Integralgeometrie für Stereologie und Bildrekonstruktion:
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Springer
2007
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| Schriftenreihe: | eXamen.press
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort ........................................................v
1 Konvexe Mengen .............................................. 1
1.1 Geschichtlicher Überblick .................................... 1
1.1.1 Die Anfänge .......................................... 1
1.1.2 Mathematische Grundlagen.............................. 5
1.1.3 Stereologie und Stochastische Geometrie.................... 9
1.2 Konvexe
planare
Figuren ................................... 13
1.2.1 Stützabstand und Stützfunktion .......................... 13
1.2.2 Umfang und mittlere Breite.............................. 14
1.2.3 Fläche und mittlere Sehnenlänge ......................... 21
1.3 Einige Beispiele........................................... 24
1.3.1 Parallelfiguren........................................ 24
1.3.2* Umschreibende /V-Ecke................................ 27
1.3.3* Croftonscher Seilliniensatz............................. 29
1.3.4 Projektionen und orthogonale Schatten .................... 30
l .4 Aufgaben................................................ 33
2 Zweidimensionale Integralgeometrie............................... 35
2.1 Allgemeine Theorie konvexer Schnitte ......................... 35
2.1.1 Flächenmaß von Schnitten .............................. 35
2.1.2 Umfangsmaß von Schnitten ............................. 36
2.1.3 Maß der Anzahl von Schnitten konvexer Figuren ............ 38
2.1.4 Schnittmaße beliebiger Figuren .......................... 42
2.1.5 Additive Mengenfunktionen und Mittelwerte................ 44
2.2 Anwendung der Schnittformeln............................... 46
2.2.1 Mittlere Flächen und mittlere Umfange .................... 46
2.2.2 Sehnenlänge und Schnittpunktmaße....................... 47
2.2.3 Längenmessung....................................... 49
2.2.4 Flächenmessung ...................................... 52
2.2.5 Schnittpunkte von Geradenpaaren ........................ 54
2.2.6* Integrale über Sehnenlängenpotenzen und Punktdistanzen .... 56
2.3* Höhere Potenzen von Sehnenlängen .......................... 60
2.3.1 * Sehnenlängenpotenzen für spezielle Figuren ............... 60
2.3.2* Allgemeine Formeln für höhere Sehnenlängenpotenzen ...... 62
2.3.3* Fundamentalbereiche................................. 64
2.4 Aufgaben............................................67
X
Inhaltsverzeichnis
3 Dreidimensionale Integralgeometrie ..........................69
3.1 Konvexe Körper......................................69
3.1.1 Stützebene und Stützfunktion.......................69
3.1.2* Krümmung von SD-Oberflächen ...................72
3.1.3 Krümmungsintegral und mittlere Breite...............76
3.1.4 Schnitte von Geraden mit konvexen Körpern...........80
3.1.5 Parallelkörper und Integralmaße.....................81
3.1.6 Sehnenlängenpotenzen und Punktdistanzen............84
3.1.7* Quermaße, Quermaßintegrale und Ungleichungen......85
3.2 Stereologische Anwendungen............................90
3.2.1 Zylinderschnitte .................................90
3.2.2 Ungleichungen und Formfaktoren für Körper ..........93
3.2.3 Stereologie .................................___94
3.3 Dicke Schnitte und Projektionen .........................98
3.3.1 Grundformeln ...................................98
3.3.2 Dicke Schnitte..................................100
3.3.3 Experimentelle Ermittlung der Teilchendichte.........104
3.3.4 Di
sector-Methode
...............................106
3.4 Wicksellsche Integralgleichung .........................107
3.4.1 Schliffe und Schnitte.............................107
3.4.2 Radien von Kugeln und Schnittkreisen .........T.... 109
3.4.3 Dicke Schnitte für kugelförmige Objekte.............111
3.4.4 Integralgleichung der Radienverteilung..............113
3.4.5 Verfahren zur Lösung des Wicksellproblems..........115
3.4.6* Wicksellproblem für beliebige konvexe Körper.......116
3.5 Schnitte von Polyedern................................119
3.5.1 Problemstellung ................................119
3.5.2 Tetraeder und Oktaeder ..........................122
3.5.3 Konvexe Polyeder...............................124
3.6 Aufgaben...........................................127
4 Radon-Integrale..........................................129
4.1 Sehnenanzahl und Rekonstruktion von 2D-Objekten ........129
4.1.1 Sehnenanzahl konvexer Figuren....................129
4.1.2 Sehnenanzahl beliebiger Figuren ...................130
4.2 Radon-Tran
sformati
on
und Rückprojektion................132
4.2.1 Prinzip der Computer-Tomographie.................132
4.2.2 Absorption der Röntgenstrahlen....................134
4.2.3 Struktur der Radon-Transformierten ................136
4.2.4 Iterative Rückprojektion..........................139
Inhaltsverzeichnis Xl
4.3 Radon-Bilder und
Fourier-Transformation
.................144
4.3.1 Faltung und orthogonale Basisfunktionen ............144
4.3.2 Fourierreihen und Fouriertransf
ormati
on.............
