Die Principia mathematica auf den Punkt gebracht: Kurzfassung und Erläuterungen
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wien
öbv und hpt
2006
|
| Ausgabe: | 1. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 172 S. |
| ISBN: | 3209055475 9783209055477 |
Internformat
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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 9
1
Der Inhalt der
Principia
Mathematica
13
2 Logik 15
2.1 Allgemeines. 15
2.1.1 Übersichtsplan. 15
2.1.2 Erklärung der verwendeten Begriffe. 16
2.2 Aussagenlogik. 16
2.2.1 WoMgeformtheitsbedingungen. 16
Variablen. 16
Elementarsätze und elementare Satzfunktionen. 16
2.2.2 Behauptungen . 18
2.2.3 Wahrheitswerte. 18
2.2.4 Definitionen. 19
2.2.5 Klammern. 19
2.2.6 Die Axiome und grundlegenden Festlegungen der Aussagenlogik . 20
Die
materiale
Implikation. 20
Die Axiome. 20
Die
Schlussregelţn)
(„inference").
Beweise . 21
2.2.7 Einfache Folgerungen. 22
2.2.8 Konjunktion. 23
2.2.9 Bikonditional. 23
2.3 Prädikatenlogik (gebundene Variable, Funktionen und Sätze höheren Typs
und höherer Ordnung). 24
2.3.1 WoMgeformtheitsbedingungen (inkl. Typentheorie). 24
Typen. 26
Ordnungen. 28
Das Reduzibffitätsaxiom. 29
2.3.2 Die zwei Wege zur Prädikatenlogik (zu höheren Typen) - Kapitel 9
und 10 der PM. 30
Die Gewinnung der Prädikatenlogik aus der Aussagenlogik - Kapi-
te!9. 30
Die jeweils neuerliche Etablierung der Prädikatenlogik für jeden
Typ-Kapitel 10. 32
3
INHALTSVERZEICHNIS
Zusammenfassung der zulässigen Objekte. 33
2.3.3 Weiter mit
Quantoren
. 34
Erweiterung auf mehrere
Quantoren
. 34
2.3.4 Gleichheit. 34
2.3.5 Kennzeichnungen
(„descriptions")
- Kapitel 14 . 35
Sätze, in denen nur eine Kennzeichnung vorkommt. 35
Sätze, in denen zwei oder mehrere Kennzeichnungen vorkommen . 37
2.4 Klassen. 38
2.4.1 Grundlegende Festlegungen . 38
2.4.2 Die Klasse aller Klassen, Klassen und Teilklassen, Allklasse und Null¬
klasse . 40
2.4.3 Einige wichtige Eigenschaften von Klassen. 41
2.5 Relationen. 42
2.5.1 Grundlegendes. 42
2.5.2 Kennzeichnende Funktionen. 44
2.5.3 Umkehrungen von Relationen. 44
2.5.4 Referenten,
Relata,
Domänen,
etc
. 45
2.5.5 Mehrfach kennzeichnende Funktionen
(„plural descriptive functi¬
ons")
. 46
3 Arithmetik 47
3.1 Vorarbeit zu den Kardinalzahlen. 47
3.1.1 Einheitsklassen. 47
3.1.2 Bijektionen. 48
3.1.3 Gleichmächtigkeit oder Ähnlichkeit zweier Klassen. 49
3.2 Das Auswahlaxiom und Auswahlrelationen . 50
3.2.1 Auswahlrelationen. 50
3.2.2 Das Auswahlaxiom. 51
3.3 Kardinalzahlen. 51
3.3.1 Was sind Kardinalzahlen?. 51
3.3.2 Die (Kardinal-)Zahl 1. 52
3.3.3 Die (Kardinalzahlen 0 und 2 . 52
3.3.4 Homogene Kardinalzahlen. 53
3.4 Elementares Rechnen. 54
3.4.1 Addition. 54
Endliche Summen . 54
Unendliche Summen. 55
3.4.2 Multiplikation. 56
Endliche Produkte. 56
Unendliche Produkte. 57
3.4.3
Exponentiation
. 57
3.4.4 Subtraktion. 58
3.4.5 Größer und kleiner. 58
3.5 Das Endliche und das Unendliche, die natürlichen Zahlen, Ko. 58
3.5.1 Non-Induktivität, die natürlichen Zahlen, das Unendlichkeitsaxiom
(Unendlichkeit
I)
. 58
Induktivität. 58
Das Unendlichkeitsaxiom, die natürlichen Zahlen. 59
INHALTSVERZEICHNIS
3.5.2
Reflexivitat
(Unendlichkeit
II)
. 60
3.5.3 Zusammensetzungen von Relationen, Progressionen. 61
Relative Produkte und Potenzen von Relationen, Intervalle . 61
Progressionen. 62
3.5.4 Ko. 62
3.6 Ordinalzahlen
(„relation-numbers")
. 63
3.6.1 Ordnungsähnlichkeit
(„ordinal similarity").
