Funktionentheorie: 2
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer-Verlag
2007
|
| Ausgabe: | 3., neu bearb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Grundwissen Mathematik
... Springer-Lehrbuch |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Bd. erschien bis zur 2. Aufl. als Bd. 6 der Reihe Grundwissen Mathematik |
| Beschreibung: | XVII, 383 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3540404325 9783540404323 |
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Teil
I
Unendliche Produkte und Partialbruchreihen
1 Unendliche Produkte holomorpher Funktionen ............ 3
1.1 Unendliche Produkte..................................... 4
1.1.1 Unendliche Produkte von Zahlen.................... 4
1.1.2 Unendliche Produkte von Funktionen................ 6
1.2 Normale Konvergenz..................................... 7
1.2.1 Normale Konvergenz............................... 7
1.2.2 Normal konvergente Produkte holomorpher Funktionen 9
1.2.3 Logarithmische Differentiation...................... 10
oo
1.3 Das Sinusprodukt sin
π ζ
=
ιτζ
Ц
(1 -
ζ2
/и2)
................ 12
ι/=1
1.3.1 Standardbeweis (mittels logarithmischer
Differentiation und der Partialbruchreihe des
Cotangens)
....................................... 12
1.3.2 Charakterisierung des Sinus durch die
Verdopplungsformel ............................... 14
1.3.3 Beweis der Eulerschen Formel mit Hilfe von Lemma 1.6 15
1.3.4 Beweis der Verdopplungsformel für das Euler-
Produkt nach Eisenstein*......................... 16
1.3.5 Historisches zum Sinusprodukt...................... 18
1.4 EULERsche Partitionsprodukte* ........................... 19
1.4.1 Partitionen natürlicher Zahlen und EULERsche Produkte 19
1.4.2 Pentagonal-Zahlen-Satz. Rekursionsformeln für p(>i)
und
σ(η)
......................................... 21
oo
1.4.3 Potenzreihenentwicklung von
Π
(1 +
q z)
nach
s
...... 23
v=l
1.4.4 Historisches zu Partitionen und zum Pentagonal-Zah¬
len-Satz .......................................... 24
1.5 Jacobis Produktdarstellung* der Reihe J(z,q) :=
Σ
q z .
25
1.5.1 Theorem von Jacobi.............................. 26
1.5.2 Diskussion des Jacobischen Theorems................ 27
1.5.3 Historisches zur Jacobischen Identität................ 28
X
Inhaltsverzeichnis
2 Die Gammafunktion....................................... 31
2.1 Die WEIERSTRASSSche Funktion
Л(г)=ге
Π
(l+z/v)e~ ..... 33
ľ>l
oo
2.1.1 Die Hilfsfunktion H(z) :=
ζ Π
(1 + z/v)e~z^ ........ 33
2.1.2 Die Funktion A[z) := e zH{z)...................... 35
2.2 Die Gammafunktion..................................... 36
2.2.1 Eigenschaften der
Г
-Funktion
....................... 37
2.2.2 Historische Notizen................................ 39
2.2.3 Die logarithmische Ableitung
ψ := Γ /Γ
.............. 40
2.2.4 Das Eindeutigkeitsproblem......................... 41
2.2.5 Multiplikationsformeln............................. 43
2.2.6 Satz von Holder* ................................ 45
2.2.7 Der Logarithmus der
Г
-Funktion*
................... 45
2.3 Eulersche und Hankeische Integraldarstellung von
Γ{ζ)
....... 47
2.3.1 Konvergenz des Eulerschen Integrals................. 48
2.3.2 Der Satz von Euler............................... 49
2.3.3 Variante des Eulerschen Integrals*................... 51
2.3.4 Das Hankeische Schleifenintegral.................... 53
2.4 Stirlingsche Formel und Gudermannsche Reihe.............. 55
2.4.1 Stieltjessche Definition der Funktion
μ(ζ)
