Theoretische Physik: 1 Mechanik : von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2007
|
| Ausgabe: | 8. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XIX, 537 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 9783540713777 |
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|---|---|
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Inhaltsverzeichnis
ι.
Elementare Newton sche Mechanik
1.1 Die Newton schen Gesetze (1687) und ihre Interpretation..... 1
1.2 Gleichförmig geradlinige Bewegung und Inertialsysteme....... 5
1.3 Inertialsysteme in relativer Bewegung.......................... 6
1.4 Impuls und Kraft................................................ 7
1.5 Typische Kräfte; Bemerkung über Maßeinheiten............... 9
1.6 Raum, Zeit und Kräfte.......................................... 11
1.7 Das Zwei-Teilchen-System mit inneren Kräften................ 12
1.7.1 Schwerpunkts- und Relativbewegung...................... 12
1.7.2 Gravitationskraft
zwischen zwei Himmelskörpern (Kepler-Problem)........ 13
1.7.3 Schwerpunkts- und Relativimpuls
im Zwei-Teilchen-System................................. 17
1.8 Systeme von endlich vielen Teilchen............................ 18
1.9 Der Schwerpunktsatz............................................ 19
1.10 Der Drehimpulssatz.............................................. 20
1.11 Der Energiesatz.................................................. 20
1.12 Das abgeschlossene «-Teilchen-System.......................... 21
1.13 Galilei-Transformationen........................................ 22
1.14 Raum und Zeit der Mechanik bei Galilei-Invarianz........... 26
1.15 Konservative Kraftfelder........................................ 28
1.16 Eindimensionale Bewegung eines Massenpunktes............... 30
1.17 Bewegungsgleichungen in einer Dimension..................... 31
1.17.1 Harmonischer Oszillator.................................. 31
1.17.2 Das ebene mathematische Pendel im Schwerefeld........ 33
1.18 Phasenraum für das
л
-Teilchen-System (im M3)................ 34
1.19 Existenz und Eindeutigkeit
von Lösungen der Bewegungsgleichungen...................... 35
1.20 Physikalische Konsequenzen
des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes......................... 36
1.21 Lineare Systeme................................................. 39
1.22 Zur Integration
eindimensionaler Bewegungsgleichungen........................ 40
1.23 Das ebene Pendel bei beliebigem Ausschlag.................... 42
1.24 Das Zwei-Teilchen-System mit Zentralkraft.................... 44
1.25 Rotierendes Koordinatensystem:
Coriolis- und Zentrifugalkräfte................................. 48
1.26 Coriolis-Beschleunigung auf der Erde.......................... 49
1.27 Streuung zweier Teilchen, die über eine Zentralkraft
miteinander wechselwirken: Kinematik......................... 57
1.28 Zwei-Teilchenstreuung mit Zentralkraft: Dynamik............. 60
1.29 Coulomb-Streuung zweier Teilchen
mit gleichen Massen und Ladungen............................ 63
1.30 Ausgedehnte mechanische Körper............................... 65
1.31 Virial und zeitliche Mittelwerte................................. 69
Anhang: Praktische Übungen......................................... 71
XVI Inhaltsverzeichnis
2. Die Prinzipien der kanonischen Mechanik
2.1 Zwangsbedingungen und verallgemeinerte Koordinaten........ 79
2.1.1 Definition von Zwangsbedingungen....................... 79
2.1.2 Generalisierte Koordinaten................................ 81
2.2 Das d Alembert sche Prinzip.................................... 81
2.2.1 Definition der virtuellen Verriickungen.................... 81
2.2.2 Statischer Fall............................................ 82
2.2.3 Dynamischer Fall......................................... 82
2.3 Die Lagrange schen Gleichungen................................ 84
2.4 Einfache Anwendungen des d Alembert schen Prinzips........ 85
2.5 Exkurs über Variationsprinzipien............................... 87
2.6 Hamilton sches Extremalprinzip................................ 89
2.7 Die Euler-Lagrange-Gleichungen................................ 90
