Elementare Zahlentheorie:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Basel [u.a.]
Birkhäuser
2008
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| Ausgabe: | 3. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Grundstudium Mathematik
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| ISBN: | 9783764377304 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1
Primzerlegung in
Ћ
und
Q
Einleitung
§ 0 Natürliche, ganze und rationale Zahlen...............13
1. Der Ring
Ж
der ganzen und der Körper
Q
der rationalen Zahlen -
2. Anordnung von
Ж
und
Q
- 3. Prinzip vom kleinsten Element und
Induktionsprinzip - 4. Division mit Rest
§ 1 Teilbarkeit. Primzahlen......................22
1. Teilbarkeitsbegriff - 2. Primzahlen - 3. Existenz unendlich vieler
Primzahlen - 4. Unzerlegbarkeit und Primeigenschaft
§ 2 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie............28
1. Existenz einer Primzerlegung - 2. Eindeutigkeit der Primzerlegung -
3*. Der Eindeutigkeitsbeweis von Zermelo - 4*. Kritische Bemerkungen
§ 3 Anwendungen des Hauptsatzes ..................33
1. Anzahl aller positiven Teiler - 2. Produkt aller positiven Teiler -
3. Summe aller positiven Teiler - 4. Vollkommene Zahlen -
5. Mersennesche Primzahlen - 6. Fermatsche Primzahlen
§4 Zahlentheorie im Körper
Q
....................42
1. Primzerlegung
¡n Q
- 2. Irrationalitätsaussagen - 3*. Zur Irrationalität
und Transzendenz von
e
und
π
- 4. Die Vielfachheitsfunktion wp(a) -
5*. Ägyptische Bruchdarstellungen, Fibonaccimethode
Kapitel 2
Theorie des größten gemeinsamen Teilers in
Ћ
Einleitung
§ 1 Größter gemeinsamer Teiler....................55
1. Größter gemeinsamer Teiler zweier ganzer Zahlen - 2. Euklidischer
Algorithmus - 3. Idealtheoretische Charakterisierung des größten
gemeinsamen Teilers - 4. Größter gemeinsamer Teiler endlich vieler
ganzer Zahlen - 5. Teilerfremdheit - 6. Reduzierte Bruchdarstellung -
7. Kleinstes gemeinsames Vielfaches
§ 2 Über die Verteilung und Darstellung von Primzahlen.........70
1. Elementare Verteilungssätze - 2. Großer Primzahlsatz - 3*. Die
Chebyshevsche Abschätzung - 4. Große Primzahlen - 5. Primzahlen in
arithmetischen Progressionen - 6. Primzahlen als Werte von Polynomen
§ 3 Zahlentheoretische Funktionen ..................81
1. Multiplikative Funktionen - 2. Eulersche «^-Funktion -
3. DiRiCHLET-Faltung - 4. Summatorfunktionen
10 Inhaltsverzeichnis
Kapitel 3
Zahlentheorie in allgemeinen Integritätsringen
Einleitung
§ 0 Integritätsringe.........................95
1. Allgemeine Begriffe der Ringtheorie - 2. Polynomringe -
3. Quadratische Zahlbereiche
§ 1 Teilbarkeitstheorie in Integritätsringen...............101
1. Grundbegriffe der Teilbarkeitstheorie - 2. Normfunktionen -
3. Zerlegungssatz für Integritätsringe mit monotoner Normfunktion
§ 2 Faktorielle Ringe, Hauptidealringe und euklidische Ringe.......111
1. Faktorielle Ringe - 2. Hauptidealringe - 3. Euklidische Ringe -
4. Beispiele 5*. Weiterführende Ergebnisse - 6. Zerlegung von
Primzahlen in quadratischen Zahlbereichen - 7. Charakterisierung von
Primzahlen in quadratischen Zahlbereichen
S3 Zahlentheorie in
faktoriellen
Ringen und in Hauptidealringen.....126
1. Zahlentheorie in
faktoriellen
Ringen - 2. Theorie des größten
gemeinsamen Teilers - 3. Integritätsringe mit ggT - 4. Charakterisierung
faktorieller Ringe. Zerlegungssatz für noethersche Ringe
Kapitel 4
Der ir-adische Algorithmus
Einleitung
§ 1 y-adische und Cantorsche Darstellung natürlicher Zahlen.......139
0. Historisches Präludium - 1. Existenz und Eindeutigkeit der ¿/-adischen
Darstellung 2. Rechnen im ¿/-adischen System - 3*. Cantorsche
Darstellung natürlicher Zahlen
S
2 ty-adische Darstellung rationaler Zahlen...............148
1. y-adischer Algorithmus - 2. Endliche ¿/-adische Darstellungen -
3. Periodische
(/-adiscile
Darstellungen
§ 3 Periodizitätssätze. Satz von Fermat-Euler.............158
1. Kriterien für reine Periodizität - 2. Charakterisierung von Vorperioden
und Perioden - 3. Zyklische Ziffernverschiebung - 4. Satz von