63
3.6.2 Ordinalzahlen. 63
3.6.3 Arithmetik von Relationen . 63
3.6.4 Arithmetik von Ordinalzahlen. 64
4
Analysis
auf Serien 65
4.1 Serien. 65
4.2 Grundbegriffe der
Analysis
. 66
4.3 Wohlgeordnete Serien . 67
5 Weitere Zahlbereiche 69
5.1 Ganze Zahlen. 69
5.2 Brüche und Rationale Zahlen. 69
5.2.1 Teilbarkeit. 69
5.2.2 Rationale Zahlen. 69
5.3 Reelle Zahlen. 70
6 Der restliche Inhalt der
Principia
Mathematica
71
6.1
Analysis
. 71
6.2 Kardinal-und Ordinalzahlen. 71
II
Mathematisch-logisches Umfeld 73
7 Notation 75
7.1 Die Punktnotation. 75
7.1.1 Kennzeichnungen und ihre Reichweite. 76
7.2 Andere (klammerlose) Notationen. 77
7.2.1 Begriffsschrift. 77
7.2.2 Polnische Notation. 78
7.2.3 Umgekehrt-polnische Notation. 78
7.3 Gegenüberstellung. 79
7.4 Beweise und ihre Notation. 79
7.5 Die Notwendigkeit von Definitionen (Übersichtlichkeit). 80
8 Erste versus zweite Auflage der
Principia
Mathematica
83
8.1 Änderungen der zweiten Auflage gegenüber der ersten. 83
9 Typentheorie und Reduzibilitätsaxiom 85
9.1 Die Typentheorie. 85
9.1.1 Die Begründung für die Notwendigkeit der Typentheorie in den
Principia
Mathematica.
86
9.1.2 Die Typentheorie in anderen Texten
Russelis
. 87
INHALTSVERZEICHNIS
9.1.3 Versionen der Typentheorie, die heutigen Standards entsprechen . . 88
9.2 Das Reduzibilitätsaxiom. 88
9.3 Typentheorie und Reduzibilitätsaxiom schreien nach Antwort. 89
9.3.1 Russells eigene Bedenken vor der Fertigstellung der PM. 89
9.3.2 Die Reaktionen anderer. 89
Ramseys Modifikation der Typentheorie . 89
Quines
Alternative der
„stratified formulae".
