Statistik, Ökonometrie, Optimierung: Methoden und ihre praktischen Anwendungen in Finanzanalyse und Portfoliomanagement
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Bad Soden
Uhlenbruch
2008
|
| Ausgabe: | 4., vollst. überarb. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Beschreibung: | Literaturverz. S. 781 - 786 |
| Beschreibung: | XI, 794 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 9783933207630 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur vierten Auflage...............................................................................................
I
Vorwort zur ersten Auflage.................................................................................................
I
1. Einleitung..........................................................................................................................l
Teil A: Statistik....................................................................................................................7
2. Statistische Grundlagen..................................................................................................9
2.1. Grandlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung............................................................9
2.1.1. Begriffe und Definitionen....................................................................................10
2.1.2. Verschiedene Definitionen des Begriffs Wahrscheinlichkeit..............................12
2.1.2.1. Die Wahrscheinlichkeitsdefinition nach
Laplace
........................................12
2.1.2.2. Die Wahrscheinlichkeitsdefmition nach von
Mises
.....................................13
2.1.2.3. Die Wahrscheinlichkeitsdefmition nach Kolmogoroff..............................15
2.1.3. Elementare Rechenregeln....................................................................................16
2.1.4. Verschiedene Ansätze zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten......................21
2.2. Zufallsvariablen und ihre Verteilungen.....................................................................25
2.2.1. Zufallsvariablen, Realisationen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen..............26
2.2.2. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen..........................................................31
2.2.3. Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen............................................................34
2.2.4. Empirische Verteilungen.....................................................................................39
2.3. Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Rechenregeln..............44
2.3.1. Der Erwartungswert.............................................................................................45
2.3.2. Varianz und Standardabweichung.......................................................................48
2.3.3. Die Ungleichung von Tschebyscheff...............................................................52
2.3.4. Kovarianz und Korrelationskoeffizient...............................................................53
2.3.5. Empirische Kennzahlen.......................................................................................57
2.3.5.1. Lagemaße.......................................................................................................57
2.3.5.2. Streuungsmaße...............................................................................................59
2.3.5.3. Empirische Kovarianz und Korrelationskoeffizient......................................63
2.4. Wichtige Verteilungen in der Ökonometrie..............................................................69
2.4.1. Die Normalverteilung..........................................................................................70
2.4.2. Die Chi-Quadrat-Verteilung................................................................................77
2.4.3. Die /-Verteilung...................................................................................................80
2.4.4. Die F-Verteilung..................................................................................................82
2.5. Grenzwertsätze...........................................................................................................85
2.5.1. Gesetz der großen Zahlen....................................................................................85
2.5.2. Der zentrale Grenzwertsatz..................................................................................88
Inhaltsverzeichnis
3. Finanzmathematische Grundlagen und Anwendung statistischer Konzepte..........93
3.1. Kurse und Renditen als Zufallsvariablen...................................................................93
3.1.1. Kursverläufe als Zeitreihen..................................................................................93
3.1.2. Stationaritätseigenschaften einer Zeitreihe..........................................................96
3.1.3. Autokovarianz und Autokorrelation....................................................................97
3.1.4. Statistische Eigenschaften diskreter und stetiger Renditen...............................102
3.1.5. Historisch basierte Renditeprognose..................................................................106
3.1.6. Random-Walk-Hypothese..................................................................................109
3.2. Renditearten bei der Performancemessung..............................................................112
3.2.1. Arithmetische und geometrische Renditeberechnungen....................................113
3.2.2. Wertgewichtete und zeitgewichtete Renditen....................................................115
3.2.3. Weitere Renditearten..........................................................................................119
3.3. Statistische Kennzahlen als finanzwirtschaftliche Risikomaße...............................121
3.3.1. Volatilität............................................................................................................123
3.3.2. Semivarianz und Ausfallwahrscheinlichkeit......................................................130
3.3.3. Value-at-Risk.....................................................................................................137
3.3.4. Schiefe und Wölbung einer Renditeverteilung..................................................141
3.3.5. Korrelationskoeffizient......................................................................................144
3.3.6.
Tracking Error....................................................................................................