2.8 Einige Anwendungen des Hamilton schen Prinzips............. 91
2.9 Lagrangefunktionen sind nicht eindeutig....................... 93
2.10 Eichtransformationen an der Lagrangefunktion................ 94
2.11 Zulässige Transformationen
der verallgemeinerten Koordinaten............................. 95
2.12 Die Hamiltonfunktion und ihr Zusammenhang
mit der Lagrangefunktion....................................... 97
2.13 Legendre-Transformation für den Fall einer Variablen........ 98
2.14 Legendre-Transformation
im Fall mehrerer Veränderlicher............................... 99
2.15 Kanonische Systeme............................................. 101
2.16 Einige einfache kanonische Systeme............................ 101
2.17 Variationsprinzip auf die Hamiltonfunktion angewandt........ 103
2.18 Symmetrien und Erhaltungssätze............................... 104
2.19 Satz von E. Noether............................................. 105
2.20 Infinitesimale Erzeugende für Drehung um eine Achse........ 106
2.21 Exkurs über die Drehgruppe.................................... 108
2.22 Infinitesimale Drehungen und ihre Erzeugenden............... 110
2.23 Kanonische Transformationen................................... 112
2.24 Beispiele von kanonischen Transformationen................... 116
2.25 Die Struktur der kanonischen Gleichungen.................... 117
2.26 Lineare, autonome Systeme in einer Dimension................ 118
2.27 Kanonische Transformationen in kompakter Notation......... 119
2.28 Zur symplektischen Struktur des Phasenraums................ 121
2.29 Der Liouville sche Satz.......................................... 125
2.29.1 Lokale Form.............................................. 125
2.29.2 Integrale Form............................................ 126
2.30 Beispiele zum Liouville schen Satz.............................. 127
2.31 Die Poisson-Klammer............................................ 130
2.32 Eigenschaften der Poisson-Klammern........................... 133
2.33 Infinitesimale kanonische Transformationen.................... 135
2.34 Integrale der Bewegung......................................... 136
2.35
Hamilton-
Jacobi sche Differentialgleichung..................... 139
2.36 Einfache Anwendungen
der
Hamilton-
Jacobi schen Differentialgleichung............... 140
2.37
Hamilton-
Jacobi-Gleichung und
integrable
Systeme............ 144
2.37.1 Lokale Glättung von Hamilton schen Systemen........... 145
2.37.2
Integrable
Systeme........................................ 149
2.37.3 Winkel- und Wirkungsvariable............................ 153
2.38 Störungen an quasiperiodischen Hamilton schen Systemen___ 155
Inhaltsverzeichnis xvii
2.39 Autonome, nichtausgeartete Hamilton sche Systeme
in der Nähe von integrablen Systemen......................... 157
2.40 Beispiele, Mittelungsmethode.................................... 159
2.40.1 Anharmonischer Oszillator................................ 159
2.40.2 Mittelung von Störungen................................. 161
Anhang: Praktische Übungen......................................... 163
3. Mechanik des starren Körpers
3.1 Definition des starren Körpers.................................. 171
3.2 Infinitesimale Verrückung eines starren Körpers............... 173
3.3 Kinetische Energie und Trägheitstensor........................ 174
3.4 Eigenschaften des Trägheitstensors.............................. 176
3.5 Der Satz von Steiner............................................ 181
3.6 Beispiele zum Satz von Steiner................................. 182
3.7 Drehimpuls des starren Körpers................................ 184
3.8 Kräftefreie Bewegung von starren Körpern.................... 185
3.9 Die Euler schen Winkel......................................... 187
3.10 Definition der Euler schen Winkel.............................. 189
3.11 Die Bewegungsgleichungen des starren Körpers................ 189
3.12 Die Euler schen Gleichungen.................................... 192
3.13 Anwendungsbeispiel: Der kräftefreie Kreisel................... 195
3.14 Kräftefreier Kreisel und geometrische Konstruktionen......... 198
