Elemente der Theorie der Functionen einer complexen veränderlichen Grösse: mit besonderer Berücksichtigung der Schöpfungen Riemann's
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Leipzig
Teubner
1873
|
| Ausgabe: | 2., zum Theil umgearb. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XII, 223 S. graph. Darst. |
Internformat
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
Einleitung
Seite
1
Abschnitt I.
Geometrische Darstellung der imaginären
Grössen.
§ 1. Eine complexe Grösse x + iy oder r (cos sin q ) wird durch
einen Punkt in einer Ebene repräsentirt, der x und y zu recht-
winkligen, und r und (p zu Polarcoordinaten hat. Durch eine
complexe Grösse wird eine Gerade ihrer Länge und Richtung
nach bestimmt. Richtungscoefficient...................................11
§ 2. Construction der vier ersten algebraischen Operationen ... 13
1. Addition.....................................................13
2. Subtraction. Verleguug des Nullpunktes........................14
3. Multiplication................................................13
4. Division. Anwendung auf zwei Aufgaben...................17
§ 3. Complexe Variable. Sie kann zwischen zwei Punkten ver-
schiedene Wege durchlaufen. Richtung der wachsenden Winkel 19
Abschnitt II.
Von den Functionen einer complexen
Variabelen im Allgemeinen.
§ 4. Die Zusammengehörigkeit der Werthe der Variabelen und der
Function das wesentliche Merkmal einer Function . . . . 21
§ 5. Bedingungen, unter welchen w — u iv eine Function von
z = x -|- iy ist.............................................23
dv
§ 6. Die Dcrivirte -rj£ ist unabhängig von dz......................25
§ 7. Ist w Function von z, so ist das System der Punkte w dem
System der Punkte z in den unendlich kleinen Theilen ähnlich.
Abbildung. Verwandtschaft...................................29
Abschnitt III.
Mehrdeutige Functionen,
§ 8. Bei einer mehrdeutigen Function ist der Werth derselben ab-
hängig von dem Wege, welchen die Variable durchläuft. Ver-
zweigungspunkte ................................. , 32
VIII
INHALT.
§ 9·
§ 10.
§ H.
§ 12.
§ 13.
§ 14.
§ 15.
§ IG.
§ 17.
S 18.
§ 19.
§ 20.
§ 21.
Seite
Zwei Wege ertheilen einer Function nur dann verschiedene
Werthe, wonn sie einen Verzweigungspunkt einschiiessen . . 37
3 3
Beispiele: )Yz, 2)(z—l)]/z, 3)
2 —
2 —
a
1
+Yz֊~c
Cyclische Vertauschung der Functionswerthe...................
Einführung der lUemann sehen Flächen, welche die Ebene n-fach
bedecken. Verzweigungsschnittc...............................
Nachweis, dass diese Vorstellungsart den n-werthigen Functionen
conform ist..................................................
Stetiger und unstetiger Uebergang über die Verzweigungs-
schnitte. — Einfache Verzweignngspnnkte und Windungspunkto
höherer Ordnung..............................................
Im Unendlichen geschlossene Flächen. Der unendlich ent-
fernte Punkt kann auch Verzweigungspunkt sein. Beispiele
verschiedener Anordnung der Verzweigungsscbnitte ....
Jede rationale Function von w und z ist mit w glcichverzweigt
41
49
54
60
62
68
Abschnitt IV.
Integrale mit complexen Variabelen.
Definition des Integrals. Abhängigkeit desselben von dem In-
tegrationswege ................................................
Das Flächenintegral
iitë-f)
die Begrenzung ausgedehnten Linienintegrale
Positive Begrenzungsrichtung..............
dxdy ist gleich dem auf
(Pdx + Qdy).
Ist Pdx-{- Qdyein vollständiges Differential, so ist ^(Pdx-1- Qdy),
bezogen auf die Begrenzung einer Fläche, in welcher P und Q
endlich und stetig sind, gleich Null. Es ist ^f(z)dz=0, wenn
das Integral längs der Begrenzung einer Fläche genommen wird,
in welcher f(z) endlich und stetig ist. Bedeutsamkeit der ein-
fach zusammenhängenden Flächen ..............................
