Derivate und interne Modelle: modernes Risikomanagement
Gespeichert in:
| Vorheriger Titel: | Eller, Roland Derivate und Interne Modelle |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart
Schäffer-Poeschel
2008
|
| Ausgabe: | 4., überarb. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Inhaltstext Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Beschreibung: | XVI, 686 S. graph. Darst 1 CD-ROM (12 cm) |
| ISBN: | 9783791027869 3791027867 |
Internformat
MARC
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Vil
Inhaltsverzeichnis
I
Grundlagen 1
1 Einleitung 3
2 Die grundlegenden Risikofaktoren der Finanzmärkte 7
2.1 Zinsen. 7
2.1.1
Day Count Conventions
. 8
2.1.2 Business
Day
Conventions. 10
2.1.3 Diskontfaktoren. 11
2.1.4 Zinsmethoden. 12
2.1.5 Spot Rates. 17
2.1.6
Forward
Rates. 37
2.2 Kurse. 19
2.3 Ein anschauliches Modell für die Risikofaktoren. 20
2.3.1 Der
Random Walk
als Grundlage vieler Preis-
шкі
Risikomodelle 20
2.3.2 Risikofaktoren als
Random Walks
. 23
2.4 Ito-Prozesse und
stochastische
Analysis .
28
2.4.1 Der allgemeine Diffusionsprozess. 28
2.4.2 Ito's Lemma . 29
2.4.3 Übergangswahrscheinlichkeiten.
Forward-
und
Backward Equation
34
2.4.4
Forward
und
Backward Equation in
der Black-Scholes Welt . 41
3 Finanzinstrumente: Eine Systematik von Derivaten und Underlyings 43
3.1 Kassageschäfte. 44
3.1.1 Geldmarktpapiere. 44
3.1.2 Kapitalmarktpapiere. 48
3.1.3
Swaps
. 50
3.2 Termingeschäfte . -51
3.3 Optionen . 53
II
Methoden 57
4 Überblick über die Voraussetzungen 59
INHALTSVERZEICHNIS
Barwerte, Renditen und traditionelle Risikokennzahlen 63
5.1 Barwert und
Yield To Maturity
. 63
5.2 Effektivzins und
Net Present Value.
65
5.3 Stückzinsen, Restschuld und
Par
Rates. 68
5.4 Traditionelle Kennzahlen von Zinsinstrumenten. 70
5.4.1 Mittlere Laufzeit und Macaulay
Duration
. 70
5.4.2
Modified Duration
und
Convexity
. 71
5.4.3 Addition traditioneller Sensitivitäten. 75
Arbitrage 77
6.1 Termingeschäfte . 77
6.1.1 Terminkurs und
Cash And Carry-
Arbitrage. 77
6.1.2 Der stochastische Prozess für den Terminkurs. 79
6.1.3
Forward-Positionen
. 80
6.1.4 Future-Positionen und Basisrisiko. 80
6.2 Optionen . 81
6.2.1 Ober- und Untergrenzen für Optionspreise. 81
6.2.2 Vorzeitige Ausübung amerikanischer Optionen. 82
6.2.3 Beziehungen zwischen Put und
Call
. 83
Black-Scholes Differentialgleichungen 85
7.1 Die Black-Scholes DGL aus Arbitrageüberlegungen. 86
7.1.1 Die Differentialgleichung für Europäische Optionen. 86
7.1.2 Die Differentialwngleichung für Amerikanische Optionen. 88
7.1.3 Ein erster Kontakt mit der risikoneutralen Welt. 90
7.2 Die Black-Scholes DGL und die
Backward Equation
. 91
7.2.1 Ein zweiter Kontakt mit der risikoneutralen Welt. 93
7.3 Der Zusammenhang zur Diffusionsgleichung. 94
Integralformen und analytische Lösungen in der Black-Scholes Welt 99
8.1 Optionspreise als Lösungen der Diffusionsgleichung. 99
8.2 Optionspreise und Übergangswahrscheinlichkeit.101
8.3 Black-Scholes Optionspreise für verschiedene Underlyings .104
8.3.1 Optionen auf den Spotkurs.104
8.3.2 Optionen auf den Terminkurs.104
8.3.3 Optionen auf Zinsen.107
Numerische Lösung von Differentialgleichungen mittels Finiten Dif¬
ferenzen 109
9.1 Diskretisierung der Black-Scholes Gleichung.110
9.1.1 Die explizite Methode.111
9.1.2 Die implizite Methode.111
9.1.3 Die verallgemeinerte Crank-Nicolson Methode.111
9.1.4 Symmetrische
finite
Differenzen für das
Underlying
.113
9.2 Differenzen Schemata .115
9.2.1 Anfangswertbedingungen.118
INHALTSVERZEICHNIS_ix
9.2.2 Dirichletsche Randbedingungen. 119
9.2.3 Neumannsche Randbedingungen. 123
9.2.4 Nicht explizit vorgegebene Randbedingungen. 127
9.2.5 Freie Randbedingungen für amerikanische Optionen. 130
9.3 Konvergenzkriterien. 135
9.3.1 Verbesserung der Konvergenzeigenschaften . 137
9.4 Diskrete Dividenden. 139
9.5 Beispiel. 140
10
Binomial-
und Trinomialbäume 145
10.1 Allgemeine Bäume. 145
10.1.1 Das
Underlying
und das replizierende Port
folio
. 145
10.1.2 Das Derivat. 146
10.1.3 Termingeschäfte . 148
10.2 Rekombinierende Bäume. 148
10.2.1 Das
Underlying
. 148
10.2.2 Die Binomialverteilung für Europäische Derivate. 149
10.2.3 Ein dritter Kontakt mit der risikoneutralen Welt. 152
10.3 Die Verbindung zwischen
Random Walk
und
Binomial-Parameter
. 155
10.4 Das Binomialmodell für unendlich kleine Schritte. 157
10.4.1 Die Bestandteile der Black-Scholes
Optionspreisf
ornielli
. 159
10.5 Trinomialbäume . 159
10.5.1 Der Trinomialbaum als verbesserter Binomialbaum. 162
10.5.2 Zusammenhang mit der expliziten Methode
finit
er Differenzen . 163
11
Monte-Carlo
Simulationen 165
11.1 Ein einfaches Beispiel: Der Flächeninhalt eines Kreises. 167
11.2 Die allgemeine Vorgehensweise der
Monte-Carlo
Simulation. 170
11.3
Monte-Carlo
Simulationen von Risikofaktoren. 171
11.3.1 Simulation der zeitlichen Entwicklung eines Risikofaktors . 171
11.3.2 Simulation mehrerer miteinander korrelierter Risikofaktoren . . . 174
11.4 Preisberechnung . 177
12
Hedging
179
12.1 Replizierende Portfolios als synthetische Derivate. 179
12.2
Hedging
von Derivaten mit Kassageschäften. 180
12.2.1
Forwards
und
Futures
als Derivate. 181
12.3
Hedging
von Derivaten mit Termingeschäften. 182
12.3.1
Hedging
mit
Forwards
. 182
12.3.2
Hedging
mit
Futures.
