Periodische Verschachtelungsprobleme in x [0,w]:
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| Format: | Abschlussarbeit Buch |
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2006
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Einordnung und Abgrenzung der untersuchten Frage 2
1.1.1 Klassifikation von Zuschnitt und Packungsproblemen 2
1.1.2 Frühere Arbeiten 5
1.1.3 Abgrenzung der Arbeit 14
1.2 Gliederung der Arbeit 15
2 Grundbegriffe und Problemstellung 17
2.1 Grundbegriffe 18
2.1.1 Polygonzüge und Polygone 18
2.1.2 Kongruente Bilder 19
2.1.3 Topologische Begriffe 19
2.1.4 Problemspezifische Begriffe 19
2.2 Das grundlegende Optimierungsproblem 21
2.3 Die Kostenfunktion 22
3 Die Minkowski Summe 25
3.1 Eigenschaften der Minkowski Summe 26
3.1.1 Veranschaulichung 26
3.1.2 Weitere Eigenschaften 26
3.1.3 Gestalt 27
3.2 Die Minkowski Summe konvexer Polygone 29
3.3 Komplexität der Minkowski Summe 29
3.3.1 Die Komplexität von A®B 29
3.3.2 Die Komplexitäten von A@( A) und ^4 © .4 31
3.3.3 Weitere Komplexitäten 31
3.4 Berechnung der Minkowski Summe 38
3.4.1 Berechnung über Zerlegung in konvexe Polygone 38
3.4.2 Berechnung über die Konvolution 38
4 Neue Komplexitätsschranke der Minkowski Summe 43
4.1 Einleitung 44
4.1.1 Hintergrund 44
4.1.2 Neuer Beitrag 45
4.2 Definition eines Komplexitätsmaßes 45
4.2.1 Motivation 45
4.2.2 Definition von ccd Teilzügen und k p 47
4.2.3 Definition von kp 48
4.2.4 Eigenschaften von kp 48
4.2.5 Verhalten bei Approximationen an glatte Kurven 50
IX
X INHALTSVERZEICHNIS
4.3 Schranken mit dem neuen Komplexitätsmaß 50
4.3.1 Von den r^ zur Minkowski Summe 51
4.3.2 Komplexität des Schnittes von ccd Zügen 51
4.3.3 Komplexität der Minkowski Summe 52
4.4 Konstruktion der r^ 53
4.4.1 Konvolution von ccd Zügen 54
4.4.2 Modifikation der Konvolution konvex/konkav 56
4.4.3 Beweis von Satz 4.3 70
4.5 Algorithmische Umsetzung 70
4.5.1 Bekannte Algorithmen im vorliegenden Spezialfall 70
4.5.2 Neuer Algorithmus zur Berechnung von P © Q 71
5 lfache Verschachtelung mit sich selbst 73
5.1 Die Ausgangssituation 73
5.1.1 Frühere Arbeiten 73
5.1.2 Neuer Beitrag 75
5.1.3 Notationen 75
5.2 Konstante Kosten pro Flächeneinheit 75
5.2.1 Rechteckschnitt 76
5.2.2 Freier Schnitt 78
5.2.3 Parallelogrammschnitt 84
5.3 Breitenabhängige Kosten 85
5.3.1 Kandidaten für den optimalen Winkel 85
5.3.2 Algorithmen, um den optimalen Winkel zu berechnen 87
6 Verschachtelung mit Threshold Accepting 89
6.1 Motivation 89
6.2 Adaptierung von Threshold Accepting 91
6.2.1 Grundlegende Funktionsweise lokaler Suchverfahren 91
6.2.2 Akzeptanzbedingung: Threshold Accepting 92
6.2.3 Der Konfigurationsraum 93
6.2.4 Der Algorithmus 94
6.3 Besonderheiten periodischer Streifenpackungen 95
6.3.1 Mehrere unabhängige Durchläufe 96
6.3.2 Berechnung der Vorschublänge 96
6.3.3 Kanonische und unkanonische Verschachtelungen 103
7 Symmetrische Verschachtelungen 111
7.1 Einleitung 111
7.1.1 Motivation 111
7.1.2 Ziele 113
7.1.3 Vorüberlegungen 114
7.1.4 Definitionen und Notationen 114
7.2 Symmetrische Verschachtelungen 115
7.2.1 Definition symmetrischer Verschachtelungen 115
7.2.2 Symmetrische Verschachtelungen mehrerer Teile 115
7.2.3 Grundbegriffe der Tiling Theorie 117
7.2.4 Eigenschaften und Beziehung zur Tiling Theorie 118
7.2.5 Klassifikation symmetrischer Verschachtelungen 121
7.3 Quantifizierung der Symmetrie 124
