Mathematik für Informatiker: 1 Diskrete Mathematik und lineare Algebra
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2007
|
| Ausgabe: | 2. Aufl. |
| Schriftenreihe: | eXamen.press
|
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Beschreibung: | XIII, 510 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 9783540708247 |
Internformat
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Grundlagen
1 Logik und Mengen.............................................. 1
1.1 Elementare Logik............................................. 1
1.2 Elementare Mengenlehre ...................................... 10
1.3 Schaltalgebra................................................ 15
1.3.1 Anwendung: Entwurf von Schaltkreisen ................... 21
1.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 23
1.5 Kontrollfragen............................................... 24
1.6 Übungen.................................................... 28
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme.............................. 33
2.1 Die Zahlenmengen N, Z, Q,
E
und
С
............................ 33
2.2 Summen und Produkte........................................ 44
2.3 Vollständige Induktion........................................ 46
2.4 Stellenwertsysteme ........................................... 48
2.5 Maschinenzahlen............................................. 51
2.6 Teilbarkeit und Primzahlen.................................... 55
2.7 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 58
2.8 Kontrollfragen............................................... 61
2.9 Übungen.................................................... 65
Diskrete Mathematik
3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie.......................... 71
3.1 Das kleine Einmaleins auf endlichen Mengen..................... 71
3.1.1 Anwendung: Hashfunktionen............................. 74
3.2 Gruppen, Ringe und Körper................................... 77
3.2.1 Anwendung: Welche Fehler erkennen Prüfziffern?........... 87
3.3 Der Euklid sche Algorithmus und diophantische Gleichungen....... 90
3.3.1 Anwendung: Der RSA-Verschlüsselungsalgorithmus......... 95
3.4 Der Chinesische Restsatz...................................... 100
3.4.1 Anwendung: Rechnen mit großen Zahlen.................. 101
3.4.2 Anwendung: Verteilte Geheimnisse ....................... 103
3.5 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 104
3.6 Kontrollfragen............................................... 107
3.7 Übungen.................................................... 109
4 Polynomringe und endliche Körper............................. 113
4.1 Der Polynomring
К[ж]
......................................... 113
4.2 Der Restklassenring
К[ж]т(а.)
.................................. 119
4.2.1 Anwendung: Zyklische Codes ............................ 124
4.3 Endliche Körper.............................................. 125
4.3.1 Anwendung: Der Advanced
Encryption
Standard........... 128
4.3.2 Anwendung: Reed-Solomon-Codes........................ 128
4.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 129
4.5 Kontrollfragen............................................... 131
4.6 Übungen.................................................... 134
5 Relationen und Funktionen..................................... 137
5.1 Relationen................................................... 137
5.1.1 Anwendung: Relationales Datenmodell.................... 146
5.2 Funktionen.................................................. 149
5.3 Kontrollfragen............................................... 162
5.4 Übungen.................................................... 166
6 Folgen und Reihen.............................................. 171
6.1 Folgen...................................................... 171
6.1.1 Anwendung: Wurzelziehen
à la
Heron
..................... 181
6.2 Reihen...................................................... 182
6.3 Mit dem digitaJen Rechenmeister............................... 188
6.4 Kontrollfragen............................................... 190
6.5 Übungen.................................................... 193
7 Kombinatorik................................................... 197
7.1 Grundlegende Abzählverfahren................................. 197
7.2 Permutationen und Kombinationen............................. 201
7.3 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 208
7.4 Kontrollfragen............................................... 208
7.5 Übungen.................................................... 209
8 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen.................. 215
8.1 Grundbegriffe................................................ 215
8.1.1 Ausblick: Iterationsverfahren und Chaos .................. 219
8.2 Lineare Rekursionen.......................................... 222
