Wahrscheinlichkeitstheorie:
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2008
|
| Ausgabe: | 2., korr. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XII, 624 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3540763171 9783540763178 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen der Maßtheorie.................................. 1
1.1 Mengensysteme............................................ 1
1.2 Mengenfunktionen......................................... 12
1.3 Fortsetzung von Maßen ..................................... 18
1.4 Messbare Abbildungen...................................... 34
1.5 Zufallsvariablen............................................ 43
2 Unabhängigkeit............................................. 49
2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen.............................. 49
2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen.......................... 56
2.3 Kolmogorov sches 0-1 Gesetz................................ 63
2.4 Beispiel: Perkolation........................................ 66
3 Erzeugendenfunktion........................................ 79
3.1 Definition und Beispiele..................................... 79
3.2
Poisson-Approximation
..................................... 82
3.3 Verzweigungsprozesse...................................... 84
4 Das Integral................................................ 87
4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften ...................... 87
4.2 Monotone Konvergenz und Lemma von Fatou .................. 95
4.3 Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral..................... 98
5 Momente und Gesetze der Großen Zahl......................... 103
5.1 Momente ................................................. 103
5.2 Schwaches Gesetz der Großen Zahl........................... 110
VIII Inhaltsverzeichnis
5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl ..............................113
5.4 Konvergenzrate im starken GGZ..............................121
5.5 Der Poissonprozess.........................................124
6 Konvergenzsätze............................................131
6.1 Fast-überall- und
stochastische
Konvergenz.....................131
6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit................................136
6.3 Vertauschung von Integral und Ableitung.......................143
7 Lp -Räume und Satz von Radon-Nikodym.......................145
7.1 Definitionen...............................................145
7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz.....................147
7.3 Hilberträume..............................................153
7.4 Lebesgue scher Zerlegungssatz...............................156
7.5 Ergänzung: Signierte Maße..................................160
7.6 Ergänzung: Dualräume......................................167
8 Bedingte Erwartungen.......................................171
8.1 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten.....................171
8.2 Bedingte Erwartungen ......................................175
8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung .....................182
9
Martingale
.................................................191
9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten............................191
9.2
Martingale
................................................196
9.3 Diskretes stochastisches Integral..............................200
9.4 Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell............202
10 Optional
Sampling
Sätze.....................................207
10.1 Doob-Zerlegung und quadratische Variation....................207
10.2 Optional
Sampling
und Optional
Stopping
......................211
10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit und Optional
Sampling
............215
11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen...................219
Inhaltsverzeichnis
IX
11.1 Die Doob sche Ungleichung .................................219
11.2 Martingalkonvergenzsätze...................................221
11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess...............................230
12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit.....................233
12.1 Austauschbare Familien von Zufallsvariablen...................233
12.2 Rückwärtsmartingale .......................................238
12.3 Satz von de Finetti..........................................240
13 Konvergenz von Maßen......................................245
13.1 Wiederholung
Topologie
....................................245
13.2 Schwache und vage Konvergenz..............................252
13.3 Der Satz von Prohorov......................................260
13.4 Anwendung: Satz von de Finetti - anders angeschaut.............269
14 W-Maße auf Produkträumen .................................273
14.1 Produkträume..............................................274
14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne........................277
14.3 Satz von lonescu-Tulcea und
Projektive
Familien................286
14.4 Markov sche Halbgruppen...................................291
15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz.........297
15.1 Trennende Funktionenklassen................................297
15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele........................304
15.3 Der
Lévy sche
Stetigkeitssatz................................310
15.4 Charakteristische Funktion und Momente......................315
