Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen:
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Zürich [u.a.]
Deutsch
1975
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| Ausgabe: | 4. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Einheitssacht.: Teorija funkcij vescestvennoj peremennoj <dt.> - Aus dem Russ. übers. |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Kapitel I. Unendliche Mengen
§ 1. Mengenoperationen 1
§ 2. Eineindeutige Zuordnung 5
§ 3. Abzählbare Mengen 8
§ 4. Die Mächtigkeit des Kontinuums 13
§ 5. Vergleich von Mächtigkeiten 20
Kapitel II. Punktmengen
§ 1. Häufungspunkte 30
§ 2. Abgeschlossene Mengen 33
§ 3. Innere Punkte und offene Mengen 39
§ 4. Abstand und Trennbarkeit 42
§ 5. Die Struktur offener und abgeschlossener Mengen 46
§ 6. Kondensationspunkte. Die Mächtigkeit abgeschlossener Mengen. ... 51
Kapitel III. Meßbare Mengen
§1. Das Maß beschränkter offener Mengen 57
§ 2. Das Maß beschränkter abgeschlossener Mengen 63
§ 3. Äußeres und inneres Maß beschränkter Mengen 68
§ 4. Meßbare Mengen 72
§ 5. Meßbarkeit und Maß als Bewegungsinvarianten 77
§ 6. Klassen meßbarer Mengen 82
§ 7. Allgemeine Bemerkungen über das Maßproblem 87
§ 8. Der Satz von Vitali 89
Kapitel IV. Meßbare Funktionen
§ 1. Definition und einfachste Eigenschaften meßbarer Funktionen .... 95
§ 2. Weitere Eigenschaften meßbarer Funktionen 99
f 3. Folgen meßbarer Funktionen. Konvergenz dem Maß nach 102
§ 4. Die Struktur meßbarer Funktionen 109
§ 5. Die WEiERSTRASSSchen Sätze 117
Kapitel V. Das LEBESGUE-Integral beschränkter Funktionen
§1. Definition des Lebesgue-Integrals 124
§ 2. Grundlegende Eigenschaften des Integrals 130
§3. Grenzübergang unter dem Integralzeichen 137
§ 4. Vergleich des Riemann- und des LEBESGUE-Integrals 140
A § 5. Aufsuchen einer Stammfunktion 146
Kapitel VI. Summierbare Funktionen
§1. Das Integral einer niehtnegativen meßbaren Funktion 150
§ 2. Summierbare Funktionen mit beliebigem Vorzeichen 159
§ 3. Grenzübergang unter dem Integralzeichen 166
X Inhaltsverzeichnis
Kapitel VII. Quadratisch summierbare Funktionen
§ 1. Grundlegende Definitionen. Ungleichungen. Norm 181
§ 2. Konvergenz im Mittel 184
§ 3. Orthogonalsysteme 193
f 4. Der Raum l* 204
{ 5. Linear unabhängige Systeme 213
§6. Die Räume Lp und lp 218
Kapitel VIII. Funktionen von endlicher Variation. Das Stieltjes-
Integral
§ 1. Monotone Funktionen 227
§ 2. Abbildung von Mengen, Differentiation einer monotonen Funktion . . 230
§ 3. Funktionen von endlicher Variation 241
§ 4. Das HELLYsche Auswahlprinzip 247
§ 5. Stetige Funktionen von endlicher Variation 250
§6. Das STiELTjES-Integral 255
| 7. Grenzübergang unter dem STiELTjES-Integral 261
§ 8. Lineare Funktionale 266
Kapitel IX. Absolut stetige Funktionen. Das unbestimmte
LEBESGUE-Integral
§ 1. Absolut stetige Funktionen 270
§ 2. Differentialeigenschaften der absolut stetigen Funktionen 273
§ 3. Stetige Abbildungen 275
§ 4. Das unbestimmte LEBESGUE-Integral 280
§ 5. Einführung einer neuen Veränderlichen im LEBESGUE-Integral .... 290
§ 6. Punkte größter Dichte, approximative Stetigkeit 294
§ 7. Ergänzungen zur Theorie der Funktionen von endlicher Variation und
zur Theorie des STiEi/rjES-Integrals 297
/ § 8. Berechnung einer Stammfunktion 301
Kapitel X. Singuläre Integrale. Trigonometrische Reihen.
