Mathematik für Informatiker: 1 Diskrete Mathematik und lineare Algebra
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , |
|---|---|
| Format: | Elektronisch E-Book |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2007
|
| Ausgabe: | 2. Aufl. |
| Schriftenreihe: | eXamen.press
|
| Online-Zugang: | BFB01 BHS01 BTU01 BTW01 FAB01 FAN01 FAW01 FCO01 FHA01 FHD01 FHI01 FHM01 FHN01 FHO01 FHR01 FKE01 FLA01 FRO01 FWS01 FWS02 HTW01 TUM01 UBG01 UBM01 UBT01 UBW01 UBY01 UER01 UPA01 Volltext Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 1 Online-Ressource |
| ISBN: | 9783540708247 9783540708254 |
| DOI: | 10.1007/978-3-540-70825-4 |
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Datensatz im Suchindex
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Grundlagen
1 Logik und Mengen 1
1.1 Elementare Logik 1
1.2 Elementare Mengenlehre 10
1.3 Schaltalgebra 15
1.3.1 Anwendung: Entwurf von Schaltkreisen 21
1.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 23
1.5 Kontrollfragen 24
1.6 Übungen 28
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme 33
2.1 Die Zahlenmengen N, Z, Q, R und C 33
2.2 Summen und Produkte 44
2.3 Vollständige Induktion 46
2.4 Stellenwertsysteme 48
2.5 Maschinenzahlen 51
2.6 Teilbarkeit und Primzahlen 55
2.7 Mit dem digitalen Rechenmeister 58
2.8 Kontrollfragen 61
2.9 Übungen 65
Diskrete Mathematik
3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie 71
3.1 Das kleine Einmaleins auf endlichen Mengen 71
3.1.1 Anwendung: Hashfunktionen 74
3.2 Gruppen, Ringe und Körper 77
3.2.1 Anwendung: Welche Fehler erkennen Prüfziffern? 87
3.3 Der Euklid sche Algorithmus und diophantische Gleichungen 90
3.3.1 Anwendung: Der RSA Verschlüsselungsalgorithmus 95
3.4 Der Chinesische Restsatz 100
w illilia.itavcizjcn^iiiiiö
3.4.1 Anwendung: Rechnen mit großen Zahlen 101
3.4.2 Anwendung: Verteilte Geheimnisse 103
3.5 Mit dem digitalen Rechenmeister 104
3.6 Kontrollfragen 107
3.7 Übungen 109
4 Polynomringe und endliche Körper 113
4.1 Der Polynomring K[x] 113
4.2 Der Restklassenring K[x]m(x) 119
4.2.1 Anwendung: Zyklische Codes 124
4.3 Endliche Körper 125
4.3.1 Anwendung: Der Advanced Encryption Standard 128
4.3.2 Anwendung: Reed Solomon Codes 128
4.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 129
4.5 Kontrollfragen 131
4.6 Übungen 134
5 Relationen und Punktionen 137
5.1 Relationen 137
5.1.1 Anwendung: Relationales Datenmodell 146
5.2 Funktionen 149
5.3 Kontrollfragen 162
5.4 Übungen 166
6 Folgen und Reihen 171
6.1 Folgen 171
6.1.1 Anwendung: Wurzelziehen ä la Heron 181
6.2 Reihen 182
6.3 Mit dem digitalen Rechenmeister 188
6.4 Kontrollfragen 190
6.5 Übungen 193
7 Kombinatorik 197
7.1 Grundlegende Abzählverfahren 197
7.2 Permutationen und Kombinationen 201
7.3 Mit dem digitalen Rechenmeister 208
7.4 Kontrollfragen 208
7.5 Übungen 209
8 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen 215
8.1 Grundbegriffe 215
8.1.1 Ausblick: Iterationsverfahren und Chaos 219
8.2 Lineare Rekursionen 222
8.2.1 Anwendung: Sparkassenformel 231
8.3 Wachstum von Algorithmen 232
8.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 239
