Mehrdimensionale Varianzanalyse: Hypothesenprüfung, Dimensionserniedrigung, Diskrimination, bei Multivarianten Beobachtungen
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
Akad.-Verl.
1981
|
| Ausgabe: | 2., erw. u. bericht. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | 238 S. |
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f
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung 1
1.1. Grundlegende Begriffe 1
1.2. Bedeutung der mehrdimensionalen Varianzanalyse 2
1.3. Hinweise für das Studium dieses Buches 3
2. Elemente der Matrizenreehnung 6
2.1. Rechteckige Matrizen 6
2.2. Quadratische Matrizen 7
2.3. Symmetrische Matrizen 10
Eigenwertproblem Ax = Xse (10). Positiv definite symmetrische Matri¬
zen (11). Eigenwertproblem Ax = XBas (13).
2.4. Idempotente Matrizen 17
2.5. Matrizen von Matrizen 17
2.6. Spezielles Beispiel einer Matrixinversion 19
3. Grundkenntnisse über die mehrdimensionale Normalverteilung und die
Wishabt Verteilung 20
3.1. Ein und mehrdimensionale Normalverteilung 20
3.2. x2 Verteilung und F Verteilung 21
3.3. Wishart Verteilung . 23
3.4. Ein Satz über den Rang zufälliger Matrizen 25
4. Das lineare Hypothesenmodell der multivariaten Varianzanalyse ... 26
4.1. Der univariate Fall 26
4.2. Der multivariate Fall 31
4.2.1. Das multivariate lineare Modell 31
4.2.2. Die multivariate lineare Hypothese 32
4.2.3. Parameterschätzungen 32
4.2.4. Teststatistiken zum Prüfen der multivariaten Hypothese 33
4.2.5. Verallgemeinerte Form der multivariaten linearen Hypothese 39
4.3. Bemerkungen zu den Eigenschaften der Testkriterien A, T2 und V . . . 40
4.3.1. Das Likelihood Quotienten Kriterium A von Wilks 44
4.3.2. Das Spurkriterium T* nach Lawley und Hotelmng 46
4.3.3. Das Kriterium der größten charakteristischen Wurzel V = 47 »
4.3.4. Bemerkungen zu den Güteeigenschaften der Testkriterien 49
4.4. Über eine hier verwendete approximative Verteilung von T2 54
4.4.1. Approximation der Nullverteilung 54
4.4.2. Approximation der Nichtnullverteilung 58
4.5. Praktisches Verfahren zur Aufstellung eines multivariaten Tests .... 59
Inhaltsverzeichnis IX
5. Multivariates Trennmaß, Diskriminanzfunktionen, spezielle Tests .... 63
5.1. Multivariates Trennmaß, redundante Merkmale . 63
Definition des Trennmaßes (63). Abhängigkeit von der Merkmalsmenge
(64). Abhängigkeit von der Hypothese (66). Normiertes Trennmaß (66).
5.2. Diskriminanzfunktionen, Diskriminanzmerkmale 66
Definitionen (66). Invarianz des Trennmaßes (67). Redundanz und Diskri¬
minanzfunktionen (68). Diskriminanzmerkmale mtö Eigenwertproblem (69).
Nichtelementare Diskriminanzmerkmale (70).
5.3. Schätzungen des multivariaten Trennmaßes und der Diskriminanz¬
funktionen 71
5.4. Die Ermittlung entbehrlicher Merkmale 72
Merkmalselimination nach der Unentbehrlichkeit (73). Merkmalselimi¬
nation nach dem Signifikanztest (74). Vergleich der Eliminationsme¬
thoden (76).
5.5. Die Ermittlung überflüssiger Dimensionen des Diskriminanzraumes ... 78
5.6. Multivariates Trennmaß auf der Grundlage der A Statistik 79
6. Varianzanalytische Betrachtungen an einer oder zwei normalverteilten
Grundgesamtheiten 80
6.1. Betrachtung einer normalverteilten Grundgesamtheit 80
6.1.1. Schätzungen für (X und S . . . . 81
6.1.2. Hypothese über den Mittelwertsvektor 82
6.1.3. Konfidenzbereich für den Mittelwertsvektor 85
6.1.4. Hypothese der übereinstimmenden Komponenten des Mittelwertsvektors 86
6.2. Betrachtung zweier normalverteilter Grundgesamtheiten . 88
6.2.1. Hypothese der Gleichheit von fj^ und m 88
6.2.2. Multivariates Trennmaß, Diskriminanzfunktion, Diskrimination .... 91
6.2.3. Aussonderung entbehrlicher Merkmale 96
6.2.4. Bestimmung des Diskriminationsfehlers 98
Fall p = 1 (98). Methode von Dejew für beliebiges p (99). Methode von
Okamoto für beliebiges p (99). Sehätzformeln von McLachlan (100).
