Differentialgeometrie:
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Akad. Verl. Ges.
1968
|
| Ausgabe: | 2., neu bearb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematik und ihre Anwendungen in Physik und Technik
Reihe A ; 25 |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 423 S. Ill. |
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
Wichtige Bezeichnungen 13
Kapitel 1. Vorbemerkungen, Hilfsmittel 15
1. Wesen und Aufgabe der Differentialgeometrie 15
2. Topologische und metrische Räume. Abbildungen 16
3. Koordinaten im R3. Transformationsgruppen. Äquivalenz 18
4. Vektoren im euklidischen Raum R^ 23
5. Grundregeln der Vektorrechnung im R3 25
Kapitel 2. Kurventheorie 32
6. Der Kurvenbegriff in ler Differentialgeometrie 32
7. Beispiele 35
8. Einige Bemerkungen zum Kurvenbegriff 37
9. Bogenlänge 41
10. Tangenten , Hauptnormalen und Binormalenvektor. Krümmung .... 45
11. Torsion. Frenet Formcln 50
12. Die lokale Gestalt einer Kurve (Kanonische Darstellung) 5/i
13. Die natürlichen Gleichungen einer Kurve 57
14. Berührung. Krümmungskreis und Schmiegkugel 62
15. Evolventen und Evoluten einer Kurve 68
Kapitel 3. Der Flächenbeflriff. Die metrische Grundform 73
16. Der Begriff des Flächenstückes 73
17. Der Begriff der Fläche 76
18. Beispiele 80
19. Kurven auf einer Flache. Tangentialebene. Normale 82
20. Längen und Winkelmessung. Erste Grundform. Summationsvereinbarung 87
21. Der Flächeninhalt 92
22. Bemerkungen zur Definition des Flächeninhaltes 96
Kapitel 4. Die zweite Grundform. Krümmungseigenschaften der Flächen 98
23. Die zweite Grundform der Flächentheorie 98
24. Schiefe und normale Flächenschnitte 102
25. Elliptische, parabolische und hyperbolische Flächenkrümmung 104
26. Asymptotenlinien 109
27. Hauptkrümmungen, Krümmungslinien, Gaußsche und mittlere Krüm¬
mung 111
28. Der Eulersche Satz. Die Dupinsche Indikatrix 117
10 Inhalt
Kapitel 5. Tensoren 122
29. Zulässige Koordinatentransformationen 123
30. Kontravariante und kovariante Vektoren 124
31. Tensoren 2. Stufe 129
32. Tensoren beliebiger Stufe 133
33. Addition, Multiplikation und Verjüngung 136
34. Spezielle Tensoren in der Flächentheorie 138
35. Vektoren in der Tangentialebene einer Fläche 140
36. Vektorräume und ihre Tensorprodukte 144
Kapitel 6. Die Ableitungsformeln der Flächentheorie 151
37. Die Weingartenschen Ableitungsformeln 151
38. Die Gaußschen Ableitungsformeln 153
39. Eigenschaften der Christoffel Symbole 154
40. Transfonnationsverhalten der Christoffel Symbole 157
41. Der Riemannsche Krümmungstensor 160
Kapitel 7. Die geodätisehe Krümmung. Geodätische Linien 164
42. Die geodätische Krümmung 164
43. Geodätische Linien 168
44. Kurvenstücke minimaler Länge 170
45. Geodätische Parallelkoordinaten 173
46. Geodätische Polarkoordinaten 176
47. Flächen mit konstanter Gaußscher Krümmung 180
48. Sphärische Drehflächen 182
49. Pseudosphärische Drehflächen 184
Kapitel 8. Längentreue Abbildung von Flächen 190
50. Vorbemerkungen 191
51. Längentreue Abbildung 191
52. Isometrie der Flächen konstanter Gaußscher Krümmung 195
53. erbiegung. Innere Geometrie 190
54. Regelflächen. Torsen 198
55. Sphärisches Bild. Längentreue Abbildung der Torsen 204
56. Konjugierte Richtungen. Berührende Torsen einer Fläche 207
Kapitel 9. Weitere Abbildungen von Flächen 212
57. Konforme Abbildung 212
58. Die konforme Abbildung von Flächenstücken in die Ebene 214