146
3.4. Portfoliooptimierung nach Markowitz..................................................................150
3.4.1. Statistische Kennzahlen eines Portfolios...........................................................151
3.4.2. Modelldarstellung..............................................................................................162
3.4.3. Kritische Würdigung des Modells.....................................................................164
3.5. Monte-Carlo-Simulation..........................................................................................167
3.5.1. Grundlagen und Prinzip der Monte-Carlo-Simulation......................................167
3.5.2. Simulation von Renditen und Kursentwicklungen............................................171
3.5.3. Simulation von korrelierten Renditen................................................................175
3.5.4. Monte-Carlo-Simulation zur Schätzung des Value-at-Risk..............................178
4. Punkt- und Intervallschätzungen...............................................................................183
4.1. Punktschätzungen.....................................................................................................184
4.1.1. Eigenschaften guter Schätzer.............................................................................185
4.1.2. Schätzung des Erwartungswerts und der Standardabweichung.........................190
4.2. Intervallschätzungen................................................................................................196
4.2.1. Grundlagen und Konstraktionsprinzip von Konfidenzintervallen....................196
4.2.2. Konfidenzintervalle für den Erwartungswert.....................................................198
4.2.2.1. Zweiseitige Konfidenzintervalle bei normalverteilter Stichprobe...............198
4.2.2.2. Einseitige Konfidenzintervalle bei normalverteilter Stichprobe..................205
4.2.2.3. Asymptotische Konfidenzintervalle.............................................................207
4.2.3. Konfidenzintervalle für die Varianz bei normalverteilter Stichprobe...............209
Inhaltsverzeichnis
VII
Teil
В:
Ökonometrie........................................................................................................213
5. Einfache und multiple lineare Regression.................................................................215
5.1. Das ökonometrische Grundmodell..........................................................................215
5.2. Parameterschätzung mittels ,
ordinary least squares (OLS)
...................................224
5.3. Vereinfachte Parameterschätzung bei der Einfachregression.................................234
5.4. Bestimmung und Analyse der Residuen..................................................................239
5.5. Güteeigenschaften der OLS-Schätzung...................................................................243
5.5.1. Klassische Güteeigenschaften...........................................................................244
5.5.2. Asymptotische Güteeigenschaften.....................................................................252
5.6. Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient......................................................253
5.6.1. Grundidee und Definition des Bestimmtheitsmaßes.........................................253
5.6.2. Zusammenhang zwischen Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient.....259
5.6.3. Das korrigierte Bestimmtheitsmaß....................................................................263
5.7. Fallstudie: CAPM, Marktmodell und Schätzung von Beta-Faktoren.....................265
5.7.1. Erklärung von Renditen im Marktgleichgewicht mit Hilfe des CAPM............266
5.7.2. Schätzung des »zukünftigen Beta-Faktors mit Hilfe des Marktmodells..........269
5.7.3. Risikoanalyse mit Hilfe des Marktmodells.......................................................271
5.7.4. Beispiel: Schätzung des Beta-Faktors der BASF-Aktie....................................273
5.8. Fallstudie: Performancemessung.............................................................................276
5.8.1. Grundlagen der Performancemessung...............................................................277
5.8.2. Aufgaben und Konstruktion geeigneter Benchmarks........................................278
5.8.3. Verfahren der zweidimensionalen Performancemessung.................................280
5.8.3.1. Berücksichtigung des Gesamtrisikos mit Hilfe des Sharpe-Maßes.............280
5.8.3.2. Berücksichtigung des systematischen Risikos mit Hilfe des
Treynor-Maßes.............................................................................................281
5.8.3.3. Anwendungsbeispiel: Sharpe-Ratio und Treynor-Maß...............................283
6. Analyse des Regressionsmodells mittels Hypothesentests.......................................287
6.1. Grandlagen und Konstraktionsprinzip eines Hypothesentests................................287
6.2. Ergänzung der Annahmen des ökonometrischen Grandmodells............................290
6.3. Analyse eines geschätzten Regressionsmodells......................................................292
6.3.1. Test auf Signifikanz einzelner
Regressoren
mittels
Mest
................................293
6.3.2. Test auf Signifikanz des Gesamtmodells mittels F-Test...................................302
6.4. Test der Annahmen des Regressionsmodells bezüglich der Residuen....................307
6.4.1. Ausgangslage.....................................................................................................307
6.4.2. Autokorrelation: Ursachen, Auswirkungen und Tests......................................308
6.4.2.1. Ursachen und Auswirkungen der Autokorrelation......................................308
6.4.2.2. Durbin-Watson-Test zum Test auf Autokorrelation erster Ordnung...........311
6.4.3. Heteroskedastizität: Ursachen, Auswirkungen und Tests.................................321
6.4.3.1. Ursachen und Auswirkungen.......................................................................321
6.4.3.2. Breusch-Pagan- und
White-Test
zum Test auf Heteroskedastizität............322
6.4.4. Test auf Normalverteilung mittels Jarque-Bera-Test........................................331
Inhaltsverzeichnis
6.5. Fallstudie: Test der Annahmen und der statistischen Signifikanz des
Marktmodells...........................................................................................................337
6.5.1. Überprüfimg der Residuen des Marktmodells...................................................337
6.5.2. Überprüfung des Marktmodells auf Signifikanz................................................343
6.6. Fallstudie: Performanceattribution...........................................................................345
6.6.1. Messung des Selektionsbeitrags mit Hilfe des Jensen-Alpha-Maßes................345
6.6.2. Beispiel zur Bestimmung des Jensen-Alpha-Maßes..........................................348
6.6.3. Messung des Timingbeitrags mit Hilfe einer quadratischen Regression...........349
6.6.4. Beispiel zur Bestimmung der Timing-Fähigkeit................................................352
7. Weitere Probleme bei der Regressionsanalyse..........................................................353
7.1. Einsatz schwach stationärer Zeitreihen bei der Regressionsanalyse.......................353
7.1.1. Das Phänomen der ,
Spurious Regressions
.......................................................353
7.1.2. Verstoß gegen die Stationaritätseigenschaft durch deterministische Trends ....357
7.1.3. Verstoß gegen die Stationaritätseigenschaft durch
stochastische
Trends..........360
7.1.4. Überprüfung der Stationariätseigenschaft..........................................................364