INHALTSVERZEICHNIS XI
7.3.1 Definition eines Maßes 124
7.3.2 Klassifikation 125
7.4 Algorithmen für bestimmte Symmetrien 131
7.4.1 Auswahl der algorithmisch genutzten Symmetrien 132
7.4.2 Grundlegendes Verfahren 132
7.4.3 Die Typen 2l.x 133
7.4.4 Die Typen 22.2 und 22.3 138
7.4.5 Die Typen 31 und 41 141
7.4.6 Die Typen 42.x 142
7.4.7 Der Typ 43 143
7.4.8 2 2 er Verschachtelungen 144
7.5 Symmetrien in der Praxis 145
7.5.1 Rudimentäre Symmetriebehandlung 145
7.5.2 Verschachtelungen mit sich selbst 146
7.5.3 2 2 er Verschachtelungen 153
7.6 Optimalität symmetrischer Verschachtelungen 156
7.6.1 Optimale symmetrische Verschachtelungen 156
7.6.2 Nicht symmetrisch kostenoptimal verschachtelbare Polygone 159
8 Erweiterungen 163
8.1 Mehrere Streifen 163
8.1.1 Identifikation zweier Teilprobleme 164
8.1.2 Hauptalgorithmus zur Familienbildung 164
8.1.3 Resultate 165
8.2 Strecken von Verschachtelungen 166
8.2.1 Der Hauptalgorithmus 167
8.2.2 Berechnung der Matrix legaler Verschiebungen 167
8.2.3 Bestimmung der Cluster 168
8.2.4 Streckung mehrerer Cluster 169
8.2.5 Streckung von einem Cluster 170
8.3 Handhabung von Löchern in den Teilen 172
8.3.1 Platzierung einer Menge von Individuen in einem Loch 174
8.3.2 Auswahl der zu testenden Teilemengen und Löcher 175
9 Zusammenfassung und Ausblick 179
A Symmetrien Technische Details A l
A.l Überlegungen zur Klassifikation A l
A.l.l Zusammenhängende Verschachtelungen A l
A.l.2 Weitere Vorüberlegungen A 4
A.2 2fache Verschachtelung mit sich selbst A 5
A.2.1 Der Fall la) A 6
A.2.2 Der Fall lb) A 6
A.2.3 Der Fall 2a) A 6
A.2.4 Der Fall 2b) A 7
A.2.5 Der Fall 2c) A 7
A.3 3fache Verschachtelung mit sich selbst A 7
A.3.1 Details zu Punkt 2 A 8
A.3.2 Details zu Punkt 3 A 8
A.3.3 Details zu Punkt 4 A 10
|
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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Einordnung und Abgrenzung der untersuchten Frage 2
1.1.1 Klassifikation von Zuschnitt und Packungsproblemen 2
1.1.2 Frühere Arbeiten 5
1.1.3 Abgrenzung der Arbeit 14
1.2 Gliederung der Arbeit 15
2 Grundbegriffe und Problemstellung 17
2.1 Grundbegriffe 18
2.1.1 Polygonzüge und Polygone 18
2.1.2 Kongruente Bilder 19
2.1.3 Topologische Begriffe 19
2.1.4 Problemspezifische Begriffe 19
2.2 Das grundlegende Optimierungsproblem 21
2.3 Die Kostenfunktion 22
3 Die Minkowski Summe 25
3.1 Eigenschaften der Minkowski Summe 26
3.1.1 Veranschaulichung 26
3.1.2 Weitere Eigenschaften 26
3.1.3 Gestalt 27
3.2 Die Minkowski Summe konvexer Polygone 29
3.3 Komplexität der Minkowski Summe 29
3.3.1 Die Komplexität von A®B 29
3.3.2 Die Komplexitäten von A@( A) und ^4 © .4 31
3.3.3 Weitere Komplexitäten 31
3.4 Berechnung der Minkowski Summe 38
3.4.1 Berechnung über Zerlegung in konvexe Polygone 38
3.4.2 Berechnung über die Konvolution 38
4 Neue Komplexitätsschranke der Minkowski Summe 43
4.1 Einleitung 44
4.1.1 Hintergrund 44
4.1.2 Neuer Beitrag 45
4.2 Definition eines Komplexitätsmaßes 45
4.2.1 Motivation 45
4.2.2 Definition von ccd Teilzügen und k'p 47
4.2.3 Definition von kp 48
4.2.4 Eigenschaften von kp 48
4.2.5 Verhalten bei Approximationen an glatte Kurven 50
IX
X INHALTSVERZEICHNIS
4.3 Schranken mit dem neuen Komplexitätsmaß 50
4.3.1 Von den r^ zur Minkowski Summe 51
4.3.2 Komplexität des Schnittes von ccd Zügen 51
4.3.3 Komplexität der Minkowski Summe 52
4.4 Konstruktion der r^ 53