Fermat-Euler
íj
4* (Anhang) y-adische Entwicklung als Approximationsverfahren.....168
1 *. Approximationskriterium - 2*. Konstruktion von Brüchen zu
y-periodischen Folgen 3*. 0-adische Entwicklungen und unendliche
Reihen
Kapitel 5
Kongruenzen und Restklassenringe
Einleitung
§ 1 Kongruenzenrechnung......................179
1. Kongruenzrelation. Elementares Rechnen mit Kongruenzen
2. Kongruenzen zu verschiedenen Moduln - 3. Neuner- und Elferprobe -
Inhaltsverzeichnis 11
4. Der Satz von Fermat-Euler als Kongruenzsatz - 5. Anwendung des
Satzes von Fermat-Euler in der Kryptographie
§2 Satz von Wilson. Chinesischer Restsatz...............192
1. Lineare Kongruenzen - 2. Der Satz von Wilson - 3. Ein Satz von
Euler - 4. Chinesischer Restsatz
§ 3 Restklassenringe und Polynomkongruenzen.............201
1. Restklassenringe - 2. Primideale und maximale Ideale -
3. Polynomkongruenzen und Polynomgleichungen - 4. Satz von
Lagrange
Kapitel 6
Prime
Restklassengruppen
Einleitung
§ 1 Elementare Gruppentheorie....................213
1. Gruppenbegriff. Beispiele aus der Zahlentheorie - 2. Untergruppen,
Kongruenz, Ordnung einer Gruppe - 3. Ordnung eines
Gruppenelementes - 4. Verallgemeinerungen der Sätze von
Fermat-Euler und Wilson
§ 2 Zyklische
prime
Restklassengruppen................223
1. Allgemeines Zyklizitätskriterium - 2. Existenz von Primitivwurzeln zu
Primzahlen - 3. Zyklizität der Gruppen Z*„ - 4. Kleine Primitivwurzeln
zu /> 5. Zyklizität der Gruppen
Żfp„
- 6. Bestimmung aller zyklischen
Gruppen
Ж*
Kapitel 7
Theorie der quadratischen Reste
Einleitung
§ 1 Quadratische Reste .......................237
1. Quadratische Reste
modulo
einer beliebigen Zahl
m
> 1 -
2. Quadratische Reste
modulo
Primzahlpotenzen - 3. Quadratische Reste
modulo
einer ungeraden Primzahl - 4. Legendresches Restsymbol -
5. Gaußsches Lemma
§ 2 Quadratisches Reziprozitätsgesetz.................248
1. Formulierung des Reziprozitätsgesetzes. Beispiele - 2. Beweis des
Reziprozitätsgesetzes - 3*. Analytischer Beweis des Reziprozitätsgesetzes
nach Eisenstein - 4. Das Reziprozitätsgesetz für das Jacobische
Restsymbol - 5. Anwendungen des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes
Literatur............................... 266
Namenverzeichnis........................... 267
Sachverzeichnis ............................ 269
Symbolverzeichnis........................... 274
|
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Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1
Primzerlegung in
Ћ
und
Q
Einleitung
§ 0 Natürliche, ganze und rationale Zahlen.13
1. Der Ring
Ж
der ganzen und der Körper
Q
der rationalen Zahlen -
2. Anordnung von
Ж
und
Q
- 3. Prinzip vom kleinsten Element und
Induktionsprinzip - 4. Division mit Rest
§ 1 Teilbarkeit. Primzahlen.22
1. Teilbarkeitsbegriff - 2. Primzahlen - 3. Existenz unendlich vieler
Primzahlen - 4. Unzerlegbarkeit und Primeigenschaft
§ 2 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie.28
1. Existenz einer Primzerlegung - 2. Eindeutigkeit der Primzerlegung -
3*. Der Eindeutigkeitsbeweis von Zermelo - 4*. Kritische Bemerkungen
§ 3 Anwendungen des Hauptsatzes .33
1. Anzahl aller positiven Teiler - 2. Produkt aller positiven Teiler -
3. Summe aller positiven Teiler - 4. Vollkommene Zahlen -
5. Mersennesche Primzahlen - 6. Fermatsche Primzahlen
§4 Zahlentheorie im Körper
Q
.42
1. Primzerlegung
¡n Q
- 2. Irrationalitätsaussagen - 3*. Zur Irrationalität
und Transzendenz von
e
und
π
- 4. Die Vielfachheitsfunktion wp(a) -
5*. Ägyptische Bruchdarstellungen, Fibonaccimethode
Kapitel 2
Theorie des größten gemeinsamen Teilers in
Ћ
Einleitung
§ 1 Größter gemeinsamer Teiler.55
1. Größter gemeinsamer Teiler zweier ganzer Zahlen - 2. Euklidischer
Algorithmus - 3. Idealtheoretische Charakterisierung des größten
gemeinsamen Teilers - 4. Größter gemeinsamer Teiler endlich vieler
ganzer Zahlen - 5. Teilerfremdheit - 6. Reduzierte Bruchdarstellung -
7. Kleinstes gemeinsames Vielfaches
§ 2 Über die Verteilung und Darstellung von Primzahlen.70
