Leitfaden Arithmetik: für Studierende der Lehrämter
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Wiesbaden
Vieweg
2008
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vii_
Inhaltsverzeichnis
Vororientierung x
Was nicht vorkommen wird x
Einige Voraussetzungen in Kurzform xi
Was stattdessen vorkommen wird xiv
0 Grundlegende Beweistechniken 1
0.1 Worum es in diesem Kapitel geht 1
0.2 Der direkte Beweis 2
0.3 Der indirekte Beweis 3
0.4 Der Beweis durch Kontraposition 5
0.5 Der Beweis durch vollständige Induktion 7
0.6 Zum Beweisen von Äquivalenzen 14
1 Die Teilbarkeitsrelation 16
1.1 Definition 16
1.2 Eigenschaften 17
1.3 Teilermengen 21
1.4 Hasse Diagramme 23
2 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie 26
2.1 Vorüberlegungen 26
2.2 Der Hauptsatz 27
2.3 Folgerungen aus dem Hauptsatz 32
viii Inhaltsverzeichnis
3 Primzahlen 41
3.1 Die Unendlichkeit der Menge P 41
3.2 Verfahren zur Bestimmung von Primzahlen 44
3.3 Bemerkenswertes über Primzahlen 49
4 ggT und kgV 53
4.1 Zur Problemstellung 53
4.2 Definitionen 55
4.3 ggT, kgV und Primfaktorzerlegung 57
4.4 ggT, kgV und Hasse Diagramme 64
4.5 Der Euklidische Algorithmus 66
Anschauliche Beschreibung des Euklidischen Algorithmus 71
4.6 Die Menge der Vielfachen des ggT(a,b) und der
Linearkombinationen von a und b 73
4.7 Lineare diophantische Gleichungen mit zwei Variablen 77
Lösen von Anwendungssituationen zu linearen diophantischen
Gleichungen 80
5 Kongruenzen und Restklassen 86
5.1 Vorüberlegungen 86
5.2 Definition der Kongruenz 88
5.3 Eigenschaften 90
5.4 Restklassen 95
5.5 Rechnen mit Restklassen 99
5.6 Anwendungen der Kongruenz und Restklassenrechnung 108
Teilbarkeitsüberlegungen 108
Lösen linearer diophantischer Gleichungen 110
Teilbarkeitsregeln 112
Rechenproben 117
Inhaltsverzeichnis ix
6 Stellenwertsysteme 121
6.1 Zahldarstellungen 121
Das ägyptische Zahlensystem 121
Das römische Zahlensystem 122
Das babylonische Zahlensystem 123
Das Dezimalsystem 126
6.2 b adische Ziffernsysteme 129
6.3 Die Grundrechenarten in b adischen Stellenwertsystemen 134
6.4 Teilbarkeitsregeln in b adischen Stellenwertsystemen 137
7 Alternative Rechenverfahren 146
7.1 Zur Einführung 146
7.2 Schriftliche Addition und Subtraktion 147
7.3 Schriftliche Multiplikation 150
Die Gittermethode 151
Das Verdoppelungsverfahren 154
„Russisches Bauernmultiplizieren" 155
7.4 Schriftliche Division 156
Das Subtraktionsverfahren 157
Das Verdoppelungsverfahren 159
Literatur 160
Primzahltabelle 161
Stichwortverzeichnis 163 |
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4.5 Der Euklidische Algorithmus 66
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