148
4.3.3
Inverse
Radon-Transformation.....................150
4.4 Aufgaben...........................................154
5 Biographische Notizen.................................... 155
6 Lösungen der Übungsaufgaben..............................199
Literaturverzeichnis........................................209
Sachwort- und Namensverzeichnis ............................227
|
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort .v
1 Konvexe Mengen . 1
1.1 Geschichtlicher Überblick . 1
1.1.1 Die Anfänge . 1
1.1.2 Mathematische Grundlagen. 5
1.1.3 Stereologie und Stochastische Geometrie. 9
1.2 Konvexe
planare
Figuren . 13
1.2.1 Stützabstand und Stützfunktion . 13
1.2.2 Umfang und mittlere Breite. 14
1.2.3 Fläche und mittlere Sehnenlänge . 21
1.3 Einige Beispiele. 24
1.3.1 Parallelfiguren. 24
1.3.2* Umschreibende /V-Ecke. 27
1.3.3* Croftonscher Seilliniensatz. 29
1.3.4 Projektionen und orthogonale Schatten . 30
l .4 Aufgaben. 33
2 Zweidimensionale Integralgeometrie. 35
2.1 Allgemeine Theorie konvexer Schnitte . 35
2.1.1 Flächenmaß von Schnitten . 35
2.1.2 Umfangsmaß von Schnitten . 36
2.1.3 Maß der Anzahl von Schnitten konvexer Figuren . 38
2.1.4 Schnittmaße beliebiger Figuren . 42
2.1.5 Additive Mengenfunktionen und Mittelwerte. 44
2.2 Anwendung der Schnittformeln. 46
2.2.1 Mittlere Flächen und mittlere Umfange . 46
2.2.2 Sehnenlänge und Schnittpunktmaße. 47
2.2.3 Längenmessung. 49
2.2.4 Flächenmessung . 52
2.2.5 Schnittpunkte von Geradenpaaren . 54
2.2.6* Integrale über Sehnenlängenpotenzen und Punktdistanzen . 56
2.3* Höhere Potenzen von Sehnenlängen . 60
2.3.1 * Sehnenlängenpotenzen für spezielle Figuren . 60
2.3.2* Allgemeine Formeln für höhere Sehnenlängenpotenzen . 62
2.3.3* Fundamentalbereiche. 64
2.4 Aufgaben.67
X
Inhaltsverzeichnis
3 Dreidimensionale Integralgeometrie .69
3.1 Konvexe Körper.69
3.1.1 Stützebene und Stützfunktion.69
3.1.2* Krümmung von'SD-Oberflächen .72
3.1.3 Krümmungsintegral und mittlere Breite.76
3.1.4 Schnitte von Geraden mit konvexen Körpern.80
3.1.5 Parallelkörper und Integralmaße.81
3.1.6 Sehnenlängenpotenzen und Punktdistanzen.84
3.1.7* Quermaße, Quermaßintegrale und Ungleichungen.85
3.2 Stereologische Anwendungen.90
3.2.1 Zylinderschnitte .90
3.2.2 Ungleichungen und Formfaktoren für Körper .93
3.2.3 Stereologie ._94
3.3 Dicke Schnitte und Projektionen .98
3.3.1 Grundformeln .98
3.3.2 Dicke Schnitte.100
3.3.3 Experimentelle Ermittlung der Teilchendichte.104
3.3.4 Di
sector-Methode
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3.4 Wicksellsche Integralgleichung .107
3.4.1 Schliffe und Schnitte.107
3.4.2 Radien von Kugeln und Schnittkreisen .T. 109
3.4.3 Dicke Schnitte für kugelförmige Objekte.111
3.4.4 Integralgleichung der Radienverteilung.113
3.4.5 Verfahren zur Lösung des Wicksellproblems.115
3.4.6* Wicksellproblem für beliebige konvexe Körper.116
3.5 Schnitte von Polyedern.119
3.5.1 Problemstellung .119
3.5.2 Tetraeder und Oktaeder .122
3.5.3 Konvexe Polyeder.124
3.6 Aufgaben.127
4 Radon-Integrale.129
4.1 Sehnenanzahl und Rekonstruktion von 2D-Objekten .129
4.1.1 Sehnenanzahl konvexer Figuren.129
4.1.2 Sehnenanzahl beliebiger Figuren .130
4.2 Radon-Tran
sformati
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und Rückprojektion.132
4.2.1 Prinzip der Computer-Tomographie.132
4.2.2 Absorption der Röntgenstrahlen.134
4.2.3 Struktur der Radon-Transformierten .136
4.2.4 Iterative Rückprojektion.139
Inhaltsverzeichnis Xl
4.3 Radon-Bilder und
Fourier-Transformation
.144
4.3.1 Faltung und orthogonale Basisfunktionen .144
4.3.2 Fourierreihen und Fouriertransf
ormati
on.
148
4.3.3
Inverse
Radon-Transformation.150
4.4 Aufgaben.154
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6 Lösungen der Übungsaufgaben.199
Literaturverzeichnis.209
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