3.15 Der Kreisel im Rahmen der kanonischen Mechanik........... 201
3.16 Beispiel: Symmetrischer Kinderkreisel im Schwerefeld........ 204
3.17 Anmerkung zum Kreiselproblem................................ 207
3.18 Symmetrischer Kreisel mit Reibung: Der „Aufstehkreisel ___ 208
3.18.1 Eine Energiebetrachtung.................................. 210
3.18.2 Bewegungsgleichungen
und Lösungen konstanter Energie......................... 211
Anhang: Praktische Übungen......................................... 216
4. Relativistische Mechanik
4.1 Schwierigkeiten der nichtrelativistischen Mechanik............ 220
4.2 Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit......................... 223
4.3 Die Lorentz-Transformationen.................................. 224
4.4 Analyse der
Lorentz-
und
Poincaré-Transformationen
......... 230
4.4.1 Drehungen und Spezielle Lorentz-Transformationen....... 233
4.4.2 Bedeutung der Speziellen Lorentz-Transformationen...... 236
4.5 Zerlegung von Lorentz-Transformationen
in ihre Komponenten............................................ 237
4.5.1 Satz über orthochrone
eigentliche Lorentz-Transformationen..................... 237
4.5.2 Korollar zum Zerlegungssatz und einige Konsequenzen... 239
4.6 Addition von relativistischen Geschwindigkeiten............... 242
4.7 Galilei- und Lorentz-Raumzeit-Mannigfaltigkeiten............. 245
4.8 Bahnkurven und Eigenzeit...................................... 249
4.9 Relativistische Dynamik......................................... 251
4.9.1 Relativistisches Kraftgesetz............................... 251
4.9.2 Energie-Impulsvektor..................................... 252
4.9.3 Die Lorentz-Kraft......................................... 256
4.10 Zeitdilatation und Längenkontraktion.......................... 257
4.11 Mehr über die Bewegung kräftefreier Teilchen................ 259
4.12 Die Konforme Gruppe........................................... 262
xviii Inhaltsverzeichnis
5. Geometrische Aspekte der Mechanik
5.1 Mannigfaltigkeiten von verallgemeinerten Koordinaten........ 266
5.2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten............................. 269
5.2.1 Der Euklidische Raum R ................................ 269
5.2.2 Glatte oder differenzierbare Mannigfaltigkeiten........... 270
5.2.3 Beispiele für glatte Mannigfaltigkeiten.................... 272
5.3 Geometrische Objekte auf Mannigfaltigkeiten.................. 276
5.3.1 Funktionen und Kurven auf Mannigfaltigkeiten........... 277
5.3.2 Tangentialvektoren an eine glatte Mannigfaltigkeit........ 280
5.3.3 Das Tangentialbündel einer Mannigfaltigkeit.............. 281
5.3.4 Vektorfelder auf glatten Mannigfaltigkeiten............... 283
5.3.5 Äußere Formen........................................... 286
5.4 Kalkül auf Mannigfaltigkeiten.................................. 288
5.4.1 Differenzierbare Abbildungen von Mannigfaltigkeiten..... 289
5.4.2 Integralkurven von Vektorfeldern......................... 291
5.4.3 Äußeres Produkt von Einsformen......................... 292
5.4.4 Die äußere Ableitung..................................... 294
5.4.5 Äußere Ableitung und Vektoren im E3................... 296
5.5
Hamilton-
Jacobi sehe und Lagrange sche Mechanik............ 299
5.5.1 Koordinaten-Mannigfaltigkeit Q,
Geschwindigkeitsraum TQ und Phasenraum
T* Q
........ 299
5.5.2 Die kanonische Einsform auf dem Phasenraum........... 303
5.5.3 Die kanonische Zweiform als symplektische Form auf
M
306
5.5.4 Symplektische Zweiform und Satz von Darboux.......... 308
5.5.5 Die kanonischen Gleichungen............................. 311
5.5.6 Die Poisson-Klammer..................................... 315
5.5.7 Zeitabhängige Hamilton sche Systeme.................... 318
5.6 Lagrange sche Mechanik und Lagrangegleichungen............ 320
5.6.1 Zusammenhang der beiden Formulierungen der Mechanik 320
5.6.2 Die Lagrange sche Zweiform............................. 322
5.6.3 Energie als Funktion auf TQ
und Lagrange sches Vektorfeld........................... 323
5.6.4 Vektorfelder auf dem Geschwindigkeitsraum TQ
und Lagrange sche Gleichungen.......................... 325
