Reelle Zahlen: das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2007
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| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
Vorwort......................................................7
Einführung................................................. 11
Die Themen des Buches.................................... 14
Vokabular................................................... 17
Mengen und Elemente.................................. 17
Logische Konventionen und Sprechweisen.................. 18
Zahlen............................................... 19
Relationen........................................... 20
Funktionen........................................... 21
Eine Tabelle.......................................... 22
Erster Abschnitt : Das klassische
Kontinuum
.......... 23
1.1 Irrationale Zahlen......................................25
Kommensurable Größen................................ 25
Der Algorithmus von Euklid............................. 28
Kettenbrüche......................................... 30
Das regelmäßige Pentagramm............................ 36
Irrationalität der Quadratwurzel.......................... 39
Überlieferung und Bedeutung der Inkommensurabilität....... 40
Andere irrationale Zahlen............................... 45
Rationale Approximationen.............................. 47
Algebraische und transzendente Zahlen.................... 51
Intermezzo: Zur Geschichte der
Analysis
.....................61
1.2 Mächtigkeiten.......................................... 72
Mächtigkeiten......................................... 72
Bestimmung einiger Mächtigkeiten........................ 75
Eine symbolische Arithmetik mit Mächtigkeiten............. 79
Das Kontinuumsproblem................................ 82
Historischer Überblick.................................. 85
1.3 Charakterisierungen und Konstruktionen..................90
Die Ordnung der rationalen Zahlen....................... 91
Vollständigkeit und Lücken.............................. 92
Die Ordnung der reellen Zahlen.......................... 94
Eine algebraische Charakterisierung....................... 96
b-adische und andere Entwicklungen..................... 103
Zwei klassische Konstruktionen der reellen Zahlen.......... 106
Eine moderne Konstruktion............................. 112
Zu den Konstruktionen................................ 128
Zur Geschichte des Kontinuumsbegriffs................... 129
Das komplexe Ergebnis und seine Kritik................... 139
Cantors
Darstellung von 1872 im Original................. 144
1.4 Euklidische Isometrien................................. 153
Das Erlanger Programm............................... 156
Permutationen und Isometrien.......................... 157
Isometrien und lineare Abbildungen...................... 160
Isometrien in einer Dimension.......................... 166
Isometrien in zwei Dimensionen......................... 167
Isometrien in drei Dimensionen......................... 170
Zur Geschichte der Untersuchung Euklidischer Isometrien ... 174
Besonderheiten der Isometriegruppen .9
γ
und Js............ 175
Besonderheiten der Rotationsgruppe SO3 ................. 176
1.5 Inhalte und Maße...................................... 185
Das Maßproblem..................................... 186
Maße auf
σ
-Algebren
.................................. 194
Eine Konstruktion des Lebesgue-Maßes................... 197
Mengen mit positivem Lebesgue-Maß und Intervalle........ 202
Das Lebesgue-Maß für höhere Dimensionen............... 204
Das geometrische Lebesgue-Integral..................... 207
Die analytische Definition des Lebesgue-Integrals........... 211
Integrationssätze..................................... 219
Riemann-Integral und Peano-Jordan-Inhalt................ 222
Vorläufer und Nachfolger des Peano-Jordan-Inhalts......... 229
Eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals............. 230
1.6 Die Grenzen des Messens...............................238
Fortsetzungen des Lebesgue-Maßes...................... 238
Volle bewegungsinvariante Inhalte....................... 244
Paradoxe Zerlegungen................................. 261
Die Paradoxa von Hausdorffund Banach-Tarski............ 268
Mittelbare Gruppen................................... 274
Zweiter Abschnitt : Die Folgenräume................. 283
2.1 Einführung in den Baireraum............................285
Endliche Folgen und Folgenräume....................... 288
Die natürliche
Topologie
auf den Folgenräumen............ 290
Offene und abgeschlossene Mengen im Baireraum.......... 292
Kodierung offener Mengen............................. 293
Repräsentation abgeschlossener Mengen durch Bäume....... 294
Die kanonische Ordnung auf dem Baireraum............... 300
Stetige Funktionen auf dem Baireraum.................... 301
Einfache Homöomorphien............................. 302