............. 56
2.4.2 Die Stirlingsche Formel ............................ 57
2.4.3 Wachstum von
Г(х
+ iy) für y -» oo............... 60
2.4.4 Gudermannsche Reihe* ............................ 60
2.4.5 Stirlingsche Reihe* ................................ 62
2.4.6 Feinabschätzungen des Restgliedes*.................. 64
2.4.7 Binetsches Integral................................ 65
2.4.8 Lindelöfsche Abschätzung.......................... 67
2.5 Die Betafunktion........................................ 68
2.5.1 Beweis der Eulerschen Identität..................... 69
2.5.2 Klassische Beweise der Eulerschen Identität........... 70
3 Ganze Punktionen zu vorgegebenen Nullstellen............ 75
3.1 Weierstraßscher Produktsatz für
С
......................... 76
3.1.1 Divisoren und Hauptdivisisoren..................... 76
3.1.2 WEiERSTRASS-Produkte ........................... 77
3.1.3 WEIERSTRASS-Faktoren............................ 78
3.1.4 Produktsatz von
Weierstrass
..................... 79
3.1.5 Folgerungen...................................... 80
3.1.6 Historisches zum Produktsatz....................... 81
3.2 Diskussion des Produktsatzes............................. 82
3.2.1 Kanonische Produkte.............................. 83
3.2.2 Drei klassische kanonische Produkte................. 84
3.2.3 Die
σ
-Funktion
.................................... 85
3.2.4 Die ^Funktion ................................... 87
Inhaltsverzeichnis
XI
3.2.5 Eine Bemerkung von Hurwitz*..................... 88
4 Holomorphe Funktionen zu vorgegebenen Nullstellen*..... 91
4.1 Produktsatz für beliebige Bereiche......................... 91
4.1.1 Konvergenzlemma................................. 91
4.1.2 Produktsatz für spezielle Divisoren.................. 92
4.1.3 Allgemeiner Produktsatz........................... 93
4.1.4 Zweiter Beweis des allgemeinen Produktsatzes* ....... 94
4.1.5 Folgerungen...................................... 95
4.2 Anwendungen und Beispiele .............................. 96
4.2.1 Teilbarkeit in Ö{G). Größter gemeinsamer Teiler...... 96
4.2.2 Beispiele von WEIERSTRASS-Produkten.............. 98
4.2.3 Historisches zum allgemeinen Produktsatz............ 99
4.2.4 Ausblicke auf mehrere Veränderliche.................100
4.3 Beschränkte Funktionen in
E
und ihre Divisoren............101
4.3.1 Verallgemeinerung des Schwarzsehen Lemmas.........101
4.3.2 Notwendigkeit der BLASCHKE-Bedingung.............102
4.3.3 BLASCHKE-Produkte...............................103
4.3.4 Beschränkte Funktionen in der rechten Halbebene.....104
4.3.5 Anhang zu Paragraph 4.3: Die Jensensche Formel.....105
5 Satz von Iss sa. Holomorphiegebiete.......................109
5.1 Der Satz von Iss sa .....................................109
5.1.1 Satz von Bers....................................109
5.1.2 Satz von Iss sa...................................110
5.1.3 Beweis von Lemma 5.3.............................111
5.1.4 Historisches zu den Sätzen von Bers und Iss sa ......112
5.1.5 Bestimmungen aller Bewertungen* von A4(G).........113
5.2 Holomorphiegebiete......................................114
5.2.1 Eine Konstruktion von Goursat....................115
5.2.2 Gut verteilte Randmengen. Erster Beweis des
Existenzsatzes....................................117
5.2.3 Diskussion des Begriffes Holomorphiegebiet...........118
5.2.4 Randnahe Mengen. Zweiter Beweis des Existenzsatzes.. 120
5.2.5 Historisches zum Begriff des Holomorphiegebietes......121
5.2.6 Ausblick auf mehrere Veränderliche..................122
5.3 Einfache Beispiele von Holomorphiegebieten ................123
5.3.1 Beispiele für
E
....................................123
5.3.2 Liftungssatz......................................124
5.3.3 CASSINI-Bereiche und Holomorphiegebiete............124
6 Funktionen zu vorgegebenen Hauptteilen..................127
6.1 Satz von Mittag-Leffler für
С
.........................127
6.1.1 Hauptteil-Verteilungen.............................128
6.1.2 Mittag-Leffler Reihen..........................129
XII Inhaltsverzeichnis
6.1.3 Satz von Mittag-Leffler.........................130
6.1.4 Folgerungen......................................130
6.1.5 Kanonische MlTTAG-LEFFLER-Reihen. Beispiele.......131
6.1.6 Historisches zum Satz von Mittag-Leffler für
С
.... 132
6.2 Satz von Mittag-Leffler für beliebige Bereiche ...........133
6.2.1 Spezielle Hauptteil-Verteilungen.....................133
6.2.2 Folgerungen......................................135
6.2.3 Historisches zum allgemeinen Satz von Mittag-Leffler 136
6.2.4 Ausblicke auf mehrere Veränderliche.................137
6.3 Idealtheorie in Ringen holomorpher Funktionen .............138
6.3.1 Nicht endliche erzeugbare Ideale in O(G).............138
6.3.2 Lemma von Wedderburn (Darstellung der Eins).....139
6.3.3 Lineare Darstellung des ggT. Hauptidealsatz..........140
6.3.4 Nullstellenfreie Ideale..............................141
6.3.5 Hauptsatz der Idealtheorie für O[G).................142
6.3.6 Historisches zur Idealtheorie holomorpher Funktionen . . 143
