Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Teubner
2006
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| Ausgabe: | 4., durchges. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Mathematische Leitfäden
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| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| ISBN: | 3835100262 9783835100268 |
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| adam_text | Inhalt
Einleitung 15
I Zur Einstimmung
1 Die schwingende Saite und Fourierreihen 21
2 Die Tschebyscheffsche Approximationsaufgabe. Gleichmäßige
Konvergenz 31
3 Rand und Eigenwertprobleme 35
4 Lineare Probleme 41
4.1 Lineare Gleichungssysteme 41
4.2 Fredholmsche Integralgleichungen 42
4.3 Volterrasche Integralgleichungen 43
4.4 Anfangswertprobleme für lineare Differentialgleichungen . 44
5 Lineare Abbildungen 47
5.1 Lineare Abbildungen in der Analysis 47
5.2 Lineare und multiplikative Systeme in der Nachrichten¬
technik 49
5.3 Operatoren der Quantenmechanik 50
II Normierte Räume
6 Metrische Räume 54
7 Vektorräume 72
8 Lineare Abbildungen 78
9 Normierte Räume 84
10 Stetige lineare Abbildungen 93
11 Endlichdimensionale normierte Räume 102
12 Die Neumannsche Reihe 106
13 Normierte Algebren 113
III Anwendungen
14 Matrixnormen und lineare Gleichungssysteme. Die Leontieffschen
Matrizen der Produktionstheorie 125
15 Die Volterrasche Integralgleichung 129
16 Die Fredholmsche Integralgleichung 133
17 Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffi¬
zienten 143
10 Inhalt
IV Innenprodukt und Hilberträume
18 Innenprodukträume 146
19 Orthogonalität 152
20 Gaußapproximation und Orthogonalisierungsverfahren . . . 159
21 Das allgemeine Approximationsproblem 165
22 Orthogonale Komplemente 170
23 Orthogonalreihen 173
24 Orthonormalbasen 176
25 Die kanonischen Hilbertraummodelle 181
26 Die stetigen Linearformen eines Hilbertraumes 182
27 Schwache Konvergenz 186
V Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren
28 Kompakte Operatoren 190
29 Symmetrische Operatoren 194
30 Die Entwicklung symmetrischer kompakter Operatoren nach Ei¬
genvektoren 200
31 Die Gleichung (XI—A)x—y mit symmetrischem kompakten A . 205
32 Bestimmung und Abschätzung von Eigenwerten 209
VI Anwendungen
33 Das Sturm Liouvillesche Eigenwertproblem 218
34 Das Dirichletsche Prinzip 222
35 Ein Variationsverfahren zur Lösung gewisser Operatorengleichun¬
gen. Der gebogene Balken 224
VII Hauptsätze der Funktionalanalysis
36 Der Fortsetzungssatz von Hahn Banach 228
37 Quotientenräume und kanonische Injektionen 235
38 Der Bairesche Kategoriesatz 240
39 Der Satz von der offenen Abbildung, der stetigen Inversen und der
Graphensatz 241
40 Der Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit 246
41 Vervollständigungssätze 249
42, Trennungssätze 253
43 Der Satz von Krein Müman 258
VIII Anwendungen
44 Anwendungen des Baireschen Kategoriesatzes 260
44.1 Stetigkeitstransport bei punktweiser Konvergenz .... 260
44.2 Stetige, nirgends differenzierbare Funktionen 261
45 Anwendungen des Satzes von der stetigen Inversen 262
45.1 Das Anfangswertproblem für lineare Differentialgleichungen 262
45.2 Näherungsweise Lösung von Operatorengleichungen . . 263
i
i
Inhalt 11
46 Anwendungen des Satzes von der gleichmäßigen Beschränktheit 264