Kompaktheit......................................... 303
Baireraum, Cantorraum und
Kontinuum
im Vergleich....... 305
2.2
Topologische
Untersuchungen.......................... 311
Polnische Räume..................................... 311
Perfekte polnische Räume.............................. 314
Zerlegungen nulldimensionaler polnischer Räume........... 316
Zerlegungen beliebiger polnischer Räume................. 323
Stetige bijektive Bilder von
X
........................... 327
Eine konkrete stetige Bijektion von
M
auf %................ 331
Ortung durch den Hubert-Würfel....................... 333
Peano-Kurven....................................... 337
Invarianz der Dimension für das
Kontinuum
............... 338
Ein topologischer Dimensionsbegriff..................... 349
2.3 Regularitätseigenschaften...............................351
Häufungen.......................................... 351
Die Scheeffer-Eigenschaft.............................. 358
Die Baire-Eigenschaft................................. 360
Das Lebesgue-Maß auf dem
Cantor-
und Baireraum......... 367
Universell meßbare Mengen............................ 370
Magere Mengen und Nullmengen....................... 371
Marczewski-meßbare Mengen........................... 372
Intermezzo : Wohlordnungen und Ordinalzahlen..............377
Wohlordnungen...................................... 378
Induktion und
Rekursioń
über Wohlordnungen............. 381
Abzählbare Ordinalzahlen und <»[........................ 382
Iterierte Ableitungen.................................. 386
Ein Kompaktheitsbeweis mit
ω{
......................... 388
Die konstruktiblen reellen Zahlen........................ 389
Beweis des Zornschen Lemmas mit transfiniter Rekursion .... 392
2.4 Irreguläre Mengen..................................... 394
Verletzung der Scheeffer-Eigenschaft und Bernstein-Mengen .. 394
Vitali-Mengen....................................... 398
Irreguläre Mengen und die Kontinuumshypothese.......... 401
Wohlordnungen von polnischen Räumen.................. 406
2.5 Unendliche Zweipersonenspiele.........................409
Unendliche Spiele.................................... 413
Strategien........................................... 414
Gewinnstrategien und Determiniertheit................... 418
Spezielle Aspekte..................................... 419
Einfache Spiele mit ermittelbarem Gewinner............... 422
Nichtdeterminierte Mengen............................ 423
Determiniertheit der offenen und abgeschlossenen Mengen ... 425
Regularitätsspiele..................................... 433
Determiniertheit von Punktklassen....................... 441
2.6 Borelmengen und
projektive
Mengen....................444
Die Borel-Hierarchie.................................. 444
Borei
-Mengen als stetige Bilder des Baireraumes............ 455
Borel-Determiniertheit................................ 456
Stetige Reduzierbarkeit................................ 464
Die Susiin-Operation und analytische Mengen............. 468
Charakterisierungen und Eigenschaften analytischer Mengen. . 471
Regularitätseigenschaften analytischer Mengen............. 478
Projektive
Mengen.................................... 482
Entfaltete Regularitätsspiele............................ 488
Determiniertheit und Regularität der
projektíven
Mengen .... 489
Zur geschichtlichen Entwicklung........................ 494
Anhänge................................................... 505
AI Die
axiomatische
Grundlage.............................507
A2 Natürliche, ganze und rationale Zahlen...................510
A3 Algebraische Strukturen................................513
Gruppen............................................ 513
Körper und Ringe..................................... 515
Vektorräume......................................... 515
A4
Topologische
und metrische Räume...................... 517
Topologische
Räume.................................. 517
Metrische Räume..................................... 521
Die Standardtopologie des Kontinuums................... 525
AS Lebensdaten..........................................527
A6 Notationen...........................................529
A7 Personen.............................................532
A8 Index................................................534
|
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Inhalt
Vorwort.7
Einführung. 11
Die Themen des Buches. 14
Vokabular. 17
Mengen und Elemente. 17
Logische Konventionen und Sprechweisen. 18
Zahlen. 19
Relationen. 20
Funktionen. 21
Eine Tabelle. 22
Erster Abschnitt : Das klassische
Kontinuum
. 23
1.1 Irrationale Zahlen.25
Kommensurable Größen. 25
Der Algorithmus von Euklid. 28
Kettenbrüche. 30
Das regelmäßige Pentagramm. 36
Irrationalität der Quadratwurzel. 39
Überlieferung und Bedeutung der Inkommensurabilität. 40
Andere irrationale Zahlen. 45
Rationale Approximationen. 47
Algebraische und transzendente Zahlen. 51
