Elementare Zahlentheorie:
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Heidelberg [u.a.]
Spektrum, Akad. Verl.
2008
|
| Ausgabe: | 3. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematik Primar- und Sekundarstufe
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Hier auch später erschienene, unveränderte Nachdrucke |
| Beschreibung: | IX, 302 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 9783827417596 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I
Vier motivierende Probleme - ein Schnupperkurs 5
1 Sicherheit in der Apotheke ...................... 5
2 Verblüffende Summendarstellungeii.................. 9
3 Ein ungelöstes Problem........................ 13
4 Primzahlen eine überraschende Entdeckimg............ 15
5 Einige weitere Problemstellungen................... 17
II
Teilbarkeitsrelation 21
1 Definition................................ 21
2 Eigenschaften.............................. 24
3 Teilermengeu.............................. 27
4 Die Teilbarkeitsrelation als Ordinmgsrelation/Hassediagraimne . . 29
5 Übungsaufgaben............................ 31
III
Primzahlen 33
1 Primzahlen unterschiedliche Gesichter............... 33
2 Primzahlen Anzahl.......................... 35
3 Jagd nach Primzahlrekorden ..................... 39
4 Sieb des
Eratosthenes
......................... 41
5 Primzahlzwillinge und Primzahllücken................ 4(i
6 Primzahlsatz.............................. 50
7 Primzahlformeln............................ 50
8 Einige offene Primzahlprobleme.................... 53
9 Übungsaufgaben............................ 54
IV
Primzahlen — Bausteine der natürlichen Zahlen 59
1
Probkuiiatisionuig
........................... 59
2 Existenz.................................
(Ц
3 Eindeutigkeit/Hauptsatz........................ (¡3
4 Folgerungen...............................
ШІ
4.1 Teilermengen........................... (>(>
4.2 Typisierung von Hassediagrammen............... 67
4.3 Primzahlkritermm/Lemma von Euklid............. 70
5 Übungsaufgaben............................ 71
VI
I
Inhaltsverzeichnis
V
ggT und kgV 75
1 ggT und Teilermengen......................... 76
2 ggT und Primfaktorzerlegung..................... 79
3 ggT und Euklidischer Algorithmus.................. 81
3.1 Division mit Rest......................... 82
3.2 Euklidischer Algorithmus .................... 83
4 Vielfachenmenge des ggT (a,b) und Linearkombinationen...... 87
5 Lineare diophantische Gleichungen.................. 90
6 kgV und Vielfachenmengeii...................... 92
7 kgV und Primfaktorzerlegung..................... 96
8 Zusammenhang zwischen ggT (a,b) und kgV (a,b) ......... 98
9 Hassediagramme und ggT- bzw. kgV-Bestimmung ......... 99
10 Übungsaufgaben............................ 103
VI
Kongruenzen/Restklassen 109
1 Kongruenzrelation - verschiedene Einführungswege.........109
2 Eigenschaften..............................113
2.1 Rechnen mit Kongruenzen....................113
2.2 Aquivaleiizrelation........................116
3 Rostklassen...............................117
3.1 Restklassenmengen Rm .....................117
3.2 Rechnen mit Restklassen.....................120
3.3 Algeliraische Strukturen der
Restklassenmengen Rm .....................123
4 Sätze von Euler und
Fermat
......................129
5 Chinesischer Restsatz .........................131
6 Die Fermatsche Vermutung eine abenteuerliche Geschichte . . . 135
7 Übungsaufgaben............................137
