Analysis: 1
Gespeichert in:
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|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Basel ; Boston ; Berlin
Birkhäuser Verlag
2007
|
| Ausgabe: | 3. Aufl., 1. Nachdr. |
| Schriftenreihe: | Grundstudium Mathematik
|
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XV, 445 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 9783764377557 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort
V
Kapitel
I
Grundlagen
1 Logische Grundbegriffe........................... 3
2 Mengen ................................... 9
Elementare Tatsachen............................ 9
Die Potenzmenge.............................. 10
Komplemente. Durchschnitte und Vereinigungen............. 10
Produkte................................... 11
Mengensystcme............................... 13
3 Abbildungen................................. 16
Einfache Beispiele.............................. 17
Die Komposition von Abbildungen .................... 18
Komniutative Diagramme......................... 19
Injektionen. Surjektionen und
Bijekt ionen
................ 20
Umkehrabbildungen............................. 20
Mcngenabbildungen............................. 21
4 Relationen und Verknüpfungen...................... 24
Äquivalenzrelat
ionen
............................ 24
Ordnungsrelationeii............................. 26
Verknüpfungen ............................... 28
5 Die natürlichen Zahlen........................... 32
Die Peano-Axiome ............................. 32
Rechenregeln................................. 34
Der euklidische Algorithmus........................ 38
Das Induktionsprinzip ........................... 39
Rekursive Definitionen........................... 43
Inhalt
Ï
Abzählbarkeit................................ 50
Permutationen
................................ 51
Der Mächtigkeitsbegriff........................... 51
Abzählbare Mengen............................. 52
Unendliche Produkte............................ 54
7 Gruppen und Homomorphismen...................... 56
Gruppen................................... 57
Untergruppen................................ 59
Restklassen ................................. 59
Homomorphismen.............................. 61
Isomorphismen ............................... 63
8 Ringe, Körper und Polynome....................... 67
Ringe..................................... 67
Der binomische Satz ............................ 70
Multinomialformeln............................. 71
Körper.................................... 73
Angeordnete Körper ............................ 74
Formale Potenzreihen............................ 77
Polynome .................................. 78
Polvnomiale Funktionen.......................... 80
Division mit Rest.............................. 82
Linearfaktoren................................ 83
Polynome in mehreren Unbestimmten................... 84
9 Die rationalen Zahlen............................ 90
Dio
ganzen Zahlen.............................. 90
Die rationalen Zahlen............................ 92
Rationale Xullstellen von Polynomen................... 94
Quadratwurzeln............................... 95
10 Die reellen Zahlen.............................. 98
Die Ordmmgsvollständigkeit........................ 98
Die Dedokindscho Konstruktion der reellen Zahlen............ 99
Die natürliche Ordnung von
H
....................... 101
Die erweiterte Zahlengerade........................ 102
Eine Charakterisierung von Supremum und Infimum .......... 102
Der Satz von
Archimedes
.......................... 103
Die Dichtheit der rationalen Zahlen in
К
................. 103
ří-te
Wurzeln................................. 104
Die Dichtheit der irrationalen Zahlen in
Ä
................ 106
Intervalle................................... 107
Inhalt xi
11 Die komplexen Zahlen........................... 110
Eine Konstruktion der komplexen Zahlen................. 110
Elementare Eigenschaften ......................... 111
Rechenregeln................................. 114
Bälle in
К
.................................. 116
12 Vektorräume, affine Räume und Algebren................ 11!)
Vektorräume................................. 119
Lineare Abbildungen............................ 120
Vektorraumbason.............................. 123
Affine Räume................................ 125
Affine Abbildungen............................. 128
Polynoiiiintorpolation............................ 12!)
