Ökonometrie: eine Einführung ; mit 57 Tabellen
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2007
|
| Ausgabe: | 4., verb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Beschreibung: | XXII, 582 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 9783540708278 3540708278 |
Internformat
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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Braucht man ökonometriker?. 1
1.2 Was ist Ökonometrie?. 2
1.3 Die vier Aufgaben der Ökonometrie . 3
1.3.1 Spezifikation. 4
1.3.2 Schätzung. 6
1.3.3 Hypothesentest. 8
1.3.4 Prognose . 9
1.4 Aufbau des Lehrbuches . 10
1.5 Datenmaterial. 11
1
2 Spezifikation 17
2.1 A-Annahmen. 18
2.1.1 Erster Schritt: Formulierung eines plausiblen linearen
Modells. 18
2.1.2 Zweiter und dritter Schritt: Hinzufügung eines
Beobachtungsindex und einer Störgröße. 19
2.1.3 Formulierung der A-Annahmen. 22
2.2 Statistisches
2.2.1 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung . 24
2.2.2 Erwartungswert einer Zufallsvariable. 27
2.2.3 Varianz einer Zufallsvariable . 28
2.2.4 Bedingte und gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung 29
2.2.5 Kovarianz zweier Zufallsvariablen. 31
2.2.6 Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz. 33
2.2.7 Eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Normalverteilung. 35
2.3 B-Annahmen. 35
2.3.1 Begründungen für die Existenz der Störgröße. 35
2.3.2 Formulierung der B-Annahmen. 37
хи
INHALTSVERZEICHNIS
2.4 Statistisches
2.4.1 Stichproben-Mittelwert einer Variable. 43
2.4.2 Stichproben-Varianz einer Variable. 43
2.4.3 Stichproben-Kovarianz zweier Variablen. 44
2.5 C-Annahmen. 45
2.6 Zusammenfassung . 46
Schätzung
3.1 KQ-Methode - eine Illustration. 51
3.2 KQ-Methode - eine algebraische Formulierung . 53
3.2.1 Summe der Residuenquadrate. 53
3.2.2 Herleitung der Schätzformeln. 55
3.3 Interpretation der KQ-Schätzer. 58
3.4 Bestimmtheitsmaß R2. 59
3.4.1 Grafische Veranschaulichung . 59
3.4.2 Definition des Bestimmtheitsmaßes. 62
3.4.3 Berechnung des Bestimmtheitsmaßes. 62
3.5 Zusammenfassung . 64
Anhang. 65
Indikatoren für die Qualität von Schätzverfahren 67
4.1 Statistischer Hintergrund . 68
4.1.1 Konzept einer wiederholten Stichprobe. 68
4.1.2 Warum ist yt eine Zufallsvariable?. 68
4.1.3 Warum sind die Schätzer Zufallsvariablen? . 70
4.2 Zwei Kriterien: Unverzerrtheit und Effizienz. 71
4.3 Unverzerrtheit und Effizienz der KQ-Methode. 74
4.4 Statistisches
4.4.1 Standard-Normalverteilung. 76
4.4.2
4.4.3
4.4.4 F- Verteilung. 80
4.5 Wahrscheinlichkeitsverteilungen der KQ-Schätzer. 81
4.5.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung von yt. 81
4.5.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Schätzer. 81
4.6 Zusammenfassung . 82
Anhang. 83
Schätzung
5.1 Konfidenzintervalle und Intervallschätzer. 86
5.2 Intervallschätzer für
5.3 Intervallschätzer für
5.3.1 Herleitung des Intervallschätzers. 92
5.3.2 Interpretation des Intervallschätzers. 97
INHALTSVERZEICHNIS xiii
5.3.3 Aussagekraft von Intervallschätzern . 99
5.4 Intervallschätzer für
5.5 Zusammenfassung . 100
6 Hypothesentest 103
6.1 Zweiseitiger Hypothesentest. 103
6.1.1 Ein grafisches Entscheidungsverfahren. 104
6.1.2 Ein analytisches Entscheidungsverfahren. 106
6.1.3 Zusammenhang zwischen analytischem und grafischem
Vorgehen. 110
6.2 Einseitiger Hypothesentest. 111
6.2.1 Ein grafisches Entscheidungsverfahren. 112
6.2.2 Ein analytisches Entscheidungsverfahren. 113
6.3 p-Wert. 116
6.4 Wahl der geeigneten Nullhypothese und des geeigneten
Signifikanzniveaus . 118
6.4.1 Strategie A: Nullhypothese behauptet Gegenteil der
Anfangsvermutung. 118
6.4.2 Strategie B: Nullhypothese stimmt mit
Anfangsvermutung überein. 121
6.4.3 Trennschärfe von Tests. 122
6.4.4 Anmerkungen zu zweiseitigen Tests. 122
6.5 Zusammenfassung . 123
7 Prognose 125
7.1 Punktprognose. 125
7.1.1 Prognosewert und Prognosefehler. 125
7.1.2 Verlässlichkeit der Punktprognose . 126
7.2 Prognoseintervall. 128
7.3 Zusammenfassung . 130
II
8 Spezifikation 135
8.1 A-Annahmen. 136
8.1.1 Erster Schritt: Formulierung eines plausiblen linearen
Modells. 136
8.1.2 Zweiter und dritter Schritt: Hinzufügung eines
Beobachtungsindex und einer Störgröße. 138
8.1.3 Formulierung der A-Annahmen. 140
8.2 B-Annahmen. 140
8.2.1 Formulierung der B-Annahmen. 140
8.2.2 Interpretation der B-Annahmen. 141
XIV
INHALTSVERZEICHNIS
8.3 C-Annahmen.142
8.4 Zusammenfassung .145
8.5
8.5.1 Notation und Terminologie. 146
8.5.2 Rechnen mit Matrizen. 148
8.5.3 Rang einer Matrix und ihre Inversion . 150
8.5.4 Quadratische Form. 152