5.6.5 Legendre-Transformation
und Zuordnung von Lagrange- und Hamiltonfunktion___ 327
5.7 Riemann sche Mannigfaltigkeiten in der Mechanik............ 329
5.7.1 Affiner Zusammenhang und Paralleltransport............. 330
5.7.2 Parallele Vektorfelder und Geodäten...................... 332
5.7.3 Geodäten als Lösungen von Euler-Lagrange-GIeichungen. 333
5.7.4 Der kräftefreie, unsymmetrische Kreisel.................. 335
6. Stabilität und Chaos
6.1 Qualitative Dynamik............................................. 337
6.2 Vektorfelder als dynamische Systeme........................... 338
6.2.1 Einige Definitionen für Vektorfelder
und ihre Integralkurven................................... 340
6.2.2 Gleichgewichtslagen und Linearisierung
von Vektorfeldern......................................... 343
6.2.3 Stabilität von Gleichgewichtslagen........................ 346
6.2.4 Kritische Punkte von Hamilton schen Vektorfeldern....... 349
6.2.5 Stabilität und Instabilität beim kräftefreien Kreisel........ 352
Inhaltsverzeichnis
XIX
6.3 Langzeitverhalten dynamischer Flüsse
und Abhängigkeit von äußeren Parametern.................... 353
6.3.1 Strömung im Phasenraum................................. 354
6.3.2 Allgemeinere Stabilitätskriterien.......................... 356
6.3.3 Attraktoren............................................... 359
6.3.4 Die
Poincaré-Abbildung
.................................. 362
6.3.5 Verzweigungen von Flüssen bei kritischen Punkten....... 366
6.3.6 Verzweigungen von periodischen Bahnen................. 369
6.4 Deterministisches Chaos......................................... 371
6.4.1 Iterative Abbildungen in einer Dimension................. 371
6.4.2 Quasi-Definition von Chaos............................... 373
6.4.3 Ein Beispiel: Die logistische Gleichung................... 376
6.5 Quantitative Aussagen über ungeordnete Bewegung........... 381
6.5.1 Aufbruch in deterministisches Chaos ..................... 381
6.5.2 Liapunov sche Charakteristische Exponenten.............. 385
6.5.3 Seltsame Attraktoren und
Fraktále
........................ 388
6.6 Chaotische Bewegungen in der Himmelsmechanik............. 390
6.6.1 Rotationsdynamik von Planetensatelliten.................. 391
6.6.2 Bahndynamik von Planetoiden mit chaotischem Verhalten 395
7. Kontinuierliche Systeme
7.1 Diskrete und kontinuierliche Systeme........................... 399
7.2 Grenzübergang zum kontinuierlichen System.................. 403
7.3 Hamilton sches Extremalprinzip für kontinuierliche Systeme.. 405
7.4 Kanonisch konjugierter Impuls und Hamiltondichte........... 407
7.5 Beispiel: Die Pendelkette........................................ 408
7.6 Ausblick und Bemerkungen..................................... 411
Anhang
A
Einige mathematische Begriffe.................................. 417
A.l „Ordnung und
„modulo
................................ 417
A.2 Abbildung................................................ 417
A.3 Stetige und differenzierbare Abbildungen................. 419
A.4 Ableitungen............................................... 419
A.5 Differenzierbarkeit einer Funktion........................ 420
A.6 Variablen und Parameter.................................. 420
A.7
Lie
sehe Gruppe.......................................... 420
В
Einige Hinweise zum Rechnereinsatz........................... 421
B. 1 Bestimmung von Nullstellen.............................. 422
B.2 Zufallszahlen............................................. 423
B.3 Numerische Integration
gewöhnlicher Differentialgleichungen..................... 423
B.4 Numerische Auswertung von Integralen................... 425
С
Historische Anmerkungen....................................... 426
Aufgaben................................................................. 431
Lösungen der Aufgaben................................................ 459
Literatur................................................................... 529
Sachverzeichnis.......................................................... 533
Namenverzeichnis....................................................... 537
|
| adam_txt |
XV
Inhaltsverzeichnis
ι.