90
Rossers Entkoppelung von Eigenschaften und Klassen. 91
Wittgensteins „semantischer" Zugang. 91
Tarskis Lösung der Paradoxien. 96
Die Re-Reaktion Russells . 96
9.3.3 Die Rezeption oder Liest denn niemand die PM?. 96
10 Beziehungen zwischen Objekten in der Logik 99
10.1 Identität, Äquivalenz, Gleichheit und definitorische Gleichheit. 99
10.1.1 Gleichheit und Äquivalenz. 99
10.1.2 Gleichheit und Identität. 100
10.1.3 Gleichheit und definitorische Gleichheit. 100
10.1.4 Gleichheit und Substitution. 100
10.2 Schlüsse . 101
10.2.1 Schließen und Implikation. 101
10.2.2 Syllogistik. 101
10.3 Relationen. 102
11 Unendlichkeit 103
11.1 Unendlichkeitsaxiom und Induktionsprinzip. 103
11.2 Das Auswahlaxiom. 104
12 Klassen versus Mengen oder ohne beide? 105
12.1 Die Situation in den PM. 105
12.2 Historisches zur Mengenlehre. 106
12.2.1 Extensionale und intensionale Auffassung von Mengen. 106
12.2.2 Die Formalisierung des Mengenbegriffs. 107
12.3 Mengen und Klassen. 108
13 Mängel und Grenzen 109
13.1 Mängel vom heutigen Standpunkt aus. 109
13.2
Godei
und die
Principia Mathematica
. HO
III
Historisch-philosophisches Umfeld 111
14 Die Entstehung der
Principia Mathematica
113
14.1 Russells Unternehmung. 113
14.1.1 Die Verbannung der Verläufertheorien. 114
14.2 Alfred
North
Whitehead und sein Beitrag. 114
14.2.1 LebenundWerk . 114
14.2.2 Seine Mitarbeit an den
Principia Mathematica.
115
14.2.3 Warum rückt Whitehead nach den PM so in den Hintergrund? . 116
INHALTSVERZEICHNIS
15 Der Logizismus 119
15.1 Der Logizismus als Position in der Grundlagenkrise der Mathematik . 119
15.2 Der Logizismus bis zu den PM.120
15.3 Was aus dem Logizismus danach geworden ist.121
15.4 Seit wann heißt der Logizismus „Logizismus"?.122
16
Princeps
und
Principia
Namen, Kennzeichnungen 123
16.1 Namen.123
16.2
(Singulare)
Kennzeichnungen.125
16.2.1 Vorgeschichte
(Denoting Concepts in The Principles of Mathematics,
der Aufsatz
„On Denoting")
.125
16.2.2
Descriptions
- Einleitung und Kapitel 14 der PM.126
Was sind Kennzeichnungen?.127
Kennzeichnungen und Existenz .129
Das Problem des
Kontexts
.130
Das Problem der Verneinung.130
Das Problem der Substitution
salva ventate.
130
Kennzeichnungen und Theoreme der Logik (das
ŕertium
non
dafür) 131
Präzisierung der Alltagssprache, Zusammenhänge mit Äußerungen
Russells andernorts. 132
16.2.3 Stellungnahmen zu der Theorie. 133
Keith
Donnellan . 133
SaulKripke. 135
Peter Strawson. 136
16.3 (Mehrfach) Kennzeichnende Funktionen
(„(plural) descriptive functions")
. 136
17 Die Kritik des späten Wittgenstein am Unternehmen der
Principia Mathematica
139
17.1 Wittgenstein gegen das logizistische Programm .139
17.1.1 Mathematik und Logik sind grundlegend verschieden. 139
17.1.2 Die Logik ist kein sichereres Fundament . 142
17.1.3 Die Logik bringt die Mathematik nicht „von allein", „auf natürliche
Weise" hervor. 143
17.1.4 Gegen ein falschverstandenes Exaktheitsideal. 144
17.2 Was macht Schlüsse, Beweise und Sätze gültig?. 144
17.2.1 Normativität, nicht Notwendigkeit (a priori).144
17.2.2 Übersichtlichkeit.147
18 Die Analytische Philosophie 151
18.1 Die Wurzeln der Analytische Philosophie. 151
18.2 Szientifische Tendenzen. 152
18.2.1 Kantische Themen. 152
18.2.2 Die Rolle der Mathematik. 152
18.3 Das Interesse an natürlichen und formalen Sprachen. 153
18.3.1 Formale Sprachen und System. 153
Einengung und Pluralisierung des Systembegriffs. 153
Veränderung der Auffassung von „analytischen Sätzen". 155
18.3.2 Gewöhnliche Sprache. 155
INHALTSVERZEICHNIS
Sprache und Sätze.155
Was Sätze sind, wird disponibel .156
Hinter der Sprache.157
Die Methode der Umformulierung von Aussagen.158
18.4 Die Analytische Philosophie und die Methode der Analyse.158
18.5 Analytische Philosophie und
Ontologie
.160 |
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 9
1
Der Inhalt der
Principia
Mathematica
13
2 Logik 15
2.1 Allgemeines. 15
2.1.1 Übersichtsplan. 15
2.1.2 Erklärung der verwendeten Begriffe. 16
2.2 Aussagenlogik. 16
2.2.1 WoMgeformtheitsbedingungen. 16
Variablen. 16
Elementarsätze und elementare Satzfunktionen. 16
2.2.2 Behauptungen . 18
2.2.3 Wahrheitswerte. 18
2.2.4 Definitionen. 19
2.2.5 Klammern. 19
2.2.6 Die Axiome und grundlegenden Festlegungen der Aussagenlogik . 20
Die
materiale
Implikation. 20
Die Axiome. 20
Die
Schlussregelţn)
(„inference").