Intermezzo: Zur Geschichte der
Analysis
.61
1.2 Mächtigkeiten. 72
Mächtigkeiten. 72
Bestimmung einiger Mächtigkeiten. 75
Eine symbolische Arithmetik mit Mächtigkeiten. 79
Das Kontinuumsproblem. 82
Historischer Überblick. 85
1.3 Charakterisierungen und Konstruktionen.90
Die Ordnung der rationalen Zahlen. 91
Vollständigkeit und Lücken. 92
Die Ordnung der reellen Zahlen. 94
Eine algebraische Charakterisierung. 96
b-adische und andere Entwicklungen. 103
Zwei klassische Konstruktionen der reellen Zahlen. 106
Eine moderne Konstruktion. 112
Zu den Konstruktionen. 128
Zur Geschichte des Kontinuumsbegriffs. 129
Das komplexe Ergebnis und seine Kritik. 139
Cantors
Darstellung von 1872 im Original. 144
1.4 Euklidische Isometrien. 153
Das Erlanger Programm. 156
Permutationen und Isometrien. 157
Isometrien und lineare Abbildungen. 160
Isometrien in einer Dimension. 166
Isometrien in zwei Dimensionen. 167
Isometrien in drei Dimensionen. 170
Zur Geschichte der Untersuchung Euklidischer Isometrien . 174
Besonderheiten der Isometriegruppen .9
γ
und Js. 175
Besonderheiten der Rotationsgruppe SO3 . 176
1.5 Inhalte und Maße. 185
Das Maßproblem. 186
Maße auf
σ
-Algebren
. 194
Eine Konstruktion des Lebesgue-Maßes. 197
Mengen mit positivem Lebesgue-Maß und Intervalle. 202
Das Lebesgue-Maß für höhere Dimensionen. 204
Das geometrische Lebesgue-Integral. 207
Die analytische Definition des Lebesgue-Integrals. 211
Integrationssätze. 219
Riemann-Integral und Peano-Jordan-Inhalt. 222
Vorläufer und Nachfolger des Peano-Jordan-Inhalts. 229
Eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals. 230
1.6 Die Grenzen des Messens.238
Fortsetzungen des Lebesgue-Maßes. 238
Volle bewegungsinvariante Inhalte. 244
Paradoxe Zerlegungen. 261
Die Paradoxa von Hausdorffund Banach-Tarski. 268
Mittelbare Gruppen. 274
Zweiter Abschnitt : Die Folgenräume. 283
2.1 Einführung in den Baireraum.285
Endliche Folgen und Folgenräume. 288
Die natürliche
Topologie
auf den Folgenräumen. 290
Offene und abgeschlossene Mengen im Baireraum. 292
Kodierung offener Mengen. 293
Repräsentation abgeschlossener Mengen durch Bäume. 294
Die kanonische Ordnung auf dem Baireraum. 300
Stetige Funktionen auf dem Baireraum. 301
Einfache Homöomorphien. 302
Kompaktheit. 303
Baireraum, Cantorraum und
Kontinuum
im Vergleich. 305
2.2
Topologische
Untersuchungen. 311
Polnische Räume. 311
Perfekte polnische Räume. 314
Zerlegungen nulldimensionaler polnischer Räume. 316
Zerlegungen beliebiger polnischer Räume. 323
Stetige bijektive Bilder von
X
. 327
Eine konkrete stetige Bijektion von
M
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Ortung durch den Hubert-Würfel. 333
Peano-Kurven. 337
Invarianz der Dimension für das
Kontinuum
. 338
Ein topologischer Dimensionsbegriff. 349
2.3 Regularitätseigenschaften.351
Häufungen. 351
Die Scheeffer-Eigenschaft. 358
Die Baire-Eigenschaft. 360
Das Lebesgue-Maß auf dem
Cantor-
und Baireraum. 367
Universell meßbare Mengen. 370
Magere Mengen und Nullmengen. 371
Marczewski-meßbare Mengen. 372
Intermezzo : Wohlordnungen und Ordinalzahlen.377
Wohlordnungen. 378
Induktion und
Rekursioń
über Wohlordnungen. 381
Abzählbare Ordinalzahlen und <»[. 382
Iterierte Ableitungen. 386
Ein Kompaktheitsbeweis mit
ω{
. 388
Die konstruktiblen reellen Zahlen. 389
Beweis des Zornschen Lemmas mit transfiniter Rekursion . 392
2.4 Irreguläre Mengen. 394
Verletzung der Scheeffer-Eigenschaft und Bernstein-Mengen . 394
Vitali-Mengen. 398
Irreguläre Mengen und die Kontinuumshypothese. 401
Wohlordnungen von polnischen Räumen. 406
2.5 Unendliche Zweipersonenspiele.409
Unendliche Spiele. 413
Strategien. 414
Gewinnstrategien und Determiniertheit. 418
Spezielle Aspekte. 419
Einfache Spiele mit ermittelbarem Gewinner. 422
Nichtdeterminierte Mengen. 423
Determiniertheit der offenen und abgeschlossenen Mengen . 425
Regularitätsspiele. 433
Determiniertheit von Punktklassen. 441
2.6 Borelmengen und
projektive
Mengen.444
Die Borel-Hierarchie. 444
Borei
-Mengen als stetige Bilder des Baireraumes. 455
Borel-Determiniertheit. 456
Stetige Reduzierbarkeit. 464
Die Susiin-Operation und analytische Mengen. 468
Charakterisierungen und Eigenschaften analytischer Mengen. . 471
Regularitätseigenschaften analytischer Mengen. 478
Projektive
Mengen. 482
Entfaltete Regularitätsspiele. 488
Determiniertheit und Regularität der
projektíven
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Zur geschichtlichen Entwicklung. 494
Anhänge. 505
AI Die
axiomatische
Grundlage.507
A2 Natürliche, ganze und rationale Zahlen.510
A3 Algebraische Strukturen.513
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Körper und Ringe. 515
Vektorräume. 515
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Topologische
und metrische Räume. 517
Topologische
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Metrische Räume. 521
Die Standardtopologie des Kontinuums. 525
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