Algebren................................... 131
DifFeienzenoperatoren und Suinnienformelii ............... 132
Newtonsche Interpolationspolynome.................... 133
Kapitel
II
Konvergenz
1 Konvergenz von Folgen........................... 141
Folgen.................................... 111
Metrische Räume.............................. 142
Häufiingspunkte............................... 145
Konvergenz ................................. 145
Beschränkte Mengen............................ 147
Eindeutigkeitsaussagen........................... 148
Teilfolgen .................................. 148
2 Das Rechnen mit Zahlenfolgen....................... 152
Nullfolgen.................................. 152
Elementare Rechenregeln.......................... 152
Vergleichssätze................................ 155
Folgen komplexer Zahlen.......................... 155
3 Normierte Vektorräume.......................... 160
Nonnen ................................... 1G0
Bälle..................................... 101
Beschränkte Mengen............................ 102
Beispiele................................... 102
Räume beschränkter Abbildungen..................... 103
Iiinenprodukträumc............................. 105
Die Cauehy-Schwarzsche Ungleichung................... 107
Euklidische Räume............................. 109
Äquivalente Normen ............................ 170
Konvergenz in Produkträumen....................... 172
Inhalt
4 Monotone Folgen.............................. 175
Beschränkte monotone Folgen....................... 175
Einige wichtige Grenzwerte......................... 176
5 Uneigentliche Konvergenz......................... 181
Die Konvergenz gegen ±oo......................... 181
Linies superior
und Limes inferior..................... 182
Der Satz von Bolzano-Weierstraß ..................... 184
6 Vollständigkeit................................ 187
Cauchyfolgen ................................ 187
Baiiachräuine................................ 188
Die Cantorsche Konstruktion der reellen Zahlen............. 190
7 Reihen.................................... 195
Konvergenz von Reihen........................... 195
Die harmonische und die geometrische Reihe............... 196
Rechenregeln................................. 197
Konvergenzkriterien............................. 197
Alternierende Reihen............................ 198
(/-al-Entwickhmgen............................. 200
Die Üborabzählbarkeit von
R
....................... 204
8 Absolute Konvergenz............................ 207
Majoranten-.
Wurzel- und Quoticntenkriterium............. 208
Die Exponentialfunktion.......................... 211
ľmordimngen
von Reihen......................... 211
Doppelreihen ................................ 213
Cauehyprodukte............................... 216
9 Potenzreihen................................. 222
Der Konvergenzradius ........................... 223
Rechenregeln................................. 225
Der Identitätssatz für Potenzreihen.................... 226
Kapitel
III
Stetige Funktionen
1 Stetigkeit................................... 231
Elementare Eigenschaften und Beispiele ................. 231
Folgenstetigkeit............................... 236
Rechenregeln................................. 237
Einseitige Stetigkeit............................. 240
Inhalt xiii
2
Topologische
Grundbegriffe ........................ 245
Offene Mengen ............................... 245
Abgeschlossene Mengen........................... 246
Die abgeschlossene Hülle.......................... 248
Der offene Kern............................... 250
Der Rand einer Menge........................... 251
Die Hausdorffeigenschaft.......................... 251
Beispiele................................... 252
Eine Charakterisierung stetiger Abbildungen............... 253
Stetige Ergänzungen............................ 255
Relativtopologien.............................. 257
Allgemeine
topologische
Räume...................... 259
3 Kompaktheit................................. 264
Die Überdeckungseigenschaft........................ 264
Eine Charakterisierung kompakter Mengen................ 265
