Algorithmische Geometrie: polyedrische und algebraische Methoden
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| Sprache: | German |
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Wiesbaden
Vieweg
2008
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| Schriftenreihe: | Vieweg Studium - Aufbaukurs Mathematik
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
1 Einführung und Überblick 1
1.1 Lineare algorithmische Geometrie ..................... 1
1.2 Nichtlineare algorithmische Geometrie................... 4
1.3 Anwendungen................................. 6
1.4 Anhänge.................................... 7
1
Lineare algorithmische Geometrie
2 Geometrische Grundlagen 11
2.1
Projektíve
Räume............................... 11
2.2
Projektive
Transformationen......................... 14
2.3 Konvexität................................... 16
2.4 Aufgaben.................................... 18
2.5 Anmerkungen................................. 19
3 Polytope und Polyeder 21
3.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften.............. 21
3.2 Der Seitenverband eines Polytops...................... 27
3.3 Polarität und Dualität............................. 30
3.4 Polyeder.................................... 34
3.5 Die Kombinatorik von Polytopen...................... 37
3.6 Untersuchungen mit polymake ....................... 43
3.7 Aufgaben.................................... 45
3.8 Anmerkungen................................. 46
4 Lineare Optimierung 47
4.1 Problemstellung................................ 47
4.2 Dualität..................................... 49
4.3 Der Simplex-Algorithmus.......................... 53
4.4 Bestimmen einer Startecke.......................... 60
4.5 Untersuchungen mit polymake ....................... 62
4.6 Aufgaben.................................... 63
4.7 Anmerkungen................................. 64
5 Berechnung konvexer Hüllen 67
5.1 Vorüberlegungen............................... 67
5.2 Die Methode der doppelten Beschreibung................. 69
5.3 Ebene konvexe Hüllen............................ 75
5.4 Untersuchungen mit polymake ....................... 79
5.5 Aufgaben.................................... 80
5.6 Anmerkungen................................. 81
6 Voronoi-Diagramme 83
6.1 Voronoi-Regionen............................... 83
6.2 Polyedrische Komplexe............................ 85
6.3 Voronoi-Diagramme und konvexe Hüllen................. 87
6.4 Der Wellenfront-Algorithmus........................ 90
6.5 Bestimmung des nächsten Nachbarn....................100
6.6 Aufgaben . ...................................101
6.7 Anmerkungen.................................102
7 Delone-Triangulierungen 103
7.1 Dualisierung von Voronoi-Diagrammen..................103
7.2 Die Delone-Zerlegung............................107
7.3 Volumenberechnung.............................109
7.4 Optimalität von Delone-Triangulierungen.................HO
7.5 Planare Delone-Triangulierungen......................114
7.6 Untersuchungen mit polymake .......................119
7.7 Aufgaben....................................122
7.8 Anmerkungen.................................122
II
Nichtlineare algorithmische Geometrie
8 Algebraische und geometrische Grundlagen 125
8.1 Motivation...................................125
8.2 Univariate Polynome.............................128
8.3 Resultanten ..................................130
8.4 Ebene affine algebraische Kurven......................132
8.5
Projektive
Kurven...............................134
8.6 Der Satz von
Bézout
.............................136
8.7 Algebraische Kurven mit
Maple
.......................140
8.8 Aufgaben....................................142
8.9 Anmerkungen.................................143
9 Gröbnerbasen und der Buchberger-Algorithmus 145
9.1 Ideale und der univariate Fall........................145
9.2 Monomordnungen..............................149
9.3 Gröbnerbasen und der Hilbertsche Basissatz............... 152
9.4 Der Algorithmus von Buchberger...................... 157
9.5 Binomiale Ideale................................ 160
9.6 Ein elementargeometrischer Beweis mit Gröbnerbasen ......... 161
9.7 Aufgaben.................................... 163
9.8 Anmerkungen................................. 164
10 Lösen polynomialer Gleichungssysteme mit Gröbnerbasen 167
10.1 Gröbnerbasen mit
Maple
und Singular.................. 167
10.2 Elimination von Unbestimmten....................... 169
10.3 Fortsetzung partieller Lösungen....................... 172
10.4 Huberts Nullstellensatz............................ 174
10.5 Lösen polynomialer Gleichungen...................... 178
10.6 Gröbnerbasen und ganzzahlige lineare Programme ........... 182
10.7 Aufgaben.................................... 187
10.8 Anmerkungen................................. 188
III
Anwendungen
11 Kurvenrekonstruktion 191
11.1 Vorüberlegungen............................... 192
11.2 Die mediale Achse und lokale Details ................... 192
11.3 Muster und polygonale Rekonstruktion.................. 195
11.4 Der Algorithmus NN-Crust ......................... 198
11.5 Kurvenrekonstruktion mit polymake.................... 201
11.6 Aufgaben.................................... 203