59. Isotrope Kurven und isotherme Koordinaten 219
60. Konforme Abbildung der Kugeloberfläche in die Ebene. Die stereo¬
graphische und die Mercator Projektion 221
61. Behgmaxs konforminvariante Metrik 226
62. Flächentreue Abbildung 231
63. Flächentreue Abbildung der Kugeloberfläehe in die Ebene. Die Ab¬
bildungen von Lambert, Sanson und Bonne 232
64. Geodätische Abbildung 236
Inhalt 11
Kapitel 10. Zur globalen Flächentheorie 238
65. Kompakte und vollständige Flächen 238
66. Nabelpunkte 240
67. Ein Hüfssatz von Hilbeht 241
68. Charakteristische Eigenschaften der Kugeloberflächen 243
69. Der Gauß Bonnetsche Satz. Gesamtkrümmung 243
70. Erweiterungen des Gauß Bonnetschen Satzes 245
71. Anwendung des Gauß Bonnetschen Satzes auf geschlossene Flächen . . 248
Kapitel 11. Absolute Differentiation und Übertragung auf Flächen 251
72. Absolute Differentiation kontravarianter Vektoren 252
73. Absolute Differentiation kovarianter Vektoren 255
74. Absolute Differentiation beliebiger Tensoren 256
75. Eigenschaften der absoluten Differentiation 259
76. Die Vertauschung der Differentiationsreihenfolge 260
77. Die Beltramischen Differentiatoren 263
78. Übertragung von Levi Civita 265
79. Eigenschaften der Übertragung von Levi Civita 270
80. Anschauliche Deutung der Übertragung von Levi Civita 272
Kapitel 12. Spezielle Flächen 275
81. Minimalflächen 275
82. Beispiele für Minimalflächeu 278
83. Minimalflächen und Funktionenthcorie 281
84. Minimalflächen als Schiebeflächen mit isotropen Erzeugenden 284
85. Betragflächen analytischer Funktionen 286
86. Die Enveloppe einer einparametrigen Familie von Flächen 294
87. Torsen als Enveloppen von F.benenfainilicn 301
88. Die Enveloppe der Schmieg . Normal und Streckebenen einer Kurve,
die Polarenfläche 304
89. Die Mittelpunktsfläclien einer Fläche 306
90. Flächen konstanter Gaußscher Krümmung u. nichteuklidische Geometrie 309
91. Geodätische Abbildung der Flächen konstanter Gaußscher Krümmung 316
Kapitel 13. Grundlagen der Riemannschen Geometrie 318
92. Differenzierbare Mannigfaltigkeit 318
93. Untermannigfaltigkeiteii 320
94. Kurven in einer Mannigfaltigkeit 321
95. Tangentialräume einer Mannigfaltigkeit 322
96. Riemannsche Mannigfaltigkeit 324
Kapitel 14. Absolute Differentiation und Übertragung 328
97. Absolute Differentiation von Tensoren 329
98. Affine Übertragungen 331
99. Der Krümmungstensor. ertauschung der Differentiationsreihenfolge . 335
100. Verschiebung längs geschlossener Kurven 338
101. Autoparallele Kurven 342
102. Riemannsche Übertragung 345
12 Inhalt
Kapitel 15. Weitere Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten 348
103. Untermannigfaltigkeiten Riemannscher Mannigfaltigkeiten 348
104. Übertragung in Untermannigfaltigkeiten 350
105. Verallgemeinerung der Frenetschen Formeln 352
106. Riemannsche Krümmung 354
107. Mittlere Krümmung einer Mannigfaltigkeit 356
108. Identitäten von Bianchi 359
109. Riemannselie Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung 360
Kapitel 16. Hyperflächen 362
110. Formeln von Gauss und zweite Grundform für eine Hyperfläche 362
111. Formeln von Weingarten für eine Hyperfläche 364
112. Verallgemeinerte kovariante Ableitung in einer Hyperfläche 367
113. Anwendung auf die Formeln von Gauss und Weingarten 369
114. Normalkrümmung einer Hyperfläche 371
115. Hauptrichtungen eines Tensors. Hauptkrümmungen 372
