Taschenbuch der Mathematik:
Gespeichert in:
| Format: | Buch |
|---|---|
| Sprache: | German Russian |
| Veröffentlicht: |
Frankfurt am Main
Deutsch
2006
|
| Ausgabe: | Nachdr. der 6., vollst. überarb. und erg. Aufl. |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XLII, 1195 S. zahlr. graph. Darst. 1 CD-ROM (12 cm) |
| ISBN: | 3817120168 9783817120161 3817120060 9783817120062 |
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Tkbellenverzeichnis XXXIX
1 Arithmetik 1
1.1 Elementare Rechenregeln .,. 1
1.1.1 Zahlen. 1
1.1.1.1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen. 1
1.1.1.2 Irrationale und transzendente Zahlen. 1
1.1.1.3 Reelle Zahlen. 2
1.1.1.4 Kettenbräche. 3
1.1.1.5 Kommensurabilität. 4
1.1.2 Beweismethoden. 5
1.1.2.1 Direkter Beweis.,. 5
1.1.2.2 Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch. 5
1.1.2.3 Vollständige Induktion . . . ,. 5
1.1.2.4 Konstruktiver Beweis. 6
1.1.3 Summen und Produkte.
1.1.3.1 Summen. 6
1.1.3.2 Produkte. 7
1.1.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 8
1.1.4.1 Potenzen . 8
1.1.4.2 Wurzeln. 8
1.1.4.3 Logarithmen . 9
1.1.4.4 Spezielle Logarithmen . 9
1.1.5 Algebraische Ausdrücke. 10
1.1.5.1 Definitionen. 10
1.1.5.2 Einteilung der algebraischen Ausdrücke. 11
1.1.6 Ganzrationale Ausdrücke. 11
1.1.6.1 Darstellung in Form eines Polynoms.'. 11
1.1.6.2 Zerlegung eines Polynoms in Faktoren. 11
1.1.6.3 Spezielle Formeln. 12
1.1.6.4 Binomischer Satz. 12
1.1.6.5 Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome . . 14
1.1.7 Gebrochenrationale Ausdrücke. 14
1.1.7.1 Rückführung auf die einfachste Form. 14
1.1.7.2 Bestimmung des ganzrationalen Anteils. 15
1.1.7.3 Partialbruchzerlegung. . 15
1.1.7.4 Umformung von Proportionen. 17
1.1.8 Irrationale Ausdrücke. 17
1.2 Endliche Reihen. 18
1.2.1 Definition der endlichen Reihe. 18
1.2.2 Arithmetische Reihen. 18
s
1.2.4 Spezielle endliche Reihen. 19
1.2.5 Mittelwerte.-.-.;. 19
1.2.5.1 Arithmetisches Mittel. 19
1.2.5.2 Geometrisches Mittel. 20
1.2.5.3 Harmonisches Mittel. 20
1.2.5.4 Quadratisches Mittel. 20
VI
I
IJ;
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.3.1 Tilgung.23
1.3.3.2 Gleiche Tilgungsraten. 23
1.3.3.3 Gleiähe Annuitäten. 24
1.3.4 Rentenrechauog.,.\. 24
1.3.4.1 Rente. . 24
1.3.4.2 Nachschüssig konstante Rente. 25
1.3.4.3 Kontostand nach n Rentenzahlungen. 25
1.3.5 Abschreibungen. 26
1.4 Ungleichungen. 28
1.4.1
1.4.1.1 Definitionen. 28
1.4.1.2 Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ
1.4.2 Spezielle Ungleichungen. 30
1.4.2.1
1.4.2.2 Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz zweier Zahlen . 30
1.4.2.3 Ungleichung
1.4.2.4 Ungleichung für das arithmetische und das quadratische Mittel ■: . ' 30
1.4.2.5 Ungleichungen für verschiedene Mittelwerte zweier reeller Zahlen . 30
1.4.2.6 Bernoullische Ungleichung . . . . . . . . . . 31