11.7 Anmerkungen................................. 203
12 Plücker-Koordinaten und Geraden im Raum 205
12.1 Plücker-Koordinaten............................. 205
12.2 Äußere Multiplikation und äußere Algebra................ 207
12.3 Dualität..................................... 211
12.4 Rechnen mit Plücker-Koordinaten ..................... 216
12.5 Geraden in R3................................. 217
12.6 Aufgaben.................................... 219
12.7 Anmerkungen................................. 219
13 Anwendungen der nichtlinearen algorithmischen Geometrie 221
13.1 Voronoi-Diagramme für Geradensegmente in der Ebene ........ 221
13.2 Kinematische Probleme und Bewegungsplanungen........... 224
13.3 Das Global
Positioning
System GPS .................... 232
13.4 Anmerkungen................................. 234
χ
Inhalt
IV
Anhänge
A
Algebraische Strukturen 237
A.l Gruppen, Ringe, Körper........................... 237
A.2 Polynomringe................................. 238
В
Trennungssätze 241
С
Algorithmen und Komplexität 245
C.l Komplexität von Algorithmen........................ 245
C.2 Die Komplexitätsklassen
Ρ
und NP..................... 248
D
Software 251
D.l polymake.................................... 251
D.2
Maple
...................................... 251
D.3 Singular.................................... 252
D.4 CGAL....................................... 252
E
Notation 253
Literaturverzeichnis 255
Index 261
|
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Inhalt
1 Einführung und Überblick 1
1.1 Lineare algorithmische Geometrie . 1
1.2 Nichtlineare algorithmische Geometrie. 4
1.3 Anwendungen. 6
1.4 Anhänge. 7
1
Lineare algorithmische Geometrie
2 Geometrische Grundlagen 11
2.1
Projektíve
Räume. 11
2.2
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Transformationen. 14
2.3 Konvexität. 16
2.4 Aufgaben. 18
2.5 Anmerkungen. 19
3 Polytope und Polyeder 21
3.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften. 21
3.2 Der Seitenverband eines Polytops. 27
3.3 Polarität und Dualität. 30
3.4 Polyeder. 34
3.5 Die Kombinatorik von Polytopen. 37
3.6 Untersuchungen mit polymake . 43
3.7 Aufgaben. 45
3.8 Anmerkungen. 46
4 Lineare Optimierung 47
4.1 Problemstellung. 47
4.2 Dualität. 49
4.3 Der Simplex-Algorithmus. 53
4.4 Bestimmen einer Startecke. 60
4.5 Untersuchungen mit polymake . 62
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4.7 Anmerkungen. 64
5 Berechnung konvexer Hüllen 67
5.1 Vorüberlegungen. 67
5.2 Die Methode der doppelten Beschreibung. 69
5.3 Ebene konvexe Hüllen. 75
5.4 Untersuchungen mit polymake . 79
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5.6 Anmerkungen. 81
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6.1 Voronoi-Regionen. 83
6.2 Polyedrische Komplexe. 85
6.3 Voronoi-Diagramme und konvexe Hüllen. 87
6.4 Der Wellenfront-Algorithmus. 90
6.5 Bestimmung des nächsten Nachbarn.100
6.6 Aufgaben . .101
6.7 Anmerkungen.102
7 Delone-Triangulierungen 103
7.1 Dualisierung von Voronoi-Diagrammen.103
7.2 Die Delone-Zerlegung.107
7.3 Volumenberechnung.109
7.4 Optimalität von Delone-Triangulierungen.HO
7.5 Planare Delone-Triangulierungen.114
7.6 Untersuchungen mit polymake .119
7.7 Aufgaben.122
7.8 Anmerkungen.122
II
Nichtlineare algorithmische Geometrie
8 Algebraische und geometrische Grundlagen 125
8.1 Motivation.125
8.2 Univariate Polynome.128
8.3 Resultanten .130
8.4 Ebene affine algebraische Kurven.132
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8.6 Der Satz von
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.136
8.7 Algebraische Kurven mit
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8.9 Anmerkungen.143
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9.4 Der Algorithmus von Buchberger. 157
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9.6 Ein elementargeometrischer Beweis mit Gröbnerbasen . 161
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9.8 Anmerkungen. 164
10 Lösen polynomialer Gleichungssysteme mit Gröbnerbasen 167
10.1 Gröbnerbasen mit
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10.4 Huberts Nullstellensatz. 174
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10.8 Anmerkungen. 188
III
Anwendungen
11 Kurvenrekonstruktion 191
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11.3 Muster und polygonale Rekonstruktion. 195
11.4 Der Algorithmus NN-Crust . 198
11.5 Kurvenrekonstruktion mit polymake. 201
11.6 Aufgaben. 203
11.7 Anmerkungen. 203
12 Plücker-Koordinaten und Geraden im Raum 205
12.1 Plücker-Koordinaten. 205
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12.5 Geraden in R3. 217
12.6 Aufgaben. 219
12.7 Anmerkungen. 219
13 Anwendungen der nichtlinearen algorithmischen Geometrie 221
13.1 Voronoi-Diagramme für Geradensegmente in der Ebene . 221
13.2 Kinematische Probleme und Bewegungsplanungen. 224
13.3 Das Global
Positioning
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13.4 Anmerkungen. 234
χ
Inhalt
IV
Anhänge
A
Algebraische Strukturen 237
A.l Gruppen, Ringe, Körper. 237
A.2 Polynomringe. 238
В
Trennungssätze 241
С
Algorithmen und Komplexität 245
C.l Komplexität von Algorithmen. 245
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D.2
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