Mathematik für Informatiker: ausführlich erklärt mit vielen Programmbeispielen und Aufgaben
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Vieweg + Teubner
2009
|
| Ausgabe: | 1. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Studium
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | V, 798 S. graph. Darst. 24 cm |
| ISBN: | 9783835101579 3835101579 |
Internformat
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|---|---|
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Titel: Mathematik für Informatiker
Autor: Schubert, Matthias
Jahr: 2009
Inhaltsve rzei chni s
Vorwort
Grundbegriffe der Aussagen- und
Pradikatenlogik 21
1.1 Axiome 21
1.2 Aussagen 23
1.3 Negationen 23
1.4 Aussageformen 24
1.5 Oder-Aussagen 25
1.6 Und-Aussagen, die De Morganschen Gesetze 27
1.7 Implikationen 30
1.8 Der indirekte Beweis 33
1.9 Existenzaussagen 33
1.10 Allaussagen 34
1.11 Verneinungen von Existenz- und Allaussagen 35
1.12 Analyse von Suchkriterien in der Informatik,
die Distributivgesetze 36
Ubungsaufgaben 40
Grundbegriffe der Nlengenlehre 43
2.1 Grundlegende Defmitionen 43
2.2 Teilmenge, Durchschnitt, Vereinigung und Differenzmenge 44
2.3 Einige Eigenschaften der Operatoren f, und U 48
2.4 Kreuzprodukte und Relationen 49
2.5 Abbildungen 52
2.6 Die Potenzmenge 55
Ubungsaufgaben 56
Natiirfiche Zahlen 59
3.1 Die Peano-Axiome und die vollstandige Induktion 59
3.2 Die FakultSt und der Binomialkoeffizient 61
3.3 Permutationen und Gewinnchancen im Lotto 69
3.4 Teller, ggT und kgV und der Euklidische Algorithmus 72
3.5 Primzahlen 81
Ubungsaufgaben gg
16
Inhaltsveizeichnis
Andere schreibweisen fur die
natiirlichen zahlen 91
4.1 Zunachst ein Beispiel 91
4.2 Die allgemeine Theorie 92
4.3 Ein Algorithmus zur Berechnung der Zahlendarstellungen 94
Ubungsaufgaben 100
Ganze zahlen und Rationale zahlen -
Gruppen, Ringe und Korper 103
5.1 Die ganzen Zahlen und die algebraische Struktur einer Gruppe 104
5.2 Die ganzen Zahlen und die algebraische Struktur eines Rings 107
5.3 Die rationalen Zahlen und die algebraische Struktur eines Korpers 108
5.4 Wie »gro!3« sind die Mengen Z und Q? 113
Ubungsaufgaben H6
Aquivalenzrelationen und Aquivalenzklassen 119
6.1 Aquivalenzrelationen 119
6.2 Restklassen 123
6.3 Die Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natiirlichen Zahlen 125
6.4 Die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen 134
6.5 Relationale Datenbanken oder: Relationen von Relationen 142
Ubungsaufgaben 145
Endliche Gruppen und Endliche Korper 147
7.1 (Z +) ist eine endliche, kommutative Gruppe 147
7.2 (Zq, +,.) ist nur manchmal ein endlicher komrnutativer Korper 149
7.3 Beispiele, ein Programm und Gleichungen 151
7.4 Hashing 155
7.5 Prufziffern 156
Ubungsaufgaben 164
Zahlentheorie und Kryptographie 167
8.1 Der »kleine Fermat« 167
8.2 Die Eulersche Phi-Funktion 172
8.3 Eulers Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes I78
8.4 Ein Beispiel fiir eine Verschlflsselung mit einem
offentlichen SchlQssel 180
Ubungsaufgaben 186
Inhaltsverzeichnis 17
Die reel!en zahlen 189
9.1 Irrationale Wurzeln 190
9.2 Was sind irrationale Zahlen? Ein erster Versuch einer Antwort 191
9.3 Warum reelle Zahlen? Eine erste Antwort 193
9.4 Warum reelle Zahlen? Eine zweite Antwort 198
9.5 Zwei Arten von reellen Zahlen 202
9.6 Auch die reellen Zahlen sind aus den natiirlichen Zahlen
konstruierbar 208