8.5 Kontrollfragen 242
8.6 Übungen 244
Lineare Algebra
9 Vektorräume 247
9.1 Vektoren 247
9.2 Lineare Unabhängigkeit und Basis 255
9.3 Teilräume 260
9.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 265
9.5 Kontrollfragen 266
9.6 Übungen 268
10 Matrizen und Lineare Abbildungen 273
10.1 Matrizen 273
10.2 Multiplikation von Matrizen 278
10.3 Lineare Abbildungen 285
10.3.1 Anwendung: Lineare Codes 293
10.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 296
10.5 Kontrollfragen 298
10.6 Übungen 301
11 Lineare Gleichungen 307
11.1 Der Gauß Algorithmus 307
11.1.1 Anwendung: Elektrische Netzwerke 315
11.1.2 Anwendung: Input Output Analyse nach Leontjef 317
11.2 Rang, Kern, Bild 318
11.3 Determinante 323
11.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 328
11.5 Kontrollfragen 329
11.6 Übungen 331
12 Lineare Optimierung 335
12.1 Lineare Ungleichungen 335
12.2 Lineare Optimierung 338
12.3 Der Simplex Algorithmus 339
12.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 345
12.5 Kontrollfragen 347
12.6 Übungen 348
13 Skalarprodukt und Orthogonalität 353
13.1 Skalarprodukt und orthogonale Projektion 353
13.1.1 Anwendung: Matched Filter 363
13.1.2 Anwendung: Lineare Klassifikation 364
13.1.3 Anwendung: Ray Tracing 364
13.2 Orthogonalentwicklungen 366
13.3 Orthogonale Transformationen 372
13.3.1 Anwendung: QR Zerlegung 376
13.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 377
13.5 Kontrollfragen 378
i
13.6 Übungen 380
14 Eigenwerte und Eigenvektoren 383
14.1 Koordinatentransformationen 383
14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 386
14.2.1 Anwendung: Bewertung von Webseiten mit PageRank 395
14.3 Eigenwerte symmetrischer Matrizen 398
14.3.1 Anwendung: Die diskrete Kosinustransformation 401
14.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 404
14.5 Kontrollfragen 404
14.6 Übungen 406
Graphentheorie
15 Grundlagen der Graphentheorie 409
15.1 Grundbegriffe 409
15.2 Darstellung von Graphen am Computer 415
15.3 Wege und Kreise 417
15.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 425
15.5 Kontrollfragen 426
15.6 Übungen 429
16 Bäume und kürzeste Wege 435
16.1 Bäume 435
16.2 Das Problem des Handlungsreisenden 441
16.2.1 Ausblick: Die Komplexitätsklassen P und NP 443
16.3 Minimale aufspannende Bäume 443
16.4 Kürzeste Wege 446
16.4.1 Anwendung: Routing im Internet 449
16.5 Mit dem digitalen Rechenmeister 450
16.6 Kontrollfragen 451
16.7 Übungen 454
17 Flüsse in Netzwerken und Matchings 459
17.1 Netzwerke 459
17.2 Matchings 467
17.3 Mit dem digitalen Rechenmeister 473
17.4 Kontrollfragen 475
17.5 Übungen 477
Anhang
A Einführung in Mathematica 483
A.l Erste Schritte 483
A.2 Funktionen 485
A.3 Gleichungen 487
A.4 Programme 488
B Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben 491
B. 1 Logik und Mengen 491
B.2 Zahlenmengen und Zahlensysteme 491
B.3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie 492
B.4 Polynomringe und endliche Körper 492
B.5 Relationen und Punktionen 492
B.6 Folgen und Reihen 493
B.7 Kombinatorik 493
B.8 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen 493
B.9 Vektorräume 494