Beweise . 21
2.2.7 Einfache Folgerungen. 22
2.2.8 Konjunktion. 23
2.2.9 Bikonditional. 23
2.3 Prädikatenlogik (gebundene Variable, Funktionen und Sätze höheren Typs
und höherer Ordnung). 24
2.3.1 WoMgeformtheitsbedingungen (inkl. Typentheorie). 24
Typen. 26
Ordnungen. 28
Das Reduzibffitätsaxiom. 29
2.3.2 Die zwei Wege zur Prädikatenlogik (zu höheren Typen) - Kapitel 9
und 10 der PM. 30
Die Gewinnung der Prädikatenlogik aus der Aussagenlogik - Kapi-
te!9. 30
Die jeweils neuerliche Etablierung der Prädikatenlogik für jeden
Typ-Kapitel 10. 32
3
INHALTSVERZEICHNIS
Zusammenfassung der zulässigen Objekte. 33
2.3.3 Weiter mit
Quantoren
. 34
Erweiterung auf mehrere
Quantoren
. 34
2.3.4 Gleichheit. 34
2.3.5 Kennzeichnungen
(„descriptions")
- Kapitel 14 . 35
Sätze, in denen nur eine Kennzeichnung vorkommt. 35
Sätze, in denen zwei oder mehrere Kennzeichnungen vorkommen . 37
2.4 Klassen. 38
2.4.1 Grundlegende Festlegungen . 38
2.4.2 Die Klasse aller Klassen, Klassen und Teilklassen, Allklasse und Null¬
klasse . 40
2.4.3 Einige wichtige Eigenschaften von Klassen. 41
2.5 Relationen. 42
2.5.1 Grundlegendes. 42
2.5.2 Kennzeichnende Funktionen. 44
2.5.3 Umkehrungen von Relationen. 44
2.5.4 Referenten,
Relata,
Domänen,
etc
. 45
2.5.5 Mehrfach kennzeichnende Funktionen
(„plural descriptive functi¬
ons")
. 46
3 Arithmetik 47
3.1 Vorarbeit zu den Kardinalzahlen. 47
3.1.1 Einheitsklassen. 47
3.1.2 Bijektionen. 48
3.1.3 Gleichmächtigkeit oder Ähnlichkeit zweier Klassen. 49
3.2 Das Auswahlaxiom und Auswahlrelationen . 50
3.2.1 Auswahlrelationen. 50
3.2.2 Das Auswahlaxiom. 51
3.3 Kardinalzahlen. 51
3.3.1 Was sind Kardinalzahlen?. 51
3.3.2 Die (Kardinal-)Zahl 1. 52
3.3.3 Die (Kardinalzahlen 0 und 2 . 52
3.3.4 Homogene Kardinalzahlen. 53
3.4 Elementares Rechnen. 54
3.4.1 Addition. 54
Endliche Summen . 54
Unendliche Summen. 55
3.4.2 Multiplikation. 56
Endliche Produkte. 56
Unendliche Produkte. 57
3.4.3
Exponentiation
. 57
3.4.4 Subtraktion. 58
3.4.5 Größer und kleiner. 58
3.5 Das Endliche und das Unendliche, die natürlichen Zahlen, Ko. 58
3.5.1 Non-Induktivität, die natürlichen Zahlen, das Unendlichkeitsaxiom
(Unendlichkeit
I)
. 58
Induktivität. 58
Das Unendlichkeitsaxiom, die natürlichen Zahlen. 59
INHALTSVERZEICHNIS
3.5.2
Reflexivitat
(Unendlichkeit
II)
. 60
3.5.3 Zusammensetzungen von Relationen, Progressionen. 61
Relative Produkte und Potenzen von Relationen, Intervalle . 61
Progressionen. 62
3.5.4 Ko. 62
3.6 Ordinalzahlen
(„relation-numbers")
. 63
3.6.1 Ordnungsähnlichkeit
(„ordinal similarity").