Folgenkompaktheit............................. 266
Stetige Abbildungen auf kompakten Räumen............... 267
Der Satz vom Minimum und Maximum.................. 207
Totalbeschränktheit............................. 271
Gleichmäßige Stetigkeit........................... 272
Kompaktheit in allgemeinen topologischen Räumen........... 273
4 Zusammenhang............................... 277
Charakterisierung des Zusammenhanges ................. 277
Zusammenhang in
R
............................ 278
Der allgemeine Zwischemvertsatz ..................... 279
Wegzusammenhang............................. 28(1
Zusammenhang in allgemeinen topologischen Räumen.......... 283
5 Funktionen in
S
............................... 285
Der Zwischenwertsatz von
Bolzano
.................... 285
Monotone Funktionen............................ 286
Stetige monotone Funktionen ....................... 288
6 Die Exponentialfunktion und Verwandte................. 291
Die Eulersche Formel............................ 291
Die reelle Exponentialfunktion....................... 294
Der Logarithmus und die allgemeine Potenz............... 295
Die Exponentialfunktion auf /?-...................... 297
Die Definition von - und Folgerungen................... 300
Tangens und
Cotangens
.......................... 304
Das Abbildungsverhalten der Exponentialfunktion............ 305
Ebene Polarkoordinaten.......................... 306
xiv
Inhalt
Der komplexe Logarithmus......................... 308
Komplexe Potenzen............................. 309
Eine weitere Darstellung der Exponentialfunktion............ 310
Kapitel
IV
Differentialrechnung in einer Variablen
1 Differenzierbarkeit.............................317
Die Definition................................ 317
Lineare Approximierbarkeit ........................ 318
Rechenregeln................................. 320
Kettenregel ................................. 321
Umkehrfunktionen ............................. 322
Differenzierbare Abbildungen ....................... 323
Höhere Ableitungen............................. 323
Einseitige Differenzierbarkeit........................ 329
2 Mittelwertsätze und ihre Anwendungen .................333
Extremalstellen............................... 333
Der erste Mittelwertsatz.......................... 334
Monotonie und Differenzierbarkeit..................... 335
Konvexität und Differenzierbarkeit .................... 338
Die Ungleichungen von
Young,
Holder und Minkowski ......... 342
Der Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen ............ 344
Der zweite Mittehvertsatz ......................... 345
Die Regeln von de l Hospital........................ 346
3 Taylorsche Formeln.............................352
Landausche Symbole............................ 352
Die Taylorsche Formel ........................... 353
Taylorpolynome. Taylorreihe und Restglied................ 355
Restglieddarstelhmgen im reellen Fall und Anwendungen........ 357
Polvuomiale Interpolation......................... 362
Differenzenquotienten höherer Ordnung.................. 363
4 Iterationsverfahren.............................368
Fixpunkte und Kontraktionen.......................368
Der Banadisehe Fixpunktsatz.......................369
Das N e vUmverfahren............................373
Inhalt xv
Kapitel
V
Funktionenfolgen
1 Gleichmäßige Konvergenz......................... 381
Punktweise konvergente Folgen ...................... 381
Gleichmäßig konvergente Folgen...................... 382
Funktionenreihen.............................. 384
Das Weierstraßsche Majorantenkriterium................. 386
2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Funktionenfolgen......... 389
Stetigkeit................................... 389
Lokal gleichmäßige Konvergenz ...................... 389
Der Banachraum der beschränkten und stetigen Funktionen...... 391
Differenzicrbarkeit bei Funktionenfolgen ................. 392
3 Analytische Funktionen........................... 396
Differenzierbarkeit von Potenzreihen ................... 396
Analytizität................................. 397
Stamnifunktionen analytischer Funktionen................ 399
