Fouriertransformation für Fußgänger:
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Teubner
2007
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| Ausgabe: | 5., durchges. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Lehrbuch Mathematik
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einleitung.................................................... 1
1 Fourierreihen............................................. 3
1.1 Fourierreihen .......................................... 3
1.1.1 Gerade und ungerade Funktionen................... 4
1.1.2 Definition der Fourierreihe......................... 4
1.1.3 Berechnung der Fourierkoeffizienten................. 6
1.1.4 Fourierreihe in komplexer Schreibweise.............. 11
1.2 Theoreme und Sätze.................................... 14
1.2.1 Linearitätstheorem............................... 14
1.2.2 Der 1. Verschiebungssatz.......................... 14
1.2.3 Der 2. Verschiebungssatz.......................... 17
1.2.4 Skalierungssatz................................... 21
1.3 Partialsummen, Besselsche Ungleichung,
Parsevals
Gleichung. 22
1.4 Gibbssches Phänomen................................... 25
1.4.1 Der Dirichletsche Integralkern...................... 25
1.4.2 Integraldarstellung der Partialsummen.............. 27
1.4.3 Gibbsscher Überschwinger......................... 28
Spielwiese.................................................. 31
2 Kontinuierliche Fouriertransformation.................... 33
2.1 Kontinuierliche Fouriertransformation..................... 33
2.1.1 Gerade und ungerade Funktionen................... 33
2.1.2 Die ¿-Funktion................................... 34
2.1.3 Hin- und Rücktransformation...................... 35
2.1.4 Polardarstellung der Fouriertransformierten.......... 40
2.2 Theoreme und Sätze.................................... 42
2.2.1 Linearitätstheorem............................... 42
2.2.2 . Der 1. Verschiebungssatz.......................... 42
2.2.3 Der 2. Verschiebungssatz.......................... 44
2.2.4 Skalierungssatz................................... 46
2.3 Faltung, Kreuzkorrelation, Autokorrelation,
Parsevals
Theorem 47
2.3.1 Faltung......................................... 47
2.3.2 Kreuzkorrelation................................. 56
2.3.3 Autokorrelation.................................. 57
XII Inhaltsverzeichnis
2.3.4
Parsevals
Theorem ............................... 58
2.4 Fouriertransformation von Ableitungen.................... 59
2.5 Fußangeln............................................. 62
2.5.1 „Aus 1 mach 3 .................................. 62
2.5.2 Abschneidefehler................................. 64
Spielwiese.................................................. 67
3 Fensterfunktionen ........................................ 71
3.1 Das Rechteckfenster .................................... 72
3.1.1 Nullstellen....................................... 72
3.1.2 Intensität im zentralen
Peak
....................... 72
3.1.3 „Sidelobe -Unterdrückung......................... 73
3.1.4 3 dB-Bandbreite ................................. 74
3.1.5 Asymptotisches Verhalten der „Sidelobes ........... 75
3.2 Das Dreieckfenster (Fejer-Fenster)........................ 76
3.3 Das Kosinus-Fenster.................................... 77
3.4 Das cos2-Fenster (Hanning).............................. 78
3.5 Das Hamming-Fenster .................................. 80
3.6 Das Triplett-Fenster.................................... 81
3.7 Das Gauß-Fenster...................................... 82
3.8 Das Kaiser-Bessel-Fenster............................... 83
3.9 Das Blackman-Harris-Fenster............................ 85
3.10 Überblick über die Fenster
funktionen
..................... 87
3.11 Wichten oder Falten?................................... 90
Spielwiese.................................................. 91
4 Diskrete Fouriertransformation........................... 93
4.1 Diskrete Fouriertransformation........................... 93
4.1.1 Gerade und ungerade Zahlenfolgen und
„wrap-around
93
4.1.2 Das Kronecker-Symbol oder die „diskrete
б-
Funktion . 94
4.1.3 Definition der diskreten Fouriertransformation....... 96
4.2 Theoreme und Sätze.................................... 100
4.2.1 Linearitätstheorem...............................100
4.2.2 Der 1. Verschiebungssatz..........................101
4.2.3 Der 2. Verschiebungssatz..........................102
4.2.4 Skalierungssatz/Nyquist-Frequenz..................102