4.4.1 Konvolution von ccd Zügen 54
4.4.2 Modifikation der Konvolution konvex/konkav 56
4.4.3 Beweis von Satz 4.3 70
4.5 Algorithmische Umsetzung 70
4.5.1 Bekannte Algorithmen im vorliegenden Spezialfall 70
4.5.2 Neuer Algorithmus zur Berechnung von P © Q 71
5 lfache Verschachtelung mit sich selbst 73
5.1 Die Ausgangssituation 73
5.1.1 Frühere Arbeiten 73
5.1.2 Neuer Beitrag 75
5.1.3 Notationen 75
5.2 Konstante Kosten pro Flächeneinheit 75
5.2.1 Rechteckschnitt 76
5.2.2 Freier Schnitt 78
5.2.3 Parallelogrammschnitt 84
5.3 Breitenabhängige Kosten 85
5.3.1 Kandidaten für den optimalen Winkel 85
5.3.2 Algorithmen, um den optimalen Winkel zu berechnen 87
6 Verschachtelung mit Threshold Accepting 89
6.1 Motivation 89
6.2 Adaptierung von Threshold Accepting 91
6.2.1 Grundlegende Funktionsweise lokaler Suchverfahren 91
6.2.2 Akzeptanzbedingung: Threshold Accepting 92
6.2.3 Der Konfigurationsraum 93
6.2.4 Der Algorithmus 94
6.3 Besonderheiten periodischer Streifenpackungen 95
6.3.1 Mehrere unabhängige Durchläufe 96
6.3.2 Berechnung der Vorschublänge 96
6.3.3 Kanonische und unkanonische Verschachtelungen 103
7 Symmetrische Verschachtelungen 111
7.1 Einleitung 111
7.1.1 Motivation 111
7.1.2 Ziele 113
7.1.3 Vorüberlegungen 114
7.1.4 Definitionen und Notationen 114
7.2 Symmetrische Verschachtelungen 115
7.2.1 Definition symmetrischer Verschachtelungen 115
7.2.2 Symmetrische Verschachtelungen mehrerer Teile 115
7.2.3 Grundbegriffe der Tiling Theorie 117
7.2.4 Eigenschaften und Beziehung zur Tiling Theorie 118
7.2.5 Klassifikation symmetrischer Verschachtelungen 121
7.3 Quantifizierung der Symmetrie 124
INHALTSVERZEICHNIS XI
7.3.1 Definition eines Maßes 124
7.3.2 Klassifikation 125
7.4 Algorithmen für bestimmte Symmetrien 131
7.4.1 Auswahl der algorithmisch genutzten Symmetrien 132
7.4.2 Grundlegendes Verfahren 132
7.4.3 Die Typen 2l.x 133
7.4.4 Die Typen 22.2 und 22.3 138
7.4.5 Die Typen 31 und 41 141
7.4.6 Die Typen 42.x 142
7.4.7 Der Typ 43 143
7.4.8 2 2 er Verschachtelungen 144
7.5 Symmetrien in der Praxis 145
7.5.1 Rudimentäre Symmetriebehandlung 145
7.5.2 Verschachtelungen mit sich selbst 146
7.5.3 2 2 er Verschachtelungen 153
7.6 Optimalität symmetrischer Verschachtelungen 156
7.6.1 Optimale symmetrische Verschachtelungen 156
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8 Erweiterungen 163
8.1 Mehrere Streifen 163
8.1.1 Identifikation zweier Teilprobleme 164
8.1.2 Hauptalgorithmus zur Familienbildung 164
8.1.3 Resultate 165
8.2 Strecken von Verschachtelungen 166
8.2.1 Der Hauptalgorithmus 167
8.2.2 Berechnung der Matrix legaler Verschiebungen 167
8.2.3 Bestimmung der Cluster 168
8.2.4 Streckung mehrerer Cluster 169
8.2.5 Streckung von einem Cluster 170
8.3 Handhabung von Löchern in den Teilen 172
8.3.1 Platzierung einer Menge von Individuen in einem Loch 174
8.3.2 Auswahl der zu testenden Teilemengen und Löcher 175
9 Zusammenfassung und Ausblick 179
A Symmetrien Technische Details A l
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A.l.l Zusammenhängende Verschachtelungen A l
A.l.2 Weitere Vorüberlegungen A 4
A.2 2fache Verschachtelung mit sich selbst A 5
A.2.1 Der Fall la) A 6
A.2.2 Der Fall lb) A 6
A.2.3 Der Fall 2a) A 6
A.2.4 Der Fall 2b) A 7
A.2.5 Der Fall 2c) A 7
A.3 3fache Verschachtelung mit sich selbst A 7
A.3.1 Details zu Punkt 2 A 8
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