46.1 Konvergenzsätze 264
46.2 Der Toeplitzsche Permanenzsatz 266
46.3 Konvergenz von Quadraturformeln 268
46.4 Existenz einer stetigen Funktion, deren Fourierreihe nicht
überall konvergiert 269
47 Anwendungen des Hahn Banachschen Fortsetzungssatzes . . . 272
47.1 Die Greensche Funktion des Dirichletschen Randwertpro¬
blems 272
47.2 Holomorphe Funktionen mit nichtnegativem Realteil . . 274
47.3 Hinweise auf weitere Anwendungen 277
IX Bilinearsysteme und konjugierte Operatoren
48 Bilinearsysteme 279
49 Dualsysteme 282
50 Konjugierte Operatoren 287
51 Die Gleichung (1—K)x=y mit endlichdimensionalem K . . . 295
52 Die Gleichung (R — S)x=y mit bijektivem R und endlichdimensio¬
nalem S 299
53 Der Fredholmsche Alternativsatz 302
54 Normale Auflösbarkeit 307
55 Operatoren mit abgeschlossenen Bildräumen 309
56 Analytische Darstellung stetiger Linearformen 316
57 Der Bidual eines normierten Raumes 324
58 Adjungierte Operatoren 327
59 Schwache Konvergenz in normierten Räumen 331
60 Reflexive Räume 336
X Schwache und lokalkonvexe Topologien
61 Topologische Grundbegriffe 341
62 Die schwache Topologie 348
63 Vektorraumtopologien 351
64 Lokalkonvexe Topologien 355
65 Der Satz von Hahn Banach 361
66 Trennungssätze und Satz von Krein Milman 362
67 Der Bipolarensatz 363
68 Die topologische Charakterisierung der normalen Auflösbarkeit 366
69 Der Satz von Alaoglu und die Darstellung normierter Räume . 366
70 Die Mackeysche Topologie und eine Charakterisierung reflexiver
Räume 368
XI Fredholmoperatoren
71 Defektendliche Operatoren 373
72 Kettenendliche Operatoren 376
12 Inhalt
73 Topologische Komplementärräume 381
74 Stetige defektendliche Operatoren 383
75 Fredholmoperatoren in saturierten Operatorenalgebren . . . 387
76 Die Gleichung Ax=y mit einem Fredholmoperator A .... 395
77 Darstellungssätze für Fredholmoperatoren 399
78 Die Rieszsche Theorie kompakter Operatoren 404
79 Die Riesz Schaudersche Auflösungstheorie für I—K mit kompak¬
tem K 406
80 Eigenwerte, invariante und hyperinvariante Unterräume eines
kompakten Operators 409
81 Fredholmoperatoren auf Banachräumen 413
82 Stetige Semifredholmoperatoren 416
83 Abgeschlossene Semifredholmoperatoren 422
84 Topologische Charakterisierung der saturierten Operatorenalgebren 423
XII Anwendungen
85 Das Dirichletsche und Neumannsche Problem in der Ebene . . 425
86 Das Dirichletsche und Neumannsche Problem im Raum. Operato¬
ren mit einer kompakten Potenz 430
87 Integralgleichungen mit L2 Kernen. Hilbert Schmidt Operatoren 433
88 Singuläre Integralgleichungen 443
89 Eine verallgemeinerte Fredholmsituation 447
90 Wielandtoperatoren 452
91 Integralgleichungen mit symmetrisierbaren Kernen 456
92 Allgemeine Eigenwertprobleme für Differentialoperatoren . . 458
93 Fredholmsche Differentialoperatoren 464
94 Der Konvexitätssatz von Liapounoff 464
XIII Spektraltheorie in Banachräumen und Banachalgebren
95 Die Resolvente 465
96 Das Spektrum 468
7 Vektorwertige holomorphe Funktionen 476
98 Vorbemerkungen zum Funktionalkalkül 481
99 Der Funktionalkalkül 482
100 Spektralprojektoren 488
101 Isolierte Punkte des Spektrums 491
102 Normaloide Operatoren 495
103 Normale meromorphe Operatoren 503
XIV Rieszoperatoren
104 Der Fredholmbereich 506
105 Rieszoperatoren 5J1
106 Rieszideale und Fredholmstörungen 516