4.3 Faltung, Kreuzkorrelation, Autokorrelation,
Parsevals
Theorem 103
4.3.1 Faltung.........................................105
4.3.2 Kreuzkorrelation.................................107
4.3.3 Autokorrelation..................................108
4.3.4
Parsevals
Theorem ...............................108
4.4 Das
Sampling-Theorem
.................................109
4.5 Daten spiegeln.........................................114
4.6 „Zero-padding .........................................118
4.7 Fast
Fourier Transform (FFT)
...........................125
Inhaltsverzeichnis
ХШ
Spielwiese..................................................132
5 Filterwirkung bei digitaler Datenverarbeitung............137
5.1 Transferfunktion .......................................137
5.2 Tiefpaß, Hochpaß, Bandpaß, Notchfilter...................139
5.3 Daten, verschieben......................................146
5.4 Daten komprimieren....................................147
5.5 Differenzieren diskreter Daten............................148
5.6 Integrieren diskreter Daten..............................149
Spielwiese..................................................153
Anhang: Lösungen............................................157
Literaturverzeichnis ..........................................207
Sachverzeichnis................................................209
|
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung. 1
1 Fourierreihen. 3
1.1 Fourierreihen . 3
1.1.1 Gerade und ungerade Funktionen. 4
1.1.2 Definition der Fourierreihe. 4
1.1.3 Berechnung der Fourierkoeffizienten. 6
1.1.4 Fourierreihe in komplexer Schreibweise. 11
1.2 Theoreme und Sätze. 14
1.2.1 Linearitätstheorem. 14
1.2.2 Der 1. Verschiebungssatz. 14
1.2.3 Der 2. Verschiebungssatz. 17
1.2.4 Skalierungssatz. 21
1.3 Partialsummen, Besselsche Ungleichung,
Parsevals
Gleichung. 22
1.4 Gibbssches Phänomen. 25
1.4.1 Der Dirichletsche Integralkern. 25
1.4.2 Integraldarstellung der Partialsummen. 27
1.4.3 Gibbsscher Überschwinger. 28
Spielwiese. 31
2 Kontinuierliche Fouriertransformation. 33
2.1 Kontinuierliche Fouriertransformation. 33
2.1.1 Gerade und ungerade Funktionen. 33
2.1.2 Die ¿-Funktion. 34
2.1.3 Hin- und Rücktransformation. 35
2.1.4 Polardarstellung der Fouriertransformierten. 40
2.2 Theoreme und Sätze. 42
2.2.1 Linearitätstheorem. 42
2.2.2 . Der 1. Verschiebungssatz. 42
2.2.3 Der 2. Verschiebungssatz. 44
2.2.4 Skalierungssatz. 46
2.3 Faltung, Kreuzkorrelation, Autokorrelation,
Parsevals
Theorem 47
2.3.1 Faltung. 47
2.3.2 Kreuzkorrelation. 56
2.3.3 Autokorrelation. 57
XII Inhaltsverzeichnis
2.3.4
Parsevals
Theorem . 58
2.4 Fouriertransformation von Ableitungen. 59
2.5 Fußangeln. 62
2.5.1 „Aus 1 mach 3". 62
2.5.2 Abschneidefehler. 64
Spielwiese. 67
3 Fensterfunktionen . 71
3.1 Das Rechteckfenster . 72
3.1.1 Nullstellen. 72
3.1.2 Intensität im zentralen
Peak
. 72
3.1.3 „Sidelobe'-Unterdrückung. 73
3.1.4 3 dB-Bandbreite . 74
3.1.5 Asymptotisches Verhalten der „Sidelobes". 75
3.2 Das Dreieckfenster (Fejer-Fenster). 76
3.3 Das Kosinus-Fenster. 77
3.4 Das cos2-Fenster (Hanning). 78
3.5 Das Hamming-Fenster . 80
3.6 Das Triplett-Fenster. 81
3.7 Das Gauß-Fenster. 82
3.8 Das Kaiser-Bessel-Fenster. 83
3.9 Das Blackman-Harris-Fenster. 85
3.10 Überblick über die Fenster
funktionen
. 87
3.11 Wichten oder Falten?. 90
Spielwiese. 91
4 Diskrete Fouriertransformation. 93
4.1 Diskrete Fouriertransformation. 93
4.1.1 Gerade und ungerade Zahlenfolgen und
„wrap-around"
93
4.1.2 Das Kronecker-Symbol oder die „diskrete
б-
Funktion" . 94
4.1.3 Definition der diskreten Fouriertransformation. 96
4.2 Theoreme und Sätze. 100
4.2.1 Linearitätstheorem.100
4.2.2 Der 1. Verschiebungssatz.101
4.2.3 Der 2. Verschiebungssatz.102
4.2.4 Skalierungssatz/Nyquist-Frequenz.102
4.3 Faltung, Kreuzkorrelation, Autokorrelation,
Parsevals
Theorem 103
4.3.1 Faltung.105
4.3.2 Kreuzkorrelation.107
4.3.3 Autokorrelation.108
4.3.4
Parsevals
Theorem .108
4.4 Das
Sampling-Theorem
.109
4.5 Daten spiegeln.114
4.6 „Zero-padding".118
4.7 Fast
Fourier Transform (FFT)
.125
Inhaltsverzeichnis
ХШ
Spielwiese.132
5 Filterwirkung bei digitaler Datenverarbeitung.137
5.1 Transferfunktion .137
5.2 Tiefpaß, Hochpaß, Bandpaß, Notchfilter.139
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5.4 Daten komprimieren.147
5.5 Differenzieren diskreter Daten.148
5.6 Integrieren diskreter Daten.149
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Anhang: Lösungen.157
Literaturverzeichnis .207
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