Anfangswertprobleme bei partiellen Differentialgleichungen:
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1958
|
| Ausgabe: | 2., erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen
62 |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XV, 284 S. Ill. |
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Datensatz im Suchindex
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I nhaltsverzeichnis
Literatur XVI
Einleitung 1
Erstes Kapitel
Gegenüberstellung von Anfangswert und Randwertproblemen
§ 1. DiRicHLETsches Randwertproblem der Potentialgleichung 3
1. Aufgabenstellung 3
2. Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösung 3
3 Konstruktion der Lösung mittels der GREENSchen Funktion . . 4
4. Festlegung der Lösung durch die Randwerte 6
§ 2. Anfangswertproblem der Wellengleichung 6
1. Aufgabenstellung 6
2. Bestimmtheits , Abhängigkeits und Einflußbereiche; Charakteri¬
stiken 7
3. Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösung; Ausbreitung von
Unstetigkeiten 8
4. Charakteristisches Anfangswertproblem 8
5 Beispiel: Akustische Wellen in zylindrischem Rohr 10
§ 3. Hyperbolische, elliptische und parabolische Differential¬
gleichungen 11
1. Typeneinteilung der linearen Differentialausdrücke zweiter Ord¬
nung 11
2. Normalformen der Differentialausdrücke L[f] 13
3. Differentialgleichungen vom gemischten Typus 14
§4. Analytische Lösungen analytischer Differentialgleichun¬
gen 16
1. Existenzsatz von Cauchy Kowalewski 16
2. Zurückführung des Existenzsatzes auf einen Konvergenzsatz . . 17
3. Bildungsgesetz der Koeffizienten cik 18
4. Konvergenzbeweis 18
§ 5 Anfangs und Randwertaufgaben bei Differenzengleichun¬
gen 20
1. Formulierung analoger Anfangs und Randwertaufgaben bei Diffe¬
renzengleichungen 20
2. Lösung der Randwertaufgabe 22
3. Lösung der Anfangswertaufgabe 23
4. Grenzübergang von Differenzen zu Differentialgleichungen . 23
5. Anfangswertaufgabe bei allgemeineren Differenzengleichungen . . 25
6. Konvergenzbeweis 27
Inhaltsverzeichnis IX
§ 6 Hyperbolische Differentialgleichungen in der Gasdynamik
und Akustik 30
1. Grundgleichungen der Strömung kompressibler Medien 30
2. Spezialisierung für stationäre Strömungen 32
3. Spezialisierung für eindimensionale, zylindrische und kugelsymmetri¬
sche nichtstationäre Strömungen 33
4. Linearisierung der Differentialgleichungen 33
Zweites Kapitel
Differentialgleichungen erster Ordnung
§ 7 Quasilineare Differentialgleichung bei zwei unabhängigen
Veränderlichen 36
1. MoNGESches Richtungsfeld und Charakteristiken 36
2. Äquivalenzsatz • 37
3. Anfangswertproblem 38
4. Bestimmtheitsbereich, Abhängigkeitsbereich, Einflußbereich . 39
5 Erläuterungen der Alternative an Differenzengleichungen . 39
6. Spezialfall: Lineare Gleichung 40
§ 8. Allgemeine Differentialgleichung bei zwei unabhängigen
Veränderlichen 41
1. MoNGESches Richtungsfeld 41
2. Charakteristiken und charakteristische Streifen 42
3 Äquivalenzsatz 44
4. Anfangswertproblem 45
3. Bestimmtheitsbereich, Abhängigkeitsbereich, Einflußbereich . 48
§ 9' Vollständige und singuläre Integrale 49
1. Vollständige Integrale 49
2. Singuläre Integrale 51
3. Beispiele 52
§ 10. Berührungstransformationen 53
1. Elementvereine 53
2. Definition der Berührungstransformationen 54
3. LEGENDRE Transformation 54
4. Berührungstransformation von Differentialgleichungen 55
§ 11. Quasilineare Differentialgleichung bei mehr als zwei un¬
abhängigen Veränderlichen 56
1. Charakteristiken und Äquivalenzsatz 56
2. Mehrdimensionale charakteristische Mannigfaltigkeiten 57
3. Anfangswertproblem 58
§ 12. Allgemeine Differentialgleichung bei mehr als zwei un¬
abhängigen Veränderlichen 59
1. Charakteristische Streifen und Äquivalenzsatz 59
2. Mehrdimensionale charakteristische Mannigfaltigkeiten 59
3. Anfangswertproblem 60
4. Quadratische Differentialgleichungen erster Ordnung 60