184
12.3.3 Die Differentialgleichung für Derivate auf
Futures
. 185
12.4
Hedge-Ratios
für beliebige Kombinationen von Finanzinstrumenten . . . 187
12.5 .Griechisches" Risikomanagement mit Sensitivitäten. 189
12.5.1 Sensitivitäten und die Wertänderung eines Portfolios. 189
12.5.2 Omega und Beta. 192
12.5.3 Addition von Sensitivitäten bzgl. verschiedener Underlyings . . . 194
INHALTSVERZEICHNIS
12.6 Berechnung der griechischen Risikokennzahlen. 195
12.6.1 Sensitivitäten im Binomialmodell. 195
12.6.2 Sensitivitäten im Biack-Scholes Modell. 197
12.6.3 Sensitivitäten mittels der Finite-Differenzen Methode . 198
12.6.4 Sensitivitäten mittels
Monte-Carlo
Simulationen. 198
13
Martingale
und
Numeraire
199
13.1 Die Martingaleigenschaft.199
13.2 Die Normierung
(Numeraire)
.201
13.3 Selbstfinanzierende Portfoliostrategien.205
13.4 Die Verallgemeinerung auf stetige Zeit.207
13.5 Die Drift.215
13.6 Der Marktpreis des Risikos .218
13.7 Handelbare Underlyings.220
13.8 Anwendung auf die Black-Scholes Welt.221
14 Zinsen und Zinsstrukturmodelle 225
14.1
Instantané
Spot Rate und
Instantané
Forward Rate
.226
14.2 Die wichtigsten Normierungen.227
14.2.1 Das risikoneutrale Maß .228
14.2.2 Das Terminpreis-neutrale Maß .229
14.3 Der Spezialfall deterministischer Zinsen.230
14.4 Handelbare und nicht handelbare Größen.232
14.5
Convexity Adjustments .
233
14.5.1
LIBOR
In
Arrears Swaps
.236
14.5.2 Geldmarktfutures.238
14.6 Arbitragefreie Gittermodelle (Bäume) .240
14.6.1
Backward Induction
.241
14.6.2
Forward Induction
und Greens-Funktionen .244
14.7 Marktzinsen
versus
Instantané
Zinsen .248
14.7.1 Arrow-Debreu Preise.249
14.7.2 Bewertung von Caplets mittels Arrow-Debreu Preisen.252
14.8 Explizite Spezifikation von Short Rate Modellen .254
14.8.1 Der Einfluss der Volatilität.255
14.8.2 Normal Models.256
14.8.3 Lognormal Models.259
14.9 Das Beispielprogramm TermStructureModels.xls.261
14.9.1 Aufbau des Zinsbaumes und Optionsbewertung.261
14.9.2 Absolute und relative Volatilitäten.264
14.9.3 Kalibrierung der Volatilitäten.265
U.lOMonte-Carlo
On The Tree
.267
14-HDie Drift bei Zinsstrukturmodellen.268
14.11.1
Heath-
Jarrow-Morton Modelle .268
14.11.2 Short Rate Modelle .269
14.12Short Rate Modelle in Diskreter Verzinsung.273
14.12.1 Normal Models.274
INHALTSVERZEICHNIS xi
14.12.2 Lognormal Models.274
III
Instrumente 277
15 Zinskassageschäfte 279
15.1 Zerobonds. 279
15.1.1
Cash Flows
und Barwert. 279
15.1.2
Yield To Maturity
und
Par Rate
. 280
15.1.3 Sensitivitäten. 280
15.2 Floater. 281
15.2.1
Cash Flows
und Barwert. 281
15.2.2
Yield To Maturity, Par Rate
und Sensitivitäten. 282
15.3 Kuponbonds. 283
15.3.1
Cash Flows
und Barwert. 283
15.3.2
Yield To Maturity
. 283
15.3.3
Par Rates
. 285
15.3.4 Sensitivitäten. 287
15.4
Swaps
. 288
15.4.1
Cash Flows
und Barwert. 289
15.4.2
Yield To Maturity
und
Swap Rate
. 290
15.4.3 Sensitivitäten. 292
15.5 Annuitätendarlehen . 292
15.5.1
Cash Flows
und Restschuld. 293
15.5.2 Barwert. 295
15.5.3
Yield
Tö
Maturity
und
Par Rates
. 297
15.5.4 Sensitivitäten. 300
15.5.5 Bemerkungen zum Kreditrisiko. 301
16 Zinstermingeschäfte 303
16.1
Forward
Rate Agreements. 303
16.2 Zinsfutures. 304
16.2.1
Futures
auf Zerobonds. 304
16.2.2
Futures
auf Kuponbonds. 304
16.3
Forward Swaps.