LACHENBBUCHsehe Methode (100).
7. Mehrdimensionale Varianzanalyse und Diskriminanzanalyse bei einfacher
Klassifikation (J Gesamtheiten) 101
7.1. Einführung 101
7.2. Hypothese der Gleichheit aller Mittelwertsvektoren 104
Die Teststatistik (105). Verfeinerter Test (107).
7.3. Vergleiche einzelner Mittelwertsvektoren. Simultanvergleiehe 108
Einzelvergleich zweier Klassen (108). Simultanvergleiche von Klassen (109).
7.4. Multivariates Trennmaß 112
Definition, des Trennmaßes (112). Invarianz gegenüber regulären Trans¬
formationen (114). Trennmaß beliebiger Merkmalsmengen (114). Bezie¬
hungen zwischen zwei Merkmalsmengen (116). Normiertes Trennmaß (118).
7.5. Diskriminanzmerkmale, Diskriminanzfunktionen 119
Elementare Diskriminanzmerkmale (119). Nichtelementare Diskriminanz¬
merkmale (121). Die Dimension des Diskriminanzraumes (127).
7.6. Eechnerisehe Bestimmung der nichtelementaren Diskriminanzfunktionen 128
7.7. Die Durchführung der Diskrimination 129
X Inhaltsverzeichnis
7.7.1. Diskrimination mit sämtlichen Diskriminanzmerkmalen 130
Anwendung der nichtelementaren Diakriminanzmerkmale (130). An¬
wendung der elementaren Diskriminationsmerkmale (137). Eindeutigkeit
der Diskrimination (138).
7.7.2. Diskrimination, nicht mit sämtlichen Diskriminanzmerkmalen 139
7.7.3. Diskrimination mit gerundeten Diskriminanzfunktionen, 141
7.7.4. Schätzung des Diskriminanzfehlers nach dem zyklischen Austausch
verfahren von Lachenbruch . 142
7.8. Aussonderung entbehrlicher Merkmale 146
Schrittweise Merkmalsreduktion (146). Abbruch des Reduktionsprozesses
(147). Schrittweise Erweiterung der Merkmalsmenge (150).
7.9. Rechentechnische Probleme bei der Aussonderung von Merkmalen .... 151
7.10. Grobflußbild für die rechentechnisehe Realisierung der Analyse .... 153
7.11. Qualitative Aussagen über einzelne Merkmale und über Merkmalsmengen 155
7.11.1. Aufspaltung des multivariaten Trennmaßes in Komponenten, die den ,
Diskriminanzmerkmalen entsprechen 155
Das Prinzip der Komponentenzerlegung (155). Rotation im Diskriminanz
raum (157). Abstandsmaß (157). Vektordiagramm zur Darstellung der
Einzelmerkmale (158).
7.11.2. Benutzung des Äffinitätskoeffizienten a 161
7.12. Planung des Stichprobenumfangs 163
8. Mehrfach klassifizierte vollständige Versuchspläne 164
8.1. Zweifache Klassifikation, ein Beobachtungsvektor je Zelle 165
Univariater Fall (165). Multivariater Fall (166).
8.2. Zweifache Klassifikation, m Beobachtungsvektoren je Zelle 168
Ünivariater Fall (171). Multivariater Fall (173).
8.3. Simultane Konfidenzgrenzen auf der Basis der .Verteilung der größten
charakteristischen Wurzel 180
8.3.1. Multiple Vergleiche bei der einfachen Klassifikation — multivariater Fall 182
8.3.2. Multiple Vergleiche bei der zweifachen Klassifikation ohne Wechsel¬
wirkung — multivariater Fall 183
9. Modelle mit zufälligen Effekten (Modelle II) im multivariaten Fall . . . . 186
Ünivariater Fall (187). Multivariater Fall (192).
10. Skalierung von Merkmalen als Vorbereitungsschritt der multivariaten
Analyse (einfache Klassifikation) 196
10.1. Zurückführung der Skalierung auf ein Eigenwertproblem 196
10.2. Mehrfache Skalierung eines qualitativen Merkmals 200
10.3. Der Spezialfall zweier Klassen. Optimalitätseigenschaft der Skalierung. . 203
10.4. Iterationszyklus zur numerischea Lösung des Skalierungsproblems .... 205
10.5. Skalierung ranggeordneter diskreter und kontinuierlicher Merkmale . . 207
10.6. Die bei der Skalierung entstehenden Verteilungen 209
11. Zu den Voraussetzungen der mehrdimensionalen Varianzanalyse .... 211
Tabelle zur Planung des Stiehprobenumfangs für den J^ Test 214
JP Quantiltabellen für a = 0.05 und a = 0.01, Approximationsformeln 216
Nomogramme von Heck zur Verteilung des ©max Kriteriums von Roy 221
Literatur 230
Sachregister 234
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| adam_txt |
i
f
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung 1
1.1. Grundlegende Begriffe 1
1.2. Bedeutung der mehrdimensionalen Varianzanalyse 2
1.3. Hinweise für das Studium dieses Buches 3
2. Elemente der Matrizenreehnung 6
2.1. Rechteckige Matrizen 6
2.2. Quadratische Matrizen 7
2.3. Symmetrische Matrizen 10
Eigenwertproblem Ax = Xse (10). Positiv definite symmetrische Matri¬
zen (11). Eigenwertproblem Ax = XBas (13).