5 Einführung einer RiEMANNschen Metrik im Rn 62
X Inhaltsverzeichnis
§ 13. Vollständige Integrale; Hamilton JACOBische Differen¬
tialgleichung 65
1. Vollständige Integrale 65
2. Anwendung auf die HAMiLTON jACOBische Differentialgleichung
der Mechanik 66
Drittes Kapitel
Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung
und die allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung
bei zwei unabhängigen Veränderlichen
§ 14. Charakteristiken eines Systems quasilinearer Differen¬
tialgleichungen erster Ordnung 69
1. Zweigliedrige Systeme 69
2. Deutung der Differentialgleichungen (14.1) längs einer vorgegebenen
Kurve k 70
3. Erläuterung an Differenzengleichungen 71
4. Charakteristiken eines hyperbolischen Systems 72
5 « gliedrige S}rsteme 73
§ 15 Anfangswertproblem zweigliedriger Systeme (14.1) . 73
1. Formulierung des Anfangswertproblems 73
2. Zurückführung auf ein charakteristisches System 74
3 Äquivalenzsatz 76
4. Bestimmtheits , Abhängigkeits und Einflußbereiche 78
§ 16. Integration zweigliedriger Systeme (14.1) mittels Differen¬
zenverfahren 79
1. Präzisierung der Aufgabe 79
2. Existenzbeweis 80
3. Schranken der Gitterfunktionen und ihrer Differenzenquotienten 81
4 Eindeutigkeitsbeweis 84
5 Bestimmtheits , Abhängigkeits und Einflußbereiche 85
§ 17. Integration zweigliedriger Systeme (14 1) durch Iteration . 86
1. Zurückführung des charakteristischen Systems auf ein System von
Differentialgleichungen zweiter Ordnung 86
2. Iterationsverfahren für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung 87
3 Iterationsverfahren für das « gliedrige System zweiter Ordnung
(17 D 89
§18. RlASSAUsche Gitterkonstruktion 90
1. Beschreibung der Gitterkonstruktion 90
2. Verfeinerung der Gitterkonstruktion 91
3. Spezialfälle (vgl. § 14, Ziff. 1) 92
§ 19 Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . 93
1. Reduktion auf ein quasilineares System erster Ordnung . 93
2. Anfangswertproblem 94
' 3. Homogene Differentialgleichung 95
4. LEGENDRE Transformation 96
5 Anwendung der MASSAUSchen Gitterkonstruktion 97
Inhaltsverzeichnis XI
§ 20. Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ord¬
nung mit geradlinigen Charakteristiken 98
1. Aufgabenstellung 98
2. Geradliniges Charakteristikennetz in der x, y Ebene 98
3. Geradliniges Charakteristikennetz in der u, « Ebene 99
4. Übertragung auf elliptische Differentialgleichungen 100
5. Normalform der Differentialgleichung (20.1) mit geradlinigem Cha¬
rakteristikennetz in der x, y Ebene 101
6. Transformationssatz für lineare homogene Differentialgleichungen
(20.1) 102
§21. Anwendungen auf die Flächentheorie 103
1. Infinitesimale Flächenverbiegung 103
2. Bestimmtheits und Einflußbereiche bei der Flächenverbiegung . 1(. 5
3. Infinitesimale Verbiegung zueinander projektiver Flächen . 106
4. Infinitesimale Verbiegungen der Flächen zweiter Ordnung und der
Flächen, bei denen der Grundriß der Asymptotenlinien ein Rük
kungsnetz bildet 106
5. Minimalflächen 106
§ 22. Anwendungen auf die stationäre Gasströmung 107
1. Zweidimensionale Überschallströmung 107
2. Spezielle Adiabatengleichungen 108
3. Drehsymmetrische dreidimensionale Überschallströmung . 109
4. Nichtisentropische Überschallströmung 109
§23 Anwendungen auf die nichtstationäre Gasströmung . . . 110
1. Eindimensionale Strömung 110
2. Spezielle Adiabatengleichungen 111
3. Dreidimensionale zylindersymmetrische und kugelsymmetrische
Strömungen 112
4. Nichtisentropische Strömung 112
5 Druckwellen in zylindrischem Rohr 113
6. Vergleich mit der Akustik 114
§24. Anwendungen auf die Oberflächenwellen und auf pla¬
stische Spannungsfelder 116
1. Theorie der Oberflächenwellen in seichtem Wasser 116
2. Anwendung der Charakteristikentheorie 116
3. Theorie der ebenen plastischen Spannungsfelder 117
4. Anwendung der Charakteristikentheorie 118