B.10 Matrizen und Lineare Abbildungen 494
B.ll Lineare Gleichungen 494
B.12 Lineare Optimierung 495
B.13 Skalarprodukt und Orthogonalität 495
B.14 Eigenwerte und Eigenvektoren 495
B.15 Grundlagen der Graphentheorie 496
B.16 Bäume und kürzeste Wege 496
B.17 Flüsse in Netzwerken und Matchings 497
Literatur 499
Verzeichnis der Symbole 501
Index 503
|
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Inhaltsverzeichnis
Grundlagen
1 Logik und Mengen 1
1.1 Elementare Logik 1
1.2 Elementare Mengenlehre 10
1.3 Schaltalgebra 15
1.3.1 Anwendung: Entwurf von Schaltkreisen 21
1.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 23
1.5 Kontrollfragen 24
1.6 Übungen 28
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme 33
2.1 Die Zahlenmengen N, Z, Q, R und C 33
2.2 Summen und Produkte 44
2.3 Vollständige Induktion 46
2.4 Stellenwertsysteme 48
2.5 Maschinenzahlen 51
2.6 Teilbarkeit und Primzahlen 55
2.7 Mit dem digitalen Rechenmeister 58
2.8 Kontrollfragen 61
2.9 Übungen 65
Diskrete Mathematik
3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie 71
3.1 Das kleine Einmaleins auf endlichen Mengen 71
3.1.1 Anwendung: Hashfunktionen 74
3.2 Gruppen, Ringe und Körper 77
3.2.1 Anwendung: Welche Fehler erkennen Prüfziffern? 87
3.3 Der Euklid'sche Algorithmus und diophantische Gleichungen 90
3.3.1 Anwendung: Der RSA Verschlüsselungsalgorithmus 95
3.4 Der Chinesische Restsatz 100
w illilia.itavcizjcn^iiiiiö
3.4.1 Anwendung: Rechnen mit großen Zahlen 101
3.4.2 Anwendung: Verteilte Geheimnisse 103
3.5 Mit dem digitalen Rechenmeister 104
3.6 Kontrollfragen 107
3.7 Übungen 109
4 Polynomringe und endliche Körper 113
4.1 Der Polynomring K[x] 113
4.2 Der Restklassenring K[x]m(x) 119
4.2.1 Anwendung: Zyklische Codes 124
4.3 Endliche Körper 125
4.3.1 Anwendung: Der Advanced Encryption Standard 128
4.3.2 Anwendung: Reed Solomon Codes 128
4.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 129
4.5 Kontrollfragen 131
4.6 Übungen 134
5 Relationen und Punktionen 137
5.1 Relationen 137
5.1.1 Anwendung: Relationales Datenmodell 146
5.2 Funktionen 149
5.3 Kontrollfragen 162
5.4 Übungen 166
6 Folgen und Reihen 171
6.1 Folgen 171
6.1.1 Anwendung: Wurzelziehen ä la Heron 181
6.2 Reihen 182
6.3 Mit dem digitalen Rechenmeister 188
6.4 Kontrollfragen 190
6.5 Übungen 193
7 Kombinatorik 197
7.1 Grundlegende Abzählverfahren 197
7.2 Permutationen und Kombinationen 201
7.3 Mit dem digitalen Rechenmeister 208
7.4 Kontrollfragen 208
7.5 Übungen 209
8 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen 215
8.1 Grundbegriffe 215
8.1.1 Ausblick: Iterationsverfahren und Chaos 219
8.2 Lineare Rekursionen 222
8.2.1 Anwendung: Sparkassenformel 231
8.3 Wachstum von Algorithmen 232
8.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 239
8.5 Kontrollfragen 242
8.6 Übungen 244
Lineare Algebra
9 Vektorräume 247
9.1 Vektoren 247
9.2 Lineare Unabhängigkeit und Basis 255
9.3 Teilräume 260
9.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 265
9.5 Kontrollfragen 266
9.6 Übungen 268
10 Matrizen und Lineare Abbildungen 273
10.1 Matrizen 273
10.2 Multiplikation von Matrizen 278
10.3 Lineare Abbildungen 285
