Ebene Geometrie:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin ; Heidelberg ; New York
Springer
2007
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| Ausgabe: | dritte, neu bearbeitete und erweiterte Auflage |
| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
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| Online-Zugang: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Literaturverz. S. 269 - 271 |
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Inhaltsverzeichnis
Prolog. Die Elemente des Euklid . 1
1. Euklid 2. Axiome 3. Über die Sprache der Geometrie
Kapitel
Einleitung . 5
§1. Affine Ebenen . 7
1. Inzidenz-Axiome 2. Richtungen 3. Ordnung 4. Beispiele 5. Affine Isomor¬
phismen 6*. Über das Parallelen-Axiom von Euklid bis
§2. Translationsebenen . 16
1. Dilatationen 2. Fixgeraden 3. Translationen 4.
Ρ
Dilatationen 8. Automorphismen
§3. Affine Koordinatenebenen . 30
1. Satz von
nen 4. Koordinatenebenen als DESARGUES-Ebenen 5*. Ausblicke
§4. PAPPUS-Ebenen . 38
1. Satz von
4. Satz von Wedderburn
§5. Euklidische Ebenen. 42
1. Einleitung 2. Normierte Gruppen 3. Metrische Translationsebenen 4. Eu¬
klidische Ebenen 5. Hauptsatz für euklidische Ebenen
Kapitel
Einleitung . 51
§1. Schnittpunkte von Geraden. 52
1. Erinnerung an die Lineare Algebra 2. Determinantenfunktion 3. Geraden
4. Schnittpunkte 5. Die affine Gruppe 6. Die alternierende Funktion [x, y, z]
7. Geometrische Interpretation der Addition
§2. Erste Schnittpunktsätze . 63
1. Strahlensätze 2. Satz von
Pascal 5*. Vollständiges Vierseit 6*. Allgemeiner Satz von
§3. Anfänge einer Dreiecks-Geometrie . 71
1. Dreiecke 2. Schwerpunktsatz 3*. Schwerpunkt von endlich vielen Punkten
4*. Das
ţ
§4*. Dreieckskoordinaten . 75
1.
§5. Die Sätze von Menelaos und Ceva . 78
1. Ein Geradenmaß 2. Regula sex quantitatum 3. Historisches 4*. Ein Pro¬
dukt auf den Geraden
§6*. Das Doppelverhältnis . 83
1*. Definition 2*. Harmonische Punkte
§7*. BROCARDsche Punkte . 86
1*. Eine quadratische Form 2*. Der Ansatz von
gemeinerung 4*. Analoge Punkte
Kapitel
Einleitung . 91
Gültigkeitsbereich* . 92
§1. Die reelle euklidische Ebene . 93
1. Das Skalarprodukt 2. Die Abbildung
schen [x. y] und (x, y) 4. Betrag und Abstand 5. Winkel 6. Die orthogonale
Gruppe 7. Die Bewegungen der Ebene 8. Kongruenz und Ähnlichkeit 9*.
Bewegungsinvarianten
§2. Das Dreieck . 108
Einleitung 1. Erste metrische Sätze 2. Geradengleichung 3. Abstand eines
Punktes von einer Geraden 4. Mittelsenkrechte im Dreieck 5. Höhen im
Dreieck 6. Halbebenen 7. Winkelhalbierende 8. Rechtwinklige Dreiecke 9*.
Orientierte Flächen
§3. Trigonometrie . 125
1. Kongruenz-Sätze 2. Formel von
zwischen den Winkeln 5. Abstände zwischen vier Punkten 6*. Der Satz von
Morley 7*. Der Satz von Connes
§4. Geometrie und Arithmetik. 135
1. Pythagoreische Tripel 2. Die rationalen Punkte des Einheitskreises 3.
Herouische Dreiecke 4. Satz von Pick
Kapitel
Einleitung . 143
Inhaltsverzeichnis xi
§1. Der Kreis . 143
1. Mittelpunktsgleichung 2. Tangente 3. Kreis und Gerade 4. Polare 5*. Meh¬
rere Kreise 6*. Satz von Bodenmiller 7*. Die Stereographische Projektion
8*. Inversion am Kreis
§2. Der Umkreis eines Dreiecks . 159
1. Existenzsatz 2. Peripheriewinkel 3. EuLER-Gerade 4. FEUERBACH-Kreis
5*. Mittendreieek 6*. Höhenfußpunkt-Dreieck 7*. WALLACE-Gerade
§3*. Vier Punkte auf einem Kreis. 173
1*. Vierecke 2*. Seimenvierecke 3*. Satz von Ptolemaeus 4*. Satz von
Miqoel
§4. Die Berührkreise eines Dreiecks . 177
Einleitung 1. Mittelpunkte und Radien 2. Satz von
4. Satz von Feuerbach
§5*. Die komplexe Zahlenebene. 185
1*. Die komplexen Zahlen als euklidische Ebene. 2*. Das komplexe Dop¬
pelverhältnis 3*. Der Satz von Miquel 4*. Die BROCARDschen Punkte 5*.