Elementare Newton'sche Mechanik
1.1 Die Newton'schen Gesetze (1687) und ihre Interpretation. 1
1.2 Gleichförmig geradlinige Bewegung und Inertialsysteme. 5
1.3 Inertialsysteme in relativer Bewegung. 6
1.4 Impuls und Kraft. 7
1.5 Typische Kräfte; Bemerkung über Maßeinheiten. 9
1.6 Raum, Zeit und Kräfte. 11
1.7 Das Zwei-Teilchen-System mit inneren Kräften. 12
1.7.1 Schwerpunkts- und Relativbewegung. 12
1.7.2 Gravitationskraft
zwischen zwei Himmelskörpern (Kepler-Problem). 13
1.7.3 Schwerpunkts- und Relativimpuls
im Zwei-Teilchen-System. 17
1.8 Systeme von endlich vielen Teilchen. 18
1.9 Der Schwerpunktsatz. 19
1.10 Der Drehimpulssatz. 20
1.11 Der Energiesatz. 20
1.12 Das abgeschlossene «-Teilchen-System. 21
1.13 Galilei-Transformationen. 22
1.14 Raum und Zeit der Mechanik bei Galilei-Invarianz. 26
1.15 Konservative Kraftfelder. 28
1.16 Eindimensionale Bewegung eines Massenpunktes. 30
1.17 Bewegungsgleichungen in einer Dimension. 31
1.17.1 Harmonischer Oszillator. 31
1.17.2 Das ebene mathematische Pendel im Schwerefeld. 33
1.18 Phasenraum für das
л
-Teilchen-System (im M3). 34
1.19 Existenz und Eindeutigkeit
von Lösungen der Bewegungsgleichungen. 35
1.20 Physikalische Konsequenzen
des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes. 36
1.21 Lineare Systeme. 39
1.22 Zur Integration
eindimensionaler Bewegungsgleichungen. 40
1.23 Das ebene Pendel bei beliebigem Ausschlag. 42
1.24 Das Zwei-Teilchen-System mit Zentralkraft. 44
1.25 Rotierendes Koordinatensystem:
Coriolis- und Zentrifugalkräfte. 48
1.26 Coriolis-Beschleunigung auf der Erde. 49
1.27 Streuung zweier Teilchen, die über eine Zentralkraft
miteinander wechselwirken: Kinematik. 57
1.28 Zwei-Teilchenstreuung mit Zentralkraft: Dynamik. 60
1.29 Coulomb-Streuung zweier Teilchen
mit gleichen Massen und Ladungen. 63
1.30 Ausgedehnte mechanische Körper. 65
1.31 Virial und zeitliche Mittelwerte. 69
Anhang: Praktische Übungen. 71
XVI Inhaltsverzeichnis
2. Die Prinzipien der kanonischen Mechanik
2.1 Zwangsbedingungen und verallgemeinerte Koordinaten. 79
2.1.1 Definition von Zwangsbedingungen. 79
2.1.2 Generalisierte Koordinaten. 81
2.2 Das d'Alembert'sche Prinzip. 81
2.2.1 Definition der virtuellen Verriickungen. 81
2.2.2 Statischer Fall. 82
2.2.3 Dynamischer Fall. 82
2.3 Die Lagrange'schen Gleichungen. 84
2.4 Einfache Anwendungen des d'Alembert'schen Prinzips. 85
2.5 Exkurs über Variationsprinzipien. 87
2.6 Hamilton'sches Extremalprinzip. 89
2.7 Die Euler-Lagrange-Gleichungen. 90
2.8 Einige Anwendungen des Hamilton'schen Prinzips. 91
2.9 Lagrangefunktionen sind nicht eindeutig. 93
2.10 Eichtransformationen an der Lagrangefunktion. 94
2.11 Zulässige Transformationen
der verallgemeinerten Koordinaten. 95