63
3.6.2 Ordinalzahlen. 63
3.6.3 Arithmetik von Relationen . 63
3.6.4 Arithmetik von Ordinalzahlen. 64
4
Analysis
auf Serien 65
4.1 Serien. 65
4.2 Grundbegriffe der
Analysis
. 66
4.3 Wohlgeordnete Serien . 67
5 Weitere Zahlbereiche 69
5.1 Ganze Zahlen. 69
5.2 Brüche und Rationale Zahlen. 69
5.2.1 Teilbarkeit. 69
5.2.2 Rationale Zahlen. 69
5.3 Reelle Zahlen. 70
6 Der restliche Inhalt der
Principia
Mathematica
71
6.1
Analysis
. 71
6.2 Kardinal-und Ordinalzahlen. 71
II
Mathematisch-logisches Umfeld 73
7 Notation 75
7.1 Die Punktnotation. 75
7.1.1 Kennzeichnungen und ihre Reichweite. 76
7.2 Andere (klammerlose) Notationen. 77
7.2.1 Begriffsschrift. 77
7.2.2 Polnische Notation. 78
7.2.3 Umgekehrt-polnische Notation. 78
7.3 Gegenüberstellung. 79
7.4 Beweise und ihre Notation. 79
7.5 Die Notwendigkeit von Definitionen (Übersichtlichkeit). 80
8 Erste versus zweite Auflage der
Principia
Mathematica
83
8.1 Änderungen der zweiten Auflage gegenüber der ersten. 83
9 Typentheorie und Reduzibilitätsaxiom 85
9.1 Die Typentheorie. 85
9.1.1 Die Begründung für die Notwendigkeit der Typentheorie in den
Principia
Mathematica.
86
9.1.2 Die Typentheorie in anderen Texten
Russelis
. 87
INHALTSVERZEICHNIS
9.1.3 Versionen der Typentheorie, die heutigen Standards entsprechen . . 88
9.2 Das Reduzibilitätsaxiom. 88
9.3 Typentheorie und Reduzibilitätsaxiom schreien nach Antwort. 89
9.3.1 Russells eigene Bedenken vor der Fertigstellung der PM. 89
9.3.2 Die Reaktionen anderer. 89
Ramseys Modifikation der Typentheorie . 89
Quines
Alternative der
„stratified formulae".