1.4.2.7 Binomische Ungleichung. . . . . ;. . ■.-.'. 31
1.4.2.8 Cauchy-Sehwarzsche Ungleichung. 31
1.4.2.9
1.4.2.10 Verallgemeinerte
1.4.2.11 Höldersehe Ungleichung.:. 32
1.4.2.12 Minkowskische Ungleichung. 33
1.4.3 Lösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades. 33
1.4.3.1. Allgemeines . . . .;. . 33
1.4.3.2 Ungleichungen 1. Grades .'.:. 33
1-.4.3.3; Ungleichungen 2. Grades . 33
1.4.3.4 Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades. 34
1.5 Komplexe Zahlen ' . .'. . 34
1.5.1 Imaginäre und komplexe Zahlen ~. . .■.'. 34
1.5.1.1
1.5.1.2 Komplexe Zahlen . ,.! . 34
1.5.2 Geometrische Darstellung. .• . . . -.■. . 35
1.5.2.1 VektordarsteHuag•■ . . , .'. 35
1.5.2.2 Gleichheit komplexer Zahlen. .35
1.5.2.3 Trigonometrische Form der komplexen Zahlen . . •. 3S
1.5.2.4 Bxponentialform einer komplexen Zahl . . 36
1.5.2.5 Konjugiert komplexe Zahlen.- . . . . . 36
1.5:3 Rechnen mit komplexen Zahlen. .: . . .-.-•. 36
1.5.3.1 Addition und Subtraktion. ¡. 36
1.5.3.2 Multiplikation. .'. 37
1.5.3.3 Division .,;.:. 37
1.5.3.4 A%emeine Regem für die vier Grandrechenarten . . 38
1.5.3.5 Potenzieren einer komplexen Zahl . ;. 38
1.5.3.6 Radizieren oder Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl 38
Inhaltsverzeichnis
1.6
1.6.1
іібЛ.1-
1.6.1.2 . Systeme aus
■1.6.1.3 Söheinbaie Wurzeln. 39
1.6.2 Gteietamgral. bis 4,
1.6.2.1 Gleichungen I.Grades
1.6.2.2
1.6.2.3 Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen) . 40
1.6.2.4 Gleichungen 4. Grades.:. 42
1.6.2.6 Gleichungen 5. und höheren Grades . . . . ,. 43
1.6.3 Gleichungen n-ten Grades .'.,. 43
1.6.3.1 Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen . . 43
1.6.3.2 Gleichungen mit reellen Koeffizienten . . .'. 44
1.6.4 RucMihrung transzendenter Gleichungen auf algebraische Gleichungen . 45
1.6.4.1 Definition.,.-.-. 46
1.6.4.2 Exponentialgleichungen. .'. -.:. 46
1.6;4,3 Logarithmische Gleichungen . . . . 46
1.6.4.4 Trigonometrische Gleichungen . ,. 46
1.6.4.5 Gleichungen mit Hyperbelfunktionen . .\. 47
Funktionen und Ehre Darstellung 48
2.1 Punktionsbegriff.
2.1.1 Definition der Punktion. 48
2.1.1.1 Punktion. , . 48
2.1.1.2 ReellePunktion .'. 48
2.1.1.3 Punktion von mehreren Veränderlichen. 48
2.1.1M Komplexe Punktion .'. 48
2.1.1.5 Weitere Punktionen. 48
2:i.l.6 Funktionale., . . :.■ . 48
2.1.1.7 Punktion und Abbildung. 49
2.1.2 Methoden zur Definition einer reellen Punktion. 49
2.1.2.1 Angabe einer Punktion . .■ . . 49
2.1.2.2 Analytische Darstellung reeller Punktionen •. . . 49
2.1.3 EinigePunktionstypen ,.-. t ,;.:.,.•. . 50
2.1.3.1 Monotone Punktionen '.".■■!.,.,. '50
2.1.3.2 Beschränkte Punktionen. . 51
2.1.3.3 Extremwerte von Punktionen . 51
2.1.3.4 Gerade Punktionen . 51
2.1.3.5 Ungerade Punktionen.'. 51
2.1.3.6 Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader. Punktionen. 52
2.1.3.7 Periodische Punktionen'. . . 52
2.1.3.8
2.1.4 Grenzwert von Punktionen .
2.1.4.1 Definition des Grenzweetes:einer Punktion.'. . . 53
2.1.4.2 Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge. 53
2.1.4.3 Konvergenzkriterium von. Gauchy .,.■. 53
2.1.4.4 Unendlicher Grenzwert einer Funktion . .■. 54
2.1.4.5 Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Punktion. 54'
2.1.4.6 Grenzwert einer Punktion für x gegen uaendlieh. 54
2.1.4.7 Sätze über Grenzwerte von Punktionen.'.;. 56
2.1.4.8 Berechnung von Grenzwerten .-'.,.;■. 55
2.Ф.4.0'
12.1.5 Stetigkeit einer Funktion.
2.1.5.1 Stetigkeit umdUnstetigkeitsstelle. 58
2.1.5.2
2.1.5.3 Händig auftretende Arten von Unstetigkeiten. 5t
2.1.5.4 Stetigkeit und UnstetigkeitspunJste elementarer
2.1.5.5 Eigenschaften stetiger Punktionen. 61
2.2
2.2.1 Algebraische Punktionen. 62
2.2.1.1 Ganzrationale Punktionen (Polynome) .;. 62
2.2.1.2 Gebroohenrationale Punktionen.
2.2.1.3 Irrationale Punktionen. 63
2.2.2 Transzendente Punktionen. 63
2.2.2.1 Exponentialfunktionen.". 63
2.2.2.2 Logarithmische Punktionen. 63
2.2.2.3 Trigonometrische Punktionen . 63>
2.2.2.4
2.2.2.5 Hyperbelfunktionen. 63
2.2.2.6 .
2.2.3 Zusammengesetzte Punktionen. .63
2.3 Polynome.'••■•.•.• • •.■.'. 64
2.3.1 Lineare Punktion . .■. -.• .
2.3.2 Quadratisches Polynom. .'. 64
2.3.3 Polynom 3. Grades. . 64
2.3.4 Polynom n-ten Grades. . . 65
■ 2.3.5 Parabel n-ter Ordnung. 66
2.4 Gebrochenrationale Punktionen . . . 86
2.4.1 Spezielle gebrochen lineare Punktion. 66
2.4.2 Gebrochenlineare Punktion. 66
2.4.3 Kurve 3. Ordnung, Typ
2.4.4 Kurve3. Ordnung,Typ
2.4.5 Kurve 3. Ordnung, Typ
2.4.6 Reziproke Potenz. . ,. 70'
' 2.5 Irrationale Punktionen , . .4. .;. 71
2.5.1 Quadratwurzel aus einem linearen Binom .* . 71
2.5.2 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom . 71
2.5.3 Potenzfunktion .,.,'. 71
2.6 Exponentialfunktionen und logarithmische' Punktionen. 72
2.6.1 Exponentialfunktion \. 7,2
2.6.2 Logarithmische Punktionen. .73
2.6.3 GaufecheGloekenkurve. . . . 73
2.6.4 Bxponentialsumme.•. . .•. 73
2.6.5 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve. 7.4
2.6.6 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion. 75
2.7 Trigonometrische Punktionen (Winkelfunktionen). . .76
2.7.1 Grundlagen . . . . . 76
2.7.1.1 Definition und Darstellung . . . . .
2.7.1.2 Wertebereiche und Punktionsverläufe . 78
• 2.7.2 Wichtige Formeln für trigonometrische Punktionen. 80
2.7.2.1 Beziehungen zwischen den^^ trigonometrischen- Punktionen. 80-
2.7.2-2 Trigonometrische Punktionen der Summe und der Differenz zweier
Winkel (Additionstheoreme).
Inhaltsverzeichnis DE1
2.7.2>3 TngommetriseheltaktioneaftoWmkeWelfadie. 81
2.7.2.4 ' trigonometrische Punktionen des halben Winkels . .'. 82
2.7.2-5 Summen und Differenzen zweier taigonometrischer Punktionen . . 82
2.7.2.6 PSrodukte trigonometrischer Punktionen . 82
2.7.2.7 Potenzen trigonometrischer Funktionen. 83
2.7.3 Besehrabung von Schwingungen. 83
2.7.3.1 Problemstellung .'■._. 83
2.7.3.2
2.7.3.3 ' Vektordiagramm für Schwingungen . . . . .'. 84
2.7.3.4 Dämpfung von Schwingungen .;. 84
2.8 Zyklometrische Punktionen (Arkusfunktionen). 85
2.8.1 Definition der zyMometrischen Punktionen. 85
2.'8.2 Zuriiekführung auf die Hauptwerte. 85
2.8.3 Beziehungen zwischen den Hauptwerten. 86
2.8.4 Formeln für negative Argumente. 87
2.8.5 Summe und Differenz von aresin x und aresin
2.8.6 Summe und Differenz von
2.8.7 Summe und Differenz von aretanx und aretan
2.8.8 Spezielle Beziehungen für axesin x,
2.9 Hyperbelfunktionen. 88
2.9.1 Definition der Hyperbelfunktionen. 88
2.9.2 Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen. 89
2.9.2.1 Hyperbelsinus. . 89
2.9.2.2 Hyperbelkosinus. 89
2.9.2.3 Hyperbeltangens. :. 90
2.9.2.4 Hyperbelkotangens. 90
2.9.3 Wichtige Pormehi für HyperbeKunktionen. 90
2.9.3.1 Hyperbelfunktionen einer1 Variablen >.;. 90
2.9.3.2 Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Ar¬
gumentes ".;•.-. 90
2.9.3.3 Formeln für negative Argumente . . 90
2.9.3.4 HyperbeKunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente
(Additionstheoreme).'. 91
2.9.3.5 Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments. 91
2.9.3.6 Formel von Moivre für HyperbeKunktionen. 91
2.9.3.7 HyperbeKunktionen des halben Arguments .'. . 91
1 2.9.3.8 Summen und Differenzen von HyperbeKunktionen. 91
2.9.3.9 Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen
Punktionen mit Hufe komplexer Argumente . 92
2.10 Areafunktionen. 92
2.10.1 Definitionen. 92
2.10.1.1 Areasinus. 92
2.10.1.2 Areakosinus. 92
2.10.1.3 Areatangens.'. 93
2.10.1.4 Areakotangens . .:. . ,. 93
2.10.2 Darstellung der Areafunktionen. durch den natürlichen Logarithmus. 93
.2.10.3 Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen. . 94
2.10.4 Summen und Differenzen.von Areafunktionen. 94
2.10.5 Formern für negative Argumente .;. 94
2.11 Kurven dritter Ordnung.,. 95
2.11.1 'Semikubische Parabel.;. 95
2.11.2
2.11.3
2.H.4
2.1H.5
2.B2
2.12.1
' 2.12.2 Allgemeine Konohoide . 98
2.12.3 Pascaflsehc Sehneeko. 98
2.12.4 Kandioide. 99
2.12.5 Cassiniscnc Kurven.
■ 2.12.6 Lemniskate . 1«
■2.ШЗ
2.13.1 Gewöhnliche Zykloide. 103!
2.13.2 Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden. 102
2.13.3
2.13.4 Ilypozykloide und Astroide. 104
2.33.5 Verlängerte und verkürzte Bpizykloidc und Hypozykloidc. 105
2Л.4
2.14.1 Archimedische Spirale. 105
2.14.2 Hyperbolische Spirale.!. 106
2.14.3 Logarithmische Spirale. 106
2.14.4 Kvolvcnte des Kreises.
2.14.5 Kiothoide . .--.-.,. 107
2.15 Verschiedene andere Kurven'. . . . 108
2.15.1 KettenlinieoderKatenoide. 108
2.15.2 Schleppkurve oder
2.16 Aufstellung empirischer Kurven . . . . . . :■. . . .,.-.:. 189'
2.16.1 'Verfahrensweise . .'•. . ; ■. . .:■. . : . . 109
2.16.1.1 Kurvenbildervergleiche . ,.'. . ;. 109
'2.16.1.2
2.16.1.3 Parameterbestimmung. 109
2.16.2 Gebräuchlichste, empirische Formeln . ; . 110
2.16.2.1 Potenzfunktionen.'. 110
2.16.2.2 ISxponentialfunktionen. 110
2.16.2.3 Quadratisches Polynom. .:.■. . .
2.16.2.4 Gebrochealiaeare.Panktipn. . . . . 112
2.16.2.5 Quadratwurzel aus eiae» quadratischen Polynom . 112
[ 2.16.2.6 Verallgemeiaerte GaußseheGloekenkurve.- 113
2.16.2.7 Kurve3. Ordemg,Typ-
' 2.16.2.8 Kurve1
■
2.16.2.10 Produkt ausPotenz- und Exponentialfunktion .'. . , . . . . 114
2.16.2.11
■: 2.16.2.12 VoHständig durohgereckaetes Beispiel . . . 115
2.17 Skalen und
2.17.1 -Skalen . .-.;;.:.
. 2.17.2 iktÄtionspapiere . . .". . . .;. . . . 118
2.17.2.1
2.17.2.2
2.17.2.3 Funktionspapier mit einer reziproken Skala;■•.•. . 118
2.17.2.4 Hinweis. 119
2.18 Funktionen von mehreren Veränderlichen. .
2.18.1 Definition und Darstellung . . .;. .". . 120
Inhaltsverzeichnis
2.3¡8.1.1
2.Ш8.1.2
2.18.2
2Ä2.1
2.1812.2 ZweidimenMoiaate'GeMete . . . . .-. . 121
2.18.2.3
2.18.2.4 Methoden zur Definition einer Punktion . 121
2.18^2.5 Formen
2Ж236'
2.18.3. Grenzwerte . . 126
2.18.3.1 Definition." . . . 125
2.18.3.2 Exakte Formulierung.'.>.;. 125
2.18.3.3 Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche . . . . '. 125
2.18.3.4 Karierte Grenzwerte . . . . . . 125
2.18.4 Stetigkeit. 126
2.18.5 Eigenschaften stetiger Punktionen. 126
2.18.5.1 Nullstellensatz von
2.18.6.2 Zwischemwertsatz. 126
2.18.5.3 Satz über die Beschränktheit einer Punktion. 126
2.18.5.4 Satz von Weierstrass über'die Existenz des größten und kleinsten
Punktionswertes.'.'. . . 126
2.19 Nomographie . . . '. . 127
2.19.1 Nomogramme. 127
2.19.2 Netztafeln. . 127
2.19.3 Pluchtlmientafehi. . 128
2.19.3.1 Fluchtlinientafeln mit dreigeraden Skalen durch einen.Punkt . 128
2.19.3.2 Fluchtlinientafehi mit zwei parallelen und einer'dazu geneigten ge¬
radlinigen Skala .i. .:. 129
2.19.3.3 Fluchtlinientafehi mit zwei parallelen, geradlinigen Skalen und einer
Kurvenskala. . . 129
2.19.4 Netztafeln für mehr als drei Veränderliche ; . . 130
Geometrie 131
3.1 Planimetrie.
3.1.1. Grundbegriffe.'. : .:.,,,.:. . . -----. 131'
3.1.1.1- Punkt,Gerade,Strahl,Streck»;. .-.•. . '. 131
.3.1.1.2 Winkel. .: . . . . -.;■. .■.:. 131
3.1.1.3 Winkel an zwei sich schneidenden .Geraden .'. 132
3.1.1.4 Winkelpaare an gescfadfctenen'Pajrallelen.,.;. 132
• 3.1.1.5 Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß.'.-. 133
3.1.2 Geometrische Definition der Kreis- und Hyperbel-Punktionen. . . 133
3.1.2.1 Definitioncler Kreis- oder trigonometrischen Funktionen. 133
3.1.2.2 Geometrische Definition der Kyperbelfunktionen . 134-
3.1.3 EbeneDreiecke. 135
3.1.3.1 Aussagen zu ebenen Dreiecken. 135
3.1.3.2 Symmetrie. 136
3.1.4. Ebene Vierecke . , . ; . ■.■■.'.".,.-. . . . . .:. 138
3.1.4.1 Parallelogramm . .:-. . . . .■.;■. 138
ЗД.4.2
3.1.4.3 Mombus oder Raute :. 138
.3.1.4.4
3.1.4.5 Allgemeines Viereck .:.:. 139
3.11.4.6
3.1.4.7
3.1.5 Ebene Vieteoke oder Polygone. 3|#
3.1.6.1 Allgenaeines Vieleek.
3.1.5.2 ßegetotÄge ikonvexc Violtecke.
3.1.5.3 Einige regelmäßige fenvexe Violooke. Ml
3.1.6 Ebene Kreisfiguren. :
3.1.6.1 Kreis.
ЗЛ.6.2
3.1.6.3 Kreisring . 144
3.2 Ebene Trigonometrie. 14$
3.2.1 Dreiecksbeireehnungen. 14®
3.2.1.1 Berechnungen in reehtwinkligen ebenen Dreiecken.
3.2.1.2 Berechnungen
3.2.2 Geodätische Anwendungen. 148
3.2.2.1 Geodätische Koordinaten.
3.2.2.2 Winkel in der Geodäsie. 1«
3.2.2.3 Vormossungstcchnisohe Anwendungen. 181
3.3 Stereometrie. . . . . . . . . . . . .• ■. '■. , . 154
3.3.1
3.3.2 Kanten, Ecken, IUumwinkel. 151
3.3.3 Polyeder.
3.3.4
3.4 Sphärische Trigonometrie.
3.4.1 Grandbegriffe der Geometrie auf der Kugel .'. 163
3.4.1.1 KuTven.'Bogeu
3.4.1.2/ Spezielle Koordinatensysteme. 165
3.4.1.3 Sphärisches Zweieck. . . . . . . . . . 166
3.4.1.4 Sphärisches Dreieck .-. . 166;
3.4.1.5 Polardreieck.
3.4.1.6 Eulersche und Nichfr-Bulersche Dreiecke . .
. 3.4.1.7 Dreikant.'.-.,. 168
3.4.2 Haupteigensehaften sphärischer. Dreiecke . 168
3.4.2.1 Allgemeine Aussagen. 168^
:.- 3.4.2.2 Grondformefa. und Anwendungen . . . . .■. . 169;
3.42.3 Weitere Formeln. ■-. . . . .;.
3.4.3
: ' -3.4.3.1 Grumdaufgabem,'Genauigkeitsbeteachtungen . 173
3.4.3.2 RecblmEtÄg.spMriseheslJreieffili . . . 17S
3.4.3.3 '
3.4.3.4 Sphärische Kurveni. . , . \ .-.-. %. .'.'
3.5 Vektora^ebraundanalytiseheGeometrie . . :.". . '.'■. . . . /•.••.•■•
:-■ 3.5.1 Vektorafeebra .- .■. . .
3.5.1.1 Definition 4es Vektors.:. . 185-
3.5.1.2 Ilechenregeto .
3.5.1.3 Skalarprodakt und Vektorprodukt.'v. .'. . . . . .
3.5.1.4 Mehrfachemultiplikative
3.5.1.5
3.5.1.6 Kovariante und kontravBiriante Koordinaten eines Vektors . . 193'
3.5.1.7 Geometrische Anwendungen der-Vektoralgebra . . . 194
3.5.2 Analytische Geometrie der Ebene. 196
3.5.2.1 Ebene Koordinatensysteme .'. ' 195
Inhaltsverzeichnis
Зіб.2.2
3.5.2.3
3Ä24 Flächeninhalte . . . .:. . ., .;.'. . . . . . . . . . 199
3.8.2.6 Gleichung einer Kurve ,".-,. 199
ШЖ
3v&2.7
ЗЛ2.8
3Ä2.9
3.6.2:30 Barabel.-.-:■. . .
3.6.2.11 Kur«n2.'Oidnung'(Kegelsdhnitte) . 210
З.б.З
3.5Д1
. 3.5.3.2
3.6.3v3 Teilung einer Strecke . . 219
3.5.3.4 System aus vier Punkten .',. 219
3.5Д5
3.6.3.6
3.5.3.7 Geraden im Raum . . ■.,.'. .,. . . . . .
3.5.3.8 Schnittpunkte und Winkel von Ebenen und Geraden . 225
3.6.3.9 Flächen 2. Ordnung, Gleichungen in Normalform . . 226
3.5.3.10 Flächen 2. Ordnung, allgemeine aeorie. 230
3.6 Differentialgeomelirie. . 232
3.6.1 EbeneKurven . . .'. . .-. ¡. .;. . . . . . 232
3.6.1.1 Definitionen ebener Kurven. 232
3.6.1.2 Lokale Elemente einer Kurve . . . . . . . . 232
3.6.1.3 Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten . . . 238
3.6.1.4 Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung . 243-
3.6.1.5 Evoluten und Evolventen ,r. 244
3.6.1.6 Einhüllende von Kurvenscharen.■. 244
3.6.2 Raumkurven. 245
-3.6.2.1 Definitionen
3.6.2.2 Begleitendes Dreibein ;. 246
3.6.2.3 Krümmung und Windung . .:. . 248
3.6.3 Flächen.■.:,.:.:, . . . . . . .-.■'.■.
3.6.3.1 Definitionen für Flächen . . . . . . _ . 251
3.6.3.2 Tangentialebene und Flächennormale . . 252
3.6.3.3 Linienelement auf einer. Fläche.'. .> .;■. 25$
3^6.3.4 ., Krummung:einer Fläche- . . . .: . . . . . ■'.;.-. . . 255
3.6.3.5 Regelflächen und abwickelbare Flächen'- . 287
3.6.3.6 Geodätische Linienauf einer Fläche .
4 Lineare Algebra 269
4.1 Matrizen .,.'., . . .'. . -i . . . . ; . . .
4.1.1 Begriff der Matrix. .------. 239
4.1.2 Quadratische Matrizen .,.,.:. 280
4.1.3 Vektoren. . . . . . , .,. . . . . 2.61
.4.1.4 Rechenoperationen mit Matrizen . 26,2
4.1.5 . Rechenregeln für Matrizen . . . . ■; . . 265
4.1.6 Vektor-uad Matrizennorm . . :.: . 26^6
4.1.6.1 Vektornormen . . . . . ./. . . 266
: ' 4.1.6.2 Matrizennprmen. 267
4.2 Determinanten. 26?
ЖТ
4.2.1 Definitionen. 267
4.2.2
4.2.3
4.3 Tensoren. 270
4.3.1 Transformation, des Koöidmatensystems. 270
4.3.2 Tensoren
4.3.3 Tensoren mit speziellen.
4.3.3.1 Tensoren 2. Stufe. 272
4.3.3.2 Invariante Tensoren. 273
4.3.4 Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen. 274
4.3.4.1 Kovariante und kontravariante Basisvektoren. 274
4.3.4.2 Kovariante und komtravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe 274
4.3.4.3 Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren
2. Stufe. 275
4.3.4.4 Rechenregeln. 276
4.3.5 Pseudotensoren.'. 277
4.3.5.1 Punktspiegelung am. Koordinatenursprung. 277
4.3.5.2 Einführung des Begriffe Pseudotensor. 278
4.4 Lineare Gleichungssysteme.,. 279
4.4.1 Lineare Systeme, Austauschverfahren. 279
4.4.1.1 Lineare Systeme. 279
4.4.1.2 Austauschverfahren. 279
4.4.1.3 Lineare Abhängigkeiten . . . 280
4.4.1.4 Invertierung einer Matrix. 280
4.4.2 Lösung linearer Gleichlingssysteme. 280
4.4.2.1 Definition und Lösbarkeit . 280
4.4.2.2 Anwendung des Austauschverfahrens. 282
4.4.2.3 Cramersche Regel. 283
4.4.2.4 Gaußscher Algorithmus. 284
4.4.3 Überbestimmte lineare Gleictangssysteme. 285
4.4.3.1 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare
Quadratmittelprobleme .■. 285
4.4.3.2 Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme 286
4.5 Eigenwertaufgaben bei Matrizen . 286
4.5.1 Allgemeines Eigenwertproblem. 286
4.5.2 Spezielles Eigenwertproblem. 286
4.5.2.1 Charakteristisches Polynom . :_. 286
4.5.2.2
4.5.2.3 Hauptachsentransformation quadratischer Formen . 289
4.5.2.4 Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten. 291
4.5.3 Singulärwertzerlegung. 293
Algebra und Diskrete Mathematik 295
5.1 Logik. 296
5.1.1 Aussagenlogik. 295
5.1.2 Ausdrücke der Prädikatenlogik. . . . 298
5.2 Mengenlehre. 299
5.2.1 Mengenbegriff, spezielle Mengen. 299
5.2.2 Operationen mit Mengen. 301
5.2.3 Relationen und Abbildungen. 303
5.2.