8.5.5 Differentiation von linearen Punktionen. 152
8.5.6 Erwartungswert und Varianz-Kovarianz-Matrix. 153
8.5.7 Spur einer Matrix . 154
8.5.8
8.6 Matrixalgebraischer Anhang. 157
8.6.1 Multiples Regressionsmodell in Matrixschreibweise . . . 157
8.6.2 Formulierung der
Schätzung 161
9.1 Punktschätzer.163
9.2 Interpretation der Schätzer.166
9.2.1 Formale Interpretation.166
9.2.2 ökonomische Interpretation.166
9.3 Bestimmtheitsmaß R2.168
9.3.1 Definition des Bestimmtheitsmaßes.168
9.3.2 Grafische Veranschaulichung des Bestimmtheitsmaßes . 169
9.3.3 Berechnung des Bestimmtheitsmaßes.170
9.4 Unverzerrtheit und Effizienz der KQ-Methode.171
9.4.1 Erwartungswert und Varianz der KQ-Schätzer .171
9.4.2 Interpretation der Formeln .171
9.4.3 Schätzformeln für
9.4.4
9.5 Wahrscheinlichkeitsverteilungen der KQ-Schätzer.174
9.5.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung der
9.5.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Schätzer
9.6 Intervallschätzer.175
9.7 Zusammenfassung .179
Anhang.180
9.8 Matrixalgebraischer Anhang.181
9.8.1 Herleitung der KQ-Schätzer.182
9.8.2 Bestimmtheitsmaß.186
9.8.3 Erwartungswert der KQ-Schätzer.188
9.8.4 Varianz-Kovarianz-Matrix der KQ-Schätzer.189
9.8.5 Was genau bedeutet
9.8.6 KQ-Schätzer sind
9.8.7 Schätzung der Störgrößenvarianz.194
9.8.8 Wahrscheinlichkeitsverteilung der KQ-Schätzer.196
INHALTSVERZEICHNIS xv
9.8.9 Intervallschätzung. 197
9.8.10 Resümee. 198
10 Hypothesentest 199
10.1 Testen einer Linearkombination von Parametern: i-Test . 199
10.1.1 Zweiseitiger i-Test. 199
10.1.2 Einseitiger i-Test. 203
10.2 Simultaner Test mehrerer Linearkombinationen von
Parametern: F-Test . 204
10.2.1 Eine wichtige Nullhypothese. 205
10.2.2 Test einer allgemeinen Nullhypothese. 211
10.3 Zusammenhang zwischen i-Test und F-Test bei
10.3.1 Zweiseitiger F-Test einer einzelnen Linearkombination . 212
10.3.2 Probleme des F-Tests bei einseitigen Hypothesen . 214
10.4 Zusammenhang zwischen ¿-Test und F-Test bei
10.4.1 Nummerisches Beispiel. 216
10.4.2 Unterschied zwischen individuellen und
simultanen Tests. 216
10.5 Zusammenfassung . 219
10.6 Matrixalgebraischer Anhang. 220
10.6.1 i-Test. 220
10.6.2 F-Test. 222
10.6.3 Zusammenhang zwischen i-Test und F-Test bei
10.6.4 Warum besitzen F-Werte eine F-Verteilung?. 228
10.6.5 Warum besitzen t-Werte eine i-Verteilung?. 228
11 Prognose 231
11.1 Punktprognose. 231
11.1.1 Prognosewert und Prognosefehler. 231
11.1.2 Verlässlichkeit der Punktprognose . 232
11.2 Prognoseintervall. 233
11.3 Zusammenfassung . 234
11.4 Matrixalgebraischer Anhang. 234
12 Präsentation der Schätzergebnisse und deren
computergestützte Berechnung 237
12.1 Computergestützte ökonometrische Analyse. 238
12.1.1 ökonometrische Software. 238
12.1.2 Interpretation des Computeroutputs. 239
12.2 Präsentation von Schätzergebnissen. 240
xvi INHALTSVERZEICHNIS
III
wirtschaftsempirischen Praxis:
Verletzungen der
13 Verletzung der Annahme AI:
Fehlerhafte Auswahl der exogenen Variablen 247
13.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung. 248
13.1.1 Auslassen relevanter Variablen. 250
13.1.2 Verwendung irrelevanter Variablen. 256
13.2 Diagnose und Neu-Spezifikation. 258
13.2.1 Korrigiertes Bestimmtheitsmaß
13.2.2 Weitere Kennzahlen: AIC, SC und PC. 261
13.2.3 F-Test. 263
13.2.4 t-Test. 264
13.2.5 Zusammenhang zwischen korrigiertem
Bestimmtheitsmaß, F-Test und i-Test. 265
13.2.6 Ungenesteter F-Test. 266
13.2.7 J-Test. 268
13.3 Spezifikations-Methodologien. 270
13.3.1 Steinmetz- versus Maurer-Methodologie. 270
13.3.2 Ein wichtiges Problem bei der Variablenauswahl . 270
13.4 Zusammenfassung. 271
Anhang. 272
13.5
13.5.1 Blockmatrizen . 273
13.5.2 Rechnen mit Blockmatrizen. 274
13.5.3 Inversion von Blockmatrizen . 274
13.6 Matrixalgebraischer Anhang. 277
13.6.1 Auslassen relevanter Variablen. 278
13.6.2 Verwendung irrelevanter Variablen. 280
13.6.3 Instrumente der Variablenauswahl. 283
14 Verletzung der Annahme A2:
Nicht-lineare Wirkungszusammenhänge 285
14.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung.286
14.2 Einige alternative Funktionsformen.286
14.2.1 Semi-logarithmisches Modell .287
14.2.2
14.2.3 Exponential-Modell .289
14.2.4 Logarithmisches Modell.290
14.2.5
14.2.6 Quadratisches Modell.292
14.2.7 Eine vergleichende Anwendung.292
14.3 Diagnose und Neu-Spezifikation.294
INHALTSVERZEICHNIS xvii
14.3.1 Regression
14.3.2 Bestimmtheitsmaß
14.3.3
14.4 Zusammenfassung .305
Anhang.306
14.5 Matrixalgebraischer Anhang.308
15 Verletzung der Annahme A3:
Variable Parameter wert
15.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung. 313