107 Wesentliche Spektren 520
Inhalt 13
XV Anwendungen
108 Eine Spektralbedingung für die Konvergenz der Neumannschen
Reihe. Stabilität linearer Differentialgleichungssysteme .... 523
109 Ein spektraltheoretischer Beweis des Satzes von Lomonosov . . 527
110 Positive Matrizen, Markoffsche Prozesse und Wachstumsvorgänge 528
111 Ein Ergodensatz 538
XVI Spektraltheorie in Hilberträumen
112 Spektren normaler Operatoren 542
113 Orthogonalprojektoren 546
114 Vorbemerkungen zum Spektralsatz für symmetrische Operatoren 548
115 Funktionalkalkül für symmetrische Operatoren 550
116 Der Spektralsatz für symmetrische Operatoren auf Hilberträumen 553
117 Die Beschreibung des Spektrums und der Resolventenmenge eines
symmetrischen Operators mittels seiner Spektralschar .... 557
118 Der Spektralsatz für unitäre Operatoren 560
119 Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren 564
XVII Approximationsprobleme in normierten Räumen
120 Die abstrakte Tschebyscheffsche Approximationsaufgabe . . . 572
121 Strikt konvexe Räume 574
122 Approximation in gleichmäßig konvexen Räumen 576
123 Der Haarsche Eindeutigkeitssatz für die Tschebyscheffsche Appro¬
ximationsaufgabe in CR[a,b] 579
XVIII Die Darstellung kommutativer Banachalgebren
124 Vorbemerkungen zum Darstellungsproblem 584
125 Multiplikative Linearformen und maximale Ideale 588
126 Der Gelfandsche Darstellungssatz 591
127 Die Darstellung kommutativer B* Algebren 593
128 Der Spektralsatz für normale Operatoren 596
XIX Ein Blick auf die werdende Funktionalanalysis
129 Vorgefechte 599
130 La primavera italiana 604
131 Das Licht aus dem Norden 611
132 Reveille in Göttingen 617
133 Rondo ungherese 628
134 Der Durchbruch 645
Lösungen ausgewählter Aufgaben 664
Literaturverzeichnis 682
Namen und Sachverzeichnis 687
|
| adam_txt |
Inhalt
Einleitung 15
I Zur Einstimmung
1 Die schwingende Saite und Fourierreihen 21
2 Die Tschebyscheffsche Approximationsaufgabe. Gleichmäßige
Konvergenz 31
3 Rand und Eigenwertprobleme 35
4 Lineare Probleme 41
4.1 Lineare Gleichungssysteme 41
4.2 Fredholmsche Integralgleichungen 42
4.3 Volterrasche Integralgleichungen 43
4.4 Anfangswertprobleme für lineare Differentialgleichungen . 44
5 Lineare Abbildungen 47
5.1 Lineare Abbildungen in der Analysis 47
5.2 Lineare und multiplikative Systeme in der Nachrichten¬
technik 49
5.3 Operatoren der Quantenmechanik 50
II Normierte Räume
6 Metrische Räume 54
7 Vektorräume 72
8 Lineare Abbildungen 78
9 Normierte Räume 84
10 Stetige lineare Abbildungen 93
11 Endlichdimensionale normierte Räume 102
12 Die Neumannsche Reihe 106
13 Normierte Algebren 113
III Anwendungen
14 Matrixnormen und lineare Gleichungssysteme. Die Leontieffschen
Matrizen der Produktionstheorie 125
15 Die Volterrasche Integralgleichung 129
16 Die Fredholmsche Integralgleichung 133
17 Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffi¬
zienten 143
10 Inhalt
IV Innenprodukt und Hilberträume
18 Innenprodukträume 146
19 Orthogonalität 152
20 Gaußapproximation und Orthogonalisierungsverfahren . . . 159
21 Das allgemeine Approximationsproblem 165
22 Orthogonale Komplemente 170
23 Orthogonalreihen 173
24 Orthonormalbasen 176
25 Die kanonischen Hilbertraummodelle 181
26 Die stetigen Linearformen eines Hilbertraumes 182
27 Schwache Konvergenz 186