8.2.1 Anwendung: Sparkassenformel........................... 231
8.3 Wachstum von Algorithmen ................................... 232
8.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 239
8.5 Kontrollfragen............................................... 242
8.6 Übungen.................................................... 244
Lineare Algebra
9 Vektorräume ................................................... 247
9.1 Vektoren.................................................... 247
9.2 Lineare Unabhängigkeit und Basis.............................. 255
9.3 Teilräume................................................... 260
9.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 265
9.5 Kontrollfragen............................................... 266
9.6 Übungen.................................................... 268
10 Matrizen und Lineare Abbildungen............................. 273
10.1 Matrizen.................................................... 273
10.2 Multiplikation von Matrizen................................... 278
10.3 Lineare Abbildungen.......................................... 285
10.3.1 Anwendung: Lineare Codes.............................. 293
10.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 296
10.5 Kontrollfragen............................................... 298
10.6 Übungen.................................................... 301
11 Lineare Gleichungen............................................ 307
11.1 Der Gauß-Algorithmus........................................ 307
11.1.1 Anwendung: Elektrische Netzwerke....................... 315
11.1.2 Anwendung: Input-Output-Analyse nach Leontjef.......... 317
11.2 Rang, Kern, Bild............................................. 318
11.3 Determinante................................................ 323
11.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 328
11.5 Kontrollfragen............................................... 329
11.6 Übungen.................................................... 331
12 Lineare Optimierung ........................................... 335
12.1 Lineare Ungleichungen........................................ 335
12.2 Lineare Optimierung.......................................... 338
12.3 Der Simplex-Algorithmus...................................... 339
12.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 345
12.5 Kontrollfragen............................................... 347
12.6 Übungen.................................................... 348
13 Skalarprodukt und Orthogonalität.............................. 353
13.1 Skalarprodukt und orthogonale Projektion....................... 353
13.1.1 Anwendung:
Matched-Filter
............................. 363
13.1.2 Anwendung: Lineare Klassifikation........................ 364
13.1.3 Anwendung: Ray-
Tracing
................................ 364
13.2 Orthogonalentwicklungen...................................... 366
13.3 Orthogonale Transformationen................................. 372
13.3.1 Anwendung: QR-Zerlegung.............................. 376
13.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 377
13.5 Kontrollfragen............................................... 378
13.6 Übungen.................................................... 380
14 Eigenwerte und Eigenvektoren.................................. 383
14.1 Koordinatentransformationen.................................. 383
14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren................................. 386
14.2.1 Anwendung: Bewertung von Webseiten mit PageRank....... 395
14.3 Eigenwerte symmetrischer Matrizen............................. 398
14.3.1 Anwendung: Die diskrete Kosinustransformation ........... 401
14.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 404
14.5 Kontrollfragen............................................... 404
14.6 Übungen.................................................... 406
Graphentheorie
15 Grundlagen der Graphentheorie................................ 409
15.1 Grundbegriffe................................................ 409
15.2 Darstellung von Graphen am Computer......................... 415
15.3 Wege und Kreise............................................. 417
15.4 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 425
15.5 Kontrollfragen............................................... 426
15.6 Übungen.................................................... 429
16 Bäume und kürzeste Wege...................................... 435
16.1 Bäume...................................................... 435
16.2 Das Problem des Handlungsreisenden........................... 441
16.2.1 Ausblick: Die Komplexitätsklassen
Ρ
und NP.............. 443
16.3 Minimale aufspannende Bäume................................. 443
16.4 Kürzeste Wege............................................... 446
16.4.1 Anwendung: Routing im Internet......................... 449
16.5 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 450
