzwertsatz 768
A. Integration über unbeschränkten Intervallen 768
B. Verteilungsfunktionen und Dichten 768
C. Der zentrale Grenzwertsatz 771
D. Integration bei Undefinierten Stellen 773
Zusammenfassung 775
Übungsaufgaben 777
Literaturverzeichnis 781
Symbolverzeichnis 785
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