Algebraische Grundlagen der Informatik: Strukturen, Zahlen, Verschlüsselung, Codierung
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Format: | Buch |
Sprache: | German |
Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Vieweg
2007
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Ausgabe: | 3., überarb. und erw. Aufl. |
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Inhaltsverzeichnis
I Algebraische Strukturen 1
1 Einführung 5
2 Halbgruppen und Monoide 13
2.1 Definitionen und Beispiele 13
2.2 Unterhalbgruppen 15
2.3 Halbgruppen und Monoidhomomorphismen 16
2.4 Kongruenzrelationen 19
2.5 Der Homomorphiesatz für Halbgruppen 24
2.6 Übungen 27
3 Gruppen 29
3.1 Gruppenisomorphismen 31
3.2 Zyklische Gruppen 35
3.3 Untergruppen 36
3.3.1 Permutationsgruppen 37
3.3.2 Der Satz von Lagrange 39
3.3.3 Normalteiler 43
3.3.4 Kerne von Homomorphismen 45
3.3.5 Der Homomorphiesatz für Gruppen 47
3.3.6 Elementordnungen 48
3.4 Übungen 50
4 Ringe, Körper und Integritätsbereiche 55
4.1 Grundlegende Definitionen 55
4.1.1 Ringe 55
4.1.2 Körper 56
4.1.3 Unterringe, Unterkörper, Ring und Körperhomomorphis¬
men 59
4.1.4 Körpererweiterungen 60
4.2 Integritätsbereiche 62
4.3 Polynomringe 63
4.4 Ideale 65
4.5 Die Einheitengruppe eines Rings und der Satz von Euler 67
4.6 Übungen 69
II Einführung in die Zahlentheorie 71
5 Teilbarkeit, Irreduzibilität und prime Elemente 75
5.1 Teilbarkeit 75
5.2 Irreduzible und prime Elemente 76
5.3 Übungen 79
6 Teilbarkeit ganzer Zahlen 81
6.1 Größter gemeinsamer Teiler 82
6.2 Euklidischer Algorithmus für ganze Zahlen 84
6.3 Primzahlen 88
6.4 Der Kleine Satz von Fermat 94
6.5 Effizientes Potenzieren 96
6.6 Übungen 99
7 Teilbarkeit von Polynomen 101
7.1 Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen 101
7.2 Polynomringe und Irreduzibilität 104
7.3 Nullstellen 107
7.4 Übungen 109
8 Kongruenzgleichungen 111
8.1 Lineare Kongruenzen 111
8.2 Chinesischer Restsatz 114
8.3 Übungen 118
9 Die Eulersche ^ Funktion 119
9.1 Eigenschaften und Berechnung 119
9.2 Modulare Arithmetik 122
10 Primzahltests 127
10.1 Pseudoprimzahlen 129
10.2 Carmichael Zahlen 132
10.3 Miller Rabin Test 135
10.4 Übungen 141
11 Primitivwurzeln und diskrete Logarithmen 143
III Einführung in die Kryptologie 149
12 Einfache Chiffriersysteme 153
12.1 Verschiebe und Tauschchiffren 153
12 1.1 Cäsar Chiffre 153
12.1.2 Tauschchiffren 155
12.2 Kryptoanalyse • 156
12.3 Weitere Tauschchiffren. Vigenere Chiffre 158
13 Perfekte Sicherheit und One time pad Verfahren 163
13.1 Perfekte Sicherheit 164
13.2 One Time Pad • 165
13.3 Lineare Schieberegister 167
13.4 Übung 170
14 Public key Systeme 171
14.1 Einwegfunktionen 171
14.2 Das RSA Verfahren 173
14.3 DerDiffie Hellman Schlüsselaustausch 180
14.4 Das ElGamal Verfahren 181
14.5 Signaturen 182
IV Lineare Algebra 187
15 Vektorräume 191
15.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften 191
15.2 Lineare Unabhängigkeit. 196
15.3 Basis und Dimension eines Vektorraums 199