7.2. Fallstudie: Überprüfung der Stationarität der Variablen des Marktmodells...........369
7.3. Das Problem der Multikollinearität.........................................................................373
7.3.1. Formen, Auswirkungen und Kennzeichen der Multikollinearität.....................373
7.3.2. Verfahren zur Messung von Multikollinearität.................................................378
7.3.2.1. Einfache Korrelationsanalyse.......................................................................378
7.3.2.2. Das Konzept der ,Variance Inflation
Factors
(VIF)...................................379
7.3.3. Behandlung der Multikollinearität.....................................................................382
7.4. Fallstudie: Überprüfung eines Multi-Index-Modells auf Multikollinearität...........384
7.5. Strukturbrüche und Fehlspezifikationen..................................................................388
7.5.1. Test auf Strukturbruch mit Hilfe des Tests nach Chow....................................388
7.5.2. Test auf Fehlspezifikation mittels des RESET-Tests von
Ramsey
...................391
7.6. Fallstudie: Überprüfung des Marktmodells auf Strukturbruch und
Fehlspezifikation......................................................................................................393
7.6.1. Test auf einen möglichen Strakturbruch............................................................393
7.6.2. Test auf eine mögliche Fehlspezifikation..........................................................395
8. Fallstudie: Renditeprognose mit Hilfe von Regressionsmodellen...........................399
8.1. Grundprinzip der Kurs- bzw. Renditeprognose mit Hilfe eines
Regressionsmodells.................................................................................................399
8.2. Problemstellung, Datenaufbereitung und Aufteilung des Datenmaterials..............404
8.3. Überprüfung der Stationaritätseigenschaften der Variablen....................................406
8.4. Analyse des Datenmaterials mit Hilfe der Korrelationsanalyse..............................411
8.5. Auswahl der erklärenden Variablen und Überprüfung der Multikollinearität........416
8.6. Schätzung der Regressionsparameter des Prognosemodells...................................419
8.7. Test der Annahmen und der statistischen Signifikanz des
Renditeprognosemodells..........................................................................................422
8.7.1. Überprüfung der Residuen.................................................................................422
8.7.2. Überprüfung des Renditeprognosemodells auf Signifikanz..............................428
Inhaltsverzeichnis
IX
8.8. Evaluierung der Prognosegüte des Renditeprognosemodells.................................431
8.8.1. Generierung der Renditeprognosen...................................................................431
8.8.2. Evaluierung der Prognosegüte mit Hilfe statistischer Maßzahlen....................436
8.8.3. Vergleich mit geeigneten Benchmark-Strategien..............................................438
8.8.4. Ökonomische Evaluierung der Prognosegüte....................................................441
8.8.4.1. Eindimensionale Performancemessung.......................................................441
8.8.4.2. Zweidimensionale Performancemessung....................................................447
Teil C: Optimierung........................................................................................................453
9. Optimierungsverfahren im Überblick.......................................................................457
9.1. Die formale Struktur eines Optimierangsproblems.................................................457
9.2. Überblick über verschiedene Optimierungsverfahren.............................................462
9.3. Lineare Optimierung................................................................................................465
9.4. Quadratische Optimierung.......................................................................................467
9.5. Suchverfahren..........................................................................................................471
9.6. First-Order Verfahren..............................................................................................477
9.7.
Second-Order
Verfahren..........................................................................................480
9.8. Schlussbemerkungen...............................................................................................481
10. Lineare Optimierung.................................................................................................483
10.1. Einführung.............................................................................................................484
10.2. Lösung einer speziellen Form des linearen Optimierungsproblems.....................485
10.3. Die allgemeine Lösung des linearen Optimierangsproblems................................497
10.4. Beispielhafte Implementation des Lösungsverfahrens..........................................509
10.5. Fallstudie 1: Index
Tracking
mit Hilfe der linearen Optimierung.........................526
10.6. Fallstudie 2: Downside-Risk Optimierung............................................................535
10.7. Die Lösung der Fallstudien mit Hilfe einer ausgewählten Tabellenkalkulation... 543
10.7.1. Fallstudie 1: Index
Tracking
mit Hilfe der linearen Optimierung...................543
10.7.2. Fallstudie 2: Downside-Risk Optimierung mit Hilfe der linearen
Optimierung.....................................................................................................547
10.8. Exkurs: Simultane Investitions-und Finanzplanung.............................................551
11. Quadratische Programmierung...............................................................................561
11.1. Überblick...............................................................................................................562
11.2. Das Lagrange-Verfahren.......................................................................................564
11.2.1. Vorbemerkungen.............................................................................................564
11.2.2. Die Methode der direkten Substitution............................................................566
11.2.3. Die Lösung mit dem Lagrange-Ansatz............................................................568
11.2.4. Die Lösung eines einfachen Beispiels mit dem Lagrange-Ansatz..................572
11.2.5. Weitere Betrachtungen zum Lagrange-Ansatz................................................574
11.2.6. Fallstudien zur Portfoliooptimierung...............................................................576
11.2.6.1. Das Datenmaterial......................................................................................577
11.2.6.2. Das Minimum-Varianz-Portfolio...............................................................578
χ
Inhaltsverzeichnis
11.2.6.3. Ein effizientes Portfolio.............................................................................581
11.2.6.4. Das nutzenoptimale Portfolio.....................................................................582
11.2.6.5. Das nutzenoptimale Portfolio bei risikoloser Anlagemöglichkeit.............584
11.3. Eine eingeschränkte Variante der Quadratischen Programmierung......................587
11.3.1. Vorbemerkungen..............................................................................................587
11.3.2. Die Kuhn-Tucker-Bedingungen.......................................................................588
11.3.3. Die Lösungsbedingungen des Optimierungsproblems....................................591
11.3.4. Das Verfahren nach Wolfe.............................................................................592
