Neue Elementargeometrie:
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Braunschweig
Vieweg
1972
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| Ausgabe: | 2., durchges. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Logik und Grundlagen der Mathematik
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Symbole XI
Übersicht über die Axiome XII
Einleitung 1
I. Inzidenz- und Ordnungsaxiome 6
A. Geraden und Parallelen 6
1. Das Mengenschema 6
2. Inzidenzaxiome 6
3. Parallelprojektion 8
4. Achsensysteme 9
B. Ordnungsaxiome 10
5. Ordnungsstruktur jeder Geraden 10
6. Übertragungsaxiome 11
7. Teilung der Ebene durch eine Gerade 12
Übungen zum Kapitel I 13
II. Axiome der affinen Struktur 17
A. Affine Struktur der Geraden von n 17
8. Das erste Axiom der affinen Struktur 17
9. Isomorphismus zwischen R und den zentrierten Geraden von n 17
B. Struktur der additiven Gruppe von (n, 0) 20
10. Das Übertragungsaxiom 20
11. Parallelprojektionen und Parallelogramme 20
12. Die Addition auf der Ebene (n, 0) und ihre Gruppenstruktur 21
C. Translationen der Ebene n 24
13. Kennzeichnung der Translationen 24
14. Isomorphismus der Gruppen (n, 0) 24
15. Freie Vektoren und die Chasles-Relation 25
16. Auswirkungen der Translationen auf die orientierten Geraden 26
D. Vektorraum-Struktur von (n, 0) 28
17. Zusammenfassung und Definition des Vielfachen eines Vektors 28
18. Linearität der Parallelprojektion 28
19. Satz zur Vektorstruktur 30
20. Basis und Koordinaten. Gleichung einer Geraden 30
21. Die zentrischen Streckungen 31
22. Isomorphie der Vektorräume (n, 0) 33
23. Struktur des Vektorraumes auf der Menge der Translationen 34
E. Dilatationen der Ebene 34
24. Kennzeichnung der Dilatationen 34
25. Die Gruppe der Dilatationen 35
26. Untergruppen 36
27. Dilatationen von Teilmengen von n 37
F. Ergänzungen 38
28. Einige Themen 38
29. Schrägspiegelungen 38
Übungen zum Kapitel II 39
III. Axiome der metrischen Struktur 41
A. Senkrechte 41
30. Axiome des Senkiechtstehens 41
31. Senkrechte Richtungen 41
32. Affine Eigenschaften metrischer Erscheinungen 42
33. Projektion eines von einem Punkt ausgehenden Paares von Halbgeraden 43
B. Das Skalarpiodukt 44
34. Axiom der Symmetrie 44
35. Norm und Skalarprodukt 44
36. Identitäten und Ungleichungen 45
37. Invarianz von Distanz und Skalarprodukt bei der Translation 46
38. Skalarprodukt auf dem Vektorraum der Translationen 48
C. Elementare metrische Eigenschaften 49
39. Metrische Eigenschaften bei Parallelogrammen und Dreiecken 49
40. Orthogonalprojektion 52
41. Mittelsenkrechte 53
42. Trägheitsmomente 54
43. Skalarprodukt und Distanz bei beliebiger Basis 55
IV. Isometrien. Ähnlichkeitsbildungen. Spiegelungen einer Menge 56
A. Isometrien 56
44. Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen 56
45. Isometrien 57
46. Die Gruppe der Isometrien um einen Punkt 59
47. Paarige und unpaarige Isometrien 62
48. Struktur einer Isometrie 64
B. Ähnlichkeitsabbildungen 65
49. Haupteigenschaften 65
50. Paarige und unpaarige Ähnlichkeitsabbildungen 66
51. Die Gruppe der Ähnlichkeitsabbildungen um einen Punkt 67
52. Struktur einer Ähnlichkeitsabbildung 69
53. Klassifikation der abgeschlossenen Gruppen der Ähnlichkeitsabbildungen 70
C. Stabile Mengen in bezug auf eine Gruppe von Transformationen 72
54. Regelmäßigkeit einer Menge 72
55. Konstruktion regelmäßiger Paare (E, E) 73
56. Symmetrie-Elemente einer gegebenen Menge 74
Übungen zum Kapitel IV 76
V. Die Winkel 79
A. Die Gruppe der Winkel 79
57. Die Schwierigkeiten des Winkelbegriffs 79
58. Definition und Bezeichnungen 80
59. Wtakelsumme eines ebenen geschlossenen Polygons 82
B. Winkel und Ähnlichkeitsabbildungen 83
60. Symmetrie eines Winkels 83
61. Transformation eines Winkels durch eine Ähnlichkeitsabbildung 83
62. Charakterisierung der Drehungen 84
63. Charakterisierung der Ähnlichkeitsabbildungen 85
64. Halbieren eines Winkels 85