Die Potenzreihenentwickluiig des Logarithmus.............. 101
Die Binomialrcihe.............................. 401
Der Identitätssatz für analytische Funktionen .............. 406
4 Polynomiale Approximation........................ 410
Banachalgebren............................... 410
Dichtheit und Separabilität......................... 411
Der Satz von
Stone
und Weierstraß.................... 413
Trigonometrische Polynome........................ 417
Periodische Funktionen........................... 419
Der trigonometrische Approximationssatz ................ 421
Anhang Einführung in die Schlußlehrc.................... 425
Literaturverzeichnis............................... 43]
Index....................................... 433
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
V'
Kapitel
I
Grundlagen
1 Logische Grundbegriffe. 3
2 Mengen . 9
Elementare Tatsachen. 9
Die Potenzmenge. 10
Komplemente. Durchschnitte und Vereinigungen. 10
Produkte. 11
Mengensystcme. 13
3 Abbildungen. 16
Einfache Beispiele. 17
Die Komposition von Abbildungen . 18
Komniutative Diagramme. 19
Injektionen. Surjektionen und
Bijekt ionen
. 20
Umkehrabbildungen. 20
Mcngenabbildungen. 21
4 Relationen und Verknüpfungen. 24
Äquivalenzrelat
ionen
. 24
Ordnungsrelationeii. 26
Verknüpfungen . 28
5 Die natürlichen Zahlen. 32
Die Peano-Axiome . 32
Rechenregeln. 34
Der euklidische Algorithmus. 38
Das Induktionsprinzip . 39
Rekursive Definitionen. 43
Inhalt
Ï
Abzählbarkeit. 50
Permutationen
. 51
Der Mächtigkeitsbegriff. 51
Abzählbare Mengen. 52
Unendliche Produkte. 54
7 Gruppen und Homomorphismen. 56
Gruppen. 57
Untergruppen. 59
Restklassen . 59
Homomorphismen. 61
Isomorphismen . 63
8 Ringe, Körper und Polynome. 67
Ringe. 67
Der binomische Satz . 70
Multinomialformeln. 71
Körper. 73
Angeordnete Körper . 74
Formale Potenzreihen. 77
Polynome . 78
Polvnomiale Funktionen. 80
Division mit Rest. 82
Linearfaktoren. 83
Polynome in mehreren Unbestimmten. 84
9 Die rationalen Zahlen. 90
Dio
ganzen Zahlen. 90
Die rationalen Zahlen. 92
Rationale Xullstellen von Polynomen. 94
Quadratwurzeln. 95
10 Die reellen Zahlen. 98
Die Ordmmgsvollständigkeit. 98
Die Dedokindscho Konstruktion der reellen Zahlen. 99
Die natürliche Ordnung von
H
. 101
Die erweiterte Zahlengerade. 102
Eine Charakterisierung von Supremum und Infimum . 102
Der Satz von
Archimedes
. 103
Die Dichtheit der rationalen Zahlen in
К
. 103
ří-te
Wurzeln. 104
Die Dichtheit der irrationalen Zahlen in
Ä
. 106
Intervalle. 107
Inhalt xi
11 Die komplexen Zahlen. 110
Eine Konstruktion der komplexen Zahlen. 110
Elementare Eigenschaften . 111
Rechenregeln. 114
Bälle in
К
. 116
12 Vektorräume, affine Räume und Algebren. 11!)
Vektorräume. 119
Lineare Abbildungen. 120
Vektorraumbason. 123
Affine Räume. 125
Affine Abbildungen. 128
Polynoiiiintorpolation. 12!)
Algebren. 131
DifFeienzenoperatoren und Suinnienformelii . 132
Newtonsche Interpolationspolynome. 133
Kapitel
II
Konvergenz
1 Konvergenz von Folgen. 141
Folgen. 111
Metrische Räume. 142
Häufiingspunkte. 145
Konvergenz . 145
Beschränkte Mengen. 147
Eindeutigkeitsaussagen. 148
Teilfolgen . 148
2 Das Rechnen mit Zahlenfolgen. 152
Nullfolgen. 152
Elementare Rechenregeln. 152
Vergleichssätze. 155
Folgen komplexer Zahlen. 155
3 Normierte Vektorräume. 160
Nonnen . 1G0
Bälle. 101
Beschränkte Mengen. 102
Beispiele. 102
Räume beschränkter Abbildungen. 103
Iiinenprodukträumc. 105
Die Cauehy-Schwarzsche Ungleichung. 107
Euklidische Räume. 109
Äquivalente Normen . 170
Konvergenz in Produkträumen. 172
Inhalt
4 Monotone Folgen. 175
Beschränkte monotone Folgen. 175
Einige wichtige Grenzwerte. 176
5 Uneigentliche Konvergenz. 181
Die Konvergenz gegen ±oo. 181
Linies superior
und Limes inferior. 182
Der Satz von Bolzano-Weierstraß . 184
6 Vollständigkeit. 187
Cauchyfolgen . 187
Baiiachräuine. 188
Die Cantorsche Konstruktion der reellen Zahlen. 190
7 Reihen. 195
Konvergenz von Reihen. 195
Die harmonische und die geometrische Reihe. 196
Rechenregeln. 197
Konvergenzkriterien. 197
Alternierende Reihen. 198
(/-al-Entwickhmgen. 200
Die Üborabzählbarkeit von
R
. 204
8 Absolute Konvergenz. 207
Majoranten-.