6.3.7 Ausblicke auf mehrere Veränderliche.................143
Teil
II
Abbildungstheorie
7 Die Sätze von
Montei
und
Vitali
...........................147
7.1 Der Satz von Montel...................................147
7.1.1 Der Satz von Montel für Folgen ...................148
7.1.2 Beweis des Satzes von Montel.....................149
7.1.3 Montelsches Konvergenzkriterium ...................150
7.1.4 Satz von
Vitali
...................................150
7.1.5 Punktweise konvergente Folgen holomorpher Funktionen 151
7.2 Normale Familien .......................................152
7.2.1 Satz von Montel für normale Familien..............152
7.2.2 Diskussion des Montelschen Satzes...................153
7.2.3 Historisches zum Satz von Montel..................154
7.2.4 Quadrat-integrable Funktionen und normale Familien* . 154
7.3 Der Satz von
Vitali
.....................................156
7.3.1 Konvergenzlemma.................................157
7.3.2 Satz von
Vitali
(endgültige Fassung)................157
7.3.3 Historisches zum Satz von
Vitali
...................158
7.4 Anwendungen dos Satzes von
Vitali
......................159
7.4.1 Vertauschung von Integration und Differentiation......159
7.4.2 Kompakte Konvergenz des F-IntegraLs...............160
7.4.3 Satz von Müntz..................................161
7.5 Folgerungen aus einem Satz von Hi RWiTZ..................163
Inhaltsverzeichnis XIII
8 Der Riemannsche Abbildungssatz..........................165
8.1 Integralsätze, für homotope Wege..........................166
8.1.1 Homotope Wege bei festen Endpunkten..............166
8.1.2 Frei homotope geschlossene Wege....................167
8.1.3 Nullhomotopie und Nullhomologie...................168
8.1.4 Einfach zusammenhängende Gebiete.................16!)
8.1.5 Reduktion des Integralsatzes 8.1 auf ein
Lemma*
......171
8.1.6 Beweis von Lemma 8.9*............................172
8.2 Der Riemannsche Abbildungssatz..........................173
8.2.1 Reduktion auf Q-Gebiete...........................174
8.2.2 Existenz holomorpher Injektionen...................175
8.2.3 Existenz von Dehnungen...........................17(5
8.2.4 Existenzbeweis mittels eines Extreinalpriiraps.........177
8.2.5 Zur Eindeutigkeit der Abbildungsfunkfion............178
8.2.6 Äquivalenztheorem................................170
8.3 Zur Geschichte des Riemannschen Alibildungssatzes .........180
8.3.1 Riemanns Dissertation.............................180
8.3.2 Frühgeschichte....................................181
8.3.3 Von Caratheordory-Koebh zu Fk.ikr-Riesz.......183
8.3.4 Der finale Beweis von
CarathÉodory
...............184
8.3.5 Historisches zur Eindeutigkeit und zum Randverhalten . 185
8.3.6 Ausblick auf mehrere Veränderliche..................18(3
8.4 Isotropiegruppen einfach zusammenhängender Gebiete?.......187
8.4.1 Beispiele.........................................187
8.4.2 Die Gruppe Aut„
G
für einfach zusammenhängende
Gebiete
G
φ
С
....................................188
8.4.3 Abbildungsradius. Monotoniesatz*...................189
8.5 Einfache Eigenschaften von Dehnungen.....................190
8.5.1 Dehnungslemma...................................190
8.5.2 Zulässige Dehnungen. Quadratwurzelverfahren........191
8.5.3 Die Mondsichel-Dehnung*..........................192
8.6 Der
С
AR
ATHÉODORV-KOEBE-
Algorithmus..................193
8.6.1 Eigenschaften von Dehmmgsfolgen...................194
8.6.2 Konvergenzsatz ...................................194
8.6.3 KOEBE-Familien und KOEBE-Folgen.................195
8.6.4 Resümee. Konvergenzgüte..........................196
8.6.5 Historisches: Der Wettstreit zwischen
CarathÉodory
und Koebe.......................................197
8.7 Die KOEBE-Familien K„, und K^ .........................194
8.7.1 Ein Lemma.......................................19s
8.7.2 Die Familien
Aľ„,
und JC-^ ..........................199
XIV Inhaltsverzeichnis
9 Automorphismen und endliche innere Abbildungen........201
9.1 Innere Abbildungen und Automorphismen..................201
9.1.1 Konvergente Folgen in Hol
G
und
Aut
G ............
202
9.1.2 Konvergenzsatz für Folgen von Automorphismen......203
9.1.3 Beschränkte homogene Gebiete......................203
9.1.4 Innere Abbildungen von EI und Homothetien*.........204
9.2 Iteration innerer Abbildungen.............................204
9.2.1 Elementare Eigenschaften ..........................205
9.2.2 Satz von H. Cartan...............................206
9.2.3 Die Gruppe Auta
G
für beschränkte Gebiete..........207
9.2.4 Die abgeschlossenen Untergruppen der Kreisgruppe .... 208
9.2.5 Automorphismen von Gebieten mit Löchern. Ringsatz*. 208
9.3 Endliche holomorphe Abbildungen.........................210
9.3.1 Drei allgemeine Eigenschaften.......................210
9.3.2 Endliche innere Abbildungen von
E
..................210
9.3.3 Randlemma für Kreisringe..........................212
9.3.4 Endliche innere Abbildungen von Kreisringen.........213
9.3.5 Bestimmung aller endlichen Abbildungen zwischen
Kreisringen.......................................214
9.4 Satz von
Rado.