|25. Allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung. . . . 119
1. Zurückführung auf ein charakteristisches System 119
2. Pseudolineare Differentialgleichung zweiter Ordnung 121
3. MoNGE AMPfeRESche Differentialgleichung 123
§ 26. Anfangswertproblem und Integration K gliedriger Systeme
quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung . . 125
1. Zurückführung allgemeiner Differentialgleichungen auf Systeme
quasilinearer Differentialgleichungen 125
2. Charakteristische Form halblinearer Gleichungssysteme (26.1) . . 127
3. Charakteristische Form allgemeiner quasilinearer Gleichungs¬
systeme (26.1) 129
XII Inhaltsverzeichnis
4. Lösung des Anfangswertproblems der charakteristischen Systeme 129
5. MAssAusche Gitterkonstruktion . . 131
6. Anwendung auf nichtisentropische Gasströmungen 133
7. Probleme mit gemischten Anfangs und Randbedingungen . 134
§ 27. Unstetigkeiten bei Lösungen hyperbolischer Differen¬
tialgleichungen 135
1. Unstetigkeiten längs Charakteristiken 135
2. Anwendung auf die nichtstationäre Gasströmung 137
3. Unstetigkeiten erster und nullter Ordnung 138
§28. RiEMANNSches Integrationsverfahren 140
1. Aufgabenstellung 140
2. GREENSche Formel 140
3. Randwertproblem der elliptischen Differentialgleichung (28.1) und
GREENSche Funktion 141
4 Anfangswertproblem der hyperbolischen Differentialgleichung (28.1)
und RiEMANNsche Funktion 143
5. Charakteristisches Anfangswertproblem und Symmetrieeigenschaft
der RiEMANNschen Funktion 146
6. Gegenüberstellung der GREENschen Funktion und der Riemann
schen Funktion 147
7. Anwendung des RiEMANNschen Integrationsverfahren auf die'Wellen¬
gleichung und die Telegraphengleichüng 148
§29 Anwendung auf die eindimensionale nichtstationäre und
die zweidimensionale stationäre Gasströmung 150
1. Normalform der Potentialgleichung 150
2. Zurückführung der RiEMANNschen Funktion auf Kugelfunktionen . 151
3. Zurückführung der RiEMANNschen Funktion auf eine BESSEL Funk
tion 155
Viertes Kapitel
Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung
und die quasilineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen
§ 30. Charakteristikentheorie eines Systems quasilinearer
Differentialgleichungen erster Ordnung 156
1. Deutung der Differentialgleichung auf einer vorgegebenen Fläche x 156
2. Charakteristische Flächen 158
3. Charakteristische Kegel und charakteristische Konoide; Unstetig¬
keiten 159
4 Verallgemeinerung auf ^ gliedrige Systeme und auf « unabhängige
Veränderliche 161
5 Anfangswertproblem und MAssAusche Gitterkonstruktion . 162
§ 31 Charakteristikentheorie quasilinearer Differentialglei¬
chungen zweiter Ordnung 163
1. Reduktion auf ein quasilineares System erster Ordnung . 163
2. Charakteristische Flächen als Unstetigkeitsflachen; Wellenfronten 165
3 HuYGHENssche Konstruktion der Frontlinien 165
Inhaltsverzeichnis XIII
§ 32. Anwendung auf stationäre und nichtstationäre Gasströ¬
mungen 167
1. Dreidimensionale stationäre Überschallströmung 167
2. Zweidimensionale nichtstationäre Strömung 168
3 Schallausbreitung in einer stationären Gasströmung 168
§ 33 Allgemeine Eigenschaften linearer Differentialgleichungen 170
1. Superposition von Lösungen 170
2. Methode der Variation der Konstanten 171
3. Typeneinteilung 173
4. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . 174
§34 Wellengleichung im H1 und i?3; Prinzip von Hüyghens . 176
1. Wellengleichung im ifx 176
2. Homogene Wellengleichung im Ä, 178
3. Verifikation der Lösung 180
4. Beweis des Hilfssatzes (34.15) 182
5. Nichthomogene Wellengleichung im Ä, 183
6. Bestimmtheits , Abhängigkeits und Einflußbereiche; Huyghens
sches Prinzip 184
7. Ausstrahlungslösungen 186
§ 35 Wellengleichung im i?2; Absteigmethode von Hadamard 187
1. Homogene und nichthomogene Wellengleichung im R2 18 7
2. Ausstrahlungslösungen 188