Ubungsaufgaben 213
Die komplexen Zahlen 215
10.1 Quadratische Gleichungen in der Menge der reellen Zahlen 216
10.2 Die Einfuhrung von i garantiert die genrelle Losbarkeit von
Quadratischen Gleichungen 221
10.3 Der algebraisch abgeschlossene Korper der komplexen Zahlen 226
10.4 Die Mandelbrot-Menge 241
Ubungsaufgaben 251
Boolesche Algebra 253
11.1 Boolesche Funktionen und digitale logische Gatter 253
11.2 Die Minterm- und Maxterm-Darstellungen beliebiger
Boolescher Funktionen 258
Ubungsaufgaben 278
Boolesche Gesetze, Dualitaten und Diagramme 283
12.1 Das Boolesche Dualitatsprinzip und 23 wichtige Gesetze 283
12.2 Karnaugh-Veitch Diagramme 288
Ubungsaufgaben 312
Leonhard Euler und die 7 Briicken
von Konigsberg 317
13.1 Das Sieben-Brucken-Probiem von Konigsberg 317
13.2 Eulers allgemeine Losung 318
13.3 Wie man eincn »blinden« Computer sehend maeht 333
13.4 Die eigentliehe Programrnierung 340
13.5 Euler- Wege 345
13.6 Euler-Wege in gerichteten Graphcn 349
Ubungsaufgaben 353
18
Itihaltsveizeichnis
Baume 359
14.1 Aufspannende Baume 359
14.2 Charakteristika von Baumen 368
14.3 Gewichtete einfache Graphen 372
14.4 Minimale aufspannende Baume und der Algorithmus von Prim 377
14.5 Die Programmierung des Algorithmus von Prim 382
Ubungsaufgaben 387
Kurzeste wege und der Algorithmus
von Dijkstra 395
15.1 Drei Algorithmen fiir aufspannende Baume im Vergleich 395
15.2 Ein Beispiel 396
15.3 DerAlgorithrnuskannmehr: Wurzelbaume machen es mogtich 402
15.4 Nur ein Beweis gibt uns Sicherheit 411
15.5 Die Programmierung von Dijkstras Algorithmus 414
Ubungsaufgaben 419
Binarbaume und rekursive strukturen 421
16.1 Definitionen und Beispiele 421
16.2 Ein Klassenentwurf fur einen Binarbaum 427
16.3 Drei Algorithmen zum Navigieren in einem Binarbaum 432
16.4 Ein Parserbaum fur mathematische Formeln 435
16.5 Die Programmierung unserer Parse-Algorithmen 450
Ubungsaufgaben 456
Paarungsprobleme und ihre
ungarischen Ldsungen 463
17.1 Defmtkmen und ein Beispiel 463
17.2 Der Ungarische Algorithmus 474
17.3 Ein Beispiel - zwei Matchings 478
17.4 Nun wieder etwas Theorie 482
17.5 Die Programmierung des Ungarischen Algorithmus 487
Ubungsaufgaben 493
Laufzeiten und Kompl exi taten, P und NP 497
18.1 Der Logarithmus, Polynome und die Exponentialfunktion 497
18.2 Die Symbole von Paul Bachmann und Edmund Landau,
gute und schlechte Algorithmen 50°
18.3 Ein kurzer Uberblick iiber unsere bisherigen Algorithmen 504
18.4 P (easy to find) und NP (easy to check) 506
18.5 Eine Eine-Million-Dollar-Frage: P=NP? 508
Ubungsaufgaben 510
Inhaltsverzeichms 19
Beschreibende Statistik 513
19.1 Der Feldversuch zum Salk-Impfstoff 513
19.2 Haufigkeiten, Histogramme und
Empirische Verteilungsfunktionen 515
19.3 Kennzahlen: Lageparametcr und geometrische Mittel 526
19.4 Kennzahlen: Streuungsparameter 536
19.5 Eine erste Darstellung der Verteilung einer Messreihe:
die Boxplots 540
19.6 Der Vergleich mehrerer numerischer Merkmale 541
19.7 Die lineare Regression mit Hilfe der Methode der kleinsten
Quadrate 546
19.8 Mehrere qualitative Merkmale bzw. mehrere Rangmerkmale:
Kontingenztafeln 553
19.9 Die Unabhangigkeit mehrerer qualitativer Merkmale
bzw. mehrerer Rangmerkmale 558
Ubungsaufgaben 567
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 575
20.1 Grundlegende Begriffe 576
20.2 Endliche Wahrscheinlichkeitsraume, Laplace-Modelle
und richtiges Zahlen 582
