Algebra: 1 Körper und Galoistheorie
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München
Elsevier Spektrum Akad. Verl.
2007
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Inhalt
1.
1.1 Die klassischen ungelösten Probleme. 2
1.2 Koordinatisierung. 4
1.3 Algebraisierung. 8
1.4 Der Körpergrad. 14
2. Algebraische Körpererweiterungen. 23
2.1 Körpererweiterungen. 24
2.2 Minimalpolynome. 26
2.3 Endliche Körpererweiterungen. 27
2.4 Algebraische Körpererweiterungen. 29
3. Einfache Körpererweiterungen. 33
3.1 Einfache Erweiterungen. 33
3.2 Restklassenringe. 34
3.3 Konstruktion einfacher algebraischer Erweiterungen . 39
3.4 Konstruktion einfacher transzendenter Erweiterungen. 42
3.5 Primkörper und Charakteristik eines Körpers. 46
3.6 Charakterisierung einfacher algebraischer Erweiterungen . 48
4. Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre. 53
4.1 Teilbarkeit. 54
4.2 Idealtheoretische Beschreibung. 55
4.3
4.4 Eigenschaften faktorieller Ringe. 61
4.5 Weitere Begriffe der Ringtheorie. 64
viii Inhalt
5. Primzerlegung in Polynomringen. 73
5.1 Vorbereitungen zum Satz von Gauß. 73
5.2 Der Satz von Gauß. 75
5.3 Irreduzibilitätskriterien. 79
5.4* Der Satz von Stothers-Mason. 84
6. Zerfallungskörper von Polynomen . 91
6.1 Der algebraische Abschluss von Körpern. 91
6.2 Tensorprodukte von
6.3 Das Lemma von Zorn.104
7. Separabilität .
7.1
7.2
7.3 Rein
8. Galoissche Körpererweiterungen.125
8.1 Definition galoisscher Körpererweiterungen.125
8.2 Der Hauptsatz für endliche galoissche Erweiterungen.129
8.3 Die Galoisgruppe eines separablen Polynoms.132
8.4* Beispiele von 2-Erweiterungen.135
9. Endliche Körper, zyklische Gruppen und Einheitswurzeln. 147
9.1 Existenz- und Eindeutigkeitssatz für endliche Körper.147
9.2 Eigenschaften zyklischer Gruppen.149
9.3 Die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers .151
9.4 Der Körper der
9.5 Der Erobeniusautomorphismus in endlichen Körpern.158
10. Operationen von Gruppen auf Mengen.163
10.1 Die Bahnengleichung.163
10.2Die Sylowsätze .170
11. Anwendungen der Galoisschen Theorie.181
11.1 Ein Konstruierbarkeitskriterium .181
11.2 Anwendung auf die
ll.SQuadratische Teilkörper von
11.4 Das Quadratische Reziprozitätsgesetz.190
Inhalt ix
12. Ergänzung der Galoisschen Theorie.199
12.1 Der Verschiebungssatz.199
12.2 Lineare Unabhängigkeit von Körperhomomorphismen.202
12.3 Normalbasen.205
12.4 Unendliche Galoiserweiterungen.212
13. Norm und Spur .223
13.1 Grundlegende Eigenschaften von Norm und Spur.223
13.2 Norm und Spur in endlichen Körpererweiterungen.227
13.3Hilberts Satz 90.230
14. Reine Gleichungen .237
14.1 Zyklische Erweiterungen.237
14.2 Kummertheorie.246
14.3 Struktur endlich erzeugter abelscher Gruppen.252
15. Auflösbarkeit von Gleichungen.269
15.1 Auflösbare Gleichungen und auflösbare Gruppen.270
15.2 Sn als Gruppe der allgemeinen Gleichung
15.3 Exkurs über Permutationen.286
lö^Auflosung kubischer Gleichungen.292
15.5 Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad.296
15.6Hilberts
16. Ganzalgebraische Ringerweiterungen.307
16.1 Ganze Elemente einer Ringerweiterung.307
16.2 Ganz abgeschlossene Ringe.311
16.3 Ein Reduktionsprinzip der Galoistheorie.315
17. Die Transzendenz von
17.1 Beweis der Transzendenz von
17.2 Satz von Lindemann-Weierstraß.330
18. Transzendente Körpererweiterungen.335
18.1 Existenz von Transzendenzbasen.335
18.2ВЄГ
18.3 Der Noethersche Normalisierungssatz.341
χ
19. Der Hilbertsche Nullstellensatz.347
19.1 Algebraische if-Mengen.347
19.2Hilberts
19.3 Der Hilbertsche Basissatz.352
19.4Folgerungen aus dem Hilbertschen Basissatz.354
19.5 Dimension affiner K-Varietäten.357
A. Einige Begriffe aus den Grundvorlesungen.367
A.l Mengen.367
A.2 Gruppen.368
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A.5 Ringe .370
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A.7 Ä-Moduln und Ä-Algebren.372
Symbolverzeichnis .375
Literaturverzeichnis.379
Namensverzeichnis.383
Sachverzeichnis.385 |
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Inhalt
1.