3 Bestimmtheits , Abhängigkeits und Einflußbereiche; Nichtgültig
keit des Hüyghens sehen Prinzips 189
4. Gegenüberstellung der Ausstrahlungslösungen im Rv i?2 und if3 . 190
§ 36. Anwendung auf die linearisierte stationäre Überschall¬
strömung um Drehkörper (linienhafte Quellenverteilung) 191
1. Achsensymmetrische Strömung um Drehkörper 191
2. Nichtgültigkeit des Hüyghens sehen Prinzips 193
3. Schiefe Strömung um Drehkörper 194
§ 37. Wellengleichung im Rm; DARßouxsche Gleichung . 195
1. Anfangswertproblem und Ausstrahlungslösungen 195
2. Umformungen und Hüyghens sches Prinzip 196
3. DARBOUXSche Gleichung der Mittelwerte 197
4. Elementare Lösungen der DARBOuxschen Gleichung 198
§ 38. Reduktion dreidimensionaler Probleme auf zwei und
eindimensionale durch Symmetrieannahmen 200
1. Symmetrieannahmen und Trennung der Veränderlichen . 200
2. Nachbarlösungen drehsymmetrischer Überschallströmungen . . . 200
3. Dreh und kegelsymmetrische Überschallströmungen und Nach¬
barlösungen 202
4. Kegelsymmetrische linearisierte überschallströmung 203
§ 39. HADAMARDSche Integrationstheorie 205
1. Grundgedanke 2Ü5
2. GREENSche Formel im R„ 207
3. Grundlösung 208
4. Darstellungsformel der Lösung des Anfangswertproblems . 211
XIV Inhaltsverzeichnis
§ 40. Erläuterung des HadAMARDschen Grenzprozesses . 214
1. Endlicher Bestandteil divergenter Integrale 214
2. Rechenregeln für endliche Bestandteile 215
3. Beispiel 217
4. Erweiterung der Betrachtungen auf mehrfache Integrale . 218
5. Grenzprozeß e * 0 für das Flächenintegral Qx^ über den Mantel des
charakteristischen Konoids 220
6. Grenzprozeß ö »• 0 220
7. Symmetrieeigenschaft der Grundlösung G (x, f) 224
8. Verifikation der Darstellungsformel (39.22) 225
§41. Anwendung auf die Wellengleichung im R2 226
1. Grundlösung 226
2. Grenzprozeß e *¦ 0 für das Integral Que^ über den Mantel des cha¬
rakteristischen Konoids 228
3. Grenzprozeß b 0 230
4. Darstellungsformel 231
Fünftes Kapitel
Behandlung von Anfangswertproblemen mit Hilfe des Distributionskalküls
§42. Grundzüge des Distributionskalküls 233
1. Begriff der Distribution im i?j 233
2. Ableitung einer Distribution 234
3. Gleichheit von Distributionen; Träger 234
4. Konvergenz 235
5. Faltung; DiRAC Distributionen 236
6 Regularisierung 237
7. Distributionen im RH 238
§ 43 Sprungfunktionen 240
1. Funktionen mit endlichem Sprung im R1 240
2. Funktionen mit endlichem im Sprung im Rn 241
3. Funktionen mit unendlich großem Sprung im ü, 242
4. Funktionen mit unendlich großem Sprung im Rn 243
5 Beziehungen zum HADAMARDSchen Grenzprozeß 246
§ 44. Faltungsgleichungen und Anfangswertprobleme 248
1. Verschiedene Typen von Faltungsgleichungen 248
2. Formale Lösung einer Faltungsgleichung mittels Grundlösung . . 249
3. Anfangswertproblem der Wellengleichung; HuYGHENSsches Prinzip;
Absteig und Aufsteigmethode 250
4. Wellengleichung für m = 1, m — 2 und m = 3 252
§45 Anwendung des Distributionskalküls auf die dreidimen¬
sionale stationäre Überschallströmung 255
1. Problem des flachen Körpers (Tragflügel) 255
2. Umströmung eines Tragflügels bei vorgegebener Gestalt oder bei
vorgegebener Auftriebsverteilung 257
3. Weitere Durchrechnung 258
4. Vereinfachung der Durchrechnung durch den Distributionskalkül 263
5. Problem des schlanken Körpers (drehsymmetrischer Rumpf) . . 265
Inhaltsverzeichnis XV
§46. Anwendung der Laplace Transformation auf Anfangs¬
wertprobleme 267
1. Definition und Rechenregeln der LAPLACE Transformation in der
klassischen Analysis 267
2. Erweiterung der LAPLACE Transformation auf Distributionen . . 270
3. Rechenregeln der LAPLACE Transformation im Distributionsraum . 271
4. Tabelle von LAPLACE Korrespondenzen 273
5. Anwendung auf Faltungsgleichungen 2/4
6. Anwendung auf Anfangs Randwert Probleme bei linearen partiellen
Differentialgleichungen 275
7. Anwendung auf Ausstrahlungsprobleme bei linearen partiellen