2.12 Die Hamiltonfunktion und ihr Zusammenhang
mit der Lagrangefunktion. 97
2.13 Legendre-Transformation für den Fall einer Variablen. 98
2.14 Legendre-Transformation
im Fall mehrerer Veränderlicher. 99
2.15 Kanonische Systeme. 101
2.16 Einige einfache kanonische Systeme. 101
2.17 Variationsprinzip auf die Hamiltonfunktion angewandt. 103
2.18 Symmetrien und Erhaltungssätze. 104
2.19 Satz von E. Noether. 105
2.20 Infinitesimale Erzeugende für Drehung um eine Achse. 106
2.21 Exkurs über die Drehgruppe. 108
2.22 Infinitesimale Drehungen und ihre Erzeugenden. 110
2.23 Kanonische Transformationen. 112
2.24 Beispiele von kanonischen Transformationen. 116
2.25 Die Struktur der kanonischen Gleichungen. 117
2.26 Lineare, autonome Systeme in einer Dimension. 118
2.27 Kanonische Transformationen in kompakter Notation. 119
2.28 Zur symplektischen Struktur des Phasenraums. 121
2.29 Der Liouville'sche Satz. 125
2.29.1 Lokale Form. 125
2.29.2 Integrale Form. 126
2.30 Beispiele zum Liouville'schen Satz. 127
2.31 Die Poisson-Klammer. 130
2.32 Eigenschaften der Poisson-Klammern. 133
2.33 Infinitesimale kanonische Transformationen. 135
2.34 Integrale der Bewegung. 136
2.35
Hamilton-
Jacobi'sche Differentialgleichung. 139
2.36 Einfache Anwendungen
der
Hamilton-
Jacobi'schen Differentialgleichung. 140
2.37
Hamilton-
Jacobi-Gleichung und
integrable
Systeme. 144
2.37.1 Lokale Glättung von Hamilton'schen Systemen. 145
2.37.2
Integrable
Systeme. 149
2.37.3 Winkel- und Wirkungsvariable. 153
2.38 Störungen an quasiperiodischen Hamilton'schen Systemen_ 155
Inhaltsverzeichnis xvii
2.39 Autonome, nichtausgeartete Hamilton'sche Systeme
in der Nähe von integrablen Systemen. 157
2.40 Beispiele, Mittelungsmethode. 159
2.40.1 Anharmonischer Oszillator. 159
2.40.2 Mittelung von Störungen. 161
Anhang: Praktische Übungen. 163
3. Mechanik des starren Körpers
3.1 Definition des starren Körpers. 171
3.2 Infinitesimale Verrückung eines starren Körpers. 173
3.3 Kinetische Energie und Trägheitstensor. 174
3.4 Eigenschaften des Trägheitstensors. 176
3.5 Der Satz von Steiner. 181
3.6 Beispiele zum Satz von Steiner. 182
3.7 Drehimpuls des starren Körpers. 184
3.8 Kräftefreie Bewegung von starren Körpern. 185
3.9 Die Euler'schen Winkel. 187
3.10 Definition der Euler'schen Winkel. 189
3.11 Die Bewegungsgleichungen des starren Körpers. 189
3.12 Die Euler'schen Gleichungen. 192
3.13 Anwendungsbeispiel: Der kräftefreie Kreisel. 195
3.14 Kräftefreier Kreisel und geometrische Konstruktionen. 198
3.15 Der Kreisel im Rahmen der kanonischen Mechanik. 201
3.16 Beispiel: Symmetrischer Kinderkreisel im Schwerefeld. 204
3.17 Anmerkung zum Kreiselproblem. 207
3.18 Symmetrischer Kreisel mit Reibung: Der „Aufstehkreisel"_ 208