307
16.3.1 Barwert. 308
16.3.2
Forward Swap
Rates und
Forward Yield To Maturity
. 309
16.4
Forward Bonds
. 312
16.4.1
Barwert
. 312
16.4.2
Forward Par Rate
und
Forward Yield To Maturity
. 313
17
Plain Vanilla-Optionen
315
17.1 Optionen auf
Spot-
und Terminkurse. 316
17.1.1 Europäische Optionen. 316
17.1.2 Amerikanische Optionen. 317
17.2 Index-Optionen und
-Futures
. 318
INHALTSVERZEICHNIS
XII
_-_-------------------------------------
17.3 Devisen-Optionen und
-Futures
.319
17.3.1
Put-Call
Äquivalenz bei Devisenoptionen.319
17.3.2 Devisentermingeschäfte und Swapsätze.320
17.4 Zinsoptionen .321
17.4.1 Optionen auf Bonds.321
17.4.2 Optionen auf
Bond Futures
.322
17.4.3
Caps
und
Floors.
322
17.4.4 Swaptions.327
18 Exotische Optionen 335
18.1 Klassische und allgemeine Definition einer Option.335
18.2 Auszahlungsprofile für ausgewählte Exoten .335
18.2.1 Power-Optionen .336
18.2.2 Cliquet-und Coupe-Optionen.336
18.2.3 Look Back-Optionen.337
18.2.4 Asiatische Optionen.337
18.2.5
Rainbow-
und Austausch-Optionen.337
18.2.6
Compound-
und Bermuda-Optionen.338
18.3 Black-Scholes für Exoten.339
18.3.1
Pay
Later-Optionen.339
18.3.2 Digitale Optionen.340
18.3.3 Barrier-Optionen.342
18.3.4 Ladder-Optionen.347
18.4 Bewertungsmöglichkeiten für Exoten.349
18.4.1
Monte-Carlo
für europäische Exoten.349
18.4.2 Das Binomial-Modell für amerikanische Exoten.353
IV
Risiko 359
19 Grundlagen 361
19.1 Konfidenz, Quantil und Risiko .362
19.1.1 Andere Risikomaße.364
19.2 Der
Value at Risk
eines einzelnen Risikofaktors.365
19.3 Näherungen in der Verteilung der Risikofaktoren.370
19.4 Die Kovarianzmatrix.372
19.4.1 Renditen und Logarithmische Änderungen.374
19.4.2 Kovarianzmatrizen von Datenlieferanten.375
19.4.3 Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix.377
20 Die Varianz-Kovarianz Methode 383
20.1
Portfolios vs. Finanzinstrumente
.385
20.2 Die Delta-Normal Methode.388
20.2.1 Der
Value at Risk bzgl.
eines einzelnen Risikofaktors.388
20.2.2 Der
Value at Risk bzgl.
mehrerer Risikofaktoren.389
20.3 Die
Delta-Gamma
Methode.392
INHALTSVERZEICHNIS_xiii
20.3.1 Entkopplung der Risikofaktoren. 393
20.3.2 Diagonalisierung der
Gamma-Matrix
. 394
20.3.3 Die Verteilung der Portfolio-Wertveränderungen . 398
20.3.4
Alómente
der Portfoliowertverteilung. 400
20.3.5
Fourier-
Transformation der Portfoliowertverteilung. 408
20.3.6
Monte-Carlo
Simulationen der Port foliowert Verteilung. 411
21 Simulationsmethoden 413
21.1
Monte-Carlo
Simulation.413
21.1.1 Die Risikofaktoren als korrelierte
Random Walks
.414
21.1.2
Structured
Monte-Carlo
.415
21.2 Historische Simulation.416
21.3 Crash- und
Stress-Testing: Worst Case-Szenarien
.418
22 Zinsrisiko und
Cash Flows
421
22.1
Cash Flow
Strukturen von Finanzinstrumenten. 421
22.1.1 Kassageschäfte. 422
22.1.2 Termingeschäfte . 424
22.1.3 Optionen. 425
22.2 Interpolationen und
Cash Flow Mapping
. 433
22.2.1 Interpolationen. 433
22.2.2 Risiko-basiertes
Cash Flow Mapping
. 434
22.2.3
Duration-basiertes Cash Flow Mapping
. 437
23 Beispiel für eine VaR-Berechnung 439
23.1
Das Portfolio
.439
23.2 Marktdaten.440
23.3
Cash Flow Mapping
.441
23.4 Risikoberechnung.442
24
Backtesting:
Überprüfen der verwendeten Methode 445
24.1 Profit
Loss
Berechnungen.445
24.2 Das Ampelkonzept der Aufsichtsbehörden.446
24.2.1 Anpassung des
Value at Risk
(gelbe Zone).446
24.2.2 Kriterien zur Ablehnung eines Modells (rote Zone).448
24.2.3 Die grüne Zone.450
24.2.4 Multiplikator und
Add On.
451
V Portfolien
453
25 Klassisches Portfoliomanagement 455
25.1 Vom Risikomanagement zum Portfoliomanagement.456
25.1.1 Finanzinstrumente und Risikofaktoren.456
25.1.2 Portfoliorisiko und Volatilität.458
25.1.3 Risikobeitrag und Attribution.461
xiv_INHALTSVERZEICHNIS
25.2 Portfolio Optimierung.463
25.2.1 Das Portfolio mit minimalem Risiko.463
25.2.2 Die Effizienzlinie.465
25.2.3 Die
Sharpe
Ratio und das optimale Portfolio.471
25.2.4 Die Kapitalmarktlinie.474
26 Attribute und ihre charakteristischen Portfolien 479
26.1 Allgemeine Eigenschaften Charakteristischer Portfolien. 480
26.1.1 Relationen mit mehreren charakteristischen Portfolien. 481
26.2 Der Investitionsgrad oder
Leverage
. 483
26.3 Die Überschussrendite. 483
26.4 Das optimale Portfolio. 487
26.5 Die Effizienzlinie als Kombination charakteristischer Portfolien. 489
27 Aktives Management und
Benchmarking
495
27.1 Das Capital
Asset Pricing
Model
(САРМ).