Lösungen der Aufgaben mit ungerader Nummer 376
Formelzusammenstellung 387
Literatur 409
Sach und Namenregister 415
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Inhalt
Wichtige Bezeichnungen 13
Kapitel 1. Vorbemerkungen, Hilfsmittel 15
1. Wesen und Aufgabe der Differentialgeometrie 15
2. Topologische und metrische Räume. Abbildungen 16
3. Koordinaten im R3. Transformationsgruppen. Äquivalenz 18
4. Vektoren im euklidischen Raum R^ 23
5. Grundregeln der Vektorrechnung im R3 25
Kapitel 2. Kurventheorie 32
6. Der Kurvenbegriff in ler Differentialgeometrie 32
7. Beispiele 35
8. Einige Bemerkungen zum Kurvenbegriff 37
9. Bogenlänge 41
10. Tangenten , Hauptnormalen und Binormalenvektor. Krümmung . 45
11. Torsion. Frenet Formcln 50
12. Die lokale Gestalt einer Kurve (Kanonische Darstellung) 5/i
13. Die natürlichen Gleichungen einer Kurve 57
14. Berührung. Krümmungskreis und Schmiegkugel 62
15. Evolventen und Evoluten einer Kurve 68
Kapitel 3. Der Flächenbeflriff. Die metrische Grundform 73
16. Der Begriff des Flächenstückes 73
17. Der Begriff der Fläche 76
18. Beispiele 80
19. Kurven auf einer Flache. Tangentialebene. Normale 82
20. Längen und Winkelmessung. Erste Grundform. Summationsvereinbarung 87
21. Der Flächeninhalt 92
22. Bemerkungen zur Definition des Flächeninhaltes 96
Kapitel 4. Die zweite Grundform. Krümmungseigenschaften der Flächen 98
23. Die zweite Grundform der Flächentheorie 98
24. Schiefe und normale Flächenschnitte 102
25. Elliptische, parabolische und hyperbolische Flächenkrümmung 104
26. Asymptotenlinien 109
27. Hauptkrümmungen, Krümmungslinien, Gaußsche und mittlere Krüm¬
mung 111
28. Der Eulersche Satz. Die Dupinsche Indikatrix 117
10 Inhalt
Kapitel 5. Tensoren 122
29. Zulässige Koordinatentransformationen 123
30. Kontravariante und kovariante Vektoren 124
31. Tensoren 2. Stufe 129
32. Tensoren beliebiger Stufe 133
33. Addition, Multiplikation und Verjüngung 136
34. Spezielle Tensoren in der Flächentheorie 138
35. Vektoren in der Tangentialebene einer Fläche 140
36. Vektorräume und ihre Tensorprodukte 144
Kapitel 6. Die Ableitungsformeln der Flächentheorie 151
37. Die Weingartenschen Ableitungsformeln 151
38. Die Gaußschen Ableitungsformeln 153
39. Eigenschaften der Christoffel Symbole 154
40. Transfonnationsverhalten der Christoffel Symbole 157
41. Der Riemannsche Krümmungstensor 160
Kapitel 7. Die geodätisehe Krümmung. Geodätische Linien 164
42. Die geodätische Krümmung 164
43. Geodätische Linien 168
44. Kurvenstücke minimaler Länge 170
45. Geodätische Parallelkoordinaten 173
46. Geodätische Polarkoordinaten 176
47. Flächen mit konstanter Gaußscher Krümmung 180
48. Sphärische Drehflächen 182
49. Pseudosphärische Drehflächen 184
Kapitel 8. Längentreue Abbildung von Flächen 190
50. Vorbemerkungen 191
51. Längentreue Abbildung 191
52. Isometrie der Flächen konstanter Gaußscher Krümmung 195
53. \ erbiegung. Innere Geometrie 190
54. Regelflächen. Torsen 198
55. Sphärisches Bild. Längentreue Abbildung der Torsen 204
56. Konjugierte Richtungen. Berührende Torsen einer Fläche 207
Kapitel 9. Weitere Abbildungen von Flächen 212
57. Konforme Abbildung 212
58. Die konforme Abbildung von Flächenstücken in die Ebene 214
59. Isotrope Kurven und isotherme Koordinaten 219
60. Konforme Abbildung der Kugeloberfläche in die Ebene. Die stereo¬
graphische und die Mercator Projektion 221