11.3.5. Beispielhafte Implementation..........................................................................601
11.3.6. Fallstudie: Bestimmung des nutzenoptimalen Portfolios................................616
11.4. Quadratische Programmierung mit beliebigen linearen Nebenbedingungen........619
11.4.1. Berücksichtigung beliebiger linearer Nebenbedingungen...............................619
11.4.2. Ein einfaches Beispiel......................................................................................621
11.4.3. Anmerkungen zur beispielhaften Implementation...........................................626
11.4.4. Fallstudie: Bestimmung des nutzenoptimalen Portfolios mit zusätzlichen
Nebenbedingungen...........................................................................................626
11.4.5. Abschließende Bemerkungen zur Quadratischen Programmierung................629
11.5. Lösung der Fallstudien mit dem
Solver
.................................................................630
12. Nichtlineare Optimierung.........................................................................................637
12.1. Eindimensionale Optimierung...............................................................................637
12.1.1. Verfahren ohne Gradienten..............................................................................638
12.1.1.1. Schacntelung des Minimums.....................................................................639
12.1.1.2. Erstmalige Schachtelung des Minimums...................................................645
12.1.1.3. Implementation zur eindimensionalen Optimierung.................................648
12.1.1.4. Beispiel zur eindimensionalen Optimierung..............................................656
12.1.2. Verfahren mit Gradienten................................................................................658
12.1.2.1. Das einfache Gradientenabstiegverfahren.................................................658
12.1.2.2. Beispielhafte Implementation des einfachen
Gradientenabstiegverfahrens......................................................................661
12.1.2.3. Beispielhafte Anwendung des einfachen Gradientenabstiegverfahrens....665
12.1.2.4. Gradientenabstiegverfahren mit variabler Schrittweite.............................666
12.1.3. Verfahren mit Gradienten und zweiter Ableitung...........................................668
12.1.3.1. Grandlegender Ansatz des Newton-Verfahrens........................................668
12.1.3.2. Beispielhafte Implementation des Newton-Verfahrens.............................672
12.1.3.3. Beispielhafte Anwendung des Newton-Verfahrens...................................674
12.2. Optimierung im mehrdimensionalen Fall..............................................................674
12.2.1. Gradientenabstiegverfahren im mehrdimensionalen Fall................................676
12.2.2. Gradientenabstiegverfahren mit Linienminimierang.......................................678
12.2.2.1. Theoretische Grundlagen...........................................................................678
12.2.2.2. Beispielhafte Implementation....................................................................679
12.2.2.3. Beispielhafte Anwendung..........................................................................687
12.2.2.4. Zusammenfassung und Schlussbemerkungen............................................689
XI
12.2.3. Konjugierter Gradientenabstieg.......................................................................690
12.2.3.1. Theoretische Grundlagen...........................................................................690
12.2.3.2. Beispielhafte Implementation des konjugierten Gradientenabstiegs........704
12.2.3.3. Beispielhafte Anwendung..........................................................................707
12.2.4. Das Newton-Verfahren im mehrdimensionalen Fall.......................................710
12.3. Probleme der nichtlinearen Optimierung..............................................................718
12.4. Abschließende Bemerkungen zu den Implementationen......................................720
12.5. Fallstudie 1: Nichtlineare Kleinste-Quadrate Schätzung......................................721
12.5.1. Der grundlegende Ansatz der nichtlinearen Kleinste-Quadrate Schätzung.... 722
12.5.2. Die Bestimmung der Standardfehler...............................................................730
12.6. Fallstudie 2: Die Bestimmung impliziter Volatilitäten.........................................734
12.7. Die Lösung der Fallstudien mit Hilfe einer ausgewählten Tabellenkalkulation... 742
12.7.1. Fallstudie 1: Nichtlineare Kleinste-Quadrate Schätzung................................743
12.7.2. Fallstudie 2: Die Bestimmung impliziter Volatilitäten...................................747
Anhänge............................................................................................................................751
A.l. Grundlagen der Matrizenrechnung.........................................................................751
АЛЛ.
Addition und Subtraktion von Matrizen...........................................................751
A.l.2. Multiplikation von Matrizen.............................................................................752
АЛ
.3. Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl (Skalarmultiplikation)..................755
A.l.4. Transponieren von Matrizen.............................................................................755
А.1.5.
Multiplizieren und Transponieren von Matrizen..............................................756
A.1.6. Quadratische und symmetrische Matrizen........................................................757
АЛЛ.
Einheitsmatrix...................................................................................................757
A.l.8. Invertieren von Matrizen...................................................................................758
A.1.9. Rechenregeln bei der Bildung von Ableitungen...............................................759
A.l.10. Matrizen mit Zufallsvariablen........................................................................761
A.2. Tabellen...................................................................................................................762
A.3. Regressionsanalyse mit Excel.................................................................................771
A.3.1. Vorbemerkungen...............................................................................................771
A.3.2. Eingebaute Funktionen versus VBA-Analysefunktionen.................................771
A.3.3. Regressionsanalyse mittels eingebauter Funktionen........................................772
A.3.4. Regressionsanalyse mittels VBA-Analysefunktionen......................................775
A.3.5. Durchführung der Fallstudie des Kap. 8. mit Excel.........................................776
А.З.ЅЛ.
Vorbereitende Schritte zu Regressionsanalysen.........................................776
A.3.5.2. Schätzung der Regressionsfunktion............................................................777
A.3.6. Freie statistische Softwarelösungen im Internet...............................................779
Literaturverzeichnis........................................................................................................781
Stichwortverzeichnis.......................................................................................................787
DIE AUTOREN
PROF. DR. THORSTEN PQOBffi ist Inhaber des Lehrstuhls
für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insb. Finanzwirtschaft
an der Universität Bremen
DR. HUBERT OiCHTl ist Partner bei der
alpha portfolio advisors GmbH,
einem Beratungsunternehmen
für institutionelle Anleger mit Sitz in Bad SodenflTs.