VII
Stellenwertsysteme/Schriftliche Rechenverfahren 141
1 Bündelung und Stellenwert ......................141
1.1
Eia
kurzer Blick in die Geschichte................141
1.2 Die römische Zahlschrift.....................142
1.3 Das dezimale Stellenwertsystem.................143
1.4 Xiehtdozimalo Stellenwert.systomo................143
2 Zählen und Größeirvergloieh......................147
3 Übersetzungen.............................149
4 Schriftliche Roehonvorfahren......................150
4.1 Addition..............................151
4.2 Subtraktion............................152
Inhaltsverzeichnis |
VII
4.3 Multiplikation...........................153
4.4 Division..............................155
5 Übungsaufgaben............................156
VIII Teilbarkeitsregeln/Rechenproben 161
1 Grundlagen...............................löl
2 Eiidstellenregeln............................162
2.1 Endstellenregeln erster Ordnung ................162
2.1.1 Dezimales Stellenwertsysteni...............162
2.1.2 Nicht dezimale Stelleuwertsysteme............164
2.2 Eudstellenregehi zweiter Ordnung................165
2.2.1 Dezimales
Stellenwertsystein
...............165
2.2.2 Nichtdezimale Stellenwertsystenie............166
2.2.3 Mögliche Vereinfachung von Teilbarkeitsregeln.....167
2.3 Endstellenregeln dritter Ordnung................168
2.3.1 Dezimales Stellenwertsystein...............1GS
2.3.2 Nichtdezimale
Stellenwertsystenie
............109
3 Quersummenregehi...........................169
3.1 Dezimales Stellenwertsystem...................169
3.2 Nicht dezimale Stellenwertsysteme................171
4 Alternierende Quersummenregeln...................173
4.1 Dezimales Stellenwertsytem...................173
4.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme................175
5 Teilbarkeitsregeln in Sfelleiiwertsystemeii
Zusammenfassung und Konsequenzen ................175
6 Vorteile unseres Zugaugsweges zu Teilbarkeitsregeln.........177
7 Teilbarkeitsregeln für beliebige Primzahlen..............178
7.1 Teilbarkeitsregel für 7......................178
7.2 Teilbarkeitsregel für 11......................180
7.3 Verallgemeinerung........................181
S
Rechenproben .............................I?s2
9 Übungsaufgaben............................186
IX
Dezimalbi-üche/Systembrüche/
Kettenbrüche 191
1 Umformung gemeiner Brüche in Dezimalbrüche...........192
2 Endliche Dezimalbrüche........................197
3 Reinperiodische Dezimalbrüche
Periodenlíinge
............200
4 Gemischtperiodische Dezimalbrüche .................207
5 Verallgemeinerungen..........................209
VIII
I
Inhaltsverzeichnis
6 Kettenbrücke..............................215
7 Übungsaufgaben............................219
X
Vollkommene Zahlen/Fibonacci-Zahlen 221
1 Vollkommene Zahlen..........................221
2 Fibouacci-Zakleu............................227
3 Übungsaufgaben............................234
XI
Rationalisierung und Sicherheit im Handel 235
1 Europäische
Artikelnummer
ΕΑΝ...................
235
1.1 Aufbau und Zielsetzung.....................235
1.2 EAN-Prüfziffer..........................237
1.3 Sicherheit des EAN-Prüfzifferusystems.............239
1.3.1 Eingabe einer falschen Ziffer...............240
1.3.2 Eingabe zweier falscher Ziffern..............241
1.3.3 Vertauselmng zweier Naehbarziffern (Drehfehler) .... 242
1.3.4 Drehfehler nicht benachbarter Ziffern..........244