- 65. Winkel zweier Geraden 86
VI. Orientierung 88
66. Schwierigkeiten des Begriffs 88
67. Orientierung von Teilmengen von n 88
68. Andere geometrische Gebilde 89
69. Paare von Halbgeraden 91
70. Orientierung und stetige Deformation 93
71. Die Bewegungen 94
Übungen zum Kapitel VI 95
VII. Trigonometrie 98
A. Elementare Trigonometrie 98
72. Kosinus und Sinus eines Winkels in bezug auf eine Basis 98
73. Matrix einer Drehung in bezug auf eine positive orthonormale Basis 99
74. Additionstheoreme 100
B. Winkelmaß 101
75. Auf der Suche nach einer Definition 101
76. Definition und unmittelbare Folgerungen 102
77. Skizze eines Existenzbeweises für stetige Abbildungen von R auf T 104
78. Zahlenwert eines Winkels 105
Übungen zum Kapitel VII 106
VIII. Der Kreis 107
79. Definition und Symmetrien 107
80. Ähnliche Abbildung 108
81. Konvexität der Kreisscheibe 109
82. Schnitt Kreis-Gerade 109
83. Tangente an einen Kreis 110
84. Schnitt zweier Kreise 110
85. Kreisgleichung 111
86. Einige kennzeichnende Eigenschaften 112
87. Potenz eines Punktes in bezug auf einen Kreis 114
Übungen zum Kapitel VIII 115
IX. Der Raum 117
A. Die Axiome 117
88. Wahl einer Methode 117
89. Axiome des dreidimensionalen Raumes 118
90. Erste Folgerungen 119
B. Affinstruktur des Raumes 120
91. Der zentrierte Raum (R, 0) 120
92. Translationen 122
93. Parallelismus 122
94. Folgerungen aus dem Dimensionsaxiom 123
C. Metrische Struktur des Raumes 125
95. Translationen und Senkrechtstehen 125
96. Das skalare Produkt 126
97. Anwendung auf zwei klassische Theoreme 127
98. Einige Themen 128
Übungen zum Kapitel IX 129
X. Anhang 131
A. Axiomatik auf metrischer Basis 131
99. Erste Axiome 131
100. Spiegelungsaxiom 132
101. Spiegelung an einer Geraden 132
102. Senkrechte und Projektionen 133
103. Punktspiegelung und Produkte von Spiegelungen 136
104. Schema der Weiterentwicklung 137
B. Axiomatik der nichteukiidischen Geometrie 138
C. Axiomatik der „Anfangsgeometrie 139
D. Schema einer anderen Winkeldefinition 141
E. Literatur 143
Sachregister 145
|
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Inhaltsverzeichnis
Symbole XI
Übersicht über die Axiome XII
Einleitung 1
I. Inzidenz- und Ordnungsaxiome 6
A. Geraden und Parallelen 6
1. Das Mengenschema 6
2. Inzidenzaxiome 6
3. Parallelprojektion 8
4. Achsensysteme 9
B. Ordnungsaxiome 10
5. Ordnungsstruktur jeder Geraden 10
6. Übertragungsaxiome 11
7. Teilung der Ebene durch eine Gerade 12
Übungen zum Kapitel I 13
II. Axiome der affinen Struktur 17
A. Affine Struktur der Geraden von n 17
8. Das erste Axiom der affinen Struktur 17
9. Isomorphismus zwischen R und den zentrierten Geraden von n 17
B. Struktur der additiven Gruppe von (n, 0) 20
10. Das Übertragungsaxiom 20
11. Parallelprojektionen und Parallelogramme 20
12. Die Addition auf der Ebene (n, 0) und ihre Gruppenstruktur 21
C. Translationen der Ebene n 24
13. Kennzeichnung der Translationen 24
14. Isomorphismus der Gruppen (n, 0) 24
15. Freie Vektoren und die Chasles-Relation 25
16. Auswirkungen der Translationen auf die orientierten Geraden 26
D. Vektorraum-Struktur von (n, 0) 28
17. Zusammenfassung und Definition des Vielfachen eines Vektors 28
18. Linearität der Parallelprojektion 28
19. Satz zur Vektorstruktur 30
20. Basis und Koordinaten. Gleichung einer Geraden 30
21. Die zentrischen Streckungen 31
22. Isomorphie der Vektorräume (n, 0) 33
23. Struktur des Vektorraumes auf der Menge der Translationen 34
E. Dilatationen der Ebene 34
24. Kennzeichnung der Dilatationen 34
25. Die Gruppe der Dilatationen 35
26. Untergruppen 36
27. Dilatationen von Teilmengen von n 37
F. Ergänzungen 38
28. Einige Themen 38
29. Schrägspiegelungen 38
Übungen zum Kapitel II 39
III. Axiome der metrischen Struktur 41
A. Senkrechte 41
30. Axiome des Senkiechtstehens 41
31. Senkrechte Richtungen 41
32. Affine Eigenschaften metrischer Erscheinungen 42