Der Werth eines Begrenzungsintegrals ändert sich nicht, wenn
in die begrenzte Fläche solche Theile ein- oder aus ihr aus-
treten, in denen f(z) endlich und stetig ist. — Ein Begrert-
zuugsintegral ist gleich der Summe der Integrale, genommen
längs kleiner geschlossener Linien, welche die in der Fläche
enthaltenen Unstetigkeitspunkte einzeln umgeben..............
Ist /(z) in z = a so unendlich gross, dass lim (2—a)f(z) =p
ist, so ist, um a herum integrirt, J f(z) dz — 2 rtip. Zurück-
führung der Integralwerthe auf geschlossene Linien um die
Unstetigkeitspunkte..........................................
1
Integral um einen Verzweigungspunkt b. Setzt man (2 — b)»‘ = f
und f(:) — p(t), so hat p (() an der Stelle 0 keinen Verzwci-
m — 1
gungspunkt. Ist mindestens lim (2 — lt) m ƒ (2) endlich, so ist
$ ƒ (2) r/2 — ...........................................
69
72
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80
83
88
INHALT.
IX
Seite
Abschnitt V.
Der Logarithmus und die Exponential-
function.
§ 22. Definition und Eigenschaften des Logarithmus. Vieldeutigkeit
desselben................................................91
§ 23. Die Exponentialfunction z — ew. Abbildung der z-Fläche auf
der to-Fläche . -........................................95
Abschnitt VI.
Allgemeine Eigenschaften der Functionen.
§ 24. Ist cp (z) in einer Fläche T stetig und einändrig, so ist für
1 w(z)dz
jeden Punkt t derselben cp (t) — -—. I ----—, das Integral
2t 71% I 3 1 Z
auf die Begrenzung von T ausgedehnt. — In einem Gebiete,
in dem eine Function p (z) stetig und einändrig ist, sind es
auch ihre Derivirten, und setzt man cp (z) = tf -j- w, so kann
weder u noch v an einer Stelle dieses Gebietes einen Maximal-
oder Minimalwerth haben...................................99
§ 25. Entwickelung einer Function nach der Taylor’sehen Reihe.
Convergenz derselben. — Eine Function einer complexen Va-
riablen kann nur auf eine Weise stetig fortgesetzt werden. —
Eine Function, die in einem beliebig kleinen endlichen Theile
constant ist, ist überall constant.......................102
§ 26. Entwickelung einer Function nach steigenden und fallenden
Potenzen.................................................106
Abschnitt VII.
Ueber das unendlich gross und unendlich
klein Werden der Functionen.
§ 27. Polare Unstetigkeit. Einwerthige Function..............110
A. Functionen ohne Verzweigungspunkte. Einwerthige
Functionen.
§ 27a. Die nothwendige und hinreichende Bedingung, dass eine ein-
werthige Function cp (z) in einem Punkte a endlich und stetig
ist, ist lim (z — a)cp(z) = 0..........................112
§ 28. Eine eindeutige Function, die für keinen endlichen oder un-
endlich grossen Werth der Variablen unendlich gross wird, ist
eine Constante. Eine Function, die keine Constante ist, muss
unendlich gross und Null werden und jeden gegebenen Werth
annehmen können........................................113
§ 29. Eine einwerthige Function cp (z), die überhaupt von einer end-
lichen Ordnung unendlich gross wird, muss es von einer ganzen
Ordnung werden. Sie wird in a unendlich gross von der nten
Ordnung, wenn lim (z—a)n cp (z) weder Null noch unend-
lich ist......................................................115
X
ISHALT.
§ 30.
§ 31.
§ 32.
§ 33.
§ 34.
§ 35.
§ 36.
§ 37.
§ 38.
§ 39.
§ 40.
§ 41.
§ 42.