V Eigenwerttheorie symmetrischer kompakter Operatoren
28 Kompakte Operatoren 190
29 Symmetrische Operatoren 194
30 Die Entwicklung symmetrischer kompakter Operatoren nach Ei¬
genvektoren 200
31 Die Gleichung (XI—A)x—y mit symmetrischem kompakten A . 205
32 Bestimmung und Abschätzung von Eigenwerten 209
VI Anwendungen
33 Das Sturm Liouvillesche Eigenwertproblem 218
34 Das Dirichletsche Prinzip 222
35 Ein Variationsverfahren zur Lösung gewisser Operatorengleichun¬
gen. Der gebogene Balken 224
VII Hauptsätze der Funktionalanalysis
36 Der Fortsetzungssatz von Hahn Banach 228
37 Quotientenräume und kanonische Injektionen 235
38 Der Bairesche Kategoriesatz 240
39 Der Satz von der offenen Abbildung, der stetigen Inversen und der
Graphensatz 241
40 Der Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit 246
41 Vervollständigungssätze 249
42, Trennungssätze 253
43 Der Satz von Krein Müman 258
VIII Anwendungen
44 Anwendungen des Baireschen Kategoriesatzes 260
44.1 Stetigkeitstransport bei punktweiser Konvergenz . 260
44.2 Stetige, nirgends differenzierbare Funktionen 261
45 Anwendungen des Satzes von der stetigen Inversen 262
45.1 Das Anfangswertproblem für lineare Differentialgleichungen 262
45.2 Näherungsweise Lösung von Operatorengleichungen . . 263
i
i
Inhalt 11
46 Anwendungen des Satzes von der gleichmäßigen Beschränktheit 264
46.1 Konvergenzsätze 264
46.2 Der Toeplitzsche Permanenzsatz 266
46.3 Konvergenz von Quadraturformeln 268
46.4 Existenz einer stetigen Funktion, deren Fourierreihe nicht
überall konvergiert 269
47 Anwendungen des Hahn Banachschen Fortsetzungssatzes . . . 272
47.1 Die Greensche Funktion des Dirichletschen Randwertpro¬
blems 272
47.2 Holomorphe Funktionen mit nichtnegativem Realteil . . 274
47.3 Hinweise auf weitere Anwendungen 277
IX Bilinearsysteme und konjugierte Operatoren
48 Bilinearsysteme 279
49 Dualsysteme 282
50 Konjugierte Operatoren 287
51 Die Gleichung (1—K)x=y mit endlichdimensionalem K . . . 295
52 Die Gleichung (R — S)x=y mit bijektivem R und endlichdimensio¬
nalem S 299
53 Der Fredholmsche Alternativsatz 302
54 Normale Auflösbarkeit 307
55 Operatoren mit abgeschlossenen Bildräumen 309
56 Analytische Darstellung stetiger Linearformen 316
57 Der Bidual eines normierten Raumes 324
58 Adjungierte Operatoren 327
59 Schwache Konvergenz in normierten Räumen 331
60 Reflexive Räume 336
X Schwache und lokalkonvexe Topologien
61 Topologische Grundbegriffe 341
62 Die schwache Topologie 348
63 Vektorraumtopologien 351
64 Lokalkonvexe Topologien 355
65 Der Satz von Hahn Banach 361
66 Trennungssätze und Satz von Krein Milman 362
67 Der Bipolarensatz 363
68 Die topologische Charakterisierung der normalen Auflösbarkeit 366
69 Der Satz von Alaoglu und die Darstellung normierter Räume . 366
70 Die Mackeysche Topologie und eine Charakterisierung reflexiver
Räume 368
XI Fredholmoperatoren
71 Defektendliche Operatoren 373
72 Kettenendliche Operatoren 376
12 Inhalt
73 Topologische Komplementärräume 381
74 Stetige defektendliche Operatoren 383
75 Fredholmoperatoren in saturierten Operatorenalgebren . . . 387
76 Die Gleichung Ax=y mit einem Fredholmoperator A . 395
77 Darstellungssätze für Fredholmoperatoren 399
78 Die Rieszsche Theorie kompakter Operatoren 404
79 Die Riesz Schaudersche Auflösungstheorie für I—K mit kompak¬