3.18.1 Eine Energiebetrachtung. 210
3.18.2 Bewegungsgleichungen
und Lösungen konstanter Energie. 211
Anhang: Praktische Übungen. 216
4. Relativistische Mechanik
4.1 Schwierigkeiten der nichtrelativistischen Mechanik. 220
4.2 Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. 223
4.3 Die Lorentz-Transformationen. 224
4.4 Analyse der
Lorentz-
und
Poincaré-Transformationen
. 230
4.4.1 Drehungen und Spezielle Lorentz-Transformationen. 233
4.4.2 Bedeutung der Speziellen Lorentz-Transformationen. 236
4.5 Zerlegung von Lorentz-Transformationen
in ihre Komponenten. 237
4.5.1 Satz über orthochrone
eigentliche Lorentz-Transformationen. 237
4.5.2 Korollar zum Zerlegungssatz und einige Konsequenzen. 239
4.6 Addition von relativistischen Geschwindigkeiten. 242
4.7 Galilei- und Lorentz-Raumzeit-Mannigfaltigkeiten. 245
4.8 Bahnkurven und Eigenzeit. 249
4.9 Relativistische Dynamik. 251
4.9.1 Relativistisches Kraftgesetz. 251
4.9.2 Energie-Impulsvektor. 252
4.9.3 Die Lorentz-Kraft. 256
4.10 Zeitdilatation und Längenkontraktion. 257
4.11 Mehr über die Bewegung kräftefreier Teilchen. 259
4.12 Die Konforme Gruppe. 262
xviii Inhaltsverzeichnis
5. Geometrische Aspekte der Mechanik
5.1 Mannigfaltigkeiten von verallgemeinerten Koordinaten. 266
5.2 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten. 269
5.2.1 Der Euklidische Raum R". 269
5.2.2 Glatte oder differenzierbare Mannigfaltigkeiten. 270
5.2.3 Beispiele für glatte Mannigfaltigkeiten. 272
5.3 Geometrische Objekte auf Mannigfaltigkeiten. 276
5.3.1 Funktionen und Kurven auf Mannigfaltigkeiten. 277
5.3.2 Tangentialvektoren an eine glatte Mannigfaltigkeit. 280
5.3.3 Das Tangentialbündel einer Mannigfaltigkeit. 281
5.3.4 Vektorfelder auf glatten Mannigfaltigkeiten. 283
5.3.5 Äußere Formen. 286
5.4 Kalkül auf Mannigfaltigkeiten. 288
5.4.1 Differenzierbare Abbildungen von Mannigfaltigkeiten. 289
5.4.2 Integralkurven von Vektorfeldern. 291
5.4.3 Äußeres Produkt von Einsformen. 292
5.4.4 Die äußere Ableitung. 294
5.4.5 Äußere Ableitung und Vektoren im E3. 296
5.5
Hamilton-
Jacobi'sehe und Lagrange'sche Mechanik. 299
5.5.1 Koordinaten-Mannigfaltigkeit Q,
Geschwindigkeitsraum TQ und Phasenraum
T* Q
. 299
5.5.2 Die kanonische Einsform auf dem Phasenraum. 303
5.5.3 Die kanonische Zweiform als symplektische Form auf
M
306
5.5.4 Symplektische Zweiform und Satz von Darboux. 308
5.5.5 Die kanonischen Gleichungen. 311
5.5.6 Die Poisson-Klammer. 315
5.5.7 Zeitabhängige Hamilton'sche Systeme. 318
5.6 Lagrange'sche Mechanik und Lagrangegleichungen. 320
5.6.1 Zusammenhang der beiden Formulierungen der Mechanik 320
5.6.2 Die Lagrange'sche Zweiform. 322
5.6.3 Energie als Funktion auf TQ
und Lagrange'sches Vektorfeld. 323
5.6.4 Vektorfelder auf dem Geschwindigkeitsraum TQ