. V (2)
tp (z) bleibt für z = OO endlich und stetig, wenn lim —-— = 0
ist. Sie wird unendlich gross von der nten Ordnung, wenn
f9
lim —— endlich und nicht Null ist..............................
zn
Eine einwerthige Function, welche nur für z = OO und hier
von endlicher Ordnung unendlich gross wird, ist eine ganze
Function. Wird sie hier von unendlich hoher Ordnung un-
endlich gross, so lässt sie sich nach Potenzen von z in eine
für alle Werthe der Variabein convergirende Reihe entwickeln
Eine einwerthige Function, die nur eine endliche Anzahl von
Malen unendlich wird, ist eine rationale Function ....
tp (z) ist bis auf eine additive Constante bestimmt, wenn für
jeden Unstetigkeitspunkt eine Function gegeben ist, die ebenso
unstetig wird, wie tp (z) es werden soll .......
tp (z) wird für z =։ a unendlich klein oder Null von der nten
tp(z)
weder Null noch unendlich ist
Ordnung, wenn lim
{z-a)n
Wird tp (z) in einem Gebiete «Mal Null und rMal unendlich
gross, so ist, auf die Begrenzung des Gebiets bezogen,
j d log tp(z) — 8 m (n — y)..................................
Eine einwerthige Function wird in der ganzen unendlichen
Ebene ebenso oft Null als unendlich gross ·..................
Eine einwerthige Function ist bis auf einen constanten Factor
bekannt, wenn man alle endlichen Werthe kennt, für welche
sie unendlich klein oder gross wird, und für jeden die Ord-
nung des Unendlichwerdens....................................
B. Functionen mit Verzweigungspunkten.
Eine Function ƒ(z) ist in einem Windungspunkte (m—l)ter
Ordnung b stetig, wenn lim (z — 6) « f(z) = 0 ist. — Sie wird
dort «Mal unendlich gross, wenn jeder der in b zusammenfallen-
n
den Werthe von der Ordnung ----unendlich gross, d. h. wenn
m
n
lim (z — b)m f (z) endlich und,von Null verschieden ist
Verhalten der derivirten Function in einem Verzweigungs-
punkte ................................................
Abbildung einer Fläche in der Nähe eines Verzweigungs-
punktes ...............................................
Eine n-werthige Function w, welche in Mal unendlich gross
wird, ist die Wurzel einer algebraischen Gleichung zwischen
w und z, welche in Bezug auf w vom nten, und deren Coëf-
ficiënten in Bezug auf z vom /nten Grade sind..........
Abschnitt Ylllt
Integrale.
A. Integrale über geschlossene Linien ausgedehnt.
Das Integzal ^ ƒ (z) dz genommen um einen Unstetigkeitspunkt,
um den die z-Fläche sich m Mal windet, hat dann und nur
Seite
119
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INHALT.
XI
Seite
dann einen von Null verschiedenen Werth, wenn in dem Aus-
drucke, welcher die Art des Unendlichwerdens von j (z) an-
giebt, das Glied, welches von der ersten Ordnung unendlich
gross wird, vorhanden ist; und dieser Werth ist dann gleich
imni mal dem Coëfficiënten dieses Gliedes..................144
§ 43. Geschlossene Linien um den unendlich entfernten Punkt. Das
Integral längs einer solchen Linie richtet sich nach der Be-
schaffenheit der Function 22/(«).................................147
B. Integrale über nicht geschlossene Linien. Un-
bestimmte Integralfunctionen.
§ 44. Das Integral einer algebr. Function p (2), dessen obere Grenze
einen Werth a erreicht, für den p (z) unendlich gross ist, hat dann
und nur dann einen endlichen Werth, wenn lim (z—a)y(z) = 0
ist. Art des Unendlichwerdens der Integralfunction. Loga-
rithmisches Unendlichwerden...................................151
§ 45. Verhalten des Integrals, wenn die obere Grenze sich ins Un-
endliche entfernt. Es ist dann und nur dann endlich, wenn
lim z p (z) = 0 ist..................................................153
Abschnitt IX.
Einfach und mehrfach zusammenhängende
Flächen.
§ 46. Definition. Kennzeichen dafür, ob eine geschlossene Linie
für sich allein eine vollständige Begrenzung bildet, oder nicht.