Konvexe Funktionen
§ 1. Fragestellung 309
§ 2. Darstellung einer Funktion in einem gegebenen Punkt durch ein singu-
läres Integral 314
§ 3. Anwendung auf die Theorie der FouRiER-Reihen 319
§ 4. Weitere Eigenschaften der trigonometrischen Reihen und der Fourier-
Reihen 328
§ 5. ScHWARzsche Ableitungen und konvexe Funktionen 336
§ 6. Eindeutigkeit der Entwicklung einer Funktion in eine trigonometrische
Reihe 348
Kapitel XI. Punktmengen im zweidimensionalen Raum
§ 1. Abgeschlossene Mengen 360
§ 2. Offene Mengen 362
§ 3. Maßtheorie ebener Mengen 366
§ 4. Meßbarkeit und Maß als Bewegungsinvarianten 374
§ 5. Der Zusammenhang zwischen dem Maß einer ebenen Menge und dem
Maß ihrer Schnitte 380
Inhaltsverzeichnis XI
Kapitel XII. Meßbare Funktionen mehrerer Veränderlichen und
ihre Integration
§ 1. Meßbare Funktionen. Erweiterung stetiger Funktionen 385
§ 2. Das Lebesgue-Integral und seine geometrische Bedeutung 389
§ 3. Der Satz von Fubini 392
§ 4. Änderung der Reihenfolge der Integrationen 397
Kapitel XIII. Mengenfunktionen und ihre Anwendungen in der
Integrationstheorie
§ 1. Absolut stetige Mengenfunktionen 401
§ 2. Das unbestimmte Integral und seine Differentiation 408
§ 3. Verallgemeinerung der bisherigen Ergebnisse 410
Kapitel XIV. Transfinite Zahlen
| 1. Geordnete Mengen. Ordnungstypen 415
§ 2. Wohlgeordnete Mengen 421
$ 3. Ordnungszahlen 424
{ 4. Transfinite Induktion 427
§ 5. Die zweite Zahlklasse 428
§ 6. Die Alephs 431
{ 7. Das Axiom und der Satz von Zermelo 434
Kapitel XV. Die BMREsche Klassifikation
f 1. Die BAiREschen Klassen 438
$ 2. Die BAiREschen Klassen sind nicht leer 444
§ 3. Die Funktionen der ersten Klasse 4SI
§ 4. Halbstetige Funktionen 462
Kapitel XVI. Einige Verallgemeinerungen des LEBESGUE-Integrals
§ 1. Einführung 471
§ 2. Definition des Perron-Integrals 472
{ 3. Grundeigenschaften des Perron-Integrals 474
§ 4. Das unbestimmte PERRON-Integral 477
§ 6. Vergleich des PERRON-Integrals mit dem Lebesgue-Integral 480
§ 6. Eine abstrakte Integraldefinition und ihre Verallgemeinerung .... 484
§ 7. Das DENjoy-Integral im engeren Sinne 491
$ 8. Der Satz von H. Hake 494
{ 9. Der Satz von P. S. Alexandrow und H. Looman 501
110. Das DENJOY-Integral im weiteren Sinne 506
Kapitel XVII. Funktionen mit nicht beschränkten Definitions¬
bereichen
{ 1. Das Maß einer, nicht beschränkten Menge 510
{ 2. Meßbare Funktionen 512
§ 3. Integrale über nicht beschränkte Mengen 513
| 4. Quadratisch summierbare Funktionen 515
{ S. Funktionen von endlicher Variation. STiELTjES-Integrale 516
| 6. Unbestimmte Integrale und absolut stetige Mengenfunktionen .... 520
XII Inhaltsverzeichnis
Kapitel XVIII. Aus der Funktionalanalysis
§ 1. Metrische und insbesondere lineare normierte Räume 523
§ 2. Kompaktheit 530
§ 3. Kriterien für die Kompaktheit von Mengen in einigen Räumen .... 536
§ 4. Der BANACHsche Fixpunktsatz und einige Anwendungen 553
Anhang
I. Die Länge eines Kurvenbogens 565
II. Ein Beispiel von Steinhaus 569
III. Einige Zusatzbemerkungen über konvexe Funktionen 570