Differentialgleichungen 277
8. Anwendung auf die stationäre Überschallströmung um einen quasi¬
zylindrischen Körper 278
Namenverzeichnis 281
Sachverzeichnis 282 |
| adam_txt |
I nhaltsverzeichnis
Literatur XVI
Einleitung 1
Erstes Kapitel
Gegenüberstellung von Anfangswert und Randwertproblemen
§ 1. DiRicHLETsches Randwertproblem der Potentialgleichung 3
1. Aufgabenstellung 3
2. Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösung 3
3 Konstruktion der Lösung mittels der GREENSchen Funktion . . 4
4. Festlegung der Lösung durch die Randwerte 6
§ 2. Anfangswertproblem der Wellengleichung 6
1. Aufgabenstellung 6
2. Bestimmtheits , Abhängigkeits und Einflußbereiche; Charakteri¬
stiken 7
3. Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösung; Ausbreitung von
Unstetigkeiten 8
4. Charakteristisches Anfangswertproblem 8
5 Beispiel: Akustische Wellen in zylindrischem Rohr 10
§ 3. Hyperbolische, elliptische und parabolische Differential¬
gleichungen 11
1. Typeneinteilung der linearen Differentialausdrücke zweiter Ord¬
nung 11
2. Normalformen der Differentialausdrücke L[f] 13
3. Differentialgleichungen vom gemischten Typus 14
§4. Analytische Lösungen analytischer Differentialgleichun¬
gen 16
1. Existenzsatz von Cauchy Kowalewski 16
2. Zurückführung des Existenzsatzes auf einen Konvergenzsatz . . 17
3. Bildungsgesetz der Koeffizienten cik 18
4. Konvergenzbeweis 18
§ 5 Anfangs und Randwertaufgaben bei Differenzengleichun¬
gen 20
1. Formulierung analoger Anfangs und Randwertaufgaben bei Diffe¬
renzengleichungen 20
2. Lösung der Randwertaufgabe 22
3. Lösung der Anfangswertaufgabe 23
4. Grenzübergang von Differenzen zu Differentialgleichungen . 23
5. Anfangswertaufgabe bei allgemeineren Differenzengleichungen . . 25
6. Konvergenzbeweis 27
Inhaltsverzeichnis IX
§ 6 Hyperbolische Differentialgleichungen in der Gasdynamik
und Akustik 30
1. Grundgleichungen der Strömung kompressibler Medien 30
2. Spezialisierung für stationäre Strömungen 32
3. Spezialisierung für eindimensionale, zylindrische und kugelsymmetri¬
sche nichtstationäre Strömungen 33
4. Linearisierung der Differentialgleichungen 33
Zweites Kapitel
Differentialgleichungen erster Ordnung
§ 7 Quasilineare Differentialgleichung bei zwei unabhängigen
Veränderlichen 36
1. MoNGESches Richtungsfeld und Charakteristiken 36
2. Äquivalenzsatz • 37
3. Anfangswertproblem 38
4. Bestimmtheitsbereich, Abhängigkeitsbereich, Einflußbereich . 39
5 Erläuterungen der Alternative an Differenzengleichungen . 39
6. Spezialfall: Lineare Gleichung 40
§ 8. Allgemeine Differentialgleichung bei zwei unabhängigen
Veränderlichen 41
1. MoNGESches Richtungsfeld 41
2. Charakteristiken und charakteristische Streifen 42
3 Äquivalenzsatz 44
4. Anfangswertproblem 45
3. Bestimmtheitsbereich, Abhängigkeitsbereich, Einflußbereich . 48
§ 9' Vollständige und singuläre Integrale 49
1. Vollständige Integrale 49
2. Singuläre Integrale 51
3. Beispiele 52
§ 10. Berührungstransformationen 53
1. Elementvereine 53
2. Definition der Berührungstransformationen 54
3. LEGENDRE Transformation 54
4. Berührungstransformation von Differentialgleichungen 55
§ 11. Quasilineare Differentialgleichung bei mehr als zwei un¬
abhängigen Veränderlichen 56
1. Charakteristiken und Äquivalenzsatz 56
2. Mehrdimensionale charakteristische Mannigfaltigkeiten 57
3. Anfangswertproblem 58
§ 12. Allgemeine Differentialgleichung bei mehr als zwei un¬
abhängigen Veränderlichen 59
1. Charakteristische Streifen und Äquivalenzsatz 59
2. Mehrdimensionale charakteristische Mannigfaltigkeiten 59
3. Anfangswertproblem 60
4. Quadratische Differentialgleichungen erster Ordnung 60
5 Einführung einer RiEMANNschen Metrik im Rn 62
X Inhaltsverzeichnis
§ 13. Vollständige Integrale; Hamilton JACOBische Differen¬
tialgleichung 65
1. Vollständige Integrale 65