Beispiele....................................................153
§ 47. Querschnitte..............................................159
§ 48. Vorbereitende Sätze..........................................162
§ 49. Der Hauptsatz ............................................. 166
§ 50. Kann eine Fläche durch q Querschnitte in eine einfach zu-
sammenhängende verwandelt werden, so geschieht diese Um-
wandlung stets durch q beliebige, nicht zerstüekende Quer-
schnitte. Classification der Flächen.........................174
§ 51. Sätze über Aenderung oder Nicht-Aenderung der Ordnung des
Zusammenhanges, und über Randcurven.................176
§ 52. Bei einer im Unendlichen geschlossenen Fläche, welche
(q -f- l)-fach zusammenhängend ist, aus n Blättern besteht und
g einfache Verzweigungspunkte besitzt, besteht die Beziehung
q = g — 2 (n — 1).........................................180
§ 53. Bei einer (j -j- l)-fach zusammenhängenden Fläche besteht
zwischen der Anzahl q ihrer Querschnitte, der Anzahl U der
positiven Umläufe ihrer Begrenzung und der Anzahl g ihrer
einfachen Verzweigungspunkte die Beziehung q = g—U 1 183
Abschnitt X.
Von den Periodicitätsmoduln.
§ 54. Betrachtung einer Integralfunction innerhalb einer mehrfach
zusammenhängenden Fläche. Beim Ueberschreiten eines Quer-
schnitts ändert sich die Function unstetig um eine längs des
XII
INHALT.
Seite *
Querschnitts constante Grösse. Vieldeutigkeit der Integral-
functionen. Die inversen Functionen sind periodisch . . . 188
§ 55. Erweiterung für den Fall, dass frühere Querschnitte durch
spätere in Abschnitte getheilt werden. Die Anzahl der un-
abhängigen Periodicitätsmoduln ist gleich der Anzahl der
Querschnitte...................................................193
§ 56. Genauere Bestimmung der Punkte, welche aus der Fläche bei
Untersuchung einer Integralfunction ausgeschlossen werden
müssen, und welche nicht.......................................197
§ 57. Beispiele:
1. Der Logarithmus...........................................199
2. Der Arcus Tangens........................................200
3. Der Arcus Sinus........................................ 206
4. Das elliptische Integral ................................209
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| adam_txt |
Inhalt
Einleitung
Seite
1
Abschnitt I.
Geometrische Darstellung der imaginären
Grössen.
§ 1. Eine complexe Grösse x + iy oder r (cos sin q ) wird durch
einen Punkt in einer Ebene repräsentirt, der x und y zu recht-
winkligen, und r und (p zu Polarcoordinaten hat. Durch eine
complexe Grösse wird eine Gerade ihrer Länge und Richtung
nach bestimmt. Richtungscoefficient.11
§ 2. Construction der vier ersten algebraischen Operationen . 13
1. Addition.13
2. Subtraction. Verleguug des Nullpunktes.14
3. Multiplication.13
4. Division. Anwendung auf zwei Aufgaben.17
§ 3. Complexe Variable. Sie kann zwischen zwei Punkten ver-
schiedene Wege durchlaufen. Richtung der wachsenden Winkel 19
Abschnitt II.
Von den Functionen einer complexen
Variabelen im Allgemeinen.
§ 4. Die Zusammengehörigkeit der Werthe der Variabelen und der
Function das wesentliche Merkmal einer Function . . . . 21
§ 5. Bedingungen, unter welchen w — u iv eine Function von
z = x -|- iy ist.23
dv
§ 6. Die Dcrivirte -rj£ ist unabhängig von dz.25
§ 7. Ist w Function von z, so ist das System der Punkte w dem
System der Punkte z in den unendlich kleinen Theilen ähnlich.
Abbildung. Verwandtschaft.29
Abschnitt III.
Mehrdeutige Functionen,
§ 8. Bei einer mehrdeutigen Function ist der Werth derselben ab-
hängig von dem Wege, welchen die Variable durchläuft. Ver-
zweigungspunkte . , 32
VIII
INHALT.