90
Rossers Entkoppelung von Eigenschaften und Klassen. 91
Wittgensteins „semantischer" Zugang. 91
Tarskis Lösung der Paradoxien. 96
Die Re-Reaktion Russells . 96
9.3.3 Die Rezeption oder Liest denn niemand die PM?. 96
10 Beziehungen zwischen Objekten in der Logik 99
10.1 Identität, Äquivalenz, Gleichheit und definitorische Gleichheit. 99
10.1.1 Gleichheit und Äquivalenz. 99
10.1.2 Gleichheit und Identität. 100
10.1.3 Gleichheit und definitorische Gleichheit. 100
10.1.4 Gleichheit und Substitution. 100
10.2 Schlüsse . 101
10.2.1 Schließen und Implikation. 101
10.2.2 Syllogistik. 101
10.3 Relationen. 102
11 Unendlichkeit 103
11.1 Unendlichkeitsaxiom und Induktionsprinzip. 103
11.2 Das Auswahlaxiom. 104
12 Klassen versus Mengen oder ohne beide? 105
12.1 Die Situation in den PM. 105
12.2 Historisches zur Mengenlehre. 106
12.2.1 Extensionale und intensionale Auffassung von Mengen. 106
12.2.2 Die Formalisierung des Mengenbegriffs. 107
12.3 Mengen und Klassen. 108
13 Mängel und Grenzen 109
13.1 Mängel vom heutigen Standpunkt aus. 109
13.2
Godei
und die
Principia Mathematica
. HO
III
Historisch-philosophisches Umfeld 111
14 Die Entstehung der
Principia Mathematica
113
14.1 Russells Unternehmung. 113
14.1.1 Die Verbannung der Verläufertheorien. 114
14.2 Alfred
North
Whitehead und sein Beitrag. 114
14.2.1 LebenundWerk . 114
14.2.2 Seine Mitarbeit an den
Principia Mathematica.
115
14.2.3 Warum rückt Whitehead nach den PM so in den Hintergrund? . 116
INHALTSVERZEICHNIS
15 Der Logizismus 119
15.1 Der Logizismus als Position in der Grundlagenkrise der Mathematik . 119
15.2 Der Logizismus bis zu den PM.120
15.3 Was aus dem Logizismus danach geworden ist.121
15.4 Seit wann heißt der Logizismus „Logizismus"?.122
16
Princeps
und
Principia
Namen, Kennzeichnungen 123
16.1 Namen.123
16.2
(Singulare)
Kennzeichnungen.125
16.2.1 Vorgeschichte
(Denoting Concepts in The Principles of Mathematics,
der Aufsatz
„On Denoting")
.125
16.2.2
Descriptions
- Einleitung und Kapitel 14 der PM.126
Was sind Kennzeichnungen?.127
Kennzeichnungen und Existenz .129
Das Problem des
Kontexts
.130
Das Problem der Verneinung.130
Das Problem der Substitution
salva ventate.
130
Kennzeichnungen und Theoreme der Logik (das
ŕertium
non
dafür) 131
Präzisierung der Alltagssprache, Zusammenhänge mit Äußerungen
Russells andernorts. 132
16.2.3 Stellungnahmen zu der Theorie. 133
Keith
Donnellan . 133
SaulKripke. 135
Peter Strawson. 136
16.3 (Mehrfach) Kennzeichnende Funktionen
(„(plural) descriptive functions")
. 136
17 Die Kritik des späten Wittgenstein am Unternehmen der
Principia Mathematica
139
17.1 Wittgenstein gegen das logizistische Programm .139
17.1.1 Mathematik und Logik sind grundlegend verschieden. 139
17.1.2 Die Logik ist kein sichereres Fundament . 142
17.1.3 Die Logik bringt die Mathematik nicht „von allein", „auf natürliche
Weise" hervor. 143
17.1.4 Gegen ein falschverstandenes Exaktheitsideal. 144
17.2 Was macht Schlüsse, Beweise und Sätze gültig?. 144
17.2.1 Normativität, nicht Notwendigkeit (a priori).144
17.2.2 Übersichtlichkeit.147
18 Die Analytische Philosophie 151
18.1 Die Wurzeln der Analytische Philosophie. 151
18.2 Szientifische Tendenzen. 152
18.2.1 Kantische Themen. 152
18.2.2 Die Rolle der Mathematik. 152
18.3 Das Interesse an natürlichen und formalen Sprachen. 153
18.3.1 Formale Sprachen und System. 153
Einengung und Pluralisierung des Systembegriffs. 153
Veränderung der Auffassung von „analytischen Sätzen". 155
18.3.2 Gewöhnliche Sprache. 155
INHALTSVERZEICHNIS
Sprache und Sätze.155
Was Sätze sind, wird disponibel .156
Hinter der Sprache.157
Die Methode der Umformulierung von Aussagen.158
18.4 Die Analytische Philosophie und die Methode der Analyse.158
18.5 Analytische Philosophie und
Ontologie
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