Abbilchmgssgrad..........................215
9.4.1 Abgeschlossene Abbildungen. Äquivalenzsatz..........216
9.4.2 Windungsabbildungen .............................216
9.4.3 Satz von
Rado
...................................218
9.4.4 Abbildungsgrad...................................219
9.4.5 Ausblicke.........................................220
Teil
III Selecta
10 Sätze von Bloch,
Picard
und Schottky.....................223
10.1 Satz von Bloch..........................................223
10.1.1 Beweisvorbereitung................................224
10.1.2 Beweis des Satzes von Bloch........................225
10.1.3 Verbesserung der Schranke durch Lösen eines
Extremalproblems*................................226
10.1.4 Satz von Ahlfors* .................................228
10.1.5 Landaus Welt konstanten* ..........................230
10.2 Kleiner Satz von
Picard
..................................231
10.2.1 Darstellung von Funktionen, die zwei Werte auslassen . . 231
10.2.2 Beweis des kleinen Picardschen Satzes ...............233
10.2.3 Zwei Anwendungen................................233
10.3 Satz von Schottky und Folgerungen........................235
10.3.1 Beweis des Schottkyschen Satzes....................236
10.3.2 Landaus Verschärfung des kleinen Picardschen Satzes .. 237
10.3.3 Verschärfung der Sätze von
Montei
und
Vitali
.........237
Inhaltsverzeichnis
XV
10.4 Großer Satz von
Picard
..................................239
10.4.1 Beweis des großen Picardschen Satzes................239
10.4.2 Historisches zu den Sätzen dieses Kapitels............239
11 Randverhalten von Potenzreihen ..........................241
11.1 Konvergenz auf dem Rand................................241
11.1.1 Sätze von Fatou, M. Riesz und Ostrowski.............242
11.1.2 Ein Lemma von M. Riesz...........................243
11.1.3 Beweis der Sätze aus 11.1.1.........................244
11.1.4 Ein Kriterium für Nichtfortsetzbarkeit ...............246
11.2 Theorie der Überkonvergenz. Lückensatz ...................247
11.2.1 Überkonvergente Potenzreihen......................247
11.2.2 Überkonvergenzsatz von Ostrowski ..................248
11.2.3 Lückensatz von
Hadamard
..........................249
11.2.4 Porters Konstruktion überkonvergenter Roihon........250
11.2.5 Historisches zum Lückensatz........................251
11.2.0 Historisches zur Üborkonvergenz ....................252
11.2.7 Ausblicke.........................................253
11.3 Ein Satz von
Fatou-Hurwitz-Pólya
.........................254
11.3.1 Der Hurwitzsche Beweis............................254
11.3.2 Ausblicke.........................................255
11.4 Ein Fortsetzungssatz von Szegö ...........................256
11.4.1 Vorbereitungen zum Beweis von (Sz).................257
11.4.2 Beweis von (Sz)...................................259
11.4.3 Eine Anwendung..................................260
11.4.4 Ausblicke.........................................261
12 Runge-Theorie für
Kompakta
..............................263
12.1 Hilfsmittel..............................................264
12.1.1 Cauchysche Integralformel für
Kompakta
.............2ö4
12.1.2 Approximation durch rationale Funktionen...........266
12.1.3 Polstellenverschiebungssatz.........................268
12.2 Runge-Theorie für
Kompakta
.............................269
12.2.1
Approximationssatze
von Runge.....................269
12.2.2 Folgerungen aus dem kleinen Satz von Rurige.........271
12.2.3 Hauptsatz der Runge-Theorie für
Kompakta
..........272
12.3 Anwendungen des kleinen Satzes von Runge................274
12.3.1 Punktweise konvergente Polynomfolgen, die nicht
überall kompakt konvergieren.......................274
12.3.2 Holomorphe Einbettung des Einheitskreises in den C ! . . 277
12.4 Diskussion der C auehvsehen Integralformel für
Kompakta
.... 279
12.4.1 Finale Form von Satz 12.4..........................2x0
12.4.2 Umlaufimgssatz...................................2*1
XVI Inhaltsverzeichnis
13 Runge-Theorie für Bereiche ...............................285
13.1 Die Rungeschen Sätze für Bereiche.........................286
13.1.1 Auffüllung von
Kompakta.
Runges
Beweis des Satzes
von Mittag-Leffler.................................286
13.1.2 Approximationssätze von Runge.....................288
13.1.3 Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie........288
13.1.4 Zur Theorie der Löcher ............................289
13.1.5 Historisches zur Runge-Theorie .....................290
13.2 Rungesche Paare........................................291
13.2.1
Topologische
Charakterisierung Rungescher Paare.....291
13.2.2 Rungesche Hüllen.................................293
13.2.3 Homologische Charakterisierung Rungescher Hüllen.
Satz von Behnke-Stein.............................293
13.2.4 Rungesche Bereiche................................294
13.2.5 Approximation und holomorphe Fortsetzbarkeit.......295
13.3 Holomorph-konvexe Hüllen und Rungesche Paare............296
13.3.1 Eigenschaften des Hüllenoperators...................296
13.3.2 Charakterisierung Rungescher Paare mittels
holomorph-konvexer Hüllen.........................298
13.4 Anhang: Komponenten lokal kompakter Räume. Satz von
Šura-Bura
..............................................299
13.4.1 Komponenten.....................................299
13.4.2 Existenz offener
Kompakta
.........................300
13.4.3 Auffüllungen......................................300
13.4.4 Beweis des Satzes von
ŠURA-Bl RA
..................301
14 Invarianz der Löcherzahl...................................303
14.1 Homologietheorie. Treiinungslenmia........................303
14.1.1 Homologiegruppen. Betti-Zahl ......................303
14.1.2 Induzierte Homomorphismen. Natürliche Eigenschaften 305
14.1.3 Trennung von Löchern durch geschlossene Wege.......306
14.2 Invarianz der Löcherzahl. Produktsatz für Einheiten.........307
14.2.1 Zur Struktur der Homologiegruppe..................307
14.2.2 Löcherzahl und Betti-Zahl..........................308
14.2.3 Normalformen mehrfach zusammenhängender Gebiete. . 310
14.2.4 Zur Struktur der nmltiplikativen Gruppe Ö(G)X ......310
14.2.5 Produktsatz für Einheiten..........................311
14.2.6 Ausblicke.........................................312
15 Schlichte Funktionen. Bieberbachsche Vermutung..........313
15.1 Schlichte Funktionen.....................................314
15.1.1 Die Koebe-Funktion...............................315
15.1.2 Elementare Eigenschaften..........................315
15.1.3 Die Klassen
Σ
und
Σ
.............................317
Inhaltsverzeichnis XVII
15.1.4 Der Satz von Bieberbach und die Bieberbachscho
Vermutimg.......................................319
15.1.5 Die Milin-Vermutung..............................320
15.1.6 Weitere Anwendungen.............................323
15.2 Löwner-Theorie.........................................327
15.2.1 Normalität und Abgeschlossenheit der
Familio
S ......