10.3.1 Anwendung: Lineare Codes 293
10.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 296
10.5 Kontrollfragen 298
10.6 Übungen 301
11 Lineare Gleichungen 307
11.1 Der Gauß Algorithmus 307
11.1.1 Anwendung: Elektrische Netzwerke 315
11.1.2 Anwendung: Input Output Analyse nach Leontjef 317
11.2 Rang, Kern, Bild 318
11.3 Determinante 323
11.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 328
11.5 Kontrollfragen 329
11.6 Übungen 331
12 Lineare Optimierung 335
12.1 Lineare Ungleichungen 335
12.2 Lineare Optimierung 338
12.3 Der Simplex Algorithmus 339
12.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 345
12.5 Kontrollfragen 347
12.6 Übungen 348
13 Skalarprodukt und Orthogonalität 353
13.1 Skalarprodukt und orthogonale Projektion 353
13.1.1 Anwendung: Matched Filter 363
13.1.2 Anwendung: Lineare Klassifikation 364
13.1.3 Anwendung: Ray Tracing 364
13.2 Orthogonalentwicklungen 366
13.3 Orthogonale Transformationen 372
13.3.1 Anwendung: QR Zerlegung 376
13.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 377
13.5 Kontrollfragen 378
i
13.6 Übungen 380
14 Eigenwerte und Eigenvektoren 383
14.1 Koordinatentransformationen 383
14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 386
14.2.1 Anwendung: Bewertung von Webseiten mit PageRank 395
14.3 Eigenwerte symmetrischer Matrizen 398
14.3.1 Anwendung: Die diskrete Kosinustransformation 401
14.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 404
14.5 Kontrollfragen 404
14.6 Übungen 406
Graphentheorie
15 Grundlagen der Graphentheorie 409
15.1 Grundbegriffe 409
15.2 Darstellung von Graphen am Computer 415
15.3 Wege und Kreise 417
15.4 Mit dem digitalen Rechenmeister 425
15.5 Kontrollfragen 426
15.6 Übungen 429
16 Bäume und kürzeste Wege 435
16.1 Bäume 435
16.2 Das Problem des Handlungsreisenden 441
16.2.1 Ausblick: Die Komplexitätsklassen P und NP 443
16.3 Minimale aufspannende Bäume 443
16.4 Kürzeste Wege 446
16.4.1 Anwendung: Routing im Internet 449
16.5 Mit dem digitalen Rechenmeister 450
16.6 Kontrollfragen 451
16.7 Übungen 454
17 Flüsse in Netzwerken und Matchings 459
17.1 Netzwerke 459
17.2 Matchings 467
17.3 Mit dem digitalen Rechenmeister 473
17.4 Kontrollfragen 475
17.5 Übungen 477
Anhang
A Einführung in Mathematica 483
A.l Erste Schritte 483
A.2 Funktionen 485
A.3 Gleichungen 487
A.4 Programme 488
B Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben 491
B. 1 Logik und Mengen 491
B.2 Zahlenmengen und Zahlensysteme 491
B.3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie 492
B.4 Polynomringe und endliche Körper 492
B.5 Relationen und Punktionen 492
B.6 Folgen und Reihen 493
B.7 Kombinatorik 493
B.8 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen 493
B.9 Vektorräume 494
B.10 Matrizen und Lineare Abbildungen 494
B.ll Lineare Gleichungen 494
B.12 Lineare Optimierung 495
B.13 Skalarprodukt und Orthogonalität 495
B.14 Eigenwerte und Eigenvektoren 495
B.15 Grundlagen der Graphentheorie 496
B.16 Bäume und kürzeste Wege 496
B.17 Flüsse in Netzwerken und Matchings 497
Literatur 499
Verzeichnis der Symbole 501
Index 503 |
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