15.1.1 Ein geeignetes Strukturbruchmodell. 315
15.1.2 Schätzung und Interpretation der Parameter des
Strukturbruchmodells. 317
15.1.3 Getrennte Schätzung der zwei Phasen. 319
15.1.4 Eine mögliche alternative Formulierung des
Strukturbruchmodells. 320
15.1.5 Komplexere Strukturbrüche. 321
15.1.6 Konsequenzen aus einer Vernachlässigung des
Strukturbruchs. 322
15.2 Diagnose. 323
15.2.1 F-Test. 323
15.2.2 i-Test. 324
15.2.3 Prognostischer Chow-Test. 325
15.2.4 Zeitpunkt des Strukturbruchs. 326
15.3 Stetige Veränderung von Parameterwerten . 327
15.4 Exkurs: Anwendung von
exogenen Variablen. 328
15.4.1 Einführung einer
15.4.2 Ein allgemeines
15.5 Zusammenfassung. 331
15.6 Matrixalgebraischer Anhang. 332
15.6.1 Strukturbruchmodelle. 332
15.6.2 F-Tests und i-Tests. 334
15.6.3 Exkurs: Umgang mit qualitativen exogenen Variablen . 336
16 Verletzung der Annahme Bl:
Erwartungswert der Störgröße von null verschieden 339
16.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung. 340
16.1.1 Konstanter Messfehler bei der Erfassung der endogenen
Variable. 341
16.1.2 Konstanter Messfehler bei der Erfassung einer exogenen
Variable. 346
16.1.3 Funktionale Modelltransformation. 347
16.1.4 Gestutzte endogene Variable . 349
xviii INHALTSVERZEICHNIS
16.2 Diagnose. 352
16.2.1 Überprüfung der Datenerhebung. 352
16.2.2 Überprüfung auf Basis der Daten. 352
16.3 Anwendbare Schätzverfahren. 352
16.4 Zusammenfassung . 353
Anhang. 354
16.5 Matrixalgebraischer Anhang. 354
16.5.1 Partitionierte Regression. 354
16.5.2 Eine spezielle Partition . 356
16.5.3 Konstante Messfehler: Konsequenzen für die
KQ-Schätzung. 358
16.5.4 Gestutzte Daten: Konsequenzen für die KQ-Schätzung . 362
17 Verletzung der Annahme B2:
Heteroskedastizität 363
17.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung . 364
17.1.1 Konsequenzen für die Punktschätzung. 365
17.1.2 Konsequenzen für Intervallschätzung und
Hypothesentest. 369
17.2 Diagnose. 370
17.2.1 Goldfeld-Quandt-Test. 370
17.2.2
17.3 Anwendbare Schätzverfahren. 374
17.3.1 VKQ-Methode. 375
17.3.2 GVKQ-Methode. 376
17.4 Zusammenfassung . 379
17.5 Matrixalgebraischer Anhang. 380
17.5.1 Herleitung des transformierten Modells . 381
17.5.2 Vergleich des VKQ-Schätzers mit dem KQ-Schätzer des
ursprünglichen Modells . 384
17.5.3 GVKQ-Schätzer . 386
18 Verletzung der Annahme B3:
Autokorrelation 389
18.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung . 391
18.1.1 AR(1)-Prozess. 391
18.1.2 Erwartungswert von
18.1.3 Varianz von
18.1.4 Kovarianz von
18.1.5 Konsequenzen für die Punktschätzung. 395
18.1.6 Konsequenzen für Intervallschätzung und
Hypothesentest. 396
18.2 Diagnose. 397
18.2.1 Grafische Analyse. 398
INHALTSVERZEICHNIS xix
18.2.2 Schätzer für
18.2.3 Durbin-Watson-Test. 401
18.3 Anwendbare Schätzverfahren. 406
18.3.1 Ermittlung von x\ und y{. 406
18.3.2 VKQ-Methode von Hildreth und
18.3.3 GVKQ-Methode von Cochrane und Orcutt. 409
18.4 Zusammenfassung . 410
Anhang. 412
18.5 Matrixalgebraischer Anhang. 412
18.5.1 Herleitung des transformierten Modells . 413
18.5.2 Konsequenzen der Autokorrelation. 416
18.5.3 Schätzung des transformierten Modells. . 417
19 Verletzung der Annahme B4:
Störgrößen nicht normalverteilt 419
19.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung. 420
19.2 Diagnose. 422
19.2.1 Grafische Analyse . 422
19.2.2 Jarque-Bera-Test. 424
19.3 Zusammenfassung . 426
19.4 Matrixalgebraischer Anhang. 427
20 Verletzung der Annahme Cl:
Zufallsabhängige exogene Variablen 429
20.1 Weitere Qualitätskriterien für Schätzer: Konsistenz und
asymptotische Effizienz. 430
20.1.1 Konsistenz . 431
20.1.2 Rechenregeln für Wahrscheinlichkeitsgrenzwerte. 433
20.1.3 Asymptotische Effizienz. 434
20.2 Konsequenzen der Annahmeverletzung. 434
20.2.1 Fall 1: Störgrößen und Beobachtungen der exogenen
Variable unabhängig. 435
20.2.2 Fall 2: Störgrößen und Beobachtungen der exogenen
Variable kontemporär unkorreliert. 439
20.2.3 Eine mögliche Ursache für Fall 2:
7/i-i als „exogene Variable". 440
20.2.4 Fall 3: Störgrößen und Beobachtungen der exogenen
Variable kontemporär korreliert. 440
20.2.5 Eine mögliche Ursache für Fall 3:
Probleme bei der Erfassung der exogenen Variable . . . 442
20.3 Anwendbare Schätz verfahren. 447
20.3.1 Eigenschaften einer Instrument variable. 448
20.3.2 IV-Schätzung. 448
20.3.3 Konsistenz der IV-Schätzer. 450
xx INHALTSVERZEICHNIS
20.3.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung und Varianz der
IV-Schätzer.451
20.3.5 Fazit der IV-Schätzung .452
20.4 Diagnose .453
20.4.1 Vorüberlegungen. 453
20.4.2 Spezifikationstest von Hausman. 453