327
15.2.2 Der
Carathćodoryscho
Konvergenzsatz...............328
15.2.3 Dichte Teilfamilien von
S
...........................330
15.2.4 Löwner-Theorie...................................332
15.3 Beweis der Bieberbaehsehen Vermutung....................338
15.3.1 Ansatz...........................................338
15.3.2 Konstruktion der erzeugenden Funktionen (¡n(t).......339
15.3.3 Beweis von
Лј,!
(/ ) > 0..............................343
15.4 Historisches zur Bieberbach-
Vermut ung
....................
34(¡
16 Kurzbiographien...........................................351
Literaturverzeichnis ...........................................357
Symbolverzeichnis.............................................370
Namensverzeichnis ............................................371
Sachverzeichnis...............................................375
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Inhaltsverzeichnis
Teil
I
Unendliche Produkte und Partialbruchreihen
1 Unendliche Produkte holomorpher Funktionen . 3
1.1 Unendliche Produkte. 4
1.1.1 Unendliche Produkte von Zahlen. 4
1.1.2 Unendliche Produkte von Funktionen. 6
1.2 Normale Konvergenz. 7
1.2.1 Normale Konvergenz. 7
1.2.2 Normal konvergente Produkte holomorpher Funktionen 9
1.2.3 Logarithmische Differentiation. 10
oo
1.3 Das Sinusprodukt sin
π ζ
=
ιτζ
Ц
(1 -
ζ2
/и2)
. 12
ι/=1
1.3.1 Standardbeweis (mittels logarithmischer
Differentiation und der Partialbruchreihe des
Cotangens)
. 12
1.3.2 Charakterisierung des Sinus durch die
Verdopplungsformel . 14
1.3.3 Beweis der Eulerschen Formel mit Hilfe von Lemma 1.6 15
1.3.4 Beweis der Verdopplungsformel für das Euler-
Produkt nach Eisenstein*. 16
1.3.5 Historisches zum Sinusprodukt. 18
1.4 EULERsche Partitionsprodukte* . 19
1.4.1 Partitionen natürlicher Zahlen und EULERsche Produkte 19
1.4.2 Pentagonal-Zahlen-Satz. Rekursionsformeln für p(>i)
und
σ(η)
. 21
oo
1.4.3 Potenzreihenentwicklung von
Π
(1 +
q" z)
nach
s
. 23
v=l
1.4.4 Historisches zu Partitionen und zum Pentagonal-Zah¬
len-Satz . 24
1.5 Jacobis Produktdarstellung* der Reihe J(z,q) :=
Σ
q"'z" .
25
1.5.1 Theorem von Jacobi. 26
1.5.2 Diskussion des Jacobischen Theorems. 27
1.5.3 Historisches zur Jacobischen Identität. 28
X
Inhaltsverzeichnis
2 Die Gammafunktion. 31
2.1 Die WEIERSTRASSSche Funktion
Л(г)=ге'"
Π
(l+z/v)e~"". 33
ľ>l
oo
2.1.1 Die Hilfsfunktion H(z) :=
ζ Π
(1 + z/v)e~z^ . 33
2.1.2 Die Funktion A[z) := e"'zH{z). 35
2.2 Die Gammafunktion. 36
2.2.1 Eigenschaften der
Г
-Funktion
. 37
2.2.2 Historische Notizen. 39
2.2.3 Die logarithmische Ableitung
ψ := Γ'/Γ
. 40
2.2.4 Das Eindeutigkeitsproblem. 41
2.2.5 Multiplikationsformeln. 43
2.2.6 Satz von Holder* . 45
2.2.7 Der Logarithmus der
Г
-Funktion*
. 45
2.3 Eulersche und Hankeische Integraldarstellung von
Γ{ζ)
. 47
2.3.1 Konvergenz des Eulerschen Integrals. 48
2.3.2 Der Satz von Euler. 49
2.3.3 Variante des Eulerschen Integrals*. 51
2.3.4 Das Hankeische Schleifenintegral. 53
2.4 Stirlingsche Formel und Gudermannsche Reihe. 55
2.4.1 Stieltjessche Definition der Funktion
μ(ζ)