1.3.5 Vertauschung zweier unmittelbar benachbarter
Zweierblöcke........................245
1.3.6 Strichcode
(кч-
ΕΑΝ
....................245
1.3.7 Zusammenfassung.....................245
2 Internationale Standardbuchnummer ISBN .............246
2.1 Aufbau und Zielsetzung.....................247
2.2 ISBN-Prüfziffer..........................248
2.3 Sicherheit des ISBN-Prüfziffernverfahrens ...........249
2.3.1 Eingabe einer falschen Ziffer...............249
2.3.2 Eiligalle
zwier
falscher Ziffern..............250
2.3.3 Vertausehung zweier Ziffern (Drehfehler) ........251
2.3.4
Vertutisi
hung
zweier unmittelbar benachbarter
Zweierblüeke
252
2.3.5 Zusammenfassung.....................252
2.4 LSB.V13..............................253
3 Pharmazeutndnutnmer PZN
liei
Arzneimitteln ...........254
1 Übungsaufgaben............................255
XII Kryptographie 259
1 Vorbemerkungen............................259
2 Cäsars Codierung Mononlphabetische Substitution.........259
3 Polyalphabctische Substitution....................262
4 RSA-Versehlüssehmgssystem .....................2Ö4
Inhaltsverzeichnis |
IX
4.1
R
S A-
Algorithmus.........................265
4.2 Authentizität...........................2(17
4.3 Sicherheit.............................2(><S
4.4 Realifätsnahes Beispiel......................271)
4.5 Ausblick..............................274
Г)
Übungsaufgaben............................277
Lösungshinweise zu den Aufgaben 279
Literaturverzeichnis 293
Symbolverzeichnis 299
Index 301
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I
Vier motivierende Probleme - ein Schnupperkurs 5
1 Sicherheit in der Apotheke . 5
2 Verblüffende Summendarstellungeii. 9
3 Ein ungelöstes Problem. 13
4 Primzahlen eine überraschende Entdeckimg. 15
5 Einige weitere Problemstellungen. 17
II
Teilbarkeitsrelation 21
1 Definition. 21
2 Eigenschaften. 24
3 Teilermengeu. 27
4 Die Teilbarkeitsrelation als Ordinmgsrelation/Hassediagraimne . . 29
5 Übungsaufgaben. 31
III
Primzahlen 33
1 Primzahlen unterschiedliche Gesichter. 33
2 Primzahlen Anzahl. 35
3 Jagd nach Primzahlrekorden . 39
4 Sieb des
Eratosthenes
. 41
5 Primzahlzwillinge und Primzahllücken. 4(i
6 Primzahlsatz. 50
7 Primzahlformeln. 50
8 Einige offene Primzahlprobleme. 53
9 Übungsaufgaben. 54
IV
Primzahlen — Bausteine der natürlichen Zahlen 59
1
Probkuiiatisionuig
. 59
2 Existenz.
(Ц
3 Eindeutigkeit/Hauptsatz. (¡3
4 Folgerungen.
ШІ
4.1 Teilermengen. (>(>
4.2 Typisierung von Hassediagrammen. 67
4.3 Primzahlkritermm/Lemma von Euklid. 70
5 Übungsaufgaben. 71
VI
I
Inhaltsverzeichnis
V
ggT und kgV 75
1 ggT und Teilermengen. 76
2 ggT und Primfaktorzerlegung. 79
3 ggT und Euklidischer Algorithmus. 81
3.1 Division mit Rest. 82
3.2 Euklidischer Algorithmus . 83
4 Vielfachenmenge des ggT (a,b) und Linearkombinationen. 87
5 Lineare diophantische Gleichungen. 90
6 kgV und Vielfachenmengeii. 92
7 kgV und Primfaktorzerlegung. 96
8 Zusammenhang zwischen ggT (a,b) und kgV (a,b) . 98
9 Hassediagramme und ggT- bzw. kgV-Bestimmung . 99
10 Übungsaufgaben. 103
VI
Kongruenzen/Restklassen 109
1 Kongruenzrelation - verschiedene Einführungswege.109
2 Eigenschaften.113
2.1 Rechnen mit Kongruenzen.113
2.2 Aquivaleiizrelation.116
3 Rostklassen.117
3.1 Restklassenmengen Rm .117
3.2 Rechnen mit Restklassen.120
3.3 Algeliraische Strukturen der
Restklassenmengen Rm .123
4 Sätze von Euler und
Fermat
.129
5 Chinesischer Restsatz .131
6 Die Fermatsche Vermutung eine abenteuerliche Geschichte . . . 135