495
27.2
Benchmarking
gegenüber einem Index.497
27.2.1 Aktive Portfolioeigenschaften.499
27.2.2 Residuale Portfolioeigenschaften .500
27.3 Benchmark und Charakteristische Portfolien.501
27.3.1 Das voll investierte Minimalrisiko-Portfolio.502
27.3.2 Das charakteristische Portfolio zu Beta.503
27.3.3 Das charakteristische Portfolio zu Alpha.504
27.4 Relationen zwischen
Sharpe
Ratio und Information Ratio.508
27.4.1 Das Marktportfolio.508
27.4.2 Das charakteristische Portfolio der Überschussrendite .511
VI
Marktdaten 513
28 Zinsstrukturkurven 515
28.1
Bootstrapping
.516
28.1.1 Die allgemeine Bootstrapping-Gleichung.516
28.1.2
Bootstrapping
für gleich lange Kuponperioden .517
28.1.3 Klassisches
Bootstrapping
.521
28.2 Interpolationen.526
29 Volatilitäten 529
29.1 Implizite Volatilitäten.529
29.1.1
Smiles
und Volatilitätsindizes.529
29.2 Lokale Volatilitätsflächen .531
29.2.1 Implizite Übergangswahrscheinlichkeiten.531
29.2.2 Implizite lokale Volatilitätsflächen .533
29.3 Volatilitätstransformationen.537
29.3.1 Transformation zwischen relativer und absoluter Volatilität . . . 537
29.3.2 Addition von Volatilitäten.539
INHALTSVERZEICHNIS_xv
29.3.3 Transformation zwischen
Yield-
und Preis-Volatilität.540
29.3.4 Währungstransformationen von Volatilität und Korrelation . . . 541
30 Marktparameter aus historischen Zeitreihen 551
30.1 Historische Mittelwerte als Schätzer für Erwartungswerte .551
30.2 Abschätzung statistischer Fehler .553
30.2.1 Fehler unkorrelierter Messungen .554
30.2.2 Fehler autokorrelierter Messungen.558
30.3 Rendite und Kovarianzschätzungen.561
30.3.1 Renditeschätzungen.561
30.3.2 Kovarianzschätzungen.565
31 Modellierung historischer Zeitreihen 567
31.1 Stationäre Zeitreihen und autoregressive Modelle. 570
31.1.1 Der AR(p) Prozess. 570
31.1.2 Der univariate GARCH(p,
ç)-Prozess
. 575
31.1.3 Generierung eines GARCH-Prozesses. 578
31.2 Kalibrierung von Zeitreihenmodellen. 578
31.2.1 Parameterschätzung für den AR(p)-Prozess. 579
31.2.2 Parameterschätzung für den GARCH(p,
ç)-Prozess
. 581
31.2.3 Der
Simulated Annealing
Algorithmus. 583
32 Prognosen mit Zeitreihenmodellen 587
32.1 Prognosen mit dem Autoregressiven Modell. 588
32.2 GARCH(p,g)-Volatilitätsprognosen. 590
32.2.1 Prognosen über mehrere Schritte. 590
32.2.2 Prognose der Gesamtvarianz . 594
32.2.3
Volatility Term Structure
. 595
32.3
GARCHfljl)-
Volatilitätsprognosen. 595
32.4 Volatilitätsprognosen mittels gleitenden Durchschnitten. 597
33 Hauptkomponentenanalyse (PCA) 601
33.1 Prinzipielles Vorgehen.601
33.2 Hauptkomponentenanalyse der deutschen Zinsstruktur.607
34 Vorverarbeitung und Gütemaße 611
34.1 Vorverarbeitung von Zeitreihen.611
34.1.1 Differenzenbildung.612
34.1.2 Filter.612
34.1.3 Skalentransformation.614
34.2 Gütemaße für Zeitreihenprozesse.615
34.2.1 Hypothesentests.615
34.2.2 Anpassungsgüte versus Prognosegüte.620
34.2.3 Beispiele: Gütemaße für GARCH-Modelle.620
xvi_INHALTSVERZEICHNIS
A
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 627
A.l Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Varianz.627
A.2 Multivariate Verteilungen, Kovarianz, Korrelation und Beta.629
A.3 Momente und Charakteristische Funktionen.632
A.3.1 Moment
Generating Functions
.633
A.3.2 Charakteristische Funktionen.635
A.4 Einige wichtige Verteilungen.637
A.4.1 Die Gleichverteilung.637
A.4.2 Die Binomialverteilung und
Bernoulli-
Versuche.638
A.4.3 Die Normalverteilung und der zentrale Grenzwertsatz.640
A.4.4 Die Lognormalverteilung.647
A.4.5 Die
Gamma-
Verteilung.648
A.4.6 Die
χ2-
Verteilung.650
A.5 Transformationen zwischen Verteilungen.657
A.5.1 Summationen.657
A.5.2 Box-Muller Transformation.658
A.5.3 Inversion der Kumulierten.658
Der Autor erklärt sowohl theoretisch als auch an Hand von Beispielen
alle modernen Methoden des Risikomanagements und der Preisberech¬
nung von Finanzinstrumenten· Die - auch mathematisch - präzise
Ausdruckweise, die konsistente und genaue Notation und die Detailtiefe
ermöglichen dem Leser ein wirklich tief gehendes Verständnis der
Materie. Die vierte Auflage wurde komplett überarbeitet und an einigen
Stellen kompakter und noch verständlicher gefasst.