16.6 Kontrollfragen............................................... 451
16.7 Übungen.................................................... 454
17 Flüsse in Netzwerken und Matchings........................... 459
17.1 Netzwerke................................................... 459
17.2 Matchings................................................... 467
17.3 Mit dem digitalen Rechenmeister............................... 473
17.4 Kontrollfragen............................................... 475
17.5 Übungen.................................................... 477
Anhang
A
Einführung
in
Mathematica
...................................... 483
A.I
Erste Schritte................................................ 483
A.2 Funktionen.................................................. 485
A.3 Gleichungen................................................. 487
A.4 Programme.................................................. 488
В
Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben.................... 491
B.l Logik und Mengen............................................ 491
B.2 Zahlenmengen und Zahlensysteme.............................. 491
B.3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie........................... 492
B.4 Polynomringe und endliche Körper ............................. 492
B.5 Relationen und Punktionen.................................... 492
B.6 Folgen und Reihen............................................ 493
B.7 Kombinatorik................................................ 493
B.8 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen.................... 493
B.9 Vektorräume.................................................494
B.10 Matrizen und Lineare Abbildungen............................. 494
B.ll Lineare Gleichungen.......................................... 494
B.12 Lineare Optimierung.......................................... 495
B.13 Skalarprodukt und Orthogonalität.............................. 495
B.14 Eigenwerte und Eigenvektoren ................................. 495
B.15 Grundlagen der Graphentheorie................................ 496
B.16 Bäume und kürzeste Wege.....................................496
B.17 Flüsse in Netzwerken und Matchings............................ 497
Literatur...........................................................499
Verzeichnis der Symbole............................................ 501
Index............................................................... 503
Lernen
Sie gerne etwas Langweiliges, von dem Sie nicht wissen, wozu es gut ist? Nein? Wir auch nicht!
Deshalb war unser Leitsatz: „Mathematik ist praxisrelevant und interessant .
In diesem Lehrbuch werden die mathematischen Grundlagen exakt und dennoch anschaulich und gut
nachvollziehbar vermittelt. Sie werden durchgehend anhand zahlreicher Musterbeispiele illustriert,
durch Anwendungen in der Informatik motiviert und durch historische Hintergründe oder Ausblicke
in angrenzende Themengebiete aufgelockert.
Am Ende jedes Kapitels befinden sich Kontrollfragen, die das Verständnis testen und typische Fehler
bzw. Missverständnisse ausräumen. Zusätzlich helfen zahlreiche Aufwärmübungen (mit vollständigem
Lösungsweg) und weiterführende Übungsaufgaben das Erlernte zu festigen und praxisrelevant um¬
zusetzen. Dieses Lehrbuch ist daher auch sehr gut zum Selbststudium geeignet. Ergänzend wird in
eigenen Abschnitten das Computeralgebrasystem
Mathematica
vorgestellt und eingesetzt, wodurch
der Lehrstoff visualisiert und somit das Verständnis erleichtert werden kann.
|
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Grundlagen
1 Logik und Mengen. 1
1.1 Elementare Logik. 1
1.2 Elementare Mengenlehre . 10
1.3 Schaltalgebra. 15
1.3.1 Anwendung: Entwurf von Schaltkreisen . 21
1.4 Mit dem digitalen Rechenmeister. 23
1.5 Kontrollfragen. 24
1.6 Übungen. 28
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme. 33
2.1 Die Zahlenmengen N, Z, Q,
E
und
С
. 33
2.2 Summen und Produkte. 44
2.3 Vollständige Induktion. 46
2.4 Stellenwertsysteme . 48
2.5 Maschinenzahlen. 51
2.6 Teilbarkeit und Primzahlen. 55
2.7 Mit dem digitalen Rechenmeister. 58
2.8 Kontrollfragen. 61
2.9 Übungen. 65
Diskrete Mathematik
3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie. 71
3.1 Das kleine Einmaleins auf endlichen Mengen. 71
3.1.1 Anwendung: Hashfunktionen. 74
3.2 Gruppen, Ringe und Körper. 77
3.2.1 Anwendung: Welche Fehler erkennen Prüfziffern?. 87
3.3 Der Euklid'sche Algorithmus und diophantische Gleichungen. 90
3.3.1 Anwendung: Der RSA-Verschlüsselungsalgorithmus. 95
3.4 Der Chinesische Restsatz. 100
3.4.1 Anwendung: Rechnen mit großen Zahlen. 101
3.4.2 Anwendung: Verteilte Geheimnisse . 103
3.5 Mit dem digitalen Rechenmeister. 104
3.6 Kontrollfragen. 107
3.7 Übungen. 109
4 Polynomringe und endliche Körper. 113
4.1 Der Polynomring
К[ж]
. 113
4.2 Der Restklassenring
К[ж]т(а.)