§ 9·
§ 10.
§ H.
§ 12.
§ 13.
§ 14.
§ 15.
§ IG.
§ 17.
S 18.
§ 19.
§ 20.
§ 21.
Seite
Zwei Wege ertheilen einer Function nur dann verschiedene
Werthe, wonn sie einen Verzweigungspunkt einschiiessen . . 37
3 3
Beispiele: \)Yz, 2)(z—l)]/z, 3)
2 —
2 —
a
1
+Yz֊~c
Cyclische Vertauschung der Functionswerthe.
Einführung der lUemann'sehen Flächen, welche die Ebene n-fach
bedecken. Verzweigungsschnittc.
Nachweis, dass diese Vorstellungsart den n-werthigen Functionen
conform ist.
Stetiger und unstetiger Uebergang über die Verzweigungs-
schnitte. — Einfache Verzweignngspnnkte und Windungspunkto
höherer Ordnung.
Im Unendlichen geschlossene Flächen. Der unendlich ent-
fernte Punkt kann auch Verzweigungspunkt sein. Beispiele
verschiedener Anordnung der Verzweigungsscbnitte .
Jede rationale Function von w und z ist mit w glcichverzweigt
41
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54
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62
68
Abschnitt IV.
Integrale mit complexen Variabelen.
Definition des Integrals. Abhängigkeit desselben von dem In-
tegrationswege .
Das Flächenintegral
iitë-f)
die Begrenzung ausgedehnten Linienintegrale
Positive Begrenzungsrichtung.
dxdy ist gleich dem auf
(Pdx + Qdy).
Ist Pdx-{- Qdyein vollständiges Differential, so ist ^(Pdx-1- Qdy),
bezogen auf die Begrenzung einer Fläche, in welcher P und Q
endlich und stetig sind, gleich Null. Es ist ^f(z)dz=0, wenn
das Integral längs der Begrenzung einer Fläche genommen wird,
in welcher f(z) endlich und stetig ist. Bedeutsamkeit der ein-
fach zusammenhängenden Flächen .
Der Werth eines Begrenzungsintegrals ändert sich nicht, wenn
in die begrenzte Fläche solche Theile ein- oder aus ihr aus-
treten, in denen f(z) endlich und stetig ist. — Ein Begrert-
zuugsintegral ist gleich der Summe der Integrale, genommen
längs kleiner geschlossener Linien, welche die in der Fläche
enthaltenen Unstetigkeitspunkte einzeln umgeben.
Ist /(z) in z = a so unendlich gross, dass lim (2—a)f(z) =p
ist, so ist, um a herum integrirt, J f(z) dz — 2 rtip. Zurück-
führung der Integralwerthe auf geschlossene Linien um die
Unstetigkeitspunkte.
1
Integral um einen Verzweigungspunkt b. Setzt man (2 — b)»‘ = f
und f(:) — p(t), so hat p (() an der Stelle 0 keinen Verzwci-
m — 1
gungspunkt. Ist mindestens lim (2 — lt) m ƒ (2) endlich, so ist
$ ƒ (2) r/2 — .
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INHALT.
IX
Seite
Abschnitt V.
Der Logarithmus und die Exponential-
function.
§ 22. Definition und Eigenschaften des Logarithmus. Vieldeutigkeit
desselben.91
§ 23. Die Exponentialfunction z — ew. Abbildung der z-Fläche auf
der to-Fläche . -.95
Abschnitt VI.
Allgemeine Eigenschaften der Functionen.
§ 24. Ist cp (z) in einer Fläche T stetig und einändrig, so ist für
1 w(z)dz
jeden Punkt t derselben cp (t) — -—. I ----—, das Integral
2t 71% I 3 1 Z
auf die Begrenzung von T ausgedehnt. — In einem Gebiete,
in dem eine Function p (z) stetig und einändrig ist, sind es
auch ihre Derivirten, und setzt man cp (z) = tf -j- w, so kann
weder u noch v an einer Stelle dieses Gebietes einen Maximal-
oder Minimalwerth haben.99
§ 25. Entwickelung einer Function nach der Taylor’sehen Reihe.