20.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhangigkeit und
mehrstuflge Experimente 597
Ubungsaufgaben 605
Diskrete Zufallsvariable 6ii
21.1 Zufallsvariablen 611
21.2 Endliche und diskrete Zufallsvariablen 614
21.3 Diskrete Verteilungen 623
Ubungsaufgaben 634
Stetige zufallsvariable 639
22.1 Was Sie wissen sollten 639
22.2 Stetige Zufallsvariable 642
22.3 Die Standard-Normatverteilung 645
22.4 Die ailgemeine Normalverteilung 656
22.5 Der zentrale Grenzwertsatz 664
Ubungsaufgaben 665
Schatzungen 669
23.1 Stichproben und die Grundregeln statistischen Arbeitens 669
23.2 Schatzunsjen von Wahrscheinlichkeiten 672
lnhaltsverzeichnis
23.3 Konfidenzintervalle als Bereiche des Vertrauens 675
23.4 Kleine Konfidenzintervalle fiir Binomialverteilungen -
Trau keinem unter 30 681
23.5 Die Grolk von Stichproben 687
Ubungsaufgaben 689
Tests, Tests, Tests 69i
24.1 Ein erstes Beispiel: die tea testing Lady 691
24.2 Grandlegende Bemerkungen und Definitionen 694
24.3 Parametertests fur Wahrscheinlichkeiten von wiederholten
Bernoulli-Experimenten 698
24.4 Parametertests - Mittelwerte von normal verteilten Werten 704
24.5 Der Chi-Quadrat: Vorbereitungen 709
24.6 Die Chi-Quadrat-TestgroBe 714
24.7 Der Chi-Quadrat-Test und Irrtumswahrscheinlichkeiten 720
Ubungsaufgaben 726
Anhang - was Sie schon immer uber
Analysis wissen wollten 729
A 1.1 Grenzwerte von Funktionen 729
A1.2 Stetige Funktionen 733
A 1.3 Ableitungen 736
Al .4 Die Bedeutung der Ableitung 740
A 1.5 Umkehrfunktionen 748
A1.6 Integrate und der Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung 751
A 1.7 Uneigentliche Integrate 756
Al .8 Die Trigonometrischen Funktionen 758
A 1.9 Logarithmus und Exponentialfunktion 767
ALIO Integrationsregeln und Integrationstechniken 776
ALU Gute Nacht, Freunde 778
Anhang - Einige Werte der
Standardnormalverteilung 787
Literatur- und Linkverzeichnis 789
Index 791 |
| adam_txt |
Titel: Mathematik für Informatiker
Autor: Schubert, Matthias
Jahr: 2009
Inhaltsve rzei chni s
Vorwort
Grundbegriffe der Aussagen- und
Pradikatenlogik 21
1.1 Axiome 21
1.2 Aussagen 23
1.3 Negationen 23
1.4 Aussageformen 24
1.5 Oder-Aussagen 25
1.6 Und-Aussagen, die De Morganschen Gesetze 27
1.7 Implikationen 30
1.8 Der indirekte Beweis 33
1.9 Existenzaussagen 33
1.10 Allaussagen 34
1.11 Verneinungen von Existenz- und Allaussagen 35
1.12 Analyse von Suchkriterien in der Informatik,
die Distributivgesetze 36
Ubungsaufgaben 40
Grundbegriffe der Nlengenlehre 43
2.1 Grundlegende Defmitionen 43
2.2 Teilmenge, Durchschnitt, Vereinigung und Differenzmenge 44
2.3 Einige Eigenschaften der Operatoren f, und U 48
2.4 Kreuzprodukte und Relationen 49
2.5 Abbildungen 52
2.6 Die Potenzmenge 55
Ubungsaufgaben 56
Natiirfiche Zahlen 59
3.1 Die Peano-Axiome und die vollstandige Induktion 59
3.2 Die FakultSt und der Binomialkoeffizient 61
3.3 Permutationen und Gewinnchancen im Lotto 69
3.4 Teller, ggT und kgV und der Euklidische Algorithmus 72
3.5 Primzahlen 81
Ubungsaufgaben gg
16
Inhaltsveizeichnis
Andere schreibweisen fur die
natiirlichen zahlen 91
4.1 Zunachst ein Beispiel 91
4.2 Die allgemeine Theorie 92
4.3 Ein Algorithmus zur Berechnung der Zahlendarstellungen 94
Ubungsaufgaben 100
Ganze zahlen und Rationale zahlen -
Gruppen, Ringe und Korper 103
5.1 Die ganzen Zahlen und die algebraische Struktur einer Gruppe 104