20.5 Zusammenfassung . 455
20.6 Matrixalgebraischer Anhang. 456
20.6.1 Bedingter Erwartungswert. 457
20.6.2 Fall 1: Störgrößen und exogene Variablen sind
unabhängig. 460
20.6.3 Fall 2: Störgrößen und exogene Variablen sind
kontemporär nicht korreliert. 469
20.6.4 Fall 3: Störgrößen und exogene Variablen sind
kontemporär korreliert. 470
20.6.5 Instrumentvariablen-Schätzung. 471
20.6.6 Hausman-Test . 477
21 Verletzung der Annahme C2:
Perfekte Multikollinearität 479
21.1 Konsequenzen der Annahme Verletzung . 482
21.1.1 Grafische Veranschaulichung . 482
21.1.2 Konsequenzen perfekter Multikollinearität für
Punkt-, Intervallschätzung und Hypothesentests . 483
21.1.3 Konsequenzen imperfekter Multikollinearität für
Punkt-, Intervallschätzung und Hypothesentests . 484
21.2 Diagnose . 486
21.2.1 Diagnose von Multikollinearität. 486
21.2.2 Hohe Schätzvarianz der Punktschätzer:
Multikollinearität oder Fehlspezifikation? . 488
21.3 Angemessener Umgang mit Multikollinearität. 491
21.3.1 Verfahren zur Eindämmung des
Multikollinearitätsproblems. 491
21.3.2 Verwendung zusätzlicher Informationen. 493
21.4 Zusammenfassung . 496
21.5 Matrixalgebraischer Anhang. 497
21.5.1 Auswirkungen hoher Multikoilinearität
auf die KQ-Schätzer. 497
21.5.2 Diagnose der Multikollinearität. 499
21.5.3 Restringierte KQ-Schätzung. 499
INHALTSVERZEICHNIS xxi
IV
22 Dynamische Modelle 507
22.1 Stochastische Prozesse und Stationarität . 508
22.1.1 Stochastische Prozesse. 508
22.1.2 Stationarität von stochastischen Prozessen. 509
22.1.3 I(l)-Prozesse. 510
22.2 Interpretation dynamischer Modelle . 511
22.2.1 Interpretation einzelner Parameter. 511
22.2.2 Kurzfristiger und langfristiger Multiplikator. 512
22.2.3
22.3 Allgemeine Schätzprobleme dynamischer Modelle. 516
22.3.1 Zwei zentrale Schätzprobleme . 516
22.3.2 Mögliche Lösungsstrategien. 517
22.4 Modelle mit geometrischer Lag-Verteilung. 517
22.4.1 Geometrische Lag-Verteilungen. 517
22.4.2 Koyck-Modell. 518
22.4.3 Ein Verwandter des Koyck-Modells:
Partielles Anpassungsmodell . 521
22.4.4 Ein weiterer Verwandter des Koyck-Modells:
Modell adaptiver Erwartungen. 523
22.5 Modelle mit rationaler Lag-Verteilung und ihre
Fehlerkorrektur-Formulierung. 524
22.5.1 Langfristige Gleichgewichtsbeziehung. 525
22.5.2 Fehlerkorrektur-Formulierung des ADL(1,1)-Modells . . 526
22.5.3 Schätzung des Fehlerkorrekturmodells. 527
22.5.4 Fehlerkorrekturmodell und ökonomische Theorie . 529
22.6 Zusammenfassung . 530
22.7 Matrixalgebraischer Anhang. 531
22.7.1 Allgemeines dynamisches Modell. 531
22.7.2 Formulierung von Modellen mit geometrischer
Lag-Verteilung. 532
22.7.3 Schätzung von Modellen mit geometrischer
Lag-Verteilung. 532
23
23.1 Nicht-Konsistenz der KQ-Schätzer. 536
23.2 Indirekte KQ-Methode (IKQ-Methode). 537
23.2.1 Strukturelle Form versus reduzierte Form. 537
23.2.2 Schätzung der Parameter der reduzierten Form. 539
23.2.3 Schätzung der Parameter der strukturellen Form . 539
23.3 Identifikationsproblem. 541
23.3.1 Ein verkleinertes Gleichungssystem. 541
23.3.2 Ein erweitertes Gleichungssystem. 542
xxii INHALTSVERZEICHNIS
23.3.3 Ordnungskriterium.543
23.4 Zweistufige KQ-Methode (ZSKQ-Methode) .545
23.4.1 Erste Stufe der ZSKQ-Schätzung. 545
23.4.2 Zweite Stufe der ZSKQ-Schätzung. 546
23.4.3 ZSKQ-Schätzung im Überblick. 547
23.5 Weitere Beispiele interdependenter Gleichungssysteme. 548
23.5.1 Gleichungssysteme mit Lag-Variablen. 548
23.5.2 Keynesianisches Makromodell. 549
23.5.3 Partielles Marktgleichgewichtsmodell. 549
23.6 Zusammenfassung . 550
Anhang. 552
23.7 Matrixalgebraischer Anhang. 553
23.7.1 Kompakte Darstellung der strukturellen Form. 553
23.7.2 Reduzierte Form. 556
23.7.3 Identifikation einer Gleichung. 558
23.7.4 Schätzung mit der IKQ-Methode. 559
23.7.5 Schätzung mit der ZSKQ-Methode. 560
Literaturverzeichnis 563
Tabellenanhang 567
Index 575
Dieses Lehrbuch bietet eine praxisorientierte Einführung in die
Methoden der Ökonometrie. Angesichts der zunehmenden Bedeu¬
tung der empirischen Analyse in Wissenschaft und Praxis will das
Buch die Ökonometrie aus ihrer formal-mathematischen Ecke
herausholen und einem breiteren Interessentenkreis zugänglich
machen. In der Konzeption des Lehrbuches erhielt deshalb didak¬
tisches Profil grundsätzlich Vorrang vor wissenschaftlicher
Eleganz. Unterstützt durch zahlreiche Illustrationen, ausführliche
verbale Erläuterungen und begleitende numerische Beispiele
werden sowohl die ökonometrischen Grundlagen als auch an¬
spruchsvollere Themenbereiche in gut verständlicher Art und
Weise aufbereitet. Das Lehrbuch kommt ohne den Einsatz von