. 56
2.4.2 Die Stirlingsche Formel . 57
2.4.3 Wachstum von
\Г(х
+ iy)\ für \y\ -» oo. 60
2.4.4 Gudermannsche Reihe* . 60
2.4.5 Stirlingsche Reihe* . 62
2.4.6 Feinabschätzungen des Restgliedes*. 64
2.4.7 Binetsches Integral. 65
2.4.8 Lindelöfsche Abschätzung. 67
2.5 Die Betafunktion. 68
2.5.1 Beweis der Eulerschen Identität. 69
2.5.2 Klassische Beweise der Eulerschen Identität. 70
3 Ganze Punktionen zu vorgegebenen Nullstellen. 75
3.1 Weierstraßscher Produktsatz für
С
. 76
3.1.1 Divisoren und Hauptdivisisoren. 76
3.1.2 WEiERSTRASS-Produkte . 77
3.1.3 WEIERSTRASS-Faktoren. 78
3.1.4 Produktsatz von
Weierstrass
. 79
3.1.5 Folgerungen. 80
3.1.6 Historisches zum Produktsatz. 81
3.2 Diskussion des Produktsatzes. 82
3.2.1 Kanonische Produkte. 83
3.2.2 Drei klassische kanonische Produkte. 84
3.2.3 Die
σ
-Funktion
. 85
3.2.4 Die ^Funktion . 87
Inhaltsverzeichnis
XI
3.2.5 Eine Bemerkung von Hurwitz*. 88
4 Holomorphe Funktionen zu vorgegebenen Nullstellen*. 91
4.1 Produktsatz für beliebige Bereiche. 91
4.1.1 Konvergenzlemma. 91
4.1.2 Produktsatz für spezielle Divisoren. 92
4.1.3 Allgemeiner Produktsatz. 93
4.1.4 Zweiter Beweis des allgemeinen Produktsatzes* . 94
4.1.5 Folgerungen. 95
4.2 Anwendungen und Beispiele . 96
4.2.1 Teilbarkeit in Ö{G). Größter gemeinsamer Teiler. 96
4.2.2 Beispiele von WEIERSTRASS-Produkten. 98
4.2.3 Historisches zum allgemeinen Produktsatz. 99
4.2.4 Ausblicke auf mehrere Veränderliche.100
4.3 Beschränkte Funktionen in
E
und ihre Divisoren.101
4.3.1 Verallgemeinerung des Schwarzsehen Lemmas.101
4.3.2 Notwendigkeit der BLASCHKE-Bedingung.102
4.3.3 BLASCHKE-Produkte.103
4.3.4 Beschränkte Funktionen in der rechten Halbebene.104
4.3.5 Anhang zu Paragraph 4.3: Die Jensensche Formel.105
5 Satz von Iss'sa. Holomorphiegebiete.109
5.1 Der Satz von Iss'sa .109
5.1.1 Satz von Bers.109
5.1.2 Satz von Iss'sa.110
5.1.3 Beweis von Lemma 5.3.111
5.1.4 Historisches zu den Sätzen von Bers und Iss'sa .112
5.1.5 Bestimmungen aller Bewertungen* von A4(G).113
5.2 Holomorphiegebiete.114
5.2.1 Eine Konstruktion von Goursat.115
5.2.2 Gut verteilte Randmengen. Erster Beweis des
Existenzsatzes.117
5.2.3 Diskussion des Begriffes Holomorphiegebiet.118
5.2.4 Randnahe Mengen. Zweiter Beweis des Existenzsatzes. 120
5.2.5 Historisches zum Begriff des Holomorphiegebietes.121
5.2.6 Ausblick auf mehrere Veränderliche.122
5.3 Einfache Beispiele von Holomorphiegebieten .123
5.3.1 Beispiele für
E
.123
5.3.2 Liftungssatz.124
5.3.3 CASSINI-Bereiche und Holomorphiegebiete.124
6 Funktionen zu vorgegebenen Hauptteilen.127
6.1 Satz von Mittag-Leffler für
С
.127
6.1.1 Hauptteil-Verteilungen.128
6.1.2 Mittag-Leffler Reihen.129
XII Inhaltsverzeichnis
6.1.3 Satz von Mittag-Leffler.130
6.1.4 Folgerungen.130
6.1.5 Kanonische MlTTAG-LEFFLER-Reihen. Beispiele.131
6.1.6 Historisches zum Satz von Mittag-Leffler für
С
. 132
6.2 Satz von Mittag-Leffler für beliebige Bereiche .133
6.2.1 Spezielle Hauptteil-Verteilungen.133
6.2.2 Folgerungen.135
6.2.3 Historisches zum allgemeinen Satz von Mittag-Leffler 136
6.2.4 Ausblicke auf mehrere Veränderliche.137
6.3 Idealtheorie in Ringen holomorpher Funktionen .138
6.3.1 Nicht endliche erzeugbare Ideale in O(G).138
6.3.2 Lemma von Wedderburn (Darstellung der Eins).139
6.3.3 Lineare Darstellung des ggT. Hauptidealsatz.140
6.3.4 Nullstellenfreie Ideale.141
6.3.5 Hauptsatz der Idealtheorie für O[G).142
6.3.6 Historisches zur Idealtheorie holomorpher Funktionen . . 143
6.3.7 Ausblicke auf mehrere Veränderliche.143
Teil
II
Abbildungstheorie
7 Die Sätze von
Montei
und
Vitali
.147
7.1 Der Satz von Montel.147
7.1.1 Der Satz von Montel für Folgen .148
7.1.2 Beweis des Satzes von Montel.149
7.1.3 Montelsches Konvergenzkriterium .150
7.1.4 Satz von
Vitali
.150
7.1.5 Punktweise konvergente Folgen holomorpher Funktionen 151
7.2 Normale Familien .152
7.2.1 Satz von Montel für normale Familien.152
7.2.2 Diskussion des Montelschen Satzes.153
7.2.3 Historisches zum Satz von Montel.154
7.2.4 Quadrat-integrable Funktionen und normale Familien* . 154
7.3 Der Satz von
Vitali
.156
7.3.1 Konvergenzlemma.157
7.3.2 Satz von
Vitali