DR. KERSTIN PETERSMEIER ist bei der
Uhlmann Ludewig GmbH, Bremen, in der Beratung
von Unternehmen in der Frage der betrieblichen
Altersversorgung tätig
STATISTIK. ÖKONOMETRIE. OPTIMIERUNG
Dieses Buch behandelt in kompakter Weise genau jene Methoden der Statistik, Ökonometrie und Optimierung,
welche für die Finanzanalyse und das Portfoliomanagement von Bedeutung sind. Aufgrund der Inhalte und der
Form der Darstellungen ist es für Studenten, Akademiker und Praktiker gleichermaßen geeignet. Sämtliche
Methoden werden dabei theoretisch fundiert dargestellt und anhand einfacher Beispiele veranschaulicht, so
dass
ein spezielles Vorwissen nicht erforderlich ist. Gegenüber herkömmlichen Statistik- und Ökonometriebüchern
endet dieses Buch nicht bei der formalen Darstellung der Methoden, sondern zeigt ihre Anwendung anhand
praxisrelevanter Fallstudien auf. Dabei werden mit den dargestellten Methoden konkrete Aufgaben der Pinanz-
analyse und des Portfoliomanagements gelöst.
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur vierten Auflage.
I
Vorwort zur ersten Auflage.
I
1. Einleitung.l
Teil A: Statistik.7
2. Statistische Grundlagen.9
2.1. Grandlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.9
2.1.1. Begriffe und Definitionen.10
2.1.2. Verschiedene Definitionen des Begriffs Wahrscheinlichkeit.12
2.1.2.1. Die Wahrscheinlichkeitsdefinition nach
Laplace
.12
2.1.2.2. Die Wahrscheinlichkeitsdefmition nach von
Mises
.13
2.1.2.3. Die Wahrscheinlichkeitsdefmition nach Kolmogoroff.15
2.1.3. Elementare Rechenregeln.16
2.1.4. Verschiedene Ansätze zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten.21
2.2. Zufallsvariablen und ihre Verteilungen.25
2.2.1. Zufallsvariablen, Realisationen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen.26
2.2.2. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.31
2.2.3. Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen.34
2.2.4. Empirische Verteilungen.39
2.3. Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Rechenregeln.44
2.3.1. Der Erwartungswert.45
2.3.2. Varianz und Standardabweichung.48
2.3.3. Die Ungleichung von Tschebyscheff.52
2.3.4. Kovarianz und Korrelationskoeffizient.53
2.3.5. Empirische Kennzahlen.57
2.3.5.1. Lagemaße.57
2.3.5.2. Streuungsmaße.59
2.3.5.3. Empirische Kovarianz und Korrelationskoeffizient.63
2.4. Wichtige Verteilungen in der Ökonometrie.69
2.4.1. Die Normalverteilung.70
2.4.2. Die Chi-Quadrat-Verteilung.77
2.4.3. Die /-Verteilung.80
2.4.4. Die F-Verteilung.82
2.5. Grenzwertsätze.85
2.5.1. Gesetz der großen Zahlen.85
2.5.2. Der zentrale Grenzwertsatz.88
Inhaltsverzeichnis
3. Finanzmathematische Grundlagen und Anwendung statistischer Konzepte.93
3.1. Kurse und Renditen als Zufallsvariablen.93
3.1.1. Kursverläufe als Zeitreihen.93
3.1.2. Stationaritätseigenschaften einer Zeitreihe.96
3.1.3. Autokovarianz und Autokorrelation.97
3.1.4. Statistische Eigenschaften diskreter und stetiger Renditen.102
3.1.5. Historisch basierte Renditeprognose.106
3.1.6. Random-Walk-Hypothese.109
3.2. Renditearten bei der Performancemessung.112
3.2.1. Arithmetische und geometrische Renditeberechnungen.113
3.2.2. Wertgewichtete und zeitgewichtete Renditen.115
3.2.3. Weitere Renditearten.119
3.3. Statistische Kennzahlen als finanzwirtschaftliche Risikomaße.121
3.3.1. Volatilität.123
3.3.2. Semivarianz und Ausfallwahrscheinlichkeit.130
3.3.3. Value-at-Risk.137
3.3.4. Schiefe und Wölbung einer Renditeverteilung.141
3.3.5. Korrelationskoeffizient.144
3.3.6.
Tracking Error.