Die Excel-Dateien auf der beiliegenden CD-ROM zeigen auf» wie die
theoretischen Konzepte in lauffähige Tabellenkalkulationen und
Algorithmen umgesetzt werden können und stellen somit eine Fund¬
grube hunderter konkreter Berechnungsbeispiele dar, die der Leser
als Ausgangspunkt für selbstständige Bewertungs- und Risikomanage*
mentsysteme verwenden kann. |
| adam_txt |
Vil
Inhaltsverzeichnis
I
Grundlagen 1
1 Einleitung 3
2 Die grundlegenden Risikofaktoren der Finanzmärkte 7
2.1 Zinsen. 7
2.1.1
Day Count Conventions
. 8
2.1.2 Business
Day
Conventions. 10
2.1.3 Diskontfaktoren. 11
2.1.4 Zinsmethoden. 12
2.1.5 Spot Rates. 17
2.1.6
Forward
Rates. 37
2.2 Kurse. 19
2.3 Ein anschauliches Modell für die Risikofaktoren. 20
2.3.1 Der
Random Walk
als Grundlage vieler Preis-
шкі
Risikomodelle 20
2.3.2 Risikofaktoren als
Random Walks
. 23
2.4 Ito-Prozesse und
stochastische
Analysis .
28
2.4.1 Der allgemeine Diffusionsprozess. 28
2.4.2 Ito's Lemma . 29
2.4.3 Übergangswahrscheinlichkeiten.
Forward-
und
Backward Equation
34
2.4.4
Forward
und
Backward Equation in
der Black-Scholes Welt . 41
3 Finanzinstrumente: Eine Systematik von Derivaten und Underlyings 43
3.1 Kassageschäfte. 44
3.1.1 Geldmarktpapiere. 44
3.1.2 Kapitalmarktpapiere. 48
3.1.3
Swaps
. 50
3.2 Termingeschäfte . -51
3.3 Optionen . 53
II
Methoden 57
4 Überblick über die Voraussetzungen 59
INHALTSVERZEICHNIS
Barwerte, Renditen und traditionelle Risikokennzahlen 63
5.1 Barwert und
Yield To Maturity
. 63
5.2 Effektivzins und
Net Present Value.
65
5.3 Stückzinsen, Restschuld und
Par
Rates. 68
5.4 Traditionelle Kennzahlen von Zinsinstrumenten. 70
5.4.1 Mittlere Laufzeit und Macaulay
Duration
. 70
5.4.2
Modified Duration
und
Convexity
. 71
5.4.3 Addition traditioneller Sensitivitäten. 75
Arbitrage 77
6.1 Termingeschäfte . 77
6.1.1 Terminkurs und
Cash And Carry-
Arbitrage. 77
6.1.2 Der stochastische Prozess für den Terminkurs. 79
6.1.3
Forward-Positionen
. 80
6.1.4 Future-Positionen und Basisrisiko. 80
6.2 Optionen . 81
6.2.1 Ober- und Untergrenzen für Optionspreise. 81
6.2.2 Vorzeitige Ausübung amerikanischer Optionen. 82
6.2.3 Beziehungen zwischen Put und
Call
. 83
Black-Scholes Differentialgleichungen 85
7.1 Die Black-Scholes DGL aus Arbitrageüberlegungen. 86
7.1.1 Die Differentialgleichung für Europäische Optionen. 86
7.1.2 Die Differentialwngleichung für Amerikanische Optionen. 88
7.1.3 Ein erster Kontakt mit der risikoneutralen Welt. 90
7.2 Die Black-Scholes DGL und die
Backward Equation
. 91
7.2.1 Ein zweiter Kontakt mit der risikoneutralen Welt. 93
7.3 Der Zusammenhang zur Diffusionsgleichung. 94
Integralformen und analytische Lösungen in der Black-Scholes Welt 99
8.1 Optionspreise als Lösungen der Diffusionsgleichung. 99
8.2 Optionspreise und Übergangswahrscheinlichkeit.101
8.3 Black-Scholes Optionspreise für verschiedene Underlyings .104
8.3.1 Optionen auf den Spotkurs.104
8.3.2 Optionen auf den Terminkurs.104
8.3.3 Optionen auf Zinsen.107
Numerische Lösung von Differentialgleichungen mittels Finiten Dif¬
ferenzen 109
9.1 Diskretisierung der Black-Scholes Gleichung.110
9.1.1 Die explizite Methode.111
9.1.2 Die implizite Methode.111
9.1.3 Die verallgemeinerte Crank-Nicolson Methode.111
9.1.4 Symmetrische
finite
Differenzen für das
Underlying
.113
9.2 Differenzen Schemata .115
9.2.1 Anfangswertbedingungen.118
INHALTSVERZEICHNIS_ix
9.2.2 Dirichletsche Randbedingungen. 119
9.2.3 Neumannsche Randbedingungen. 123
9.2.4 Nicht explizit vorgegebene Randbedingungen. 127
9.2.5 Freie Randbedingungen für amerikanische Optionen. 130
9.3 Konvergenzkriterien. 135
9.3.1 Verbesserung der Konvergenzeigenschaften . 137
9.4 Diskrete Dividenden. 139
9.5 Beispiel. 140
10
Binomial-
und Trinomialbäume 145
10.1 Allgemeine Bäume. 145
10.1.1 Das
Underlying
und das replizierende Port
folio
. 145
10.1.2 Das Derivat. 146
10.1.3 Termingeschäfte . 148
10.2 Rekombinierende Bäume. 148
10.2.1 Das
Underlying
. 148
10.2.2 Die Binomialverteilung für Europäische Derivate. 149
10.2.3 Ein dritter Kontakt mit der risikoneutralen Welt. 152
10.3 Die Verbindung zwischen
Random Walk
und
Binomial-Parameter
. 155
10.4 Das Binomialmodell für unendlich kleine Schritte. 157
10.4.1 Die Bestandteile der Black-Scholes
Optionspreisf
ornielli
. 159
10.5 Trinomialbäume . 159
10.5.1 Der Trinomialbaum als verbesserter Binomialbaum. 162
10.5.2 Zusammenhang mit der expliziten Methode
finit
er Differenzen . 163
11
Monte-Carlo
Simulationen 165
11.1 Ein einfaches Beispiel: Der Flächeninhalt eines Kreises. 167
11.2 Die allgemeine Vorgehensweise der
Monte-Carlo
Simulation. 170
11.3
Monte-Carlo
Simulationen von Risikofaktoren. 171
11.3.1 Simulation der zeitlichen Entwicklung eines Risikofaktors . 171
11.3.2 Simulation mehrerer miteinander korrelierter Risikofaktoren . . . 174
11.4 Preisberechnung . 177
12
Hedging
179
12.1 Replizierende Portfolios als synthetische Derivate. 179
12.2
Hedging
von Derivaten mit Kassageschäften. 180
12.2.1
Forwards
und
Futures
als Derivate. 181
12.3
Hedging
von Derivaten mit Termingeschäften. 182
12.3.1
Hedging
mit
Forwards
. 182
12.3.2
Hedging
mit
Futures.