Convergenz derselben. — Eine Function einer complexen Va-
riablen kann nur auf eine Weise stetig fortgesetzt werden. —
Eine Function, die in einem beliebig kleinen endlichen Theile
constant ist, ist überall constant.102
§ 26. Entwickelung einer Function nach steigenden und fallenden
Potenzen.106
Abschnitt VII.
Ueber das unendlich gross und unendlich
klein Werden der Functionen.
§ 27. Polare Unstetigkeit. Einwerthige Function.110
A. Functionen ohne Verzweigungspunkte. Einwerthige
Functionen.
§ 27a. Die nothwendige und hinreichende Bedingung, dass eine ein-
werthige Function cp (z) in einem Punkte a endlich und stetig
ist, ist lim (z — a)cp(z) = 0.112
§ 28. Eine eindeutige Function, die für keinen endlichen oder un-
endlich grossen Werth der Variablen unendlich gross wird, ist
eine Constante. Eine Function, die keine Constante ist, muss
unendlich gross und Null werden und jeden gegebenen Werth
annehmen können.113
§ 29. Eine einwerthige Function cp (z), die überhaupt von einer end-
lichen Ordnung unendlich gross wird, muss es von einer ganzen
Ordnung werden. Sie wird in a unendlich gross von der nten
Ordnung, wenn lim (z—a)n cp (z) weder Null noch unend-
lich ist.115
X
ISHALT.
§ 30.
§ 31.
§ 32.
§ 33.
§ 34.
§ 35.
§ 36.
§ 37.
§ 38.
§ 39.
§ 40.
§ 41.
§ 42.
. V (2)
tp (z) bleibt für z = OO endlich und stetig, wenn lim —-— = 0
ist. Sie wird unendlich gross von der nten Ordnung, wenn
f9\
lim —— endlich und nicht Null ist.
zn
Eine einwerthige Function, welche nur für z = OO und hier
von endlicher Ordnung unendlich gross wird, ist eine ganze
Function. Wird sie hier von unendlich hoher Ordnung un-
endlich gross, so lässt sie sich nach Potenzen von z in eine
für alle Werthe der Variabein convergirende Reihe entwickeln
Eine einwerthige Function, die nur eine endliche Anzahl von
Malen unendlich wird, ist eine rationale Function .
tp (z) ist bis auf eine additive Constante bestimmt, wenn für
jeden Unstetigkeitspunkt eine Function gegeben ist, die ebenso
unstetig wird, wie tp (z) es werden soll .
tp (z) wird für z =։ a unendlich klein oder Null von der nten
tp(z)
weder Null noch unendlich ist
Ordnung, wenn lim
{z-a)n
Wird tp (z) in einem Gebiete «Mal Null und rMal unendlich
gross, so ist, auf die Begrenzung des Gebiets bezogen,
j d log tp(z) — 8 m (n — y).
Eine einwerthige Function wird in der ganzen unendlichen
Ebene ebenso oft Null als unendlich gross ·.
Eine einwerthige Function ist bis auf einen constanten Factor
bekannt, wenn man alle endlichen Werthe kennt, für welche
sie unendlich klein oder gross wird, und für jeden die Ord-
nung des Unendlichwerdens.
B. Functionen mit Verzweigungspunkten.
Eine Function ƒ(z) ist in einem Windungspunkte (m—l)ter
Ordnung b stetig, wenn lim (z — 6)'« f(z) = 0 ist. — Sie wird
dort «Mal unendlich gross, wenn jeder der in b zusammenfallen-
n
den Werthe von der Ordnung ----unendlich gross, d. h. wenn
m
n
lim (z — b)m f (z) endlich und,von Null verschieden ist
Verhalten der derivirten Function in einem Verzweigungs-
punkte .
Abbildung einer Fläche in der Nähe eines Verzweigungs-
punktes .