146
3.4. Portfoliooptimierung nach Markowitz.150
3.4.1. Statistische Kennzahlen eines Portfolios.151
3.4.2. Modelldarstellung.162
3.4.3. Kritische Würdigung des Modells.164
3.5. Monte-Carlo-Simulation.167
3.5.1. Grundlagen und Prinzip der Monte-Carlo-Simulation.167
3.5.2. Simulation von Renditen und Kursentwicklungen.171
3.5.3. Simulation von korrelierten Renditen.175
3.5.4. Monte-Carlo-Simulation zur Schätzung des Value-at-Risk.178
4. Punkt- und Intervallschätzungen.183
4.1. Punktschätzungen.184
4.1.1. Eigenschaften guter Schätzer.185
4.1.2. Schätzung des Erwartungswerts und der Standardabweichung.190
4.2. Intervallschätzungen.196
4.2.1. Grundlagen und Konstraktionsprinzip von Konfidenzintervallen.196
4.2.2. Konfidenzintervalle für den Erwartungswert.198
4.2.2.1. Zweiseitige Konfidenzintervalle bei normalverteilter Stichprobe.198
4.2.2.2. Einseitige Konfidenzintervalle bei normalverteilter Stichprobe.205
4.2.2.3. Asymptotische Konfidenzintervalle.207
4.2.3. Konfidenzintervalle für die Varianz bei normalverteilter Stichprobe.209
Inhaltsverzeichnis
VII
Teil
В:
Ökonometrie.213
5. Einfache und multiple lineare Regression.215
5.1. Das ökonometrische Grundmodell.215
5.2. Parameterschätzung mittels ,
ordinary least squares' (OLS)
.224
5.3. Vereinfachte Parameterschätzung bei der Einfachregression.234
5.4. Bestimmung und Analyse der Residuen.239
5.5. Güteeigenschaften der OLS-Schätzung.243
5.5.1. Klassische Güteeigenschaften.244
5.5.2. Asymptotische Güteeigenschaften.252
5.6. Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient.253
5.6.1. Grundidee und Definition des Bestimmtheitsmaßes.253
5.6.2. Zusammenhang zwischen Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient.259
5.6.3. Das korrigierte Bestimmtheitsmaß.263
5.7. Fallstudie: CAPM, Marktmodell und Schätzung von Beta-Faktoren.265
5.7.1. Erklärung von Renditen im Marktgleichgewicht mit Hilfe des CAPM.266
5.7.2. Schätzung des »zukünftigen' Beta-Faktors mit Hilfe des Marktmodells.269
5.7.3. Risikoanalyse mit Hilfe des Marktmodells.271
5.7.4. Beispiel: Schätzung des Beta-Faktors der BASF-Aktie.273
5.8. Fallstudie: Performancemessung.276
5.8.1. Grundlagen der Performancemessung.277
5.8.2. Aufgaben und Konstruktion geeigneter Benchmarks.278
5.8.3. Verfahren der zweidimensionalen Performancemessung.280
5.8.3.1. Berücksichtigung des Gesamtrisikos mit Hilfe des Sharpe-Maßes.280
5.8.3.2. Berücksichtigung des systematischen Risikos mit Hilfe des
Treynor-Maßes.281
5.8.3.3. Anwendungsbeispiel: Sharpe-Ratio und Treynor-Maß.283
6. Analyse des Regressionsmodells mittels Hypothesentests.287
6.1. Grandlagen und Konstraktionsprinzip eines Hypothesentests.287
6.2. Ergänzung der Annahmen des ökonometrischen Grandmodells.290
6.3. Analyse eines geschätzten Regressionsmodells.292
6.3.1. Test auf Signifikanz einzelner
Regressoren
mittels
Mest
.293
6.3.2. Test auf Signifikanz des Gesamtmodells mittels F-Test.302
6.4. Test der Annahmen des Regressionsmodells bezüglich der Residuen.307
6.4.1. Ausgangslage.307
6.4.2. Autokorrelation: Ursachen, Auswirkungen und Tests.308
6.4.2.1. Ursachen und Auswirkungen der Autokorrelation.308
6.4.2.2. Durbin-Watson-Test zum Test auf Autokorrelation erster Ordnung.311
6.4.3. Heteroskedastizität: Ursachen, Auswirkungen und Tests.321
6.4.3.1. Ursachen und Auswirkungen.321
6.4.3.2. Breusch-Pagan- und
White-Test
zum Test auf Heteroskedastizität.322
6.4.4. Test auf Normalverteilung mittels Jarque-Bera-Test.331
Inhaltsverzeichnis
6.5. Fallstudie: Test der Annahmen und der statistischen Signifikanz des
Marktmodells.337
6.5.1. Überprüfimg der Residuen des Marktmodells.337
6.5.2. Überprüfung des Marktmodells auf Signifikanz.343
6.6. Fallstudie: Performanceattribution.345
6.6.1. Messung des Selektionsbeitrags mit Hilfe des Jensen-Alpha-Maßes.345
6.6.2. Beispiel zur Bestimmung des Jensen-Alpha-Maßes.348
6.6.3. Messung des Timingbeitrags mit Hilfe einer quadratischen Regression.349
6.6.4. Beispiel zur Bestimmung der Timing-Fähigkeit.352
7. Weitere Probleme bei der Regressionsanalyse.353
7.1. Einsatz schwach stationärer Zeitreihen bei der Regressionsanalyse.353
7.1.1. Das Phänomen der ,
Spurious Regressions'
.353
7.1.2. Verstoß gegen die Stationaritätseigenschaft durch deterministische Trends .357
7.1.3. Verstoß gegen die Stationaritätseigenschaft durch
stochastische
Trends.360
7.1.4. Überprüfung der Stationariätseigenschaft.364
7.2. Fallstudie: Überprüfung der Stationarität der Variablen des Marktmodells.369
7.3. Das Problem der Multikollinearität.373