33. Projektion eines von einem Punkt ausgehenden Paares von Halbgeraden 43
B. Das Skalarpiodukt 44
34. Axiom der Symmetrie 44
35. Norm und Skalarprodukt 44
36. Identitäten und Ungleichungen 45
37. Invarianz von Distanz und Skalarprodukt bei der Translation 46
38. Skalarprodukt auf dem Vektorraum der Translationen 48
C. Elementare metrische Eigenschaften 49
39. Metrische Eigenschaften bei Parallelogrammen und Dreiecken 49
40. Orthogonalprojektion 52
41. Mittelsenkrechte 53
42. Trägheitsmomente 54
43. Skalarprodukt und Distanz bei beliebiger Basis 55
IV. Isometrien. Ähnlichkeitsbildungen. Spiegelungen einer Menge 56
A. Isometrien 56
44. Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen 56
45. Isometrien 57
46. Die Gruppe der Isometrien um einen Punkt 59
47. Paarige und unpaarige Isometrien 62
48. Struktur einer Isometrie 64
B. Ähnlichkeitsabbildungen 65
49. Haupteigenschaften 65
50. Paarige und unpaarige Ähnlichkeitsabbildungen 66
51. Die Gruppe der Ähnlichkeitsabbildungen um einen Punkt 67
52. Struktur einer Ähnlichkeitsabbildung 69
53. Klassifikation der abgeschlossenen Gruppen der Ähnlichkeitsabbildungen 70
C. Stabile Mengen in bezug auf eine Gruppe von Transformationen 72
54. Regelmäßigkeit einer Menge 72
55. Konstruktion regelmäßiger Paare (E, E) 73
56. Symmetrie-Elemente einer gegebenen Menge 74
Übungen zum Kapitel IV 76
V. Die Winkel 79
A. Die Gruppe der Winkel 79
57. Die Schwierigkeiten des Winkelbegriffs 79
58. Definition und Bezeichnungen 80
59. Wtakelsumme eines ebenen geschlossenen Polygons 82
B. Winkel und Ähnlichkeitsabbildungen 83
60. Symmetrie eines Winkels 83
61. Transformation eines Winkels durch eine Ähnlichkeitsabbildung 83
62. Charakterisierung der Drehungen 84
63. Charakterisierung der Ähnlichkeitsabbildungen 85
64. Halbieren eines Winkels 85
- 65. Winkel zweier Geraden 86
VI. Orientierung 88
66. Schwierigkeiten des Begriffs 88
67. Orientierung von Teilmengen von n 88
68. Andere geometrische Gebilde 89
69. Paare von Halbgeraden 91
70. Orientierung und stetige Deformation 93
71. Die Bewegungen 94
Übungen zum Kapitel VI 95
VII. Trigonometrie 98
A. Elementare Trigonometrie 98
72. Kosinus und Sinus eines Winkels in bezug auf eine Basis 98
73. Matrix einer Drehung in bezug auf eine positive orthonormale Basis 99
74. Additionstheoreme 100
B. Winkelmaß 101
75. Auf der Suche nach einer Definition 101
76. Definition und unmittelbare Folgerungen 102
77. Skizze eines Existenzbeweises für stetige Abbildungen von R auf T 104
78. Zahlenwert eines Winkels 105
Übungen zum Kapitel VII 106
VIII. Der Kreis 107
79. Definition und Symmetrien 107
80. Ähnliche Abbildung 108
81. Konvexität der Kreisscheibe 109
82. Schnitt Kreis-Gerade 109
83. Tangente an einen Kreis 110
84. Schnitt zweier Kreise 110
85. Kreisgleichung 111
86. Einige kennzeichnende Eigenschaften 112
87. Potenz eines Punktes in bezug auf einen Kreis 114
Übungen zum Kapitel VIII 115
IX. Der Raum 117
A. Die Axiome 117
88. Wahl einer Methode 117
89. Axiome des dreidimensionalen Raumes 118
90. Erste Folgerungen 119
B. Affinstruktur des Raumes 120
91. Der zentrierte Raum (R, 0) 120
92. Translationen 122
93. Parallelismus 122
94. Folgerungen aus dem Dimensionsaxiom 123
C. Metrische Struktur des Raumes 125
95. Translationen und Senkrechtstehen 125
96. Das skalare Produkt 126
97. Anwendung auf zwei klassische Theoreme 127
98. Einige Themen 128
Übungen zum Kapitel IX 129
X. Anhang 131
A. Axiomatik auf metrischer Basis 131
99. Erste Axiome 131
100. Spiegelungsaxiom 132
101. Spiegelung an einer Geraden 132
102. Senkrechte und Projektionen 133
103. Punktspiegelung und Produkte von Spiegelungen 136
104. Schema der Weiterentwicklung 137
B. Axiomatik der nichteukiidischen Geometrie 138
C. Axiomatik der „Anfangsgeometrie" 139
D. Schema einer anderen Winkeldefinition 141
E. Literatur 143
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