5.2 Die ganzen Zahlen und die algebraische Struktur eines Rings 107
5.3 Die rationalen Zahlen und die algebraische Struktur eines Korpers 108
5.4 Wie »gro!3« sind die Mengen Z und Q? 113
Ubungsaufgaben H6
Aquivalenzrelationen und Aquivalenzklassen 119
6.1 Aquivalenzrelationen 119
6.2 Restklassen 123
6.3 Die Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natiirlichen Zahlen 125
6.4 Die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen 134
6.5 Relationale Datenbanken oder: Relationen von Relationen 142
Ubungsaufgaben 145
Endliche Gruppen und Endliche Korper 147
7.1 (Z +) ist eine endliche, kommutative Gruppe 147
7.2 (Zq, +,.) ist nur manchmal ein endlicher komrnutativer Korper 149
7.3 Beispiele, ein Programm und Gleichungen 151
7.4 Hashing 155
7.5 Prufziffern 156
Ubungsaufgaben 164
Zahlentheorie und Kryptographie 167
8.1 Der »kleine Fermat« 167
8.2 Die Eulersche Phi-Funktion 172
8.3 Eulers Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes I78
8.4 Ein Beispiel fiir eine Verschlflsselung mit einem
offentlichen SchlQssel 180
Ubungsaufgaben 186
Inhaltsverzeichnis 17
Die reel!en zahlen 189
9.1 Irrationale Wurzeln 190
9.2 Was sind irrationale Zahlen? Ein erster Versuch einer Antwort 191
9.3 Warum reelle Zahlen? Eine erste Antwort 193
9.4 Warum reelle Zahlen? Eine zweite Antwort 198
9.5 Zwei Arten von reellen Zahlen 202
9.6 Auch die reellen Zahlen sind aus den natiirlichen Zahlen
konstruierbar 208
Ubungsaufgaben 213
Die komplexen Zahlen 215
10.1 Quadratische Gleichungen in der Menge der reellen Zahlen 216
10.2 Die Einfuhrung von i garantiert die genrelle Losbarkeit von
Quadratischen Gleichungen 221
10.3 Der algebraisch abgeschlossene Korper der komplexen Zahlen 226
10.4 Die Mandelbrot-Menge 241
Ubungsaufgaben 251
Boolesche Algebra 253
11.1 Boolesche Funktionen und digitale logische Gatter 253
11.2 Die Minterm- und Maxterm-Darstellungen beliebiger
Boolescher Funktionen 258
Ubungsaufgaben 278
Boolesche Gesetze, Dualitaten und Diagramme 283
12.1 Das Boolesche Dualitatsprinzip und 23 wichtige Gesetze 283
12.2 Karnaugh-Veitch Diagramme 288
Ubungsaufgaben 312
Leonhard Euler und die 7 Briicken
von Konigsberg 317
13.1 Das Sieben-Brucken-Probiem von Konigsberg 317
13.2 Eulers allgemeine Losung 318
13.3 Wie man eincn »blinden« Computer sehend maeht 333
13.4 Die eigentliehe Programrnierung 340
13.5 Euler- Wege 345
13.6 Euler-Wege in gerichteten Graphcn 349
Ubungsaufgaben 353
18
Itihaltsveizeichnis
Baume 359
14.1 Aufspannende Baume 359
14.2 Charakteristika von Baumen 368
14.3 Gewichtete einfache Graphen 372
14.4 Minimale aufspannende Baume und der Algorithmus von Prim 377
14.5 Die Programmierung des Algorithmus von Prim 382
Ubungsaufgaben 387
Kurzeste wege und der Algorithmus
von Dijkstra 395
15.1 Drei Algorithmen fiir aufspannende Baume im Vergleich 395
15.2 Ein Beispiel 396
15.3 DerAlgorithrnuskannmehr: Wurzelbaume machen es mogtich 402
15.4 Nur ein Beweis gibt uns Sicherheit 411
15.5 Die Programmierung von Dijkstras Algorithmus 414
Ubungsaufgaben 419
Binarbaume und rekursive strukturen 421
16.1 Definitionen und Beispiele 421
16.2 Ein Klassenentwurf fur einen Binarbaum 427
16.3 Drei Algorithmen zum Navigieren in einem Binarbaum 432
16.4 Ein Parserbaum fur mathematische Formeln 435
16.5 Die Programmierung unserer Parse-Algorithmen 450
Ubungsaufgaben 456
Paarungsprobleme und ihre
ungarischen Ldsungen 463