Matrixalgebra aus.Ambitionierte Leser finden jedoch in den
jeweiligen Kapitelanhängen ausführliche matrixalgebraische
Darstellungen des behandelten Materials. |
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Braucht man ökonometriker?. 1
1.2 Was ist Ökonometrie?. 2
1.3 Die vier Aufgaben der Ökonometrie . 3
1.3.1 Spezifikation. 4
1.3.2 Schätzung. 6
1.3.3 Hypothesentest. 8
1.3.4 Prognose . 9
1.4 Aufbau des Lehrbuches . 10
1.5 Datenmaterial. 11
1
2 Spezifikation 17
2.1 A-Annahmen. 18
2.1.1 Erster Schritt: Formulierung eines plausiblen linearen
Modells. 18
2.1.2 Zweiter und dritter Schritt: Hinzufügung eines
Beobachtungsindex und einer Störgröße. 19
2.1.3 Formulierung der A-Annahmen. 22
2.2 Statistisches
2.2.1 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung . 24
2.2.2 Erwartungswert einer Zufallsvariable. 27
2.2.3 Varianz einer Zufallsvariable . 28
2.2.4 Bedingte und gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung 29
2.2.5 Kovarianz zweier Zufallsvariablen. 31
2.2.6 Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz. 33
2.2.7 Eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Normalverteilung. 35
2.3 B-Annahmen. 35
2.3.1 Begründungen für die Existenz der Störgröße. 35
2.3.2 Formulierung der B-Annahmen. 37
хи
INHALTSVERZEICHNIS
2.4 Statistisches
2.4.1 Stichproben-Mittelwert einer Variable. 43
2.4.2 Stichproben-Varianz einer Variable. 43
2.4.3 Stichproben-Kovarianz zweier Variablen. 44
2.5 C-Annahmen. 45
2.6 Zusammenfassung . 46
Schätzung
3.1 KQ-Methode - eine Illustration. 51
3.2 KQ-Methode - eine algebraische Formulierung . 53
3.2.1 Summe der Residuenquadrate. 53
3.2.2 Herleitung der Schätzformeln. 55
3.3 Interpretation der KQ-Schätzer. 58
3.4 Bestimmtheitsmaß R2. 59
3.4.1 Grafische Veranschaulichung . 59
3.4.2 Definition des Bestimmtheitsmaßes. 62
3.4.3 Berechnung des Bestimmtheitsmaßes. 62
3.5 Zusammenfassung . 64
Anhang. 65
Indikatoren für die Qualität von Schätzverfahren 67
4.1 Statistischer Hintergrund . 68
4.1.1 Konzept einer wiederholten Stichprobe. 68
4.1.2 Warum ist yt eine Zufallsvariable?. 68
4.1.3 Warum sind die Schätzer Zufallsvariablen? . 70
4.2 Zwei Kriterien: Unverzerrtheit und Effizienz. 71
4.3 Unverzerrtheit und Effizienz der KQ-Methode. 74
4.4 Statistisches
4.4.1 Standard-Normalverteilung. 76
4.4.2
4.4.3
4.4.4 F- Verteilung. 80
4.5 Wahrscheinlichkeitsverteilungen der KQ-Schätzer. 81
4.5.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung von yt. 81
4.5.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Schätzer. 81
4.6 Zusammenfassung . 82
Anhang. 83
Schätzung
5.1 Konfidenzintervalle und Intervallschätzer. 86
5.2 Intervallschätzer für
5.3 Intervallschätzer für
5.3.1 Herleitung des Intervallschätzers. 92
5.3.2 Interpretation des Intervallschätzers. 97
INHALTSVERZEICHNIS xiii
5.3.3 Aussagekraft von Intervallschätzern . 99
5.4 Intervallschätzer für
5.5 Zusammenfassung . 100
6 Hypothesentest 103
6.1 Zweiseitiger Hypothesentest. 103
6.1.1 Ein grafisches Entscheidungsverfahren. 104
6.1.2 Ein analytisches Entscheidungsverfahren. 106
6.1.3 Zusammenhang zwischen analytischem und grafischem
Vorgehen. 110
6.2 Einseitiger Hypothesentest. 111
6.2.1 Ein grafisches Entscheidungsverfahren. 112
6.2.2 Ein analytisches Entscheidungsverfahren. 113
6.3 p-Wert. 116
6.4 Wahl der geeigneten Nullhypothese und des geeigneten
Signifikanzniveaus . 118
6.4.1 Strategie A: Nullhypothese behauptet Gegenteil der
Anfangsvermutung. 118
6.4.2 Strategie B: Nullhypothese stimmt mit
Anfangsvermutung überein. 121
6.4.3 Trennschärfe von Tests. 122
6.4.4 Anmerkungen zu zweiseitigen Tests. 122
6.5 Zusammenfassung . 123
7 Prognose 125
7.1 Punktprognose. 125
7.1.1 Prognosewert und Prognosefehler. 125
7.1.2 Verlässlichkeit der Punktprognose . 126
7.2 Prognoseintervall. 128
7.3 Zusammenfassung . 130
II
8 Spezifikation 135
8.1 A-Annahmen. 136
8.1.1 Erster Schritt: Formulierung eines plausiblen linearen
Modells. 136
8.1.2 Zweiter und dritter Schritt: Hinzufügung eines
Beobachtungsindex und einer Störgröße. 138
8.1.3 Formulierung der A-Annahmen. 140
8.2 B-Annahmen. 140
8.2.1 Formulierung der B-Annahmen. 140
8.2.2 Interpretation der B-Annahmen. 141
XIV
INHALTSVERZEICHNIS
8.3 C-Annahmen.142
8.4 Zusammenfassung .145
8.5
8.5.1 Notation und Terminologie. 146
8.5.2 Rechnen mit Matrizen. 148
8.5.3 Rang einer Matrix und ihre Inversion . 150
8.5.4 Quadratische Form. 152
8.5.5 Differentiation von linearen Punktionen. 152
8.5.6 Erwartungswert und Varianz-Kovarianz-Matrix. 153
8.5.7 Spur einer Matrix . 154
8.5.8
8.6 Matrixalgebraischer Anhang. 157