2.4. Idempotente Matrizen 17
2.5. Matrizen von Matrizen 17
2.6. Spezielles Beispiel einer Matrixinversion 19
3. Grundkenntnisse über die mehrdimensionale Normalverteilung und die
Wishabt Verteilung 20
3.1. Ein und mehrdimensionale Normalverteilung 20
3.2. x2 Verteilung und F Verteilung 21
3.3. Wishart Verteilung . 23
3.4. Ein Satz über den Rang zufälliger Matrizen 25
4. Das lineare Hypothesenmodell der multivariaten Varianzanalyse . 26
4.1. Der univariate Fall 26
4.2. Der multivariate Fall 31
4.2.1. Das multivariate lineare Modell 31
4.2.2. Die multivariate lineare Hypothese 32
4.2.3. Parameterschätzungen 32
4.2.4. Teststatistiken zum Prüfen der multivariaten Hypothese 33
4.2.5. Verallgemeinerte Form der multivariaten linearen Hypothese 39
4.3. Bemerkungen zu den Eigenschaften der Testkriterien A, T2 und V . . . 40
4.3.1. Das Likelihood Quotienten Kriterium A von Wilks 44
4.3.2. Das Spurkriterium T* nach Lawley und Hotelmng 46
4.3.3. Das Kriterium der größten charakteristischen Wurzel V = \ 47 »
4.3.4. Bemerkungen zu den Güteeigenschaften der Testkriterien 49
4.4. Über eine hier verwendete approximative Verteilung von T2 54
4.4.1. Approximation der Nullverteilung 54
4.4.2. Approximation der Nichtnullverteilung 58 '
4.5. Praktisches Verfahren zur Aufstellung eines multivariaten Tests . 59
Inhaltsverzeichnis IX
5. Multivariates Trennmaß, Diskriminanzfunktionen, spezielle Tests . 63
5.1. Multivariates Trennmaß, redundante Merkmale .' 63
Definition des Trennmaßes (63). Abhängigkeit von der Merkmalsmenge
(64). Abhängigkeit von der Hypothese (66). Normiertes Trennmaß (66).
5.2. Diskriminanzfunktionen, Diskriminanzmerkmale 66
Definitionen (66). Invarianz des Trennmaßes (67). Redundanz und Diskri¬
minanzfunktionen (68). Diskriminanzmerkmale mtö Eigenwertproblem (69).
Nichtelementare Diskriminanzmerkmale (70).
5.3. Schätzungen des multivariaten Trennmaßes und der Diskriminanz¬
funktionen 71
5.4. Die Ermittlung entbehrlicher Merkmale 72
Merkmalselimination nach der Unentbehrlichkeit (73). Merkmalselimi¬
nation nach dem Signifikanztest (74). Vergleich der Eliminationsme¬
thoden (76).
5.5. Die Ermittlung überflüssiger Dimensionen des Diskriminanzraumes . 78
5.6. Multivariates Trennmaß auf der Grundlage der A Statistik 79
6. Varianzanalytische Betrachtungen an einer oder zwei normalverteilten
Grundgesamtheiten 80
6.1. Betrachtung einer normalverteilten Grundgesamtheit 80
6.1.1. Schätzungen für (X und S . . . . 81
6.1.2. Hypothese über den Mittelwertsvektor 82
6.1.3. Konfidenzbereich für den Mittelwertsvektor 85
6.1.4. Hypothese der übereinstimmenden Komponenten des Mittelwertsvektors 86
6.2. Betrachtung zweier normalverteilter Grundgesamtheiten . 88
6.2.1. Hypothese der Gleichheit von fj^ und m 88
6.2.2. Multivariates Trennmaß, Diskriminanzfunktion, Diskrimination . 91
6.2.3. Aussonderung entbehrlicher Merkmale 96
6.2.4. Bestimmung des Diskriminationsfehlers 98
Fall p = 1 (98). Methode von Dejew für beliebiges p (99). Methode von
Okamoto für beliebiges p (99). Sehätzformeln von McLachlan (100).
LACHENBBUCHsehe Methode (100).