17.1 Defmtkmen und ein Beispiel 463
17.2 Der Ungarische Algorithmus 474
17.3 Ein Beispiel - zwei Matchings 478
17.4 Nun wieder etwas Theorie 482
17.5 Die Programmierung des Ungarischen Algorithmus 487
Ubungsaufgaben 493
Laufzeiten und Kompl exi taten, P und NP 497
18.1 Der Logarithmus, Polynome und die Exponentialfunktion 497
18.2 Die Symbole von Paul Bachmann und Edmund Landau,
gute und schlechte Algorithmen 50°
18.3 Ein kurzer Uberblick iiber unsere bisherigen Algorithmen 504
18.4 P (easy to find) und NP (easy to check) 506
18.5 Eine Eine-Million-Dollar-Frage: P=NP? 508
Ubungsaufgaben 510
Inhaltsverzeichms 19
Beschreibende Statistik 513
19.1 Der Feldversuch zum Salk-Impfstoff 513
19.2 Haufigkeiten, Histogramme und
Empirische Verteilungsfunktionen 515
19.3 Kennzahlen: Lageparametcr und geometrische Mittel 526
19.4 Kennzahlen: Streuungsparameter 536
19.5 Eine erste Darstellung der Verteilung einer Messreihe:
die Boxplots 540
19.6 Der Vergleich mehrerer numerischer Merkmale 541
19.7 Die lineare Regression mit Hilfe der Methode der kleinsten
Quadrate 546
19.8 Mehrere qualitative Merkmale bzw. mehrere Rangmerkmale:
Kontingenztafeln 553
19.9 Die Unabhangigkeit mehrerer qualitativer Merkmale
bzw. mehrerer Rangmerkmale 558
Ubungsaufgaben 567
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 575
20.1 Grundlegende Begriffe 576
20.2 Endliche Wahrscheinlichkeitsraume, Laplace-Modelle
und richtiges Zahlen 582
20.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabhangigkeit und
mehrstuflge Experimente 597
Ubungsaufgaben 605
Diskrete Zufallsvariable 6ii
21.1 Zufallsvariablen 611
21.2 Endliche und diskrete Zufallsvariablen 614
21.3 Diskrete Verteilungen 623
Ubungsaufgaben 634
Stetige zufallsvariable 639
22.1 Was Sie wissen sollten 639
22.2 Stetige Zufallsvariable 642
22.3 Die Standard-Normatverteilung 645
22.4 Die ailgemeine Normalverteilung 656
22.5 Der zentrale Grenzwertsatz 664
Ubungsaufgaben 665
Schatzungen 669
23.1 Stichproben und die Grundregeln statistischen Arbeitens 669
23.2 Schatzunsjen von Wahrscheinlichkeiten 672
lnhaltsverzeichnis
23.3 Konfidenzintervalle als Bereiche des Vertrauens 675
23.4 Kleine Konfidenzintervalle fiir Binomialverteilungen -
Trau keinem unter 30 681
23.5 Die Grolk von Stichproben 687
Ubungsaufgaben 689
Tests, Tests, Tests 69i
24.1 Ein erstes Beispiel: die tea testing Lady 691
24.2 Grandlegende Bemerkungen und Definitionen 694
24.3 Parametertests fur Wahrscheinlichkeiten von wiederholten
Bernoulli-Experimenten 698
24.4 Parametertests - Mittelwerte von normal verteilten Werten 704
24.5 Der Chi-Quadrat: Vorbereitungen 709
24.6 Die Chi-Quadrat-TestgroBe 714
24.7 Der Chi-Quadrat-Test und Irrtumswahrscheinlichkeiten 720
Ubungsaufgaben 726
Anhang - was Sie schon immer uber
Analysis wissen wollten 729
A 1.1 Grenzwerte von Funktionen 729
A1.2 Stetige Funktionen 733
A 1.3 Ableitungen 736
Al .4 Die Bedeutung der Ableitung 740
A 1.5 Umkehrfunktionen 748
A1.6 Integrate und der Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung 751
A 1.7 Uneigentliche Integrate 756
Al .8 Die Trigonometrischen Funktionen 758
A 1.9 Logarithmus und Exponentialfunktion 767
ALIO Integrationsregeln und Integrationstechniken 776
ALU Gute Nacht, Freunde 778
Anhang - Einige Werte der
Standardnormalverteilung 787
Literatur- und Linkverzeichnis 789
Index 791 |
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