Wurzel- und Quoticntenkriterium. 208
Die Exponentialfunktion. 211
ľmordimngen
von Reihen. 211
Doppelreihen . 213
Cauehyprodukte. 216
9 Potenzreihen. 222
Der Konvergenzradius . 223
Rechenregeln. 225
Der Identitätssatz für Potenzreihen. 226
Kapitel
III
Stetige Funktionen
1 Stetigkeit. 231
Elementare Eigenschaften und Beispiele . 231
Folgenstetigkeit. 236
Rechenregeln. 237
Einseitige Stetigkeit. 240
Inhalt xiii
2
Topologische
Grundbegriffe . 245
Offene Mengen . 245
Abgeschlossene Mengen. 246
Die abgeschlossene Hülle. 248
Der offene Kern. 250
Der Rand einer Menge. 251
Die Hausdorffeigenschaft. 251
Beispiele. 252
Eine Charakterisierung stetiger Abbildungen. 253
Stetige Ergänzungen. 255
Relativtopologien. 257
Allgemeine
topologische
Räume. 259
3 Kompaktheit. 264
Die Überdeckungseigenschaft. 264
Eine Charakterisierung kompakter Mengen. 265
Folgenkompaktheit. 266
Stetige Abbildungen auf kompakten Räumen. 267
Der Satz vom Minimum und Maximum. 207
Totalbeschränktheit. 271
Gleichmäßige Stetigkeit. 272
Kompaktheit in allgemeinen topologischen Räumen. 273
4 Zusammenhang. 277
Charakterisierung des Zusammenhanges . 277
Zusammenhang in
R
. 278
Der allgemeine Zwischemvertsatz . 279
Wegzusammenhang. 28(1
Zusammenhang in allgemeinen topologischen Räumen. 283
5 Funktionen in
S
. 285
Der Zwischenwertsatz von
Bolzano
. 285
Monotone Funktionen. 286
Stetige monotone Funktionen . 288
6 Die Exponentialfunktion und Verwandte. 291
Die Eulersche Formel. 291
Die reelle Exponentialfunktion. 294
Der Logarithmus und die allgemeine Potenz. 295
Die Exponentialfunktion auf /?-. 297
Die Definition von - und Folgerungen. 300
Tangens und
Cotangens
. 304
Das Abbildungsverhalten der Exponentialfunktion. 305
Ebene Polarkoordinaten. 306
xiv
Inhalt
Der komplexe Logarithmus. 308
Komplexe Potenzen. 309
Eine weitere Darstellung der Exponentialfunktion. 310
Kapitel
IV
Differentialrechnung in einer Variablen
1 Differenzierbarkeit.317
Die Definition. 317
Lineare Approximierbarkeit . 318
Rechenregeln. 320
Kettenregel . 321
Umkehrfunktionen . 322
Differenzierbare Abbildungen . 323
Höhere Ableitungen. 323
Einseitige Differenzierbarkeit. 329
2 Mittelwertsätze und ihre Anwendungen .333
Extremalstellen. 333
Der erste Mittelwertsatz. 334
Monotonie und Differenzierbarkeit. 335
Konvexität und Differenzierbarkeit . 338
Die Ungleichungen von
Young,
Holder und Minkowski . 342
Der Mittelwertsatz für vektorwertige Funktionen . 344
Der zweite Mittehvertsatz . 345
Die Regeln von de l'Hospital. 346
3 Taylorsche Formeln.352
Landausche Symbole. 352
Die Taylorsche Formel . 353
Taylorpolynome. Taylorreihe und Restglied. 355
Restglieddarstelhmgen im reellen Fall und Anwendungen. 357
Polvuomiale Interpolation. 362
Differenzenquotienten höherer Ordnung. 363
4 Iterationsverfahren.368
Fixpunkte und Kontraktionen.368
Der Banadisehe Fixpunktsatz.369
Das N"e\vUmverfahren.373
Inhalt xv
Kapitel
V
Funktionenfolgen
1 Gleichmäßige Konvergenz. 381
Punktweise konvergente Folgen . 381
Gleichmäßig konvergente Folgen. 382
Funktionenreihen. 384
Das Weierstraßsche Majorantenkriterium. 386
2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Funktionenfolgen. 389
Stetigkeit. 389
Lokal gleichmäßige Konvergenz . 389
Der Banachraum der beschränkten und stetigen Funktionen. 391
Differenzicrbarkeit bei Funktionenfolgen . 392
3 Analytische Funktionen. 396
Differenzierbarkeit von Potenzreihen . 396
Analytizität. 397
Stamnifunktionen analytischer Funktionen. 399
Die Potenzreihenentwickluiig des Logarithmus. 101
Die Binomialrcihe. 401
Der Identitätssatz für analytische Funktionen . 406
4 Polynomiale Approximation. 410
Banachalgebren. 410
Dichtheit und Separabilität. 411
Der Satz von
Stone
und Weierstraß. 413
Trigonometrische Polynome. 417
Periodische Funktionen. 419
Der trigonometrische Approximationssatz . 421
Anhang Einführung in die Schlußlehrc. 425
Literaturverzeichnis. 43]
Index. 433 |
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