8.6.1 Multiples Regressionsmodell in Matrixschreibweise . . . 157
8.6.2 Formulierung der
Schätzung 161
9.1 Punktschätzer.163
9.2 Interpretation der Schätzer.166
9.2.1 Formale Interpretation.166
9.2.2 ökonomische Interpretation.166
9.3 Bestimmtheitsmaß R2.168
9.3.1 Definition des Bestimmtheitsmaßes.168
9.3.2 Grafische Veranschaulichung des Bestimmtheitsmaßes . 169
9.3.3 Berechnung des Bestimmtheitsmaßes.170
9.4 Unverzerrtheit und Effizienz der KQ-Methode.171
9.4.1 Erwartungswert und Varianz der KQ-Schätzer .171
9.4.2 Interpretation der Formeln .171
9.4.3 Schätzformeln für
9.4.4
9.5 Wahrscheinlichkeitsverteilungen der KQ-Schätzer.174
9.5.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung der
9.5.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Schätzer
9.6 Intervallschätzer.175
9.7 Zusammenfassung .179
Anhang.180
9.8 Matrixalgebraischer Anhang.181
9.8.1 Herleitung der KQ-Schätzer.182
9.8.2 Bestimmtheitsmaß.186
9.8.3 Erwartungswert der KQ-Schätzer.188
9.8.4 Varianz-Kovarianz-Matrix der KQ-Schätzer.189
9.8.5 Was genau bedeutet
9.8.6 KQ-Schätzer sind
9.8.7 Schätzung der Störgrößenvarianz.194
9.8.8 Wahrscheinlichkeitsverteilung der KQ-Schätzer.196
INHALTSVERZEICHNIS xv
9.8.9 Intervallschätzung. 197
9.8.10 Resümee. 198
10 Hypothesentest 199
10.1 Testen einer Linearkombination von Parametern: i-Test . 199
10.1.1 Zweiseitiger i-Test. 199
10.1.2 Einseitiger i-Test. 203
10.2 Simultaner Test mehrerer Linearkombinationen von
Parametern: F-Test . 204
10.2.1 Eine wichtige Nullhypothese. 205
10.2.2 Test einer allgemeinen Nullhypothese. 211
10.3 Zusammenhang zwischen i-Test und F-Test bei
10.3.1 Zweiseitiger F-Test einer einzelnen Linearkombination . 212
10.3.2 Probleme des F-Tests bei einseitigen Hypothesen . 214
10.4 Zusammenhang zwischen ¿-Test und F-Test bei
10.4.1 Nummerisches Beispiel. 216
10.4.2 Unterschied zwischen individuellen und
simultanen Tests. 216
10.5 Zusammenfassung . 219
10.6 Matrixalgebraischer Anhang. 220
10.6.1 i-Test. 220
10.6.2 F-Test. 222
10.6.3 Zusammenhang zwischen i-Test und F-Test bei
10.6.4 Warum besitzen F-Werte eine F-Verteilung?. 228
10.6.5 Warum besitzen t-Werte eine i-Verteilung?. 228
11 Prognose 231
11.1 Punktprognose. 231
11.1.1 Prognosewert und Prognosefehler. 231
11.1.2 Verlässlichkeit der Punktprognose . 232
11.2 Prognoseintervall. 233
11.3 Zusammenfassung . 234
11.4 Matrixalgebraischer Anhang. 234
12 Präsentation der Schätzergebnisse und deren
computergestützte Berechnung 237
12.1 Computergestützte ökonometrische Analyse. 238
12.1.1 ökonometrische Software. 238
12.1.2 Interpretation des Computeroutputs. 239
12.2 Präsentation von Schätzergebnissen. 240
xvi INHALTSVERZEICHNIS
III
wirtschaftsempirischen Praxis:
Verletzungen der
13 Verletzung der Annahme AI:
Fehlerhafte Auswahl der exogenen Variablen 247
13.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung. 248
13.1.1 Auslassen relevanter Variablen. 250
13.1.2 Verwendung irrelevanter Variablen. 256
13.2 Diagnose und Neu-Spezifikation. 258
13.2.1 Korrigiertes Bestimmtheitsmaß
13.2.2 Weitere Kennzahlen: AIC, SC und PC. 261
13.2.3 F-Test. 263
13.2.4 t-Test. 264
13.2.5 Zusammenhang zwischen korrigiertem
Bestimmtheitsmaß, F-Test und i-Test. 265
13.2.6 Ungenesteter F-Test. 266
13.2.7 J-Test. 268
13.3 Spezifikations-Methodologien. 270
13.3.1 Steinmetz- versus Maurer-Methodologie. 270
13.3.2 Ein wichtiges Problem bei der Variablenauswahl . 270
13.4 Zusammenfassung. 271
Anhang. 272
13.5
13.5.1 Blockmatrizen . 273
13.5.2 Rechnen mit Blockmatrizen. 274
13.5.3 Inversion von Blockmatrizen . 274
13.6 Matrixalgebraischer Anhang. 277
13.6.1 Auslassen relevanter Variablen. 278
13.6.2 Verwendung irrelevanter Variablen. 280
13.6.3 Instrumente der Variablenauswahl. 283
14 Verletzung der Annahme A2:
Nicht-lineare Wirkungszusammenhänge 285
14.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung.286
14.2 Einige alternative Funktionsformen.286
14.2.1 Semi-logarithmisches Modell .287
14.2.2
14.2.3 Exponential-Modell .289
14.2.4 Logarithmisches Modell.290
14.2.5
14.2.6 Quadratisches Modell.292
14.2.7 Eine vergleichende Anwendung.292
14.3 Diagnose und Neu-Spezifikation.294
INHALTSVERZEICHNIS xvii
14.3.1 Regression
14.3.2 Bestimmtheitsmaß
14.3.3
14.4 Zusammenfassung .305
Anhang.306
14.5 Matrixalgebraischer Anhang.308
15 Verletzung der Annahme A3:
Variable Parameter wert
15.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung. 313
15.1.1 Ein geeignetes Strukturbruchmodell. 315
15.1.2 Schätzung und Interpretation der Parameter des
Strukturbruchmodells. 317
15.1.3 Getrennte Schätzung der zwei Phasen. 319
15.1.4 Eine mögliche alternative Formulierung des