und Lagrange'sche Gleichungen. 325
5.6.5 Legendre-Transformation
und Zuordnung von Lagrange- und Hamiltonfunktion_ 327
5.7 Riemann'sche Mannigfaltigkeiten in der Mechanik. 329
5.7.1 Affiner Zusammenhang und Paralleltransport. 330
5.7.2 Parallele Vektorfelder und Geodäten. 332
5.7.3 Geodäten als Lösungen von Euler-Lagrange-GIeichungen. 333
5.7.4 Der kräftefreie, unsymmetrische Kreisel. 335
6. Stabilität und Chaos
6.1 Qualitative Dynamik. 337
6.2 Vektorfelder als dynamische Systeme. 338
6.2.1 Einige Definitionen für Vektorfelder
und ihre Integralkurven. 340
6.2.2 Gleichgewichtslagen und Linearisierung
von Vektorfeldern. 343
6.2.3 Stabilität von Gleichgewichtslagen. 346
6.2.4 Kritische Punkte von Hamilton'schen Vektorfeldern. 349
6.2.5 Stabilität und Instabilität beim kräftefreien Kreisel. 352
Inhaltsverzeichnis
XIX
6.3 Langzeitverhalten dynamischer Flüsse
und Abhängigkeit von äußeren Parametern. 353
6.3.1 Strömung im Phasenraum. 354
6.3.2 Allgemeinere Stabilitätskriterien. 356
6.3.3 Attraktoren. 359
6.3.4 Die
Poincaré-Abbildung
. 362
6.3.5 Verzweigungen von Flüssen bei kritischen Punkten. 366
6.3.6 Verzweigungen von periodischen Bahnen. 369
6.4 Deterministisches Chaos. 371
6.4.1 Iterative Abbildungen in einer Dimension. 371
6.4.2 Quasi-Definition von Chaos. 373
6.4.3 Ein Beispiel: Die logistische Gleichung. 376
6.5 Quantitative Aussagen über ungeordnete Bewegung. 381
6.5.1 Aufbruch in deterministisches Chaos . 381
6.5.2 Liapunov'sche Charakteristische Exponenten. 385
6.5.3 Seltsame Attraktoren und
Fraktále
. 388
6.6 Chaotische Bewegungen in der Himmelsmechanik. 390
6.6.1 Rotationsdynamik von Planetensatelliten. 391
6.6.2 Bahndynamik von Planetoiden mit chaotischem Verhalten 395
7. Kontinuierliche Systeme
7.1 Diskrete und kontinuierliche Systeme. 399
7.2 Grenzübergang zum kontinuierlichen System. 403
7.3 Hamilton'sches Extremalprinzip für kontinuierliche Systeme. 405
7.4 Kanonisch konjugierter Impuls und Hamiltondichte. 407
7.5 Beispiel: Die Pendelkette. 408
7.6 Ausblick und Bemerkungen. 411
Anhang
A
Einige mathematische Begriffe. 417
A.l „Ordnung" und
„modulo"
. 417
A.2 Abbildung. 417
A.3 Stetige und differenzierbare Abbildungen. 419
A.4 Ableitungen. 419
A.5 Differenzierbarkeit einer Funktion. 420
A.6 Variablen und Parameter. 420
A.7
Lie
'sehe Gruppe. 420
В
Einige Hinweise zum Rechnereinsatz. 421
B. 1 Bestimmung von Nullstellen. 422
B.2 Zufallszahlen. 423
B.3 Numerische Integration
gewöhnlicher Differentialgleichungen. 423
B.4 Numerische Auswertung von Integralen. 425
С
Historische Anmerkungen. 426
Aufgaben. 431
Lösungen der Aufgaben. 459
Literatur. 529
Sachverzeichnis. 533
Namenverzeichnis. 537 |
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