1. Elementare Verteilungssätze - 2. Großer Primzahlsatz - 3*. Die
Chebyshevsche Abschätzung - 4. Große Primzahlen - 5. Primzahlen in
arithmetischen Progressionen - 6. Primzahlen als Werte von Polynomen
§ 3 Zahlentheoretische Funktionen .81
1. Multiplikative Funktionen - 2. Eulersche «^-Funktion -
3. DiRiCHLET-Faltung - 4. Summatorfunktionen
10 Inhaltsverzeichnis
Kapitel 3
Zahlentheorie in allgemeinen Integritätsringen
Einleitung
§ 0 Integritätsringe.95
1. Allgemeine Begriffe der Ringtheorie - 2. Polynomringe -
3. Quadratische Zahlbereiche
§ 1 Teilbarkeitstheorie in Integritätsringen.101
1. Grundbegriffe der Teilbarkeitstheorie - 2. Normfunktionen -
3. Zerlegungssatz für Integritätsringe mit monotoner Normfunktion
§ 2 Faktorielle Ringe, Hauptidealringe und euklidische Ringe.111
1. Faktorielle Ringe - 2. Hauptidealringe - 3. Euklidische Ringe -
4. Beispiele 5*. Weiterführende Ergebnisse - 6. Zerlegung von
Primzahlen in quadratischen Zahlbereichen - 7. Charakterisierung von
Primzahlen in quadratischen Zahlbereichen
S3 Zahlentheorie in
faktoriellen
Ringen und in Hauptidealringen.126
1. Zahlentheorie in
faktoriellen
Ringen - 2. Theorie des größten
gemeinsamen Teilers - 3. Integritätsringe mit ggT - 4. Charakterisierung
faktorieller Ringe. Zerlegungssatz für noethersche Ringe
Kapitel 4
Der ir-adische Algorithmus
Einleitung
§ 1 y-adische und Cantorsche Darstellung natürlicher Zahlen.139
0. Historisches Präludium - 1. Existenz und Eindeutigkeit der ¿/-adischen
Darstellung 2. Rechnen im ¿/-adischen System - 3*. Cantorsche
Darstellung natürlicher Zahlen
S
2 ty-adische Darstellung rationaler Zahlen.148
1. y-adischer Algorithmus - 2. Endliche ¿/-adische Darstellungen -
3. Periodische
(/-adiscile
Darstellungen
§ 3 Periodizitätssätze. Satz von Fermat-Euler.158
1. Kriterien für reine Periodizität - 2. Charakterisierung von Vorperioden
und Perioden - 3. Zyklische Ziffernverschiebung - 4. Satz von
Fermat-Euler
íj
4* (Anhang) y-adische Entwicklung als Approximationsverfahren.168
1 *. Approximationskriterium - 2*. Konstruktion von Brüchen zu
y-periodischen Folgen 3*. 0-adische Entwicklungen und unendliche
Reihen
Kapitel 5
Kongruenzen und Restklassenringe
Einleitung
§ 1 Kongruenzenrechnung.179
1. Kongruenzrelation. Elementares Rechnen mit Kongruenzen
2. Kongruenzen zu verschiedenen Moduln - 3. Neuner- und Elferprobe -
Inhaltsverzeichnis 11
4. Der Satz von Fermat-Euler als Kongruenzsatz - 5. Anwendung des
Satzes von Fermat-Euler in der Kryptographie
§2 Satz von Wilson. Chinesischer Restsatz.192
1. Lineare Kongruenzen - 2. Der Satz von Wilson - 3. Ein Satz von
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§ 3 Restklassenringe und Polynomkongruenzen.201
1. Restklassenringe - 2. Primideale und maximale Ideale -
3. Polynomkongruenzen und Polynomgleichungen - 4. Satz von
Lagrange
Kapitel 6
Prime
Restklassengruppen
Einleitung
§ 1 Elementare Gruppentheorie.213
1. Gruppenbegriff. Beispiele aus der Zahlentheorie - 2. Untergruppen,
Kongruenz, Ordnung einer Gruppe - 3. Ordnung eines
Gruppenelementes - 4. Verallgemeinerungen der Sätze von
Fermat-Euler und Wilson
§ 2 Zyklische
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Restklassengruppen.223
1. Allgemeines Zyklizitätskriterium - 2. Existenz von Primitivwurzeln zu
Primzahlen - 3. Zyklizität der Gruppen Z*„ - 4. Kleine Primitivwurzeln
zu />" 5. Zyklizität der Gruppen
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Kapitel 7
Theorie der quadratischen Reste
Einleitung
§ 1 Quadratische Reste .237
1. Quadratische Reste
modulo
einer beliebigen Zahl
m
> 1 -
2. Quadratische Reste
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Primzahlpotenzen - 3. Quadratische Reste
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5. Gaußsches Lemma
§ 2 Quadratisches Reziprozitätsgesetz.248
1. Formulierung des Reziprozitätsgesetzes. Beispiele - 2. Beweis des
Reziprozitätsgesetzes - 3*. Analytischer Beweis des Reziprozitätsgesetzes
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