Eine n-werthige Function w, welche in Mal unendlich gross
wird, ist die Wurzel einer algebraischen Gleichung zwischen
w und z, welche in Bezug auf w vom nten, und deren Coëf-
ficiënten in Bezug auf z vom /nten Grade sind.
Abschnitt Ylllt
Integrale.
A. Integrale über geschlossene Linien ausgedehnt.
Das Integzal ^ ƒ (z) dz genommen um einen Unstetigkeitspunkt,
um den die z-Fläche sich m Mal windet, hat dann und nur
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INHALT.
XI
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dann einen von Null verschiedenen Werth, wenn in dem Aus-
drucke, welcher die Art des Unendlichwerdens von j'(z) an-
giebt, das Glied, welches von der ersten Ordnung unendlich
gross wird, vorhanden ist; und dieser Werth ist dann gleich
imni mal dem Coëfficiënten dieses Gliedes.144
§ 43. Geschlossene Linien um den unendlich entfernten Punkt. Das
Integral längs einer solchen Linie richtet sich nach der Be-
schaffenheit der Function 22/(«).147
B. Integrale über nicht geschlossene Linien. Un-
bestimmte Integralfunctionen.
§ 44. Das Integral einer algebr. Function p (2), dessen obere Grenze
einen Werth a erreicht, für den p (z) unendlich gross ist, hat dann
und nur dann einen endlichen Werth, wenn lim (z—a)y(z) = 0
ist. Art des Unendlichwerdens der Integralfunction. Loga-
rithmisches Unendlichwerden.151
§ 45. Verhalten des Integrals, wenn die obere Grenze sich ins Un-
endliche entfernt. Es ist dann und nur dann endlich, wenn
lim z p (z) = 0 ist.153
Abschnitt IX.
Einfach und mehrfach zusammenhängende
Flächen.
§ 46. Definition. Kennzeichen dafür, ob eine geschlossene Linie
für sich allein eine vollständige Begrenzung bildet, oder nicht.
Beispiele.153
§ 47. Querschnitte.159
§ 48. Vorbereitende Sätze.162
§ 49. Der Hauptsatz . 166
§ 50. Kann eine Fläche durch q Querschnitte in eine einfach zu-
sammenhängende verwandelt werden, so geschieht diese Um-
wandlung stets durch q beliebige, nicht zerstüekende Quer-
schnitte. Classification der Flächen.174
§ 51. Sätze über Aenderung oder Nicht-Aenderung der Ordnung des
Zusammenhanges, und über Randcurven.176
§ 52. Bei einer im Unendlichen geschlossenen Fläche, welche
(q -f- l)-fach zusammenhängend ist, aus n Blättern besteht und
g einfache Verzweigungspunkte besitzt, besteht die Beziehung
q = g — 2 (n — 1).180
§ 53. Bei einer (j -j- l)-fach zusammenhängenden Fläche besteht
zwischen der Anzahl q ihrer Querschnitte, der Anzahl U der
positiven Umläufe ihrer Begrenzung und der Anzahl g ihrer
einfachen Verzweigungspunkte die Beziehung q = g—U 1 183
Abschnitt X.
Von den Periodicitätsmoduln.
§ 54. Betrachtung einer Integralfunction innerhalb einer mehrfach
zusammenhängenden Fläche. Beim Ueberschreiten eines Quer-
schnitts ändert sich die Function unstetig um eine längs des
XII
INHALT.
Seite *
Querschnitts constante Grösse. Vieldeutigkeit der Integral-
functionen. Die inversen Functionen sind periodisch . . . 188
§ 55. Erweiterung für den Fall, dass frühere Querschnitte durch
spätere in Abschnitte getheilt werden. Die Anzahl der un-
abhängigen Periodicitätsmoduln ist gleich der Anzahl der
Querschnitte.193
§ 56. Genauere Bestimmung der Punkte, welche aus der Fläche bei
Untersuchung einer Integralfunction ausgeschlossen werden
müssen, und welche nicht.197
§ 57. Beispiele:
1. Der Logarithmus.199
2. Der Arcus Tangens.200
3. Der Arcus Sinus. 206
4. Das elliptische Integral .209 |
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