tem K 406
80 Eigenwerte, invariante und hyperinvariante Unterräume eines
kompakten Operators 409
81 Fredholmoperatoren auf Banachräumen 413
82 Stetige Semifredholmoperatoren 416
83 Abgeschlossene Semifredholmoperatoren 422
84 Topologische Charakterisierung der saturierten Operatorenalgebren 423
XII Anwendungen
85 Das Dirichletsche und Neumannsche Problem in der Ebene . . 425
86 Das Dirichletsche und Neumannsche Problem im Raum. Operato¬
ren mit einer kompakten Potenz 430
87 Integralgleichungen mit L2 Kernen. Hilbert Schmidt Operatoren 433
88 Singuläre Integralgleichungen 443
89 Eine verallgemeinerte Fredholmsituation 447
90 Wielandtoperatoren 452
91 Integralgleichungen mit symmetrisierbaren Kernen 456
92 Allgemeine Eigenwertprobleme für Differentialoperatoren . . 458
93 Fredholmsche Differentialoperatoren 464
94 Der Konvexitätssatz von Liapounoff 464
XIII Spektraltheorie in Banachräumen und Banachalgebren
95 Die Resolvente 465
96 Das Spektrum 468
"7 Vektorwertige holomorphe Funktionen 476
98 Vorbemerkungen zum Funktionalkalkül 481
99 Der Funktionalkalkül 482
100 Spektralprojektoren 488
101 Isolierte Punkte des Spektrums 491
102 Normaloide Operatoren 495
103 Normale meromorphe Operatoren 503
XIV Rieszoperatoren
104 Der Fredholmbereich 506
105 Rieszoperatoren 5J1
106 Rieszideale und Fredholmstörungen 516
107 Wesentliche Spektren 520
Inhalt 13
XV Anwendungen
108 Eine Spektralbedingung für die Konvergenz der Neumannschen
Reihe. Stabilität linearer Differentialgleichungssysteme . 523
109 Ein spektraltheoretischer Beweis des Satzes von Lomonosov . . 527
110 Positive Matrizen, Markoffsche Prozesse und Wachstumsvorgänge 528
111 Ein Ergodensatz 538
XVI Spektraltheorie in Hilberträumen
112 Spektren normaler Operatoren 542
113 Orthogonalprojektoren 546
114 Vorbemerkungen zum Spektralsatz für symmetrische Operatoren 548
115 Funktionalkalkül für symmetrische Operatoren 550
116 Der Spektralsatz für symmetrische Operatoren auf Hilberträumen 553
117 Die Beschreibung des Spektrums und der Resolventenmenge eines
symmetrischen Operators mittels seiner Spektralschar . 557
118 Der Spektralsatz für unitäre Operatoren 560
119 Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren 564
XVII Approximationsprobleme in normierten Räumen
120 Die abstrakte Tschebyscheffsche Approximationsaufgabe . . . 572
121 Strikt konvexe Räume 574
122 Approximation in gleichmäßig konvexen Räumen 576
123 Der Haarsche Eindeutigkeitssatz für die Tschebyscheffsche Appro¬
ximationsaufgabe in CR[a,b] 579
XVIII Die Darstellung kommutativer Banachalgebren
124 Vorbemerkungen zum Darstellungsproblem 584
125 Multiplikative Linearformen und maximale Ideale 588
126 Der Gelfandsche Darstellungssatz 591
127 Die Darstellung kommutativer B* Algebren 593
128 Der Spektralsatz für normale Operatoren 596
XIX Ein Blick auf die werdende Funktionalanalysis
129 Vorgefechte 599
130 La primavera italiana 604
131 Das Licht aus dem Norden 611
132 Reveille in Göttingen 617
133 Rondo ungherese 628
134 Der Durchbruch 645
Lösungen ausgewählter Aufgaben 664
Literaturverzeichnis 682
Namen und Sachverzeichnis 687 |
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Inhaltsverzeichnis
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| Exemplar 1 | ausleihbar Verfügbar Bestellen |