Strukturbruchmodells. 320
15.1.5 Komplexere Strukturbrüche. 321
15.1.6 Konsequenzen aus einer Vernachlässigung des
Strukturbruchs. 322
15.2 Diagnose. 323
15.2.1 F-Test. 323
15.2.2 i-Test. 324
15.2.3 Prognostischer Chow-Test. 325
15.2.4 Zeitpunkt des Strukturbruchs. 326
15.3 Stetige Veränderung von Parameterwerten . 327
15.4 Exkurs: Anwendung von
exogenen Variablen. 328
15.4.1 Einführung einer
15.4.2 Ein allgemeines
15.5 Zusammenfassung. 331
15.6 Matrixalgebraischer Anhang. 332
15.6.1 Strukturbruchmodelle. 332
15.6.2 F-Tests und i-Tests. 334
15.6.3 Exkurs: Umgang mit qualitativen exogenen Variablen . 336
16 Verletzung der Annahme Bl:
Erwartungswert der Störgröße von null verschieden 339
16.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung. 340
16.1.1 Konstanter Messfehler bei der Erfassung der endogenen
Variable. 341
16.1.2 Konstanter Messfehler bei der Erfassung einer exogenen
Variable. 346
16.1.3 Funktionale Modelltransformation. 347
16.1.4 Gestutzte endogene Variable . 349
xviii INHALTSVERZEICHNIS
16.2 Diagnose. 352
16.2.1 Überprüfung der Datenerhebung. 352
16.2.2 Überprüfung auf Basis der Daten. 352
16.3 Anwendbare Schätzverfahren. 352
16.4 Zusammenfassung . 353
Anhang. 354
16.5 Matrixalgebraischer Anhang. 354
16.5.1 Partitionierte Regression. 354
16.5.2 Eine spezielle Partition . 356
16.5.3 Konstante Messfehler: Konsequenzen für die
KQ-Schätzung. 358
16.5.4 Gestutzte Daten: Konsequenzen für die KQ-Schätzung . 362
17 Verletzung der Annahme B2:
Heteroskedastizität 363
17.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung . 364
17.1.1 Konsequenzen für die Punktschätzung. 365
17.1.2 Konsequenzen für Intervallschätzung und
Hypothesentest. 369
17.2 Diagnose. 370
17.2.1 Goldfeld-Quandt-Test. 370
17.2.2
17.3 Anwendbare Schätzverfahren. 374
17.3.1 VKQ-Methode. 375
17.3.2 GVKQ-Methode. 376
17.4 Zusammenfassung . 379
17.5 Matrixalgebraischer Anhang. 380
17.5.1 Herleitung des transformierten Modells . 381
17.5.2 Vergleich des VKQ-Schätzers mit dem KQ-Schätzer des
ursprünglichen Modells . 384
17.5.3 GVKQ-Schätzer . 386
18 Verletzung der Annahme B3:
Autokorrelation 389
18.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung . 391
18.1.1 AR(1)-Prozess. 391
18.1.2 Erwartungswert von
18.1.3 Varianz von
18.1.4 Kovarianz von
18.1.5 Konsequenzen für die Punktschätzung. 395
18.1.6 Konsequenzen für Intervallschätzung und
Hypothesentest. 396
18.2 Diagnose. 397
18.2.1 Grafische Analyse. 398
INHALTSVERZEICHNIS xix
18.2.2 Schätzer für
18.2.3 Durbin-Watson-Test. 401
18.3 Anwendbare Schätzverfahren. 406
18.3.1 Ermittlung von x\ und y{. 406
18.3.2 VKQ-Methode von Hildreth und
18.3.3 GVKQ-Methode von Cochrane und Orcutt. 409
18.4 Zusammenfassung . 410
Anhang. 412
18.5 Matrixalgebraischer Anhang. 412
18.5.1 Herleitung des transformierten Modells . 413
18.5.2 Konsequenzen der Autokorrelation. 416
18.5.3 Schätzung des transformierten Modells. . 417
19 Verletzung der Annahme B4:
Störgrößen nicht normalverteilt 419
19.1 Konsequenzen der Annahmeverletzung. 420
19.2 Diagnose. 422
19.2.1 Grafische Analyse . 422
19.2.2 Jarque-Bera-Test. 424
19.3 Zusammenfassung . 426
19.4 Matrixalgebraischer Anhang. 427
20 Verletzung der Annahme Cl:
Zufallsabhängige exogene Variablen 429
20.1 Weitere Qualitätskriterien für Schätzer: Konsistenz und
asymptotische Effizienz. 430
20.1.1 Konsistenz . 431
20.1.2 Rechenregeln für Wahrscheinlichkeitsgrenzwerte. 433
20.1.3 Asymptotische Effizienz. 434
20.2 Konsequenzen der Annahmeverletzung. 434
20.2.1 Fall 1: Störgrößen und Beobachtungen der exogenen
Variable unabhängig. 435
20.2.2 Fall 2: Störgrößen und Beobachtungen der exogenen
Variable kontemporär unkorreliert. 439
20.2.3 Eine mögliche Ursache für Fall 2:
7/i-i als „exogene Variable". 440
20.2.4 Fall 3: Störgrößen und Beobachtungen der exogenen
Variable kontemporär korreliert. 440
20.2.5 Eine mögliche Ursache für Fall 3:
Probleme bei der Erfassung der exogenen Variable . . . 442
20.3 Anwendbare Schätz verfahren. 447
20.3.1 Eigenschaften einer Instrument variable. 448
20.3.2 IV-Schätzung. 448
20.3.3 Konsistenz der IV-Schätzer. 450
xx INHALTSVERZEICHNIS
20.3.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung und Varianz der
IV-Schätzer.451
20.3.5 Fazit der IV-Schätzung .452
20.4 Diagnose .453
20.4.1 Vorüberlegungen. 453
20.4.2 Spezifikationstest von Hausman. 453
20.5 Zusammenfassung . 455
20.6 Matrixalgebraischer Anhang. 456
20.6.1 Bedingter Erwartungswert. 457
20.6.2 Fall 1: Störgrößen und exogene Variablen sind
unabhängig. 460
20.6.3 Fall 2: Störgrößen und exogene Variablen sind