Literaturverzeichnis 577
Namenregister 584
Sachregister 585
|
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Inhaltsverzeichnis
Kapitel I. Unendliche Mengen
§ 1. Mengenoperationen 1
§ 2. Eineindeutige Zuordnung 5
§ 3. Abzählbare Mengen 8
§ 4. Die Mächtigkeit des Kontinuums 13
§ 5. Vergleich von Mächtigkeiten 20
Kapitel II. Punktmengen
§ 1. Häufungspunkte 30
§ 2. Abgeschlossene Mengen 33
§ 3. Innere Punkte und offene Mengen 39
§ 4. Abstand und Trennbarkeit 42
§ 5. Die Struktur offener und abgeschlossener Mengen 46
§ 6. Kondensationspunkte. Die Mächtigkeit abgeschlossener Mengen. . 51
Kapitel III. Meßbare Mengen
§1. Das Maß beschränkter offener Mengen 57
§ 2. Das Maß beschränkter abgeschlossener Mengen 63
§ 3. Äußeres und inneres Maß beschränkter Mengen 68
§ 4. Meßbare Mengen 72
§ 5. Meßbarkeit und Maß als Bewegungsinvarianten 77
§ 6. Klassen meßbarer Mengen 82
§ 7. Allgemeine Bemerkungen über das Maßproblem 87
§ 8. Der Satz von Vitali 89
Kapitel IV. Meßbare Funktionen
§ 1. Definition und einfachste Eigenschaften meßbarer Funktionen . 95
§ 2. Weitere Eigenschaften meßbarer Funktionen 99
f 3. Folgen meßbarer Funktionen. Konvergenz dem Maß nach 102
§ 4. Die Struktur meßbarer Funktionen 109
§ 5. Die WEiERSTRASSSchen Sätze 117
Kapitel V. Das LEBESGUE-Integral beschränkter Funktionen
§1. Definition des Lebesgue-Integrals 124
§ 2. Grundlegende Eigenschaften des Integrals 130
§3. Grenzübergang unter dem Integralzeichen 137
§ 4. Vergleich des Riemann- und des LEBESGUE-Integrals 140
A § 5. Aufsuchen einer Stammfunktion 146
Kapitel VI. Summierbare Funktionen
§1. Das Integral einer niehtnegativen meßbaren Funktion 150
§ 2. Summierbare Funktionen mit beliebigem Vorzeichen 159
§ 3. Grenzübergang unter dem Integralzeichen 166
X Inhaltsverzeichnis
Kapitel VII. Quadratisch summierbare Funktionen
§ 1. Grundlegende Definitionen. Ungleichungen. Norm 181
§ 2. Konvergenz im Mittel 184
§ 3. Orthogonalsysteme 193
f 4. Der Raum l* 204
{ 5. Linear unabhängige Systeme 213
§6. Die Räume Lp und lp 218
Kapitel VIII. Funktionen von endlicher Variation. Das Stieltjes-
Integral
§ 1. Monotone Funktionen 227
§ 2. Abbildung von Mengen, Differentiation einer monotonen Funktion . . 230
§ 3. Funktionen von endlicher Variation 241
§ 4. Das HELLYsche Auswahlprinzip 247
§ 5. Stetige Funktionen von endlicher Variation 250
§6. Das STiELTjES-Integral 255
| 7. Grenzübergang unter dem STiELTjES-Integral 261
§ 8. Lineare Funktionale 266
Kapitel IX. Absolut stetige Funktionen. Das unbestimmte
LEBESGUE-Integral
§ 1. Absolut stetige Funktionen 270
§ 2. Differentialeigenschaften der absolut stetigen Funktionen 273
§ 3. Stetige Abbildungen 275
§ 4. Das unbestimmte LEBESGUE-Integral 280
§ 5. Einführung einer neuen Veränderlichen im LEBESGUE-Integral . 290
§ 6. Punkte größter Dichte, approximative Stetigkeit 294
§ 7. Ergänzungen zur Theorie der Funktionen von endlicher Variation und
zur Theorie des STiEi/rjES-Integrals 297
/ § 8. Berechnung einer Stammfunktion 301
Kapitel X. Singuläre Integrale. Trigonometrische Reihen.