. 119
4.2.1 Anwendung: Zyklische Codes . 124
4.3 Endliche Körper. 125
4.3.1 Anwendung: Der Advanced
Encryption
Standard. 128
4.3.2 Anwendung: Reed-Solomon-Codes. 128
4.4 Mit dem digitalen Rechenmeister. 129
4.5 Kontrollfragen. 131
4.6 Übungen. 134
5 Relationen und Funktionen. 137
5.1 Relationen. 137
5.1.1 Anwendung: Relationales Datenmodell. 146
5.2 Funktionen. 149
5.3 Kontrollfragen. 162
5.4 Übungen. 166
6 Folgen und Reihen. 171
6.1 Folgen. 171
6.1.1 Anwendung: Wurzelziehen
à la
Heron
. 181
6.2 Reihen. 182
6.3 Mit dem digitaJen Rechenmeister. 188
6.4 Kontrollfragen. 190
6.5 Übungen. 193
7 Kombinatorik. 197
7.1 Grundlegende Abzählverfahren. 197
7.2 Permutationen und Kombinationen. 201
7.3 Mit dem digitalen Rechenmeister. 208
7.4 Kontrollfragen. 208
7.5 Übungen. 209
8 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen. 215
8.1 Grundbegriffe. 215
8.1.1 Ausblick: Iterationsverfahren und Chaos . 219
8.2 Lineare Rekursionen. 222
8.2.1 Anwendung: Sparkassenformel. 231
8.3 Wachstum von Algorithmen . 232
8.4 Mit dem digitalen Rechenmeister. 239
8.5 Kontrollfragen. 242
8.6 Übungen. 244
Lineare Algebra
9 Vektorräume . 247
9.1 Vektoren. 247
9.2 Lineare Unabhängigkeit und Basis. 255
9.3 Teilräume. 260
9.4 Mit dem digitalen Rechenmeister. 265
9.5 Kontrollfragen. 266
9.6 Übungen. 268
10 Matrizen und Lineare Abbildungen. 273
10.1 Matrizen. 273
10.2 Multiplikation von Matrizen. 278
10.3 Lineare Abbildungen. 285
10.3.1 Anwendung: Lineare Codes. 293
10.4 Mit dem digitalen Rechenmeister. 296
10.5 Kontrollfragen. 298
10.6 Übungen. 301
11 Lineare Gleichungen. 307
11.1 Der Gauß-Algorithmus. 307
11.1.1 Anwendung: Elektrische Netzwerke. 315
11.1.2 Anwendung: Input-Output-Analyse nach Leontjef. 317
11.2 Rang, Kern, Bild. 318
11.3 Determinante. 323
11.4 Mit dem digitalen Rechenmeister. 328
11.5 Kontrollfragen. 329
11.6 Übungen. 331
12 Lineare Optimierung . 335
12.1 Lineare Ungleichungen. 335
12.2 Lineare Optimierung. 338
12.3 Der Simplex-Algorithmus. 339
12.4 Mit dem digitalen Rechenmeister. 345
12.5 Kontrollfragen. 347
12.6 Übungen. 348
13 Skalarprodukt und Orthogonalität. 353
13.1 Skalarprodukt und orthogonale Projektion. 353
13.1.1 Anwendung:
Matched-Filter
. 363
13.1.2 Anwendung: Lineare Klassifikation. 364
13.1.3 Anwendung: Ray-
Tracing
. 364
13.2 Orthogonalentwicklungen. 366
13.3 Orthogonale Transformationen. 372
13.3.1 Anwendung: QR-Zerlegung. 376
13.4 Mit dem digitalen Rechenmeister. 377
13.5 Kontrollfragen. 378
13.6 Übungen. 380
14 Eigenwerte und Eigenvektoren. 383
14.1 Koordinatentransformationen. 383
14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren. 386
14.2.1 Anwendung: Bewertung von Webseiten mit PageRank. 395
14.3 Eigenwerte symmetrischer Matrizen. 398
14.3.1 Anwendung: Die diskrete Kosinustransformation . 401
14.4 Mit dem digitalen Rechenmeister. 404