15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz..................................321
15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Grenzwertsatz....................329
16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen..............................331
16.1 Die
Lévy-Khinchin
Formel ..................................331
16.2 Stabile Verteilungen........................................343
17 Markovketten..............................................349
X
Inhaltsverzeichnis
17.1 Begriffsbildung und Konstruktion.............................349
17.2 Diskrete Markovketten, Beispiele.............................356
17.3 Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit.......................360
17.4 Diskrete Markovketten, Rekurrenz und Transienz................365
17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten............369
17.6 Invariante Verteilungen......................................376
18 Konvergenz von Markovketten................................383
18.1 Periodizität von Markovketten................................383
18.2 Kopplung und Konvergenzsatz ...............................387
18.3 Markovketten Monte Carlo Methode..........................394
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit..................................401
19 Markovketten und elektrische Netzwerke.......................407
19.1 Harmonische Funktionen....................................407
19.2 Reversible Markovketten....................................411
19.3 Endliche Elektrische Netzwerke..............................412
19.4 Rekurrenz und Transienz....................................418
19.5 Netzwerkreduktion.........................................424
19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebung...............................431
20 Ergodentheorie.............................................435
20.1 Begriffsbildung............................................435
20.2 Ergodensätze..............................................439
20.3 Beispiele..................................................441
20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten.........................443
20.5 Mischung.................................................446
21 Die Brown sche Bewegung....................................451
21.1 Stetige Modifikationen......................................451
21.2 Konstruktion und Pfadeigenschaften...........................458
21.3 Starke Markoveigenschaft...................................463
21.4 Ergänzung: Feller Prozesse..................................466
Inhaltsverzeichnis
XI
21.5 Konstruktion durch L2 -Approximation ........................469
21.6 Der Raum C([0, oo)) .......................................473
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C([0, oo))......................475
21.8 Satz von Donsker...........................................478
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen*.............482
21.10Quadratische Variation und lokale
Martingale
...................488
22 Gesetz vom iterierten Logarithmus.............................499
22.1 Iterierter Logarithmus für die Brown sche Bewegung.............499
22.2 Skorohod scher Einbettungssatz..............................502
22.3 Satz von Hartman-Wintner...................................507
23 Große Abweichungen........................................509
23.1 Satz von
Cramer
...........................................510
23.2 Prinzip der großen Abweichungen............................514
23.3 Satz von Sanov ............................................518
23.4 Varadhan sches Lemma und Freie Energie......................522
24 Der Poisson sche Punktprozess................................529
24.1 Zufällige Maße ............................................529
24.2 Eigenschaften des
Poisson
sehen Punktprozesses................533
24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung*.............................539
25 Das
Itô-Integral
.............................................547
25.1 Das
Itô-Integral
bezüglich der Brown schen Bewegung...........547
25.2
Itô-Integral
bezüglich Diffusionen.............................555
25.3 Die
Itô-Formel
.............................................558
25.4 Dirichlet-Problem und Brown sche Bewegung..................566
25.5 Rekurrenz und Transienz der Brown schen Bewegung............568
26 Stochastische Differentialgleichungen ..........................573
26.1 Starke Lösungen...........................................573
26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem ....................582
26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität.................589
XII Inhaltsverzeichnis
Literatur.......................................................597
Notation.......................................................607
Glossar englischer Ausdrücke.....................................611
Namensregister.................................................613
Sachregister....................................................617
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen der Maßtheorie. 1
1.1 Mengensysteme. 1
1.2 Mengenfunktionen. 12
1.3 Fortsetzung von Maßen . 18
1.4 Messbare Abbildungen. 34
1.5 Zufallsvariablen. 43
2 Unabhängigkeit. 49
2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen. 49
2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. 56
2.3 Kolmogorov'sches 0-1 Gesetz. 63
2.4 Beispiel: Perkolation. 66
3 Erzeugendenfunktion. 79
3.1 Definition und Beispiele. 79