15.4 Lineare Abbildungen 202
15.5 Orthogonalräume 208
15.6 Übungen 211
16 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 213
16.1 Matrizen 213
16.2 Lineare Gleichungssysteme . 220
16.3 Determinanten • 227
16.4 Invertierbare Matrizen 233
16.5 Übungen 239
V Einführung in die Codierungstheorie 241
17 Einfache Codes 247
17.1 Block Codes • 247
17.1.1 Repetitionscode 248
17.1.2 Codes mit Paritätsbit 249
17.1.3 Codes mit Blocksicherung 250
17.2 Linearcodes 251
17.3 Übungen 258
18 Perfekte Codes 261
18.1 Triviale perfekte Codes 263
18.2 Hamming Codes 264
18.3 Übungen 266
19 Präfixcodes 267
20 Information, Entropie und Sätze von Shannon 273
20.1 Huffman Code 275
20.2 Information 281
20.3 Entropie 283
20.4 Quellencodierung 285
20.5 Kanalcodierung 288
20.6 Übungen 299
21 Prüfzeichencodierung 301
21.1 Prüfzeichenverfahren: Definition und allgemeine Eigenschaften . . 302
21.2 Priifziffercodierung in additiven Restklassen 303
21.2.1 ISBN Codierung 304
21.2.2 EAN Codierung 307
21.3 Fehlererkennung mit abelschen Gruppen 309
21.4 Prüfziffercodierung in Diedergruppen 312
21.5 Übungen 316
22 Zyklische Codes 319
22.1 Generatorpolynome und matrizen 321
22.2 Kontrollpolynome und matrizen 324
22.3 Erweiterungen endlicher Körper 325
22.3.1 Beispiele 325
22.3.2 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften 329
22.3.3 Minimalpolynome 330
22.3.4 Einheitengruppen endlicher Körper 331
22.3.5 Charakteristik von Körpern 332
22.3.6 Automorphismen endlicher Köper 336
22.4 Hamming Codes 338
22.5 BCH Codes 346
22.6 Reed Solomon Codes 348
22.7 Übungen 350
Literaturverzeichnis 353
Index 357 |
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Inhaltsverzeichnis
I Algebraische Strukturen 1
1 Einführung 5
2 Halbgruppen und Monoide 13
2.1 Definitionen und Beispiele 13
2.2 Unterhalbgruppen 15
2.3 Halbgruppen und Monoidhomomorphismen 16
2.4 Kongruenzrelationen 19
2.5 Der Homomorphiesatz für Halbgruppen 24
2.6 Übungen 27
3 Gruppen 29
3.1 Gruppenisomorphismen 31
3.2 Zyklische Gruppen 35
3.3 Untergruppen 36
3.3.1 Permutationsgruppen 37
3.3.2 Der Satz von Lagrange 39
3.3.3 Normalteiler 43
3.3.4 Kerne von Homomorphismen 45
3.3.5 Der Homomorphiesatz für Gruppen 47
3.3.6 Elementordnungen 48
3.4 Übungen 50
4 Ringe, Körper und Integritätsbereiche 55
4.1 Grundlegende Definitionen 55
4.1.1 Ringe 55
4.1.2 Körper 56
4.1.3 Unterringe, Unterkörper, Ring und Körperhomomorphis¬
men 59
4.1.4 Körpererweiterungen 60
4.2 Integritätsbereiche 62
4.3 Polynomringe 63
4.4 Ideale 65
4.5 Die Einheitengruppe eines Rings und der Satz von Euler 67
4.6 Übungen 69
II Einführung in die Zahlentheorie 71
5 Teilbarkeit, Irreduzibilität und prime Elemente 75
5.1 Teilbarkeit 75
5.2 Irreduzible und prime Elemente 76
5.3 Übungen 79
6 Teilbarkeit ganzer Zahlen 81
6.1 Größter gemeinsamer Teiler 82
6.2 Euklidischer Algorithmus für ganze Zahlen 84
6.3 Primzahlen 88
6.4 Der Kleine Satz von Fermat 94
6.5 Effizientes Potenzieren 96
6.6 Übungen 99
7 Teilbarkeit von Polynomen 101