2. Anwendung auf die HAMiLTON jACOBische Differentialgleichung
der Mechanik 66
Drittes Kapitel
Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung
und die allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung
bei zwei unabhängigen Veränderlichen
§ 14. Charakteristiken eines Systems quasilinearer Differen¬
tialgleichungen erster Ordnung 69
1. Zweigliedrige Systeme 69
2. Deutung der Differentialgleichungen (14.1) längs einer vorgegebenen
Kurve k 70
3. Erläuterung an Differenzengleichungen 71
4. Charakteristiken eines hyperbolischen Systems 72
5 « gliedrige S}rsteme 73
§ 15 Anfangswertproblem zweigliedriger Systeme (14.1) . 73
1. Formulierung des Anfangswertproblems 73
2. Zurückführung auf ein charakteristisches System 74
3 Äquivalenzsatz 76
4. Bestimmtheits , Abhängigkeits und Einflußbereiche 78
§ 16. Integration zweigliedriger Systeme (14.1) mittels Differen¬
zenverfahren 79
1. Präzisierung der Aufgabe 79
2. Existenzbeweis 80
3. Schranken der Gitterfunktionen und ihrer Differenzenquotienten 81
4 Eindeutigkeitsbeweis 84
5 Bestimmtheits , Abhängigkeits und Einflußbereiche 85
§ 17. Integration zweigliedriger Systeme (14 1) durch Iteration . 86
1. Zurückführung des charakteristischen Systems auf ein System von
Differentialgleichungen zweiter Ordnung 86
2. Iterationsverfahren für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung 87
3 Iterationsverfahren für das « gliedrige System zweiter Ordnung
(17 D 89
§18. RlASSAUsche Gitterkonstruktion 90
1. Beschreibung der Gitterkonstruktion 90
2. Verfeinerung der Gitterkonstruktion 91
3. Spezialfälle (vgl. § 14, Ziff. 1) 92
§ 19 Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . 93
1. Reduktion auf ein quasilineares System erster Ordnung . 93
2. Anfangswertproblem 94
' 3. Homogene Differentialgleichung 95
4. LEGENDRE Transformation 96
5 Anwendung der MASSAUSchen Gitterkonstruktion 97
Inhaltsverzeichnis XI
§ 20. Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ord¬
nung mit geradlinigen Charakteristiken 98
1. Aufgabenstellung 98
2. Geradliniges Charakteristikennetz in der x, y Ebene 98
3. Geradliniges Charakteristikennetz in der u, « Ebene 99
4. Übertragung auf elliptische Differentialgleichungen 100
5. Normalform der Differentialgleichung (20.1) mit geradlinigem Cha¬
rakteristikennetz in der x, y Ebene 101
6. Transformationssatz für lineare homogene Differentialgleichungen
(20.1) 102
§21. Anwendungen auf die Flächentheorie 103
1. Infinitesimale Flächenverbiegung 103
2. Bestimmtheits und Einflußbereiche bei der Flächenverbiegung . 1(. 5
3. Infinitesimale Verbiegung zueinander projektiver Flächen . 106
4. Infinitesimale Verbiegungen der Flächen zweiter Ordnung und der
Flächen, bei denen der Grundriß der Asymptotenlinien ein Rük
kungsnetz bildet 106
5. Minimalflächen 106
§ 22. Anwendungen auf die stationäre Gasströmung 107
1. Zweidimensionale Überschallströmung 107
2. Spezielle Adiabatengleichungen 108
3. Drehsymmetrische dreidimensionale Überschallströmung . 109
4. Nichtisentropische Überschallströmung 109
§23 Anwendungen auf die nichtstationäre Gasströmung . . . 110
1. Eindimensionale Strömung 110
2. Spezielle Adiabatengleichungen 111
3. Dreidimensionale zylindersymmetrische und kugelsymmetrische
Strömungen 112
4. Nichtisentropische Strömung 112
5 Druckwellen in zylindrischem Rohr 113
6. Vergleich mit der Akustik 114
§24. Anwendungen auf die Oberflächenwellen und auf pla¬
stische Spannungsfelder 116
1. Theorie der Oberflächenwellen in seichtem Wasser 116
2. Anwendung der Charakteristikentheorie 116
3. Theorie der ebenen plastischen Spannungsfelder 117
4. Anwendung der Charakteristikentheorie 118
|25. Allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung. . . . 119
1. Zurückführung auf ein charakteristisches System 119
2. Pseudolineare Differentialgleichung zweiter Ordnung 121
3. MoNGE AMPfeRESche Differentialgleichung 123