61. Behgmaxs konforminvariante Metrik 226
62. Flächentreue Abbildung 231
63. Flächentreue Abbildung der Kugeloberfläehe in die Ebene. Die Ab¬
bildungen von Lambert, Sanson und Bonne 232
64. Geodätische Abbildung 236
Inhalt 11
Kapitel 10. Zur globalen Flächentheorie 238
65. Kompakte und vollständige Flächen 238
66. Nabelpunkte 240
67. Ein Hüfssatz von Hilbeht 241
68. Charakteristische Eigenschaften der Kugeloberflächen 243
69. Der Gauß Bonnetsche Satz. Gesamtkrümmung 243
70. Erweiterungen des Gauß Bonnetschen Satzes 245
71. Anwendung des Gauß Bonnetschen Satzes auf geschlossene Flächen . . 248
Kapitel 11. Absolute Differentiation und Übertragung auf Flächen 251
72. Absolute Differentiation kontravarianter Vektoren 252
73. Absolute Differentiation kovarianter Vektoren 255
74. Absolute Differentiation beliebiger Tensoren 256
75. Eigenschaften der absoluten Differentiation 259
76. Die Vertauschung der Differentiationsreihenfolge 260
77. Die Beltramischen Differentiatoren 263
78. Übertragung von Levi Civita 265
79. Eigenschaften der Übertragung von Levi Civita 270
80. Anschauliche Deutung der Übertragung von Levi Civita 272
Kapitel 12. Spezielle Flächen 275
81. Minimalflächen 275
82. Beispiele für Minimalflächeu 278
83. Minimalflächen und Funktionenthcorie 281
84. Minimalflächen als Schiebeflächen mit isotropen Erzeugenden 284
85. Betragflächen analytischer Funktionen 286
86. Die Enveloppe einer einparametrigen Familie von Flächen 294
87. Torsen als Enveloppen von F.benenfainilicn 301
88. Die Enveloppe der Schmieg . Normal und Streckebenen einer Kurve,
die Polarenfläche 304
89. Die Mittelpunktsfläclien einer Fläche 306
90. Flächen konstanter Gaußscher Krümmung u. nichteuklidische Geometrie 309
91. Geodätische Abbildung der Flächen konstanter Gaußscher Krümmung 316
Kapitel 13. Grundlagen der Riemannschen Geometrie 318
92. Differenzierbare Mannigfaltigkeit 318
93. Untermannigfaltigkeiteii 320
94. Kurven in einer Mannigfaltigkeit 321
95. Tangentialräume einer Mannigfaltigkeit 322
96. Riemannsche Mannigfaltigkeit 324
Kapitel 14. Absolute Differentiation und Übertragung 328
97. Absolute Differentiation von Tensoren 329
98. Affine Übertragungen 331
99. Der Krümmungstensor. \ ertauschung der Differentiationsreihenfolge . 335
100. Verschiebung längs geschlossener Kurven 338
101. Autoparallele Kurven 342
102. Riemannsche Übertragung 345
12 Inhalt
Kapitel 15. Weitere Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten 348
103. Untermannigfaltigkeiten Riemannscher Mannigfaltigkeiten 348
104. Übertragung in Untermannigfaltigkeiten 350
105. Verallgemeinerung der Frenetschen Formeln 352
106. Riemannsche Krümmung 354
107. Mittlere Krümmung einer Mannigfaltigkeit 356
108. Identitäten von Bianchi 359
109. Riemannselie Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung 360
Kapitel 16. Hyperflächen 362
110. Formeln von Gauss und zweite Grundform für eine Hyperfläche 362
111. Formeln von Weingarten für eine Hyperfläche 364
112. Verallgemeinerte kovariante Ableitung in einer Hyperfläche 367
113. Anwendung auf die Formeln von Gauss und Weingarten 369
114. Normalkrümmung einer Hyperfläche 371
115. Hauptrichtungen eines Tensors. Hauptkrümmungen 372
Lösungen der Aufgaben mit ungerader Nummer 376
Formelzusammenstellung 387
Literatur 409
Sach und Namenregister 415 |
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