kontemporär nicht korreliert. 469
20.6.4 Fall 3: Störgrößen und exogene Variablen sind
kontemporär korreliert. 470
20.6.5 Instrumentvariablen-Schätzung. 471
20.6.6 Hausman-Test . 477
21 Verletzung der Annahme C2:
Perfekte Multikollinearität 479
21.1 Konsequenzen der Annahme Verletzung . 482
21.1.1 Grafische Veranschaulichung . 482
21.1.2 Konsequenzen perfekter Multikollinearität für
Punkt-, Intervallschätzung und Hypothesentests . 483
21.1.3 Konsequenzen imperfekter Multikollinearität für
Punkt-, Intervallschätzung und Hypothesentests . 484
21.2 Diagnose . 486
21.2.1 Diagnose von Multikollinearität. 486
21.2.2 Hohe Schätzvarianz der Punktschätzer:
Multikollinearität oder Fehlspezifikation? . 488
21.3 Angemessener Umgang mit Multikollinearität. 491
21.3.1 Verfahren zur Eindämmung des
Multikollinearitätsproblems. 491
21.3.2 Verwendung zusätzlicher Informationen. 493
21.4 Zusammenfassung . 496
21.5 Matrixalgebraischer Anhang. 497
21.5.1 Auswirkungen hoher Multikoilinearität
auf die KQ-Schätzer. 497
21.5.2 Diagnose der Multikollinearität. 499
21.5.3 Restringierte KQ-Schätzung. 499
INHALTSVERZEICHNIS xxi
IV
22 Dynamische Modelle 507
22.1 Stochastische Prozesse und Stationarität . 508
22.1.1 Stochastische Prozesse. 508
22.1.2 Stationarität von stochastischen Prozessen. 509
22.1.3 I(l)-Prozesse. 510
22.2 Interpretation dynamischer Modelle . 511
22.2.1 Interpretation einzelner Parameter. 511
22.2.2 Kurzfristiger und langfristiger Multiplikator. 512
22.2.3
22.3 Allgemeine Schätzprobleme dynamischer Modelle. 516
22.3.1 Zwei zentrale Schätzprobleme . 516
22.3.2 Mögliche Lösungsstrategien. 517
22.4 Modelle mit geometrischer Lag-Verteilung. 517
22.4.1 Geometrische Lag-Verteilungen. 517
22.4.2 Koyck-Modell. 518
22.4.3 Ein Verwandter des Koyck-Modells:
Partielles Anpassungsmodell . 521
22.4.4 Ein weiterer Verwandter des Koyck-Modells:
Modell adaptiver Erwartungen. 523
22.5 Modelle mit rationaler Lag-Verteilung und ihre
Fehlerkorrektur-Formulierung. 524
22.5.1 Langfristige Gleichgewichtsbeziehung. 525
22.5.2 Fehlerkorrektur-Formulierung des ADL(1,1)-Modells . . 526
22.5.3 Schätzung des Fehlerkorrekturmodells. 527
22.5.4 Fehlerkorrekturmodell und ökonomische Theorie . 529
22.6 Zusammenfassung . 530
22.7 Matrixalgebraischer Anhang. 531
22.7.1 Allgemeines dynamisches Modell. 531
22.7.2 Formulierung von Modellen mit geometrischer
Lag-Verteilung. 532
22.7.3 Schätzung von Modellen mit geometrischer
Lag-Verteilung. 532
23
23.1 Nicht-Konsistenz der KQ-Schätzer. 536
23.2 Indirekte KQ-Methode (IKQ-Methode). 537
23.2.1 Strukturelle Form versus reduzierte Form. 537
23.2.2 Schätzung der Parameter der reduzierten Form. 539
23.2.3 Schätzung der Parameter der strukturellen Form . 539
23.3 Identifikationsproblem. 541
23.3.1 Ein verkleinertes Gleichungssystem. 541
23.3.2 Ein erweitertes Gleichungssystem. 542
xxii INHALTSVERZEICHNIS
23.3.3 Ordnungskriterium.543
23.4 Zweistufige KQ-Methode (ZSKQ-Methode) .545
23.4.1 Erste Stufe der ZSKQ-Schätzung. 545
23.4.2 Zweite Stufe der ZSKQ-Schätzung. 546
23.4.3 ZSKQ-Schätzung im Überblick. 547
23.5 Weitere Beispiele interdependenter Gleichungssysteme. 548
23.5.1 Gleichungssysteme mit Lag-Variablen. 548
23.5.2 Keynesianisches Makromodell. 549
23.5.3 Partielles Marktgleichgewichtsmodell. 549
23.6 Zusammenfassung . 550
Anhang. 552
23.7 Matrixalgebraischer Anhang. 553
23.7.1 Kompakte Darstellung der strukturellen Form. 553
23.7.2 Reduzierte Form. 556
23.7.3 Identifikation einer Gleichung. 558
23.7.4 Schätzung mit der IKQ-Methode. 559
23.7.5 Schätzung mit der ZSKQ-Methode. 560
Literaturverzeichnis 563
Tabellenanhang 567
Index 575
Dieses Lehrbuch bietet eine praxisorientierte Einführung in die
Methoden der Ökonometrie. Angesichts der zunehmenden Bedeu¬
tung der empirischen Analyse in Wissenschaft und Praxis will das
Buch die Ökonometrie aus ihrer formal-mathematischen Ecke
herausholen und einem breiteren Interessentenkreis zugänglich
machen. In der Konzeption des Lehrbuches erhielt deshalb didak¬
tisches Profil grundsätzlich Vorrang vor wissenschaftlicher
Eleganz. Unterstützt durch zahlreiche Illustrationen, ausführliche
verbale Erläuterungen und begleitende numerische Beispiele
werden sowohl die ökonometrischen Grundlagen als auch an¬
spruchsvollere Themenbereiche in gut verständlicher Art und
Weise aufbereitet. Das Lehrbuch kommt ohne den Einsatz von
Matrixalgebra aus.Ambitionierte Leser finden jedoch in den
jeweiligen Kapitelanhängen ausführliche matrixalgebraische
Darstellungen des behandelten Materials. |
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