§ 26. Anfangswertproblem und Integration K gliedriger Systeme
quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung . . 125
1. Zurückführung allgemeiner Differentialgleichungen auf Systeme
quasilinearer Differentialgleichungen 125
2. Charakteristische Form halblinearer Gleichungssysteme (26.1) . . 127
3. Charakteristische Form allgemeiner quasilinearer Gleichungs¬
systeme (26.1) 129
XII Inhaltsverzeichnis
4. Lösung des Anfangswertproblems der charakteristischen Systeme 129
5. MAssAusche Gitterkonstruktion . . 131
6. Anwendung auf nichtisentropische Gasströmungen 133
7. Probleme mit gemischten Anfangs und Randbedingungen . 134
§ 27. Unstetigkeiten bei Lösungen hyperbolischer Differen¬
tialgleichungen 135
1. Unstetigkeiten längs Charakteristiken 135
2. Anwendung auf die nichtstationäre Gasströmung 137
3. Unstetigkeiten erster und nullter Ordnung 138
§28. RiEMANNSches Integrationsverfahren 140
1. Aufgabenstellung 140
2. GREENSche Formel 140
3. Randwertproblem der elliptischen Differentialgleichung (28.1) und
GREENSche Funktion 141
4 Anfangswertproblem der hyperbolischen Differentialgleichung (28.1)
und RiEMANNsche Funktion 143
5. Charakteristisches Anfangswertproblem und Symmetrieeigenschaft
der RiEMANNschen Funktion 146
6. Gegenüberstellung der GREENschen Funktion und der Riemann
schen Funktion 147
7. Anwendung des RiEMANNschen Integrationsverfahren auf die'Wellen¬
gleichung und die Telegraphengleichüng 148
§29 Anwendung auf die eindimensionale nichtstationäre und
die zweidimensionale stationäre Gasströmung 150
1. Normalform der Potentialgleichung 150
2. Zurückführung der RiEMANNschen Funktion auf Kugelfunktionen . 151
3. Zurückführung der RiEMANNschen Funktion auf eine BESSEL Funk
tion 155
Viertes Kapitel
Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung
und die quasilineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen
§ 30. Charakteristikentheorie eines Systems quasilinearer
Differentialgleichungen erster Ordnung 156
1. Deutung der Differentialgleichung auf einer vorgegebenen Fläche x 156
2. Charakteristische Flächen 158
3. Charakteristische Kegel und charakteristische Konoide; Unstetig¬
keiten 159
4 Verallgemeinerung auf ^ gliedrige Systeme und auf « unabhängige
Veränderliche 161
5 Anfangswertproblem und MAssAusche Gitterkonstruktion . 162
§ 31 Charakteristikentheorie quasilinearer Differentialglei¬
chungen zweiter Ordnung 163
1. Reduktion auf ein quasilineares System erster Ordnung . 163
2. Charakteristische Flächen als Unstetigkeitsflachen; Wellenfronten 165
3 HuYGHENssche Konstruktion der Frontlinien 165
Inhaltsverzeichnis XIII
§ 32. Anwendung auf stationäre und nichtstationäre Gasströ¬
mungen 167
1. Dreidimensionale stationäre Überschallströmung 167
2. Zweidimensionale nichtstationäre Strömung 168
3 Schallausbreitung in einer stationären Gasströmung 168
§ 33 Allgemeine Eigenschaften linearer Differentialgleichungen 170
1. Superposition von Lösungen 170
2. Methode der Variation der Konstanten 171
3. Typeneinteilung 173
4. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . 174
§34 Wellengleichung im H1 und i?3; Prinzip von Hüyghens . 176
1. Wellengleichung im ifx 176
2. Homogene Wellengleichung im Ä, 178
3. Verifikation der Lösung 180
4. Beweis des Hilfssatzes (34.15) 182
5. Nichthomogene Wellengleichung im Ä, 183
6. Bestimmtheits , Abhängigkeits und Einflußbereiche; Huyghens
sches Prinzip 184
7. Ausstrahlungslösungen 186
§ 35 Wellengleichung im i?2; Absteigmethode von Hadamard 187
1. Homogene und nichthomogene Wellengleichung im R2 18 7
2. Ausstrahlungslösungen 188
3 Bestimmtheits , Abhängigkeits und Einflußbereiche; Nichtgültig
keit des Hüyghens sehen Prinzips 189
4. Gegenüberstellung der Ausstrahlungslösungen im Rv i?2 und if3 . 190
§ 36. Anwendung auf die linearisierte stationäre Überschall¬