7. Mehrdimensionale Varianzanalyse und Diskriminanzanalyse bei einfacher
Klassifikation (J Gesamtheiten) 101
7.1. Einführung 101
7.2. Hypothese der Gleichheit aller Mittelwertsvektoren 104
Die Teststatistik (105). Verfeinerter Test (107).
7.3. Vergleiche einzelner Mittelwertsvektoren. Simultanvergleiehe 108
Einzelvergleich zweier Klassen (108). Simultanvergleiche von Klassen (109).
7.4. Multivariates Trennmaß 112
Definition, des Trennmaßes (112). Invarianz gegenüber regulären Trans¬
formationen (114). Trennmaß beliebiger Merkmalsmengen (114). Bezie¬
hungen zwischen zwei Merkmalsmengen (116). Normiertes Trennmaß (118).
7.5. Diskriminanzmerkmale, Diskriminanzfunktionen 119
Elementare Diskriminanzmerkmale (119). Nichtelementare Diskriminanz¬
merkmale (121). Die Dimension des Diskriminanzraumes (127).
7.6. Eechnerisehe Bestimmung der nichtelementaren Diskriminanzfunktionen 128
7.7. Die Durchführung der Diskrimination 129
X Inhaltsverzeichnis
7.7.1. Diskrimination mit sämtlichen Diskriminanzmerkmalen 130
Anwendung der nichtelementaren Diakriminanzmerkmale (130). An¬
wendung der elementaren Diskriminationsmerkmale (137). Eindeutigkeit
der Diskrimination (138).
7.7.2. Diskrimination, nicht mit sämtlichen Diskriminanzmerkmalen 139
7.7.3. Diskrimination mit gerundeten Diskriminanzfunktionen, 141
7.7.4. Schätzung des Diskriminanzfehlers nach dem zyklischen Austausch
verfahren von Lachenbruch . 142 '
7.8. Aussonderung entbehrlicher Merkmale 146
Schrittweise Merkmalsreduktion (146). Abbruch des Reduktionsprozesses
(147). Schrittweise Erweiterung der Merkmalsmenge (150).
7.9. Rechentechnische Probleme bei der Aussonderung von Merkmalen . 151
7.10. Grobflußbild für die rechentechnisehe Realisierung der Analyse . 153
7.11. Qualitative Aussagen über einzelne Merkmale und über Merkmalsmengen 155
7.11.1. Aufspaltung des multivariaten Trennmaßes in Komponenten, die den ,
Diskriminanzmerkmalen entsprechen 155
Das Prinzip der Komponentenzerlegung (155). Rotation im Diskriminanz
raum (157). Abstandsmaß (157). Vektordiagramm zur Darstellung der
Einzelmerkmale (158).
7.11.2. Benutzung des Äffinitätskoeffizienten a 161
7.12. Planung des Stichprobenumfangs 163
8. Mehrfach klassifizierte vollständige Versuchspläne 164
8.1. Zweifache Klassifikation, ein Beobachtungsvektor je Zelle 165
Univariater Fall (165). Multivariater Fall (166).
8.2. Zweifache Klassifikation, m Beobachtungsvektoren je Zelle 168
Ünivariater Fall (171). Multivariater Fall (173).
8.3. Simultane Konfidenzgrenzen auf der Basis der .Verteilung der größten
charakteristischen Wurzel 180
8.3.1. Multiple Vergleiche bei der einfachen Klassifikation — multivariater Fall 182
8.3.2. Multiple Vergleiche bei der zweifachen Klassifikation ohne Wechsel¬
wirkung — multivariater Fall 183
9. Modelle mit zufälligen Effekten (Modelle II) im multivariaten Fall . . . . 186
Ünivariater Fall (187). Multivariater Fall (192).
10. Skalierung von Merkmalen als Vorbereitungsschritt der multivariaten
Analyse (einfache Klassifikation) 196
10.1. Zurückführung der Skalierung auf ein Eigenwertproblem 196
10.2. Mehrfache Skalierung eines qualitativen Merkmals 200
10.3. Der Spezialfall zweier Klassen. Optimalitätseigenschaft der Skalierung. . 203
10.4. Iterationszyklus zur numerischea Lösung des Skalierungsproblems . 205
10.5. Skalierung ranggeordneter diskreter und kontinuierlicher Merkmale . . 207
10.6. Die bei der Skalierung entstehenden Verteilungen 209
11. Zu den Voraussetzungen der mehrdimensionalen Varianzanalyse . 211
Tabelle zur Planung des Stiehprobenumfangs für den J^ Test 214
JP Quantiltabellen für a = 0.05 und a = 0.01, Approximationsformeln 216
Nomogramme von Heck zur Verteilung des ©max Kriteriums von Roy 221
Literatur 230
Sachregister 234 |
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