7.1 Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen 101
7.2 Polynomringe und Irreduzibilität 104
7.3 Nullstellen 107
7.4 Übungen 109
8 Kongruenzgleichungen 111
8.1 Lineare Kongruenzen 111
8.2 Chinesischer Restsatz 114
8.3 Übungen 118
9 Die Eulersche ^ Funktion 119
9.1 Eigenschaften und Berechnung 119
9.2 Modulare Arithmetik 122
10 Primzahltests 127
10.1 Pseudoprimzahlen 129
10.2 Carmichael Zahlen 132
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10.4 Übungen 141
11 Primitivwurzeln und diskrete Logarithmen 143
III Einführung in die Kryptologie 149
12 Einfache Chiffriersysteme 153
12.1 Verschiebe und Tauschchiffren 153
12 1.1 Cäsar Chiffre 153
12.1.2 Tauschchiffren 155
12.2 Kryptoanalyse • 156
12.3 Weitere Tauschchiffren. Vigenere Chiffre 158
13 Perfekte Sicherheit und One time pad Verfahren 163
13.1 Perfekte Sicherheit 164
13.2 One Time Pad • 165
13.3 Lineare Schieberegister 167
13.4 Übung 170
14 Public key Systeme 171
14.1 Einwegfunktionen 171
14.2 Das RSA Verfahren 173
14.3 DerDiffie Hellman Schlüsselaustausch 180
14.4 Das ElGamal Verfahren 181
14.5 Signaturen 182
IV Lineare Algebra 187
15 Vektorräume 191
15.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften 191
15.2 Lineare Unabhängigkeit. 196
15.3 Basis und Dimension eines Vektorraums 199
15.4 Lineare Abbildungen 202
15.5 Orthogonalräume 208
15.6 Übungen 211
16 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 213
16.1 Matrizen 213
16.2 Lineare Gleichungssysteme . 220
16.3 Determinanten • 227
16.4 Invertierbare Matrizen 233
16.5 Übungen 239
V Einführung in die Codierungstheorie 241
17 Einfache Codes 247
17.1 Block Codes • 247
17.1.1 Repetitionscode 248
17.1.2 Codes mit Paritätsbit 249
17.1.3 Codes mit Blocksicherung 250
17.2 Linearcodes 251
17.3 Übungen 258
18 Perfekte Codes 261
18.1 Triviale perfekte Codes 263
18.2 Hamming Codes 264
18.3 Übungen 266
19 Präfixcodes 267
20 Information, Entropie und Sätze von Shannon 273
20.1 Huffman Code 275
20.2 Information 281
20.3 Entropie 283
20.4 Quellencodierung 285
20.5 Kanalcodierung 288
20.6 Übungen 299
21 Prüfzeichencodierung 301
21.1 Prüfzeichenverfahren: Definition und allgemeine Eigenschaften . . 302
21.2 Priifziffercodierung in additiven Restklassen 303
21.2.1 ISBN Codierung 304
21.2.2 EAN Codierung 307
21.3 Fehlererkennung mit abelschen Gruppen 309
21.4 Prüfziffercodierung in Diedergruppen 312
21.5 Übungen 316
22 Zyklische Codes 319
22.1 Generatorpolynome und matrizen 321
22.2 Kontrollpolynome und matrizen 324
22.3 Erweiterungen endlicher Körper 325
22.3.1 Beispiele 325
22.3.2 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften 329
22.3.3 Minimalpolynome 330
22.3.4 Einheitengruppen endlicher Körper 331
22.3.5 Charakteristik von Körpern 332
22.3.6 Automorphismen endlicher Köper 336
22.4 Hamming Codes 338
22.5 BCH Codes 346
22.6 Reed Solomon Codes 348
22.7 Übungen 350
Literaturverzeichnis 353
Index 357 |
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