Numerische Mathematik: eine beispielorientierte Einführung ; ... mit 77 Beispielen und 69 Aufgaben
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
München
Fachbuchverl. Leipzig im Carl-Hanser-Verl.
2008
|
| Ausgabe: | 3., aktualisierte Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematik-Studienhilfen
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| Schlagworte: | |
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| Beschreibung: | 176 S. graph. Darst. |
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Inhaltsverzeichnis
1 Rechnerarithmetik und Gleitpunktzahlen 9
1.1 Grundbegriffe und Gleitpunktarithmetik. 9
1.2 Auslöschung. 16
1.3 Fehlerrechnung. 17
1.3.1 Fehlerfortpflanzung in arithmetischen Operationen . . 17
1.3.2 Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertungen . 18
2 Numerische Lösung von Nullstellenproblemen 25
2.1 Problemstellung. 25
2.2 Das Bisektionsverfahren. 25
2.3 Die Fixpunktiteration. 27
2.4 Das Newton-Verfahren. 32
2.5 Konvergenzgeschwindigkeit . 36
3 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme 39
3.1 Problemstellung. 39
3.2 Der Gauß-Algorithmus. 40
3.3 Fehlerfortpflanzung beim Gauß-Algorithmus und Pivotisierung 45
3.4 Dreieckszerlegungen von Matrizen . 47
3.4.1 Die LR-Zerlegung . 47
3.4.2 Die Cholesky-Zerlegung. 49
3.5 Fehlerrechnung bei linearen Gleichungssystemen . 52
3.6 Iterative Verfahren. 57
4 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme 65
4.1 Problemstellung. 65
4.2 Das Newton-Verfahren für Systeme. 66
5 Interpolation 71
5.1 Problemstellung. 71
Inhaltsverzeichnis
5.2 Polynominterpolation . 72
5.2.1 Das Neville-Aitken-Schema. 77
5.2.2 Der Fehler bei der Polynominterpolation. 78
5.3 Splineinterpolation. 82
5.3.1 Problemstellung . 82
5.3.2 Interpolation mit kubischen
Splines
. 84
6 Ausgleichsrechnung 91
6.1 Problemstellung. 91
6.2 Lineare Ausgleichsprobleme. 92
6.3 Nichtlineare Ausgleichsprobleme . 99
6.4 Das Gauß-Newton-Verfahren . 101
7 Numerische Differenziation und Integration 105
7.1 Numerische Differenziation . 105
7.1.1 Problemstellung . 105
7.1.2 Differenzenformeln für höhere Ableitungen. 110
7.1.3 Differenzenformeln für partielle Ableitungen. 111
7.1.4 Extrapolation. 112
7.2 Numerische Integration . 119
7.2.1 Problemstellung. 119
7.2.2 Interpolatorische Quadraturformeln . 123
7.2.3 Der Quadraturfehler. 123
7.2.4 Transformation auf das Intervall
[α,
6] . 125
7.2.5 Der Fehler der summierten Quadraturformeln. 127
7.2.6 Newton-Cotes-Formeln. 129
7.2.7 Gauß-Formeln . 129
7.2.8 Extrapolationsquadratur. 132
7.2.9 Praktische Aspekte. 136
8 Anfangswertprobleme gewöhnlicher DifferenzialgleichungenlSe
8.1 Problemstellung. 138
8 Inhaltsverzeichnis
8.2 Das Euler-Verfahren. 140
8.3 Praktische Aspekte. 146
8.4 Weitere Einschrittverfahren. 147
8.5 Weitere Verfahren . 153
Lösungen 155
Literaturverzeichnis 173
Sachwortverzeichnis 175
Zum Umgang mit diesem Buch:
Ziel des Buches ist es, dem Leser eine selbstständige Aufarbeitung des Stoffes,
etwa anlässlich einer Prüfungsvorbereitung, zu ermöglichen. In die Darstel¬
lung eingestreut sind Aufgaben, in denen die in Beispielen vorgestellten Me¬
thoden einmal selbst angewandt werden sollen. In den ersten Kapiteln wurden
darüber hinaus Thesen unter der Überschrift „wahr oder falsch?" formuliert,
die der Leser kritisch auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen soll. Auf diese Weise
kann das eigene Verständnis überprüft werden. Lösungen zu allen Aufgaben
und die Auswertungen der Thesen finden sich am Ende des Bandes. |
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Inhaltsverzeichnis
1 Rechnerarithmetik und Gleitpunktzahlen 9
1.1 Grundbegriffe und Gleitpunktarithmetik. 9
1.2 Auslöschung. 16
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Zum Umgang mit diesem Buch:
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etwa anlässlich einer Prüfungsvorbereitung, zu ermöglichen. In die Darstel¬
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