7.3.1. Formen, Auswirkungen und Kennzeichen der Multikollinearität.373
7.3.2. Verfahren zur Messung von Multikollinearität.378
7.3.2.1. Einfache Korrelationsanalyse.378
7.3.2.2. Das Konzept der ,Variance Inflation
Factors'
(VIF).379
7.3.3. Behandlung der Multikollinearität.382
7.4. Fallstudie: Überprüfung eines Multi-Index-Modells auf Multikollinearität.384
7.5. Strukturbrüche und Fehlspezifikationen.388
7.5.1. Test auf Strukturbruch mit Hilfe des Tests nach Chow.388
7.5.2. Test auf Fehlspezifikation mittels des RESET-Tests von
Ramsey
.391
7.6. Fallstudie: Überprüfung des Marktmodells auf Strukturbruch und
Fehlspezifikation.393
7.6.1. Test auf einen möglichen Strakturbruch.393
7.6.2. Test auf eine mögliche Fehlspezifikation.395
8. Fallstudie: Renditeprognose mit Hilfe von Regressionsmodellen.399
8.1. Grundprinzip der Kurs- bzw. Renditeprognose mit Hilfe eines
Regressionsmodells.399
8.2. Problemstellung, Datenaufbereitung und Aufteilung des Datenmaterials.404
8.3. Überprüfung der Stationaritätseigenschaften der Variablen.406
8.4. Analyse des Datenmaterials mit Hilfe der Korrelationsanalyse.411
8.5. Auswahl der erklärenden Variablen und Überprüfung der Multikollinearität.416
8.6. Schätzung der Regressionsparameter des Prognosemodells.419
8.7. Test der Annahmen und der statistischen Signifikanz des
Renditeprognosemodells.422
8.7.1. Überprüfung der Residuen.422
8.7.2. Überprüfung des Renditeprognosemodells auf Signifikanz.428
Inhaltsverzeichnis
IX
8.8. Evaluierung der Prognosegüte des Renditeprognosemodells.431
8.8.1. Generierung der Renditeprognosen.431
8.8.2. Evaluierung der Prognosegüte mit Hilfe statistischer Maßzahlen.436
8.8.3. Vergleich mit geeigneten Benchmark-Strategien.438
8.8.4. Ökonomische Evaluierung der Prognosegüte.441
8.8.4.1. Eindimensionale Performancemessung.441
8.8.4.2. Zweidimensionale Performancemessung.447
Teil C: Optimierung.453
9. Optimierungsverfahren im Überblick.457
9.1. Die formale Struktur eines Optimierangsproblems.457
9.2. Überblick über verschiedene Optimierungsverfahren.462
9.3. Lineare Optimierung.465
9.4. Quadratische Optimierung.467
9.5. Suchverfahren.471
9.6. First-Order Verfahren.477
9.7.
Second-Order
Verfahren.480
9.8. Schlussbemerkungen.481
10. Lineare Optimierung.483
10.1. Einführung.484
10.2. Lösung einer speziellen Form des linearen Optimierungsproblems.485
10.3. Die allgemeine Lösung des linearen Optimierangsproblems.497
10.4. Beispielhafte Implementation des Lösungsverfahrens.509
10.5. Fallstudie 1: Index
Tracking
mit Hilfe der linearen Optimierung.526
10.6. Fallstudie 2: Downside-Risk Optimierung.535
10.7. Die Lösung der Fallstudien mit Hilfe einer ausgewählten Tabellenkalkulation. 543
10.7.1. Fallstudie 1: Index
Tracking
mit Hilfe der linearen Optimierung.543
10.7.2. Fallstudie 2: Downside-Risk Optimierung mit Hilfe der linearen
Optimierung.547
10.8. Exkurs: Simultane Investitions-und Finanzplanung.551
11. Quadratische Programmierung.561
11.1. Überblick.562
11.2. Das Lagrange-Verfahren.564
11.2.1. Vorbemerkungen.564
11.2.2. Die Methode der direkten Substitution.566
11.2.3. Die Lösung mit dem Lagrange-Ansatz.568
11.2.4. Die Lösung eines einfachen Beispiels mit dem Lagrange-Ansatz.572
11.2.5. Weitere Betrachtungen zum Lagrange-Ansatz.574
11.2.6. Fallstudien zur Portfoliooptimierung.576
11.2.6.1. Das Datenmaterial.577
11.2.6.2. Das Minimum-Varianz-Portfolio.578
χ
Inhaltsverzeichnis
11.2.6.3. Ein effizientes Portfolio.581
11.2.6.4. Das nutzenoptimale Portfolio.582
11.2.6.5. Das nutzenoptimale Portfolio bei risikoloser Anlagemöglichkeit.584
11.3. Eine eingeschränkte Variante der Quadratischen Programmierung.587
11.3.1. Vorbemerkungen.587
11.3.2. Die Kuhn-Tucker-Bedingungen.588
11.3.3. Die Lösungsbedingungen des Optimierungsproblems.591
11.3.4. Das Verfahren nach Wolfe.592
11.3.5. Beispielhafte Implementation.601
11.3.6. Fallstudie: Bestimmung des nutzenoptimalen Portfolios.616
11.4. Quadratische Programmierung mit beliebigen linearen Nebenbedingungen.619
11.4.1. Berücksichtigung beliebiger linearer Nebenbedingungen.619
11.4.2. Ein einfaches Beispiel.621
11.4.3. Anmerkungen zur beispielhaften Implementation.626
11.4.4. Fallstudie: Bestimmung des nutzenoptimalen Portfolios mit zusätzlichen
Nebenbedingungen.626
11.4.5. Abschließende Bemerkungen zur Quadratischen Programmierung.629
11.5. Lösung der Fallstudien mit dem
Solver
.630
12. Nichtlineare Optimierung.637
12.1. Eindimensionale Optimierung.637
12.1.1. Verfahren ohne Gradienten.638
12.1.1.1. Schacntelung des Minimums.639