7 Übungsaufgaben.137
VII
Stellenwertsysteme/Schriftliche Rechenverfahren 141
1 Bündelung und Stellenwert .141
1.1
Eia
kurzer Blick in die Geschichte.141
1.2 Die römische Zahlschrift.142
1.3 Das dezimale Stellenwertsystem.143
1.4 Xiehtdozimalo Stellenwert.systomo.143
'2 Zählen und Größeirvergloieh.147
3 Übersetzungen.149
4 Schriftliche Roehonvorfahren.150
4.1 Addition.151
4.2 Subtraktion.152
Inhaltsverzeichnis |
VII
4.3 Multiplikation.153
4.4 Division.155
5 Übungsaufgaben.156
VIII Teilbarkeitsregeln/Rechenproben 161
1 Grundlagen.löl
2 Eiidstellenregeln.162
2.1 Endstellenregeln erster Ordnung .162
2.1.1 Dezimales Stellenwertsysteni.162
2.1.2 Nicht dezimale Stelleuwertsysteme.164
2.2 Eudstellenregehi zweiter Ordnung.165
2.2.1 Dezimales
Stellenwertsystein
.165
2.2.2 Nichtdezimale Stellenwertsystenie.166
2.2.3 Mögliche Vereinfachung von Teilbarkeitsregeln.167
2.3 Endstellenregeln dritter Ordnung.168
2.3.1 Dezimales Stellenwertsystein.1GS
2.3.2 Nichtdezimale
Stellenwertsystenie
.109
3 Quersummenregehi.169
3.1 Dezimales Stellenwertsystem.169
3.2 Nicht dezimale Stellenwertsysteme.171
4 Alternierende Quersummenregeln.173
4.1 Dezimales Stellenwertsytem.173
4.2 Nichtdezimale Stellenwertsysteme.175
5 Teilbarkeitsregeln in Sfelleiiwertsystemeii
Zusammenfassung und Konsequenzen .175
6 Vorteile unseres Zugaugsweges zu Teilbarkeitsregeln.177
7 Teilbarkeitsregeln für beliebige Primzahlen.178
7.1 Teilbarkeitsregel für 7.178
7.2 Teilbarkeitsregel für 11.180
7.3 Verallgemeinerung.181
S
Rechenproben .I?s2
9 Übungsaufgaben.186
IX
Dezimalbi-üche/Systembrüche/
Kettenbrüche 191
1 Umformung gemeiner Brüche in Dezimalbrüche.192
2 Endliche Dezimalbrüche.197
3 Reinperiodische Dezimalbrüche
'Periodenlíinge
.200
4 Gemischtperiodische Dezimalbrüche .207
5 Verallgemeinerungen.209
VIII
I
Inhaltsverzeichnis
6 Kettenbrücke.215
7 Übungsaufgaben.219
X
Vollkommene Zahlen/Fibonacci-Zahlen 221
1 Vollkommene Zahlen.221
2 Fibouacci-Zakleu.227
3 Übungsaufgaben.234
XI
Rationalisierung und Sicherheit im Handel 235
1 Europäische
Artikelnummer
ΕΑΝ.
235
1.1 Aufbau und Zielsetzung.235
1.2 EAN-Prüfziffer.237
1.3 Sicherheit des EAN-Prüfzifferusystems.239
1.3.1 Eingabe einer falschen Ziffer.240
1.3.2 Eingabe zweier falscher Ziffern.241
1.3.3 Vertauselmng zweier Naehbarziffern (Drehfehler) . 242
1.3.4 Drehfehler nicht benachbarter Ziffern.244
1.3.5 Vertauschung zweier unmittelbar benachbarter
Zweierblöcke.245
1.3.6 Strichcode
(кч-
ΕΑΝ
.245
1.3.7 Zusammenfassung.245
2 Internationale Standardbuchnummer ISBN .246
2.1 Aufbau und Zielsetzung.247
2.2 ISBN-Prüfziffer.248
2.3 Sicherheit des ISBN-Prüfziffernverfahrens .249
2.3.1 Eingabe einer falschen Ziffer.249
2.3.2 Eiligalle
zwier
falscher Ziffern.250
2.3.3 Vertausehung zweier Ziffern (Drehfehler) .251
2.3.4
Vertutisi
hung
zweier unmittelbar benachbarter
Zweierblüeke
252
2.3.5 Zusammenfassung.252
2.4 LSB.V13.253
3 Pharmazeutndnutnmer PZN
liei
Arzneimitteln .254
1 Übungsaufgaben.255
XII Kryptographie 259
1 Vorbemerkungen.259
2 Cäsars Codierung Mononlphabetische Substitution.259
3 Polyalphabctische Substitution.262
4 RSA-Versehlüssehmgssystem .2Ö4
Inhaltsverzeichnis |
IX
4.1
R
S A-
Algorithmus.265
4.2 Authentizität.2(17
4.3 Sicherheit.2(><S
4.4 Realifätsnahes Beispiel.271)
4.5 Ausblick.274
Г)
Übungsaufgaben.277
Lösungshinweise zu den Aufgaben 279
Literaturverzeichnis 293
Symbolverzeichnis 299
Index 301 |
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