(endgültige Fassung).157
7.3.3 Historisches zum Satz von
Vitali
.158
7.4 Anwendungen dos Satzes von
Vitali
.159
7.4.1 Vertauschung von Integration und Differentiation.159
7.4.2 Kompakte Konvergenz des F-IntegraLs.160
7.4.3 Satz von Müntz.161
7.5 Folgerungen aus einem Satz von Hi'RWiTZ.163
Inhaltsverzeichnis XIII
8 Der Riemannsche Abbildungssatz.165
8.1 Integralsätze, für homotope Wege.166
8.1.1 Homotope Wege bei festen Endpunkten.166
8.1.2 Frei homotope geschlossene Wege.167
8.1.3 Nullhomotopie und Nullhomologie.168
8.1.4 Einfach zusammenhängende Gebiete.16!)
8.1.5 Reduktion des Integralsatzes 8.1 auf ein
Lemma*
.171
8.1.6 Beweis von Lemma 8.9*.172
8.2 Der Riemannsche Abbildungssatz.173
8.2.1 Reduktion auf Q-Gebiete.174
8.2.2 Existenz holomorpher Injektionen.175
8.2.3 Existenz von Dehnungen.17(5
8.2.4 Existenzbeweis mittels eines Extreinalpriiraps.177
8.2.5 Zur Eindeutigkeit der Abbildungsfunkfion.178
8.2.6 Äquivalenztheorem.170
8.3 Zur Geschichte des Riemannschen Alibildungssatzes .180
8.3.1 Riemanns Dissertation.180
8.3.2 Frühgeschichte.181
8.3.3 Von Caratheordory-Koebh zu Fk.ikr-Riesz.183
8.3.4 Der finale Beweis von
CarathÉodory
.184
8.3.5 Historisches zur Eindeutigkeit und zum Randverhalten . 185
8.3.6 Ausblick auf mehrere Veränderliche.18(3
8.4 Isotropiegruppen einfach zusammenhängender Gebiete?.187
8.4.1 Beispiele.187
8.4.2 Die Gruppe Aut„
G
für einfach zusammenhängende
Gebiete
G
φ
С
.188
8.4.3 Abbildungsradius. Monotoniesatz*.189
8.5 Einfache Eigenschaften von Dehnungen.190
8.5.1 Dehnungslemma.190
8.5.2 Zulässige Dehnungen. Quadratwurzelverfahren.191
8.5.3 Die Mondsichel-Dehnung*.192
8.6 Der
С
AR
ATHÉODORV-KOEBE-
Algorithmus.193
8.6.1 Eigenschaften von Dehmmgsfolgen.194
8.6.2 Konvergenzsatz .194
8.6.3 KOEBE-Familien und KOEBE-Folgen.195
8.6.4 Resümee. Konvergenzgüte.196
8.6.5 Historisches: Der Wettstreit zwischen
CarathÉodory
und Koebe.197
8.7 Die KOEBE-Familien K„, und K^ .194
8.7.1 Ein Lemma.19s
8.7.2 Die Familien
Aľ„,
und JC-^ .199
XIV Inhaltsverzeichnis
9 Automorphismen und endliche innere Abbildungen.201
9.1 Innere Abbildungen und Automorphismen.201
9.1.1 Konvergente Folgen in Hol
G
und
Aut
G .
202
9.1.2 Konvergenzsatz für Folgen von Automorphismen.203
9.1.3 Beschränkte homogene Gebiete.203
9.1.4 Innere Abbildungen von EI und Homothetien*.204
9.2 Iteration innerer Abbildungen.204
9.2.1 Elementare Eigenschaften .205
9.2.2 Satz von H. Cartan.206
9.2.3 Die Gruppe Auta
G
für beschränkte Gebiete.207
9.2.4 Die abgeschlossenen Untergruppen der Kreisgruppe . 208
9.2.5 Automorphismen von Gebieten mit Löchern. Ringsatz*. 208
9.3 Endliche holomorphe Abbildungen.210
9.3.1 Drei allgemeine Eigenschaften.210
9.3.2 Endliche innere Abbildungen von
E
.210
9.3.3 Randlemma für Kreisringe.212
9.3.4 Endliche innere Abbildungen von Kreisringen.213
9.3.5 Bestimmung aller endlichen Abbildungen zwischen
Kreisringen.214
9.4 Satz von
Rado.
Abbilchmgssgrad.215
9.4.1 Abgeschlossene Abbildungen. Äquivalenzsatz.216
9.4.2 Windungsabbildungen .216
9.4.3 Satz von
Rado
.218
9.4.4 Abbildungsgrad.219
9.4.5 Ausblicke.220
Teil
III Selecta
10 Sätze von Bloch,
Picard
und Schottky.223
10.1 Satz von Bloch.223
10.1.1 Beweisvorbereitung.224
10.1.2 Beweis des Satzes von Bloch.225
10.1.3 Verbesserung der Schranke durch Lösen eines
Extremalproblems*.226
10.1.4 Satz von Ahlfors* .228
10.1.5 Landaus Welt konstanten* .230
10.2 Kleiner Satz von
Picard
.231
10.2.1 Darstellung von Funktionen, die zwei Werte auslassen . . 231
10.2.2 Beweis des kleinen Picardschen Satzes .233
10.2.3 Zwei Anwendungen.233
10.3 Satz von Schottky und Folgerungen.235
10.3.1 Beweis des Schottkyschen Satzes.236
10.3.2 Landaus Verschärfung des kleinen Picardschen Satzes . 237
10.3.3 Verschärfung der Sätze von
Montei
und
Vitali
.237
Inhaltsverzeichnis
XV
10.4 Großer Satz von
Picard
.239
10.4.1 Beweis des großen Picardschen Satzes.239
10.4.2 Historisches zu den Sätzen dieses Kapitels.239
11 Randverhalten von Potenzreihen .241
11.1 Konvergenz auf dem Rand.241
11.1.1 Sätze von Fatou, M. Riesz und Ostrowski.242
11.1.2 Ein Lemma von M. Riesz.243
11.1.3 Beweis der Sätze aus 11.1.1.244