12.1.1.2. Erstmalige Schachtelung des Minimums.645
12.1.1.3. Implementation zur eindimensionalen Optimierung.648
12.1.1.4. Beispiel zur eindimensionalen Optimierung.656
12.1.2. Verfahren mit Gradienten.658
12.1.2.1. Das einfache Gradientenabstiegverfahren.658
12.1.2.2. Beispielhafte Implementation des einfachen
Gradientenabstiegverfahrens.661
12.1.2.3. Beispielhafte Anwendung des einfachen Gradientenabstiegverfahrens.665
12.1.2.4. Gradientenabstiegverfahren mit variabler Schrittweite.666
12.1.3. Verfahren mit Gradienten und zweiter Ableitung.668
12.1.3.1. Grandlegender Ansatz des Newton-Verfahrens.668
12.1.3.2. Beispielhafte Implementation des Newton-Verfahrens.672
12.1.3.3. Beispielhafte Anwendung des Newton-Verfahrens.674
12.2. Optimierung im mehrdimensionalen Fall.674
12.2.1. Gradientenabstiegverfahren im mehrdimensionalen Fall.676
12.2.2. Gradientenabstiegverfahren mit Linienminimierang.678
12.2.2.1. Theoretische Grundlagen.678
12.2.2.2. Beispielhafte Implementation.679
12.2.2.3. Beispielhafte Anwendung.687
12.2.2.4. Zusammenfassung und Schlussbemerkungen.689
XI
12.2.3. Konjugierter Gradientenabstieg.690
12.2.3.1. Theoretische Grundlagen.690
12.2.3.2. Beispielhafte Implementation des konjugierten Gradientenabstiegs.704
12.2.3.3. Beispielhafte Anwendung.707
12.2.4. Das Newton-Verfahren im mehrdimensionalen Fall.710
12.3. Probleme der nichtlinearen Optimierung.718
12.4. Abschließende Bemerkungen zu den Implementationen.720
12.5. Fallstudie 1: Nichtlineare Kleinste-Quadrate Schätzung.721
12.5.1. Der grundlegende Ansatz der nichtlinearen Kleinste-Quadrate Schätzung. 722
12.5.2. Die Bestimmung der Standardfehler.730
12.6. Fallstudie 2: Die Bestimmung impliziter Volatilitäten.734
12.7. Die Lösung der Fallstudien mit Hilfe einer ausgewählten Tabellenkalkulation. 742
12.7.1. Fallstudie 1: Nichtlineare Kleinste-Quadrate Schätzung.743
12.7.2. Fallstudie 2: Die Bestimmung impliziter Volatilitäten.747
Anhänge.751
A.l. Grundlagen der Matrizenrechnung.751
АЛЛ.
Addition und Subtraktion von Matrizen.751
A.l.2. Multiplikation von Matrizen.752
АЛ
.3. Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl (Skalarmultiplikation).755
A.l.4. Transponieren von Matrizen.755
А.1.5.
Multiplizieren und Transponieren von Matrizen.756
A.1.6. Quadratische und symmetrische Matrizen.757
АЛЛ.
Einheitsmatrix.757
A.l.8. Invertieren von Matrizen.758
A.1.9. Rechenregeln bei der Bildung von Ableitungen.759
A.l.10. Matrizen mit Zufallsvariablen.761
A.2. Tabellen.762
A.3. Regressionsanalyse mit Excel.771
A.3.1. Vorbemerkungen.771
A.3.2. Eingebaute Funktionen versus VBA-Analysefunktionen.771
A.3.3. Regressionsanalyse mittels eingebauter Funktionen.772
A.3.4. Regressionsanalyse mittels VBA-Analysefunktionen.775
A.3.5. Durchführung der Fallstudie des Kap. 8. mit Excel.776
А.З.ЅЛ.
Vorbereitende Schritte zu Regressionsanalysen.776
A.3.5.2. Schätzung der Regressionsfunktion.777
A.3.6. Freie statistische Softwarelösungen im Internet.779
Literaturverzeichnis.781
Stichwortverzeichnis.787
DIE AUTOREN
PROF. DR. THORSTEN PQOBffi ist Inhaber des Lehrstuhls
für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insb. Finanzwirtschaft
an der Universität Bremen
DR. HUBERT OiCHTl ist Partner bei der
alpha portfolio advisors GmbH,
einem Beratungsunternehmen
für institutionelle Anleger mit Sitz in Bad SodenflTs.
DR. KERSTIN PETERSMEIER ist bei der
Uhlmann Ludewig GmbH, Bremen, in der Beratung
von Unternehmen in der Frage der betrieblichen
Altersversorgung tätig
STATISTIK. ÖKONOMETRIE. OPTIMIERUNG
Dieses Buch behandelt in kompakter Weise genau jene Methoden der Statistik, Ökonometrie und Optimierung,
welche für die Finanzanalyse und das Portfoliomanagement von Bedeutung sind. Aufgrund der Inhalte und der
Form der Darstellungen ist es für Studenten, Akademiker und Praktiker gleichermaßen geeignet. Sämtliche
Methoden werden dabei theoretisch fundiert dargestellt und anhand einfacher Beispiele veranschaulicht, so
dass
ein spezielles Vorwissen nicht erforderlich ist. Gegenüber herkömmlichen Statistik- und Ökonometriebüchern
endet dieses Buch nicht bei der formalen Darstellung der Methoden, sondern zeigt ihre Anwendung anhand
praxisrelevanter Fallstudien auf. Dabei werden mit den dargestellten Methoden konkrete Aufgaben der Pinanz-
analyse und des Portfoliomanagements gelöst. |
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| author | Poddig, Thorsten 1961- Dichtl, Hubert 1968- Petersmeier, Kerstin 1972- |
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