1.1 Die klassischen ungelösten Probleme. 2
1.2 Koordinatisierung. 4
1.3 Algebraisierung. 8
1.4 Der Körpergrad. 14
2. Algebraische Körpererweiterungen. 23
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2.3 Endliche Körpererweiterungen. 27
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3. Einfache Körpererweiterungen. 33
3.1 Einfache Erweiterungen. 33
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3.3 Konstruktion einfacher algebraischer Erweiterungen . 39
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3.5 Primkörper und Charakteristik eines Körpers. 46
3.6 Charakterisierung einfacher algebraischer Erweiterungen . 48
4. Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre. 53
4.1 Teilbarkeit. 54
4.2 Idealtheoretische Beschreibung. 55
4.3
4.4 Eigenschaften faktorieller Ringe. 61
4.5 Weitere Begriffe der Ringtheorie. 64
viii Inhalt
5. Primzerlegung in Polynomringen. 73
5.1 Vorbereitungen zum Satz von Gauß. 73
5.2 Der Satz von Gauß. 75
5.3 Irreduzibilitätskriterien. 79
5.4* Der Satz von Stothers-Mason. 84
6. Zerfallungskörper von Polynomen . 91
6.1 Der algebraische Abschluss von Körpern. 91
6.2 Tensorprodukte von
6.3 Das Lemma von Zorn.104
7. Separabilität .
7.1
7.2
7.3 Rein
8. Galoissche Körpererweiterungen.125
8.1 Definition galoisscher Körpererweiterungen.125
8.2 Der Hauptsatz für endliche galoissche Erweiterungen.129
8.3 Die Galoisgruppe eines separablen Polynoms.132
8.4* Beispiele von 2-Erweiterungen.135
9. Endliche Körper, zyklische Gruppen und Einheitswurzeln. 147
9.1 Existenz- und Eindeutigkeitssatz für endliche Körper.147
9.2 Eigenschaften zyklischer Gruppen.149
9.3 Die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers .151
9.4 Der Körper der
9.5 Der Erobeniusautomorphismus in endlichen Körpern.158
10. Operationen von Gruppen auf Mengen.163
10.1 Die Bahnengleichung.163
10.2Die Sylowsätze .170
11. Anwendungen der Galoisschen Theorie.181
11.1 Ein Konstruierbarkeitskriterium .181
11.2 Anwendung auf die
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11.4 Das Quadratische Reziprozitätsgesetz.190
Inhalt ix
12. Ergänzung der Galoisschen Theorie.199
12.1 Der Verschiebungssatz.199
12.2 Lineare Unabhängigkeit von Körperhomomorphismen.202
12.3 Normalbasen.205
12.4 Unendliche Galoiserweiterungen.212
13. Norm und Spur .223
13.1 Grundlegende Eigenschaften von Norm und Spur.223
13.2 Norm und Spur in endlichen Körpererweiterungen.227
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14. Reine Gleichungen .237
14.1 Zyklische Erweiterungen.237
14.2 Kummertheorie.246
14.3 Struktur endlich erzeugter abelscher Gruppen.252
15. Auflösbarkeit von Gleichungen.269
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15.2 Sn als Gruppe der allgemeinen Gleichung
15.3 Exkurs über Permutationen.286
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16. Ganzalgebraische Ringerweiterungen.307
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17. Die Transzendenz von
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