184
12.3.3 Die Differentialgleichung für Derivate auf
Futures
. 185
12.4
Hedge-Ratios
für beliebige Kombinationen von Finanzinstrumenten . . . 187
12.5 .Griechisches" Risikomanagement mit Sensitivitäten. 189
12.5.1 Sensitivitäten und die Wertänderung eines Portfolios. 189
12.5.2 Omega und Beta. 192
12.5.3 Addition von Sensitivitäten bzgl. verschiedener Underlyings . . . 194
INHALTSVERZEICHNIS
12.6 Berechnung der griechischen Risikokennzahlen. 195
12.6.1 Sensitivitäten im Binomialmodell. 195
12.6.2 Sensitivitäten im Biack-Scholes Modell. 197
12.6.3 Sensitivitäten mittels der Finite-Differenzen Methode . 198
12.6.4 Sensitivitäten mittels
Monte-Carlo
Simulationen. 198
13
Martingale
und
Numeraire
199
13.1 Die Martingaleigenschaft.199
13.2 Die Normierung
(Numeraire)
.201
13.3 Selbstfinanzierende Portfoliostrategien.205
13.4 Die Verallgemeinerung auf stetige Zeit.207
13.5 Die Drift.215
13.6 Der Marktpreis des Risikos .218
13.7 Handelbare Underlyings.220
13.8 Anwendung auf die Black-Scholes Welt.221
14 Zinsen und Zinsstrukturmodelle 225
14.1
Instantané
Spot Rate und
Instantané
Forward Rate
.226
14.2 Die wichtigsten Normierungen.227
14.2.1 Das risikoneutrale Maß .228
14.2.2 Das Terminpreis-neutrale Maß .229
14.3 Der Spezialfall deterministischer Zinsen.230
14.4 Handelbare und nicht handelbare Größen.232
14.5
Convexity Adjustments .
233
14.5.1
LIBOR
In
Arrears Swaps
.236
14.5.2 Geldmarktfutures.238
14.6 Arbitragefreie Gittermodelle (Bäume) .240
14.6.1
Backward Induction
.241
14.6.2
Forward Induction
und Greens-Funktionen .244
14.7 Marktzinsen
versus
Instantané
Zinsen .248
14.7.1 Arrow-Debreu Preise.249
14.7.2 Bewertung von Caplets mittels Arrow-Debreu Preisen.252
14.8 Explizite Spezifikation von Short Rate Modellen .254
14.8.1 Der Einfluss der Volatilität.255
14.8.2 Normal Models.256
14.8.3 Lognormal Models.259
14.9 Das Beispielprogramm TermStructureModels.xls.261
14.9.1 Aufbau des Zinsbaumes und Optionsbewertung.261
14.9.2 Absolute und relative Volatilitäten.264
14.9.3 Kalibrierung der Volatilitäten.265
U.lOMonte-Carlo
On The Tree
.267
14-HDie Drift bei Zinsstrukturmodellen.268
14.11.1
Heath-
Jarrow-Morton Modelle .268
14.11.2 Short Rate Modelle .269
14.12Short Rate Modelle in Diskreter Verzinsung.273
14.12.1 Normal Models.274
INHALTSVERZEICHNIS xi
14.12.2 Lognormal Models.274
III
Instrumente 277
15 Zinskassageschäfte 279
15.1 Zerobonds. 279
15.1.1
Cash Flows
und Barwert. 279
15.1.2
Yield To Maturity
und
Par Rate
. 280
15.1.3 Sensitivitäten. 280
15.2 Floater. 281
15.2.1
Cash Flows
und Barwert. 281
15.2.2
Yield To Maturity, Par Rate
und Sensitivitäten. 282
15.3 Kuponbonds. 283
15.3.1
Cash Flows
und Barwert. 283
15.3.2
Yield To Maturity
. 283
15.3.3
Par Rates
. 285
15.3.4 Sensitivitäten. 287
15.4
Swaps
. 288
15.4.1
Cash Flows
und Barwert. 289
15.4.2
Yield To Maturity
und
Swap Rate
. 290
15.4.3 Sensitivitäten. 292
15.5 Annuitätendarlehen . 292
15.5.1
Cash Flows
und Restschuld. 293
15.5.2 Barwert. 295
15.5.3
Yield
Tö
Maturity
und
Par Rates
. 297
15.5.4 Sensitivitäten. 300
15.5.5 Bemerkungen zum Kreditrisiko. 301
16 Zinstermingeschäfte 303
16.1
Forward
Rate Agreements. 303
16.2 Zinsfutures. 304
16.2.1
Futures
auf Zerobonds. 304
16.2.2
Futures
auf Kuponbonds. 304
16.3
Forward Swaps.