Anwendungen
Kapitel
Einleitung . 197
§1. Ellipsen und Hyperbeln. 198
1. Ellipse 2. Hyperbel 3. Gemeinsame Beschreibung 4. Hauptachsentrans¬
formation 5. Tangenten 6. Brennpunkt-Tangenten-Abstand 7. Einhüllende
Tangentenschar 8. Asymptoten einer Hyperbel 9*. Beschreibung durch Krei¬
se
§2. Die Parabel . 213
1. Definition 2. Tangenten 3. Brennpunkt-Tangenten-Abstand
§3. Die allgemeine Kurve zweiten Grades . 218
1. Vorbemerkungen 2. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades 3. Normal¬
form 4. Klassifikation der Kurven zweiten Grades 5. Affine
6. Kurven zweiten Grades als Kegelschnitte 7. Infinitesimale Beschreibung
einer Tangente
§4. Scheitel- und Brennpunktgleichung . 226
1. Kurven mit Leitlinien 2. Scheitelgleichung 3. Zusammenhang zwischen
Scheitelgleichung und Mittelpunktsgleichung 4. Brennpunktgleiclmng
§5. Der Fünf-Punkte-Satz und der Satz von PASCAL . 232
1. Problemstellung 2. Schnittpunkte 3. Ein Polynom zweiten Grades 4. Fünf-
Punkte-Satz 5. Satz von Pascal 6. Beschreibung mit Determinanten
xii Inhaltsverzeichnis
Kapitel
Einleitung . 241
§1.
1. Die Axiome 2. Die
projektíven
Isomorphismen 6. Dualität
§2. Die
1. Punkte und Geraden 2. Die Automorphismengruppe 3. Dualität 4. Der
Satz von
§3. Die reelle
1. Das Vektorprodukt 2. Quadriken 3. Der Fünf-Punkte-Satz 4. Tangenten
5. Der Satz von Pascal
Literaturverzeichnis . 269
Symbolverzeichnis . 273
Sachverzeichnis. 275 |
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Inhaltsverzeichnis
Prolog. Die Elemente des Euklid . 1
1. Euklid 2. Axiome 3. Über die Sprache der Geometrie
Kapitel
Einleitung . 5
§1. Affine Ebenen . 7
1. Inzidenz-Axiome 2. Richtungen 3. Ordnung 4. Beispiele 5. Affine Isomor¬
phismen 6*. Über das Parallelen-Axiom von Euklid bis
§2. Translationsebenen . 16
1. Dilatationen 2. Fixgeraden 3. Translationen 4.
Ρ
Dilatationen 8. Automorphismen
§3. Affine Koordinatenebenen . 30
1. Satz von
nen 4. Koordinatenebenen als DESARGUES-Ebenen 5*. Ausblicke
§4. PAPPUS-Ebenen . 38
1. Satz von
4. Satz von Wedderburn
§5. Euklidische Ebenen. 42
1. Einleitung 2. Normierte Gruppen 3. Metrische Translationsebenen 4. Eu¬
klidische Ebenen 5. Hauptsatz für euklidische Ebenen
Kapitel
Einleitung . 51
§1. Schnittpunkte von Geraden. 52
1. Erinnerung an die Lineare Algebra 2. Determinantenfunktion 3. Geraden
4. Schnittpunkte 5. Die affine Gruppe 6. Die alternierende Funktion [x, y, z]
7. Geometrische Interpretation der Addition
§2. Erste Schnittpunktsätze . 63
1. Strahlensätze 2. Satz von
Pascal 5*. Vollständiges Vierseit 6*. Allgemeiner Satz von
§3. Anfänge einer Dreiecks-Geometrie . 71
1. Dreiecke 2. Schwerpunktsatz 3*. Schwerpunkt von endlich vielen Punkten
4*. Das
ţ
§4*. Dreieckskoordinaten . 75
1.