strömung um Drehkörper (linienhafte Quellenverteilung) 191
1. Achsensymmetrische Strömung um Drehkörper 191
2. Nichtgültigkeit des Hüyghens sehen Prinzips 193
3. Schiefe Strömung um Drehkörper 194
§ 37. Wellengleichung im Rm; DARßouxsche Gleichung . 195
1. Anfangswertproblem und Ausstrahlungslösungen 195
2. Umformungen und Hüyghens sches Prinzip 196
3. DARBOUXSche Gleichung der Mittelwerte 197
4. Elementare Lösungen der DARBOuxschen Gleichung 198
§ 38. Reduktion dreidimensionaler Probleme auf zwei und
eindimensionale durch Symmetrieannahmen 200
1. Symmetrieannahmen und Trennung der Veränderlichen . 200
2. Nachbarlösungen drehsymmetrischer Überschallströmungen . . . 200
3. Dreh und kegelsymmetrische Überschallströmungen und Nach¬
barlösungen 202
4. Kegelsymmetrische linearisierte überschallströmung 203
§ 39. HADAMARDSche Integrationstheorie 205
1. Grundgedanke 2Ü5
2. GREENSche Formel im R„ 207
3. Grundlösung 208
4. Darstellungsformel der Lösung des Anfangswertproblems . 211
XIV Inhaltsverzeichnis
§ 40. Erläuterung des HadAMARDschen Grenzprozesses . 214
1. Endlicher Bestandteil divergenter Integrale 214
2. Rechenregeln für endliche Bestandteile 215
3. Beispiel 217
4. Erweiterung der Betrachtungen auf mehrfache Integrale . 218
5. Grenzprozeß e * 0 für das Flächenintegral Qx^ über den Mantel des
charakteristischen Konoids 220
6. Grenzprozeß ö »• 0 220
7. Symmetrieeigenschaft der Grundlösung G (x, f) 224
8. Verifikation der Darstellungsformel (39.22) 225
§41. Anwendung auf die Wellengleichung im R2 226
1. Grundlösung 226
2. Grenzprozeß e *¦ 0 für das Integral Que^ über den Mantel des cha¬
rakteristischen Konoids 228
3. Grenzprozeß b 0 230
4. Darstellungsformel 231
Fünftes Kapitel
Behandlung von Anfangswertproblemen mit Hilfe des Distributionskalküls
§42. Grundzüge des Distributionskalküls 233
1. Begriff der Distribution im i?j 233
2. Ableitung einer Distribution 234
3. Gleichheit von Distributionen; Träger 234
4. Konvergenz 235
5. Faltung; DiRAC Distributionen 236
6 Regularisierung 237
7. Distributionen im RH 238
§ 43 Sprungfunktionen 240
1. Funktionen mit endlichem Sprung im R1 240
2. Funktionen mit endlichem im Sprung im Rn 241
3. Funktionen mit unendlich großem Sprung im ü, 242
4. Funktionen mit unendlich großem Sprung im Rn 243
5 Beziehungen zum HADAMARDSchen Grenzprozeß 246
§ 44. Faltungsgleichungen und Anfangswertprobleme 248
1. Verschiedene Typen von Faltungsgleichungen 248
2. Formale Lösung einer Faltungsgleichung mittels Grundlösung . . 249
3. Anfangswertproblem der Wellengleichung; HuYGHENSsches Prinzip;
Absteig und Aufsteigmethode 250
4. Wellengleichung für m = 1, m — 2 und m = 3 252
§45 Anwendung des Distributionskalküls auf die dreidimen¬
sionale stationäre Überschallströmung 255
1. Problem des flachen Körpers (Tragflügel) 255
2. Umströmung eines Tragflügels bei vorgegebener Gestalt oder bei
vorgegebener Auftriebsverteilung 257
3. Weitere Durchrechnung 258
4. Vereinfachung der Durchrechnung durch den Distributionskalkül 263
5. Problem des schlanken Körpers (drehsymmetrischer Rumpf) . . 265
Inhaltsverzeichnis XV
§46. Anwendung der Laplace Transformation auf Anfangs¬
wertprobleme 267
1. Definition und Rechenregeln der LAPLACE Transformation in der
klassischen Analysis 267
2. Erweiterung der LAPLACE Transformation auf Distributionen . . 270
3. Rechenregeln der LAPLACE Transformation im Distributionsraum . 271
4. Tabelle von LAPLACE Korrespondenzen 273
5. Anwendung auf Faltungsgleichungen 2/4
6. Anwendung auf Anfangs Randwert Probleme bei linearen partiellen
Differentialgleichungen 275
7. Anwendung auf Ausstrahlungsprobleme bei linearen partiellen
Differentialgleichungen 277
8. Anwendung auf die stationäre Überschallströmung um einen quasi¬
zylindrischen Körper 278
Namenverzeichnis 281
Sachverzeichnis 282 |
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