11.1.4 Ein Kriterium für Nichtfortsetzbarkeit .246
11.2 Theorie der Überkonvergenz. Lückensatz .247
11.2.1 Überkonvergente Potenzreihen.247
11.2.2 Überkonvergenzsatz von Ostrowski .248
11.2.3 Lückensatz von
Hadamard
.249
11.2.4 Porters Konstruktion überkonvergenter Roihon.250
11.2.5 Historisches zum Lückensatz.251
11.2.0 Historisches zur Üborkonvergenz .252
11.2.7 Ausblicke.253
11.3 Ein Satz von
Fatou-Hurwitz-Pólya
.254
11.3.1 Der Hurwitzsche Beweis.254
11.3.2 Ausblicke.255
11.4 Ein Fortsetzungssatz von Szegö .256
11.4.1 Vorbereitungen zum Beweis von (Sz).257
11.4.2 Beweis von (Sz).259
11.4.3 Eine Anwendung.260
11.4.4 Ausblicke.261
12 Runge-Theorie für
Kompakta
.263
12.1 Hilfsmittel.264
12.1.1 Cauchysche Integralformel für
Kompakta
.2ö4
12.1.2 Approximation durch rationale Funktionen.266
12.1.3 Polstellenverschiebungssatz.268
12.2 Runge-Theorie für
Kompakta
.269
12.2.1
Approximationssatze
von Runge.269
12.2.2 Folgerungen aus dem kleinen Satz von Rurige.271
12.2.3 Hauptsatz der Runge-Theorie für
Kompakta
.272
12.3 Anwendungen des kleinen Satzes von Runge.274
12.3.1 Punktweise konvergente Polynomfolgen, die nicht
überall kompakt konvergieren.274
12.3.2 Holomorphe Einbettung des Einheitskreises in den C'! . . 277
12.4 Diskussion der C'auehvsehen Integralformel für
Kompakta
. 279
12.4.1 Finale Form von Satz 12.4.2x0
12.4.2 Umlaufimgssatz.2*1
XVI Inhaltsverzeichnis
13 Runge-Theorie für Bereiche .285
13.1 Die Rungeschen Sätze für Bereiche.286
13.1.1 Auffüllung von
Kompakta.
Runges
Beweis des Satzes
von Mittag-Leffler.286
13.1.2 Approximationssätze von Runge.288
13.1.3 Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie.288
13.1.4 Zur Theorie der Löcher .289
13.1.5 Historisches zur Runge-Theorie .290
13.2 Rungesche Paare.291
13.2.1
Topologische
Charakterisierung Rungescher Paare.291
13.2.2 Rungesche Hüllen.293
13.2.3 Homologische Charakterisierung Rungescher Hüllen.
Satz von Behnke-Stein.293
13.2.4 Rungesche Bereiche.294
13.2.5 Approximation und holomorphe Fortsetzbarkeit.295
13.3 Holomorph-konvexe Hüllen und Rungesche Paare.296
13.3.1 Eigenschaften des Hüllenoperators.296
13.3.2 Charakterisierung Rungescher Paare mittels
holomorph-konvexer Hüllen.298
13.4 Anhang: Komponenten lokal kompakter Räume. Satz von
Šura-Bura
.299
13.4.1 Komponenten.299
13.4.2 Existenz offener
Kompakta
.300
13.4.3 Auffüllungen.300
13.4.4 Beweis des Satzes von
ŠURA-Bl'RA
.301
14 Invarianz der Löcherzahl.303
14.1 Homologietheorie. Treiinungslenmia.303
14.1.1 Homologiegruppen. Betti-Zahl .303
14.1.2 Induzierte Homomorphismen. Natürliche Eigenschaften 305
14.1.3 Trennung von Löchern durch geschlossene Wege.306
14.2 Invarianz der Löcherzahl. Produktsatz für Einheiten.307
14.2.1 Zur Struktur der Homologiegruppe.307
14.2.2 Löcherzahl und Betti-Zahl.308
14.2.3 Normalformen mehrfach zusammenhängender Gebiete. . 310
14.2.4 Zur Struktur der nmltiplikativen Gruppe Ö(G)X .310
14.2.5 Produktsatz für Einheiten.311
14.2.6 Ausblicke.312
15 Schlichte Funktionen. Bieberbachsche Vermutung.313
15.1 Schlichte Funktionen.314
15.1.1 Die Koebe-Funktion.315
15.1.2 Elementare Eigenschaften.315
15.1.3 Die Klassen
Σ
und
Σ'
.317
Inhaltsverzeichnis XVII
15.1.4 Der Satz von Bieberbach und die Bieberbachscho
Vermutimg.319
15.1.5 Die Milin-Vermutung.320
15.1.6 Weitere Anwendungen.323
15.2 Löwner-Theorie.327
15.2.1 Normalität und Abgeschlossenheit der
Familio
S .
327
15.2.2 Der
Carathćodoryscho
Konvergenzsatz.328
15.2.3 Dichte Teilfamilien von
S
.330
15.2.4 Löwner-Theorie.332
15.3 Beweis der Bieberbaehsehen Vermutung.338
15.3.1 Ansatz.338
15.3.2 Konstruktion der erzeugenden Funktionen (¡n(t).339
15.3.3 Beweis von
Лј,!
(/ ) > 0.343
15.4 Historisches zur Bieberbach-
Vermut ung
.
34(¡
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Literaturverzeichnis .357
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Inhaltsverzeichnis
Sonderstandort Fakultät
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2000 SK 700 R388 |
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| Exemplar 1 | nicht ausleihbar Checked out – Rückgabe bis: 31.12.2099 Vormerken |