§5. Die Sätze von Menelaos und Ceva . 78
1. Ein Geradenmaß 2. Regula sex quantitatum 3. Historisches 4*. Ein Pro¬
dukt auf den Geraden
§6*. Das Doppelverhältnis . 83
1*. Definition 2*. Harmonische Punkte
§7*. BROCARDsche Punkte . 86
1*. Eine quadratische Form 2*. Der Ansatz von
gemeinerung 4*. Analoge Punkte
Kapitel
Einleitung . 91
Gültigkeitsbereich* . 92
§1. Die reelle euklidische Ebene . 93
1. Das Skalarprodukt 2. Die Abbildung
schen [x. y] und (x, y) 4. Betrag und Abstand 5. Winkel 6. Die orthogonale
Gruppe 7. Die Bewegungen der Ebene 8. Kongruenz und Ähnlichkeit 9*.
Bewegungsinvarianten
§2. Das Dreieck . 108
Einleitung 1. Erste metrische Sätze 2. Geradengleichung 3. Abstand eines
Punktes von einer Geraden 4. Mittelsenkrechte im Dreieck 5. Höhen im
Dreieck 6. Halbebenen 7. Winkelhalbierende 8. Rechtwinklige Dreiecke 9*.
Orientierte Flächen
§3. Trigonometrie . 125
1. Kongruenz-Sätze 2. Formel von
zwischen den Winkeln 5. Abstände zwischen vier Punkten 6*. Der Satz von
Morley 7*. Der Satz von Connes
§4. Geometrie und Arithmetik. 135
1. Pythagoreische Tripel 2. Die rationalen Punkte des Einheitskreises 3.
Herouische Dreiecke 4. Satz von Pick
Kapitel
Einleitung . 143
Inhaltsverzeichnis xi
§1. Der Kreis . 143
1. Mittelpunktsgleichung 2. Tangente 3. Kreis und Gerade 4. Polare 5*. Meh¬
rere Kreise 6*. Satz von Bodenmiller 7*. Die Stereographische Projektion
8*. Inversion am Kreis
§2. Der Umkreis eines Dreiecks . 159
1. Existenzsatz 2. Peripheriewinkel 3. EuLER-Gerade 4. FEUERBACH-Kreis
5*. Mittendreieek 6*. Höhenfußpunkt-Dreieck 7*. WALLACE-Gerade
§3*. Vier Punkte auf einem Kreis. 173
1*. Vierecke 2*. Seimenvierecke 3*. Satz von Ptolemaeus 4*. Satz von
Miqoel
§4. Die Berührkreise eines Dreiecks . 177
Einleitung 1. Mittelpunkte und Radien 2. Satz von
4. Satz von Feuerbach
§5*. Die komplexe Zahlenebene. 185
1*. Die komplexen Zahlen als euklidische Ebene. 2*. Das komplexe Dop¬
pelverhältnis 3*. Der Satz von Miquel 4*. Die BROCARDschen Punkte 5*.
Anwendungen
Kapitel
Einleitung . 197
§1. Ellipsen und Hyperbeln. 198
1. Ellipse 2. Hyperbel 3. Gemeinsame Beschreibung 4. Hauptachsentrans¬
formation 5. Tangenten 6. Brennpunkt-Tangenten-Abstand 7. Einhüllende
Tangentenschar 8. Asymptoten einer Hyperbel 9*. Beschreibung durch Krei¬
se
§2. Die Parabel . 213
1. Definition 2. Tangenten 3. Brennpunkt-Tangenten-Abstand
§3. Die allgemeine Kurve zweiten Grades . 218
1. Vorbemerkungen 2. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades 3. Normal¬
form 4. Klassifikation der Kurven zweiten Grades 5. Affine
6. Kurven zweiten Grades als Kegelschnitte 7. Infinitesimale Beschreibung
einer Tangente
§4. Scheitel- und Brennpunktgleichung . 226
1. Kurven mit Leitlinien 2. Scheitelgleichung 3. Zusammenhang zwischen
Scheitelgleichung und Mittelpunktsgleichung 4. Brennpunktgleiclmng
§5. Der Fünf-Punkte-Satz und der Satz von PASCAL . 232
1. Problemstellung 2. Schnittpunkte 3. Ein Polynom zweiten Grades 4. Fünf-
Punkte-Satz 5. Satz von Pascal 6. Beschreibung mit Determinanten
xii Inhaltsverzeichnis
Kapitel
Einleitung . 241
§1.
1. Die Axiome 2. Die
projektíven
Isomorphismen 6. Dualität
§2. Die
1. Punkte und Geraden 2. Die Automorphismengruppe 3. Dualität 4. Der
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§3. Die reelle
1. Das Vektorprodukt 2. Quadriken 3. Der Fünf-Punkte-Satz 4. Tangenten
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