Konvexe Funktionen
§ 1. Fragestellung 309
§ 2. Darstellung einer Funktion in einem gegebenen Punkt durch ein singu-
läres Integral 314
§ 3. Anwendung auf die Theorie der FouRiER-Reihen 319
§ 4. Weitere Eigenschaften der trigonometrischen Reihen und der Fourier-
Reihen 328
§ 5. ScHWARzsche Ableitungen und konvexe Funktionen 336
§ 6. Eindeutigkeit der Entwicklung einer Funktion in eine trigonometrische
Reihe 348
Kapitel XI. Punktmengen im zweidimensionalen Raum
§ 1. Abgeschlossene Mengen 360
§ 2. Offene Mengen 362
§ 3. Maßtheorie ebener Mengen 366
§ 4. Meßbarkeit und Maß als Bewegungsinvarianten 374
§ 5. Der Zusammenhang zwischen dem Maß einer ebenen Menge und dem
Maß ihrer Schnitte 380
Inhaltsverzeichnis XI
Kapitel XII. Meßbare Funktionen mehrerer Veränderlichen und
ihre Integration
§ 1. Meßbare Funktionen. Erweiterung stetiger Funktionen 385
§ 2. Das Lebesgue-Integral und seine geometrische Bedeutung 389
§ 3. Der Satz von Fubini 392
§ 4. Änderung der Reihenfolge der Integrationen 397
Kapitel XIII. Mengenfunktionen und ihre Anwendungen in der
Integrationstheorie
§ 1. Absolut stetige Mengenfunktionen 401
§ 2. Das unbestimmte Integral und seine Differentiation 408
§ 3. Verallgemeinerung der bisherigen Ergebnisse 410
Kapitel XIV. Transfinite Zahlen
| 1. Geordnete Mengen. Ordnungstypen 415
§ 2. Wohlgeordnete Mengen 421
$ 3. Ordnungszahlen 424
{ 4. Transfinite Induktion 427
§ 5. Die zweite Zahlklasse 428
§ 6. Die Alephs 431
{ 7. Das Axiom und der Satz von Zermelo 434
Kapitel XV. Die BMREsche Klassifikation
f 1. Die BAiREschen Klassen 438
$ 2. Die BAiREschen Klassen sind nicht leer 444
§ 3. Die Funktionen der ersten Klasse 4SI
§ 4. Halbstetige Funktionen 462
Kapitel XVI. Einige Verallgemeinerungen des LEBESGUE-Integrals
§ 1. Einführung 471
§ 2. Definition des Perron-Integrals 472
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§ 4. Das unbestimmte PERRON-Integral 477
§ 6. Vergleich des PERRON-Integrals mit dem Lebesgue-Integral 480
§ 6. Eine abstrakte Integraldefinition und ihre Verallgemeinerung . 484
§ 7. Das DENjoy-Integral im engeren Sinne 491
$ 8. Der Satz von H. Hake 494
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110. Das DENJOY-Integral im weiteren Sinne 506
Kapitel XVII. Funktionen mit nicht beschränkten Definitions¬
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{ 1. Das Maß einer, nicht beschränkten Menge 510
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§ 3. Integrale über nicht beschränkte Mengen 513
| 4. Quadratisch summierbare Funktionen 515
{ S. Funktionen von endlicher Variation. STiELTjES-Integrale 516
| 6. Unbestimmte Integrale und absolut stetige Mengenfunktionen . 520
XII Inhaltsverzeichnis
Kapitel XVIII. Aus der Funktionalanalysis
§ 1. Metrische und insbesondere lineare normierte Räume 523
§ 2. Kompaktheit 530
§ 3. Kriterien für die Kompaktheit von Mengen in einigen Räumen . 536
§ 4. Der BANACHsche Fixpunktsatz und einige Anwendungen 553
Anhang
I. Die Länge eines Kurvenbogens 565
II. Ein Beispiel von Steinhaus 569
III. Einige Zusatzbemerkungen über konvexe Funktionen 570
Literaturverzeichnis 577
Namenregister 584
Sachregister 585 |
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