14.5 Kontrollfragen. 404
14.6 Übungen. 406
Graphentheorie
15 Grundlagen der Graphentheorie. 409
15.1 Grundbegriffe. 409
15.2 Darstellung von Graphen am Computer. 415
15.3 Wege und Kreise. 417
15.4 Mit dem digitalen Rechenmeister. 425
15.5 Kontrollfragen. 426
15.6 Übungen. 429
16 Bäume und kürzeste Wege. 435
16.1 Bäume. 435
16.2 Das Problem des Handlungsreisenden. 441
16.2.1 Ausblick: Die Komplexitätsklassen
Ρ
und NP. 443
16.3 Minimale aufspannende Bäume. 443
16.4 Kürzeste Wege. 446
16.4.1 Anwendung: Routing im Internet. 449
16.5 Mit dem digitalen Rechenmeister. 450
16.6 Kontrollfragen. 451
16.7 Übungen. 454
17 Flüsse in Netzwerken und Matchings. 459
17.1 Netzwerke. 459
17.2 Matchings. 467
17.3 Mit dem digitalen Rechenmeister. 473
17.4 Kontrollfragen. 475
17.5 Übungen. 477
Anhang
A
Einführung
in
Mathematica
. 483
A.I
Erste Schritte. 483
A.2 Funktionen. 485
A.3 Gleichungen. 487
A.4 Programme. 488
В
Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben. 491
B.l Logik und Mengen. 491
B.2 Zahlenmengen und Zahlensysteme. 491
B.3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie. 492
B.4 Polynomringe und endliche Körper . 492
B.5 Relationen und Punktionen. 492
B.6 Folgen und Reihen. 493
B.7 Kombinatorik. 493
B.8 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen. 493
B.9 Vektorräume.494
B.10 Matrizen und Lineare Abbildungen. 494
B.ll Lineare Gleichungen. 494
B.12 Lineare Optimierung. 495
B.13 Skalarprodukt und Orthogonalität. 495
B.14 Eigenwerte und Eigenvektoren . 495
B.15 Grundlagen der Graphentheorie. 496
B.16 Bäume und kürzeste Wege.496
B.17 Flüsse in Netzwerken und Matchings. 497
Literatur.499
Verzeichnis der Symbole. 501
Index. 503
Lernen
Sie gerne etwas Langweiliges, von dem Sie nicht wissen, wozu es gut ist? Nein? Wir auch nicht!
Deshalb war unser Leitsatz: „Mathematik ist praxisrelevant und interessant".
In diesem Lehrbuch werden die mathematischen Grundlagen exakt und dennoch anschaulich und gut
nachvollziehbar vermittelt. Sie werden durchgehend anhand zahlreicher Musterbeispiele illustriert,
durch Anwendungen in der Informatik motiviert und durch historische Hintergründe oder Ausblicke
in angrenzende Themengebiete aufgelockert.
Am Ende jedes Kapitels befinden sich Kontrollfragen, die das Verständnis testen und typische Fehler
bzw. Missverständnisse ausräumen. Zusätzlich helfen zahlreiche Aufwärmübungen (mit vollständigem
Lösungsweg) und weiterführende Übungsaufgaben das Erlernte zu festigen und praxisrelevant um¬
zusetzen. Dieses Lehrbuch ist daher auch sehr gut zum Selbststudium geeignet. Ergänzend wird in
eigenen Abschnitten das Computeralgebrasystem
Mathematica
vorgestellt und eingesetzt, wodurch
der Lehrstoff visualisiert und somit das Verständnis erleichtert werden kann. |
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