3.2
Poisson-Approximation
. 82
3.3 Verzweigungsprozesse. 84
4 Das Integral. 87
4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften . 87
4.2 Monotone Konvergenz und Lemma von Fatou . 95
4.3 Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral. 98
5 Momente und Gesetze der Großen Zahl. 103
5.1 Momente . 103
5.2 Schwaches Gesetz der Großen Zahl. 110
VIII Inhaltsverzeichnis
5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl .113
5.4 Konvergenzrate im starken GGZ.121
5.5 Der Poissonprozess.124
6 Konvergenzsätze.131
6.1 Fast-überall- und
stochastische
Konvergenz.131
6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit.136
6.3 Vertauschung von Integral und Ableitung.143
7 Lp -Räume und Satz von Radon-Nikodym.145
7.1 Definitionen.145
7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz.147
7.3 Hilberträume.153
7.4 Lebesgue'scher Zerlegungssatz.156
7.5 Ergänzung: Signierte Maße.160
7.6 Ergänzung: Dualräume.167
8 Bedingte Erwartungen.171
8.1 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten.171
8.2 Bedingte Erwartungen .175
8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung .182
9
Martingale
.191
9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten.191
9.2
Martingale
.196
9.3 Diskretes stochastisches Integral.200
9.4 Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell.202
10 Optional
Sampling
Sätze.207
10.1 Doob-Zerlegung und quadratische Variation.207
10.2 Optional
Sampling
und Optional
Stopping
.211
10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit und Optional
Sampling
.215
11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen.219
Inhaltsverzeichnis
IX
11.1 Die Doob'sche Ungleichung .219
11.2 Martingalkonvergenzsätze.221
11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess.230
12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit.233
12.1 Austauschbare Familien von Zufallsvariablen.233
12.2 Rückwärtsmartingale .238
12.3 Satz von de Finetti.240
13 Konvergenz von Maßen.245
13.1 Wiederholung
Topologie
.245
13.2 Schwache und vage Konvergenz.252
13.3 Der Satz von Prohorov.260
13.4 Anwendung: Satz von de Finetti - anders angeschaut.269
14 W-Maße auf Produkträumen .273
14.1 Produkträume.274
14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne.277
14.3 Satz von lonescu-Tulcea und
Projektive
Familien.286
14.4 Markov'sche Halbgruppen.291
15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz.297
15.1 Trennende Funktionenklassen.297
15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele.304
15.3 Der
Lévy'sche
Stetigkeitssatz.310
15.4 Charakteristische Funktion und Momente.315
15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz.321
15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Grenzwertsatz.329
16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen.331
16.1 Die
Lévy-Khinchin
Formel .331
16.2 Stabile Verteilungen.343
17 Markovketten.349
X
Inhaltsverzeichnis
17.1 Begriffsbildung und Konstruktion.349
17.2 Diskrete Markovketten, Beispiele.356
17.3 Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit.360
17.4 Diskrete Markovketten, Rekurrenz und Transienz.365
17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten.369
17.6 Invariante Verteilungen.376
18 Konvergenz von Markovketten.383
18.1 Periodizität von Markovketten.383
18.2 Kopplung und Konvergenzsatz .387
18.3 Markovketten Monte Carlo Methode.394
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit.401
19 Markovketten und elektrische Netzwerke.407
19.1 Harmonische Funktionen.407
19.2 Reversible Markovketten.411
19.3 Endliche Elektrische Netzwerke.412
19.4 Rekurrenz und Transienz.418
19.5 Netzwerkreduktion.424
19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebung.431
20 Ergodentheorie.435
20.1 Begriffsbildung.435
20.2 Ergodensätze.439
20.3 Beispiele.441
20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten.443
20.5 Mischung.446
21 Die Brown'sche Bewegung.451
21.1 Stetige Modifikationen.451
21.2 Konstruktion und Pfadeigenschaften.458
21.3 Starke Markoveigenschaft.463
21.4 Ergänzung: Feller Prozesse.466
Inhaltsverzeichnis
XI
21.5 Konstruktion durch L2 -Approximation .469
21.6 Der Raum C([0, oo)) .473
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C([0, oo)).475
21.8 Satz von Donsker.478
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen*.482
21.10Quadratische Variation und lokale
Martingale
.488
22 Gesetz vom iterierten Logarithmus.499
22.1 Iterierter Logarithmus für die Brown'sche Bewegung.499
22.2 Skorohod'scher Einbettungssatz.502
22.3 Satz von Hartman-Wintner.507
23 Große Abweichungen.509
23.1 Satz von
Cramer
.510
23.2 Prinzip der großen Abweichungen.514
23.3 Satz von Sanov .518
23.4 Varadhan'sches Lemma und Freie Energie.522
24 Der Poisson'sche Punktprozess.529
24.1 Zufällige Maße .529
24.2 Eigenschaften des
Poisson
'sehen Punktprozesses.533
24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung*.539
25 Das
Itô-Integral
.547
25.1 Das
Itô-Integral
bezüglich der Brown'schen Bewegung.547
25.2
Itô-Integral
bezüglich Diffusionen.555
25.3 Die
Itô-Formel
.558
25.4 Dirichlet-Problem und Brown'sche Bewegung.566
25.5 Rekurrenz und Transienz der Brown'schen Bewegung.568
26 Stochastische Differentialgleichungen .573
26.1 Starke Lösungen.573
26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem .582
26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität.589
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Inhaltsverzeichnis
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| Exemplar 1 | ausleihbar Verfügbar Bestellen |