307
16.3.1 Barwert. 308
16.3.2
Forward Swap
Rates und
Forward Yield To Maturity
. 309
16.4
Forward Bonds
. 312
16.4.1
Barwert
. 312
16.4.2
Forward Par Rate
und
Forward Yield To Maturity
. 313
17
Plain Vanilla-Optionen
315
17.1 Optionen auf
Spot-
und Terminkurse. 316
17.1.1 Europäische Optionen. 316
17.1.2 Amerikanische Optionen. 317
17.2 Index-Optionen und
-Futures
. 318
INHALTSVERZEICHNIS
XII
_-_-------------------------------------
17.3 Devisen-Optionen und
-Futures
.319
17.3.1
Put-Call
Äquivalenz bei Devisenoptionen.319
17.3.2 Devisentermingeschäfte und Swapsätze.320
17.4 Zinsoptionen .321
17.4.1 Optionen auf Bonds.321
17.4.2 Optionen auf
Bond Futures
.322
17.4.3
Caps
und
Floors.
322
17.4.4 Swaptions.327
18 Exotische Optionen 335
18.1 Klassische und allgemeine Definition einer Option.335
18.2 Auszahlungsprofile für ausgewählte Exoten .335
18.2.1 Power-Optionen .336
18.2.2 Cliquet-und Coupe-Optionen.336
18.2.3 Look Back-Optionen.337
18.2.4 Asiatische Optionen.337
18.2.5
Rainbow-
und Austausch-Optionen.337
18.2.6
Compound-
und Bermuda-Optionen.338
18.3 Black-Scholes für Exoten.339
18.3.1
Pay
Later-Optionen.339
18.3.2 Digitale Optionen.340
18.3.3 Barrier-Optionen.342
18.3.4 Ladder-Optionen.347
18.4 Bewertungsmöglichkeiten für Exoten.349
18.4.1
Monte-Carlo
für europäische Exoten.349
18.4.2 Das Binomial-Modell für amerikanische Exoten.353
IV
Risiko 359
19 Grundlagen 361
19.1 Konfidenz, Quantil und Risiko .362
19.1.1 Andere Risikomaße.364
19.2 Der
Value at Risk
eines einzelnen Risikofaktors.365
19.3 Näherungen in der Verteilung der Risikofaktoren.370
19.4 Die Kovarianzmatrix.372
19.4.1 Renditen und Logarithmische Änderungen.374
19.4.2 Kovarianzmatrizen von Datenlieferanten.375
19.4.3 Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix.377
20 Die Varianz-Kovarianz Methode 383
20.1
Portfolios vs. Finanzinstrumente
.385
20.2 Die Delta-Normal Methode.388
20.2.1 Der
Value at Risk bzgl.
eines einzelnen Risikofaktors.388
20.2.2 Der
Value at Risk bzgl.
mehrerer Risikofaktoren.389
20.3 Die
Delta-Gamma
Methode.392
INHALTSVERZEICHNIS_xiii
20.3.1 Entkopplung der Risikofaktoren. 393
20.3.2 Diagonalisierung der
Gamma-Matrix
. 394
20.3.3 Die Verteilung der Portfolio-Wertveränderungen . 398
20.3.4
Alómente
der Portfoliowertverteilung. 400
20.3.5
Fourier-
Transformation der Portfoliowertverteilung. 408
20.3.6
Monte-Carlo
Simulationen der Port foliowert Verteilung. 411
21 Simulationsmethoden 413
21.1
Monte-Carlo
Simulation.413
21.1.1 Die Risikofaktoren als korrelierte
Random Walks
.414
21.1.2
Structured
Monte-Carlo
.415
21.2 Historische Simulation.416
21.3 Crash- und
Stress-Testing: Worst Case-Szenarien
.418
22 Zinsrisiko und
Cash Flows
421
22.1
Cash Flow
Strukturen von Finanzinstrumenten. 421
22.1.1 Kassageschäfte. 422
22.1.2 Termingeschäfte . 424
22.1.3 Optionen. 425
22.2 Interpolationen und
Cash Flow Mapping
. 433
22.2.1 Interpolationen. 433
22.2.2 Risiko-basiertes
Cash Flow Mapping
. 434
22.2.3
Duration-basiertes Cash Flow Mapping
. 437
23 Beispiel für eine VaR-Berechnung 439
23.1
Das Portfolio
.439
23.2 Marktdaten.440
23.3
Cash Flow Mapping
.441
23.4 Risikoberechnung.442
24
Backtesting:
Überprüfen der verwendeten Methode 445
24.1 Profit
Loss
Berechnungen.445
24.2 Das Ampelkonzept der Aufsichtsbehörden.446
24.2.1 Anpassung des
Value at Risk
(gelbe Zone).446
24.2.2 Kriterien zur Ablehnung eines Modells (rote Zone).448
24.2.3 Die grüne Zone.450
24.2.4 Multiplikator und
Add On.
451
V Portfolien
453
25 Klassisches Portfoliomanagement 455
25.1 Vom Risikomanagement zum Portfoliomanagement.456
25.1.1 Finanzinstrumente und Risikofaktoren.456
25.1.2 Portfoliorisiko und Volatilität.458
25.1.3 Risikobeitrag und Attribution.461
xiv_INHALTSVERZEICHNIS
25.2 Portfolio Optimierung.463
25.2.1 Das Portfolio mit minimalem Risiko.463
25.2.2 Die Effizienzlinie.465
25.2.3 Die
Sharpe
Ratio und das optimale Portfolio.471
25.2.4 Die Kapitalmarktlinie.474
26 Attribute und ihre charakteristischen Portfolien 479
26.1 Allgemeine Eigenschaften Charakteristischer Portfolien. 480
26.1.1 Relationen mit mehreren charakteristischen Portfolien. 481
26.2 Der Investitionsgrad oder
Leverage
. 483
26.3 Die Überschussrendite. 483
26.4 Das optimale Portfolio. 487
26.5 Die Effizienzlinie als Kombination charakteristischer Portfolien. 489
27 Aktives Management und
Benchmarking
495
27.1 Das Capital
Asset Pricing
Model
(САРМ).
495
27.2
Benchmarking
gegenüber einem Index.497
27.2.1 Aktive Portfolioeigenschaften.499
27.2.2 Residuale Portfolioeigenschaften .500
27.3 Benchmark und Charakteristische Portfolien.501
27.3.1 Das voll investierte Minimalrisiko-Portfolio.502
27.3.2 Das charakteristische Portfolio zu Beta.503
27.3.3 Das charakteristische Portfolio zu Alpha.504
27.4 Relationen zwischen
Sharpe
Ratio und Information Ratio.508
27.4.1 Das Marktportfolio.508
27.4.2 Das charakteristische Portfolio der Überschussrendite .511
VI
Marktdaten 513
28 Zinsstrukturkurven 515
28.1
Bootstrapping
.516
28.1.1 Die allgemeine Bootstrapping-Gleichung.516
28.1.2
Bootstrapping
für gleich lange Kuponperioden .517
28.1.3 Klassisches
Bootstrapping
.521
28.2 Interpolationen.526
29 Volatilitäten 529
29.1 Implizite Volatilitäten.529
29.1.1
Smiles
und Volatilitätsindizes.529
29.2 Lokale Volatilitätsflächen .531
29.2.1 Implizite Übergangswahrscheinlichkeiten.531
29.2.2 Implizite lokale Volatilitätsflächen .533
29.3 Volatilitätstransformationen.537
29.3.1 Transformation zwischen relativer und absoluter Volatilität . . . 537
29.3.2 Addition von Volatilitäten.539
INHALTSVERZEICHNIS_xv
29.3.3 Transformation zwischen
Yield-
und Preis-Volatilität.540
29.3.4 Währungstransformationen von Volatilität und Korrelation . . . 541
30 Marktparameter aus historischen Zeitreihen 551
30.1 Historische Mittelwerte als Schätzer für Erwartungswerte .551
30.2 Abschätzung statistischer Fehler .553
30.2.1 Fehler unkorrelierter Messungen .554
30.2.2 Fehler autokorrelierter Messungen.558
30.3 Rendite und Kovarianzschätzungen.561
30.3.1 Renditeschätzungen.561
30.3.2 Kovarianzschätzungen.565
31 Modellierung historischer Zeitreihen 567
31.1 Stationäre Zeitreihen und autoregressive Modelle. 570
31.1.1 Der AR(p) Prozess. 570
31.1.2 Der univariate GARCH(p,
ç)-Prozess
. 575
31.1.3 Generierung eines GARCH-Prozesses. 578
31.2 Kalibrierung von Zeitreihenmodellen. 578
31.2.1 Parameterschätzung für den AR(p)-Prozess. 579
31.2.2 Parameterschätzung für den GARCH(p,
ç)-Prozess
. 581
31.2.3 Der
Simulated Annealing
Algorithmus. 583
32 Prognosen mit Zeitreihenmodellen 587
32.1 Prognosen mit dem Autoregressiven Modell. 588
32.2 GARCH(p,g)-Volatilitätsprognosen. 590
32.2.1 Prognosen über mehrere Schritte. 590
32.2.2 Prognose der Gesamtvarianz . 594
32.2.3
Volatility Term Structure
. 595
32.3
GARCHfljl)-
Volatilitätsprognosen. 595
32.4 Volatilitätsprognosen mittels gleitenden Durchschnitten. 597
33 Hauptkomponentenanalyse (PCA) 601
33.1 Prinzipielles Vorgehen.601
33.2 Hauptkomponentenanalyse der deutschen Zinsstruktur.607
34 Vorverarbeitung und Gütemaße 611
34.1 Vorverarbeitung von Zeitreihen.611
34.1.1 Differenzenbildung.612
34.1.2 Filter.612
34.1.3 Skalentransformation.614
34.2 Gütemaße für Zeitreihenprozesse.615
34.2.1 Hypothesentests.615
34.2.2 Anpassungsgüte versus Prognosegüte.620
34.2.3 Beispiele: Gütemaße für GARCH-Modelle.620
xvi_INHALTSVERZEICHNIS
A
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 627
A.l Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Varianz.627
A.2 Multivariate Verteilungen, Kovarianz, Korrelation und Beta.629
A.3 Momente und Charakteristische Funktionen.632
A.3.1 Moment
Generating Functions
.633
A.3.2 Charakteristische Funktionen.635
A.4 Einige wichtige Verteilungen.637
A.4.1 Die Gleichverteilung.637
A.4.2 Die Binomialverteilung und
Bernoulli-
Versuche.638
A.4.3 Die Normalverteilung und der zentrale Grenzwertsatz.640
A.4.4 Die Lognormalverteilung.647
A.4.5 Die
Gamma-
Verteilung.648
A.4.6 Die
χ2-
Verteilung.650
A.5 Transformationen zwischen Verteilungen.657
A.5.1 Summationen.657
A.5.2 Box-Muller Transformation.658
A.5.3 Inversion der Kumulierten.658
Der Autor erklärt sowohl theoretisch als auch an Hand von Beispielen
alle modernen Methoden des Risikomanagements und der Preisberech¬
nung von Finanzinstrumenten· Die - auch mathematisch - präzise
Ausdruckweise, die konsistente und genaue Notation und die Detailtiefe
ermöglichen dem Leser ein wirklich tief gehendes Verständnis der
Materie. Die vierte Auflage wurde komplett überarbeitet und an einigen
Stellen kompakter und noch verständlicher gefasst.
Die Excel-Dateien auf der beiliegenden CD-ROM zeigen auf» wie die
theoretischen Konzepte in lauffähige Tabellenkalkulationen und
Algorithmen umgesetzt werden können und stellen somit eine Fund¬
grube hunderter konkreter Berechnungsbeispiele dar, die der Leser
als Ausgangspunkt für selbstständige Bewertungs- und Risikomanage*
mentsysteme verwenden kann. |
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Inhaltsverzeichnis
Beschreibung
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