Gewöhnliche Differentialgleichungen:
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Oldenbourg
2008
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
XI
1 Einführung 1
1.1 Beispiele zur Modellbildung................................................. 2
1.1.1 Newtonsche Bewegungsgleichungen......................................... 2
1.1.2 Änderungsprozesse......................................................... 9
1.2 Begriffe und geometrische Aspekte.......................................... 14
2 Differentialgleichungen erster Ordnung 23
2.1 Richtungsfeld und Isoklinen................................................. 23
2.2 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für Anfangswertaufgaben .......... 32
2.3 Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben (Einführung)................ 40
2.3.1 Das Euler-Cauchy sche Polygonzugverfahren................................ 41
2.3.2 Weitere Einschrittverfahren.................................................. 46
3 Elementar integrierbare Differentialgleichungen erster Ordnung 51
3.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen............................. 51
3.2 Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen, Substitutionen........................... 55
3.3 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung .............................. 60
3.3.1 Die homogene Differentialgleichung......................................... 61
3.3.2 Die inhomogene Differentialgleichung....................................... 62
3.3.3 Spezialfälle inhomogener linearer Differentialgleichungen erster Ordnung..... 67
3.4 Zwei Differentialgleichungen, die sich auf lineare zurückfuhren lassen ........ 73
3.4.1 Die Bernoulli-Differentialgleichung.......................................... 73
3.4.2 Die Riccati-Differentialgleichung............................................ 74
3.5 Exakte Differentialgleichungen, integrierender Faktor......................... 78
3.5.1 Exakte Differentialgleichungen.............................................. 78
3.5.2 Der integrierende Faktor/Eulersche Multiplikator............................. 85
4 Lineare Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung 91
4.1 Grundlagen................................................................. 91
4.2 Die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differentialgleichung......... 94
VIII Inhaltsverzeichnis
4.2.1
Lineare
Unabhängigkeit von Funktionen..................................... 94
4.2.2 Struktur der Lösungen....................................................... 98
4.2.3 Reduktion der Ordnung.....................................................101
4.2.4 Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ......107
4.3 Lineare inhomogene Differentialgleichung (n > 2) ...........................117
4.3.1 Lineare inhomogene Differentialgleichungen rc-ter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten...............................................................117
4.3.2 Lineare inhomogene Differentialgleichungen
η
-ter
Ordnung mit nichtkonstan¬
ten Koeffizienten............................................................125
4.4 Die Eulersche Differentialgleichung und spezielle Differentialgleichungen
(л = 2)
.....................................................................127
4.5 Die Schwingungsdifferentialgleichung.......................................131
4.5.1 Der harmonische Oszillator und zwei elektrische Schwingkreise.............. 131
4.5.2 Freie mechanische Schwingungen ...........................................132
4.5.3 Erzwungene Schwingungen: ein Resonanzfall................................138
4.6 Potenzreihenansätze.........................................................140
4.6.1 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 140
4.6.2 Lineare Differentialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten (n > 2)___143
4.6.3 Lösung bekannter Differentialgleichungen durch Potenzreihenansätze.........148
4.7 Randwertaufgaben..........................................................153
4.7.1 Einführendes Beispiel.......................................................153
4.7.2 Lineare Randwertprobleme zweiter Ordnung.................................154
4.7.3 Lineare Randwertprobleme höherer Ordnung.................................157
4.7.4 Eigenwertaufgaben..........................................................161
4.7.5 Die Greensche Funktion.....................................................162
4.7.6 Differenzenverfahren........................................................167
5 Differentialgleichungssysteme 171
5.1 Einleitung..................................................................171
5.2 Systeme von zwei Differentialgleichungen ...................................174
5.2.1 Geometrische Veranschaulichung von Lösungen .............................174
5.2.2 Eliminationsverfahren.......................................................178
5.3 Lineare Differentialgleichungssysteme mit stetigen Koeffizientenfunktionen
(n >2).....................................................................182
5.4 Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten (n > 2)... 186
5.4.1 Lösung des homogenen Systems.............................................186
5.4.2 Lösung des inhomogenen Systems (für konstante Koeffizienten)..............195
5.4.3 Modellbeispiel..............................................................199
6 Autonome Systeme (n — 2) 205
6.1 Einführung und Beispiele ...................................................205
Inhaltsverzeichnis ____________________________________________________________
IX
6.2 Stabilität linearer autonomer Systeme........................................213
6.3 Phasenporträts..............................................................219
6.4 Lorenz-Attraktor, Wetterprognose............................................226
7 Einführung in
Matlab®
231
7.1 Grafische Darstellungen.....................................................234
7.2 Algebraische Berechnungen.................................................236
7.3 Skripte .....................................................................238
Literaturverzeichnis 239
Index 241
|
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Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
XI
1 Einführung 1
1.1 Beispiele zur Modellbildung. 2
1.1.1 Newtonsche Bewegungsgleichungen. 2
1.1.2 Änderungsprozesse. 9
1.2 Begriffe und geometrische Aspekte. 14
2 Differentialgleichungen erster Ordnung 23
2.1 Richtungsfeld und Isoklinen. 23
2.2 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für Anfangswertaufgaben . 32
2.3 Numerische Verfahren für Anfangswertaufgaben (Einführung). 40
2.3.1 Das Euler-Cauchy'sche Polygonzugverfahren. 41
2.3.2 Weitere Einschrittverfahren. 46
3 Elementar integrierbare Differentialgleichungen erster Ordnung 51
3.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen. 51
3.2 Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen, Substitutionen. 55
3.3 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung . 60
3.3.1 Die homogene Differentialgleichung. 61
3.3.2 Die inhomogene Differentialgleichung. 62
3.3.3 Spezialfälle inhomogener linearer Differentialgleichungen erster Ordnung. 67
3.4 Zwei Differentialgleichungen, die sich auf lineare zurückfuhren lassen . 73
3.4.1 Die Bernoulli-Differentialgleichung. 73
3.4.2 Die Riccati-Differentialgleichung. 74
3.5 Exakte Differentialgleichungen, integrierender Faktor. 78
3.5.1 Exakte Differentialgleichungen. 78
3.5.2 Der integrierende Faktor/Eulersche Multiplikator. 85
4 Lineare Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung 91
4.1 Grundlagen. 91
4.2 Die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differentialgleichung. 94
VIII Inhaltsverzeichnis
4.2.1
Lineare
Unabhängigkeit von Funktionen. 94
4.2.2 Struktur der Lösungen. 98
4.2.3 Reduktion der Ordnung.101
4.2.4 Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten .107
4.3 Lineare inhomogene Differentialgleichung (n > 2) .117
4.3.1 Lineare inhomogene Differentialgleichungen rc-ter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten.117
4.3.2 Lineare inhomogene Differentialgleichungen
η
-ter
Ordnung mit nichtkonstan¬
ten Koeffizienten.125
4.4 Die Eulersche Differentialgleichung und spezielle Differentialgleichungen
(л = 2)
.127
4.5 Die Schwingungsdifferentialgleichung.131
4.5.1 Der harmonische Oszillator und zwei elektrische Schwingkreise. 131
4.5.2 Freie mechanische Schwingungen .132
4.5.3 Erzwungene Schwingungen: ein Resonanzfall.138
4.6 Potenzreihenansätze.140
4.6.1 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 140
4.6.2 Lineare Differentialgleichungen mit nichtkonstanten Koeffizienten (n > 2)_143
4.6.3 Lösung bekannter Differentialgleichungen durch Potenzreihenansätze.148
4.7 Randwertaufgaben.153
4.7.1 Einführendes Beispiel.153
4.7.2 Lineare Randwertprobleme zweiter Ordnung.154
4.7.3 Lineare Randwertprobleme höherer Ordnung.157
4.7.4 Eigenwertaufgaben.161
4.7.5 Die Greensche Funktion.162
4.7.6 Differenzenverfahren.167
5 Differentialgleichungssysteme 171
5.1 Einleitung.171
5.2 Systeme von zwei Differentialgleichungen .174
5.2.1 Geometrische Veranschaulichung von Lösungen .174
5.2.2 Eliminationsverfahren.178
5.3 Lineare Differentialgleichungssysteme mit stetigen Koeffizientenfunktionen
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5.4 Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten (n > 2). 186
5.4.1 Lösung des homogenen Systems.186
5.4.2 Lösung des inhomogenen Systems (für konstante Koeffizienten).195
5.4.3 Modellbeispiel.199
6 Autonome Systeme (n — 2) 205
6.1 Einführung und Beispiele .205
Inhaltsverzeichnis _
IX
6.2 Stabilität linearer autonomer Systeme.213
6.3 Phasenporträts.219
6.4 Lorenz-Attraktor, Wetterprognose.226
7 Einführung in
Matlab®
231
7.1 Grafische Darstellungen.234
7.2 Algebraische Berechnungen.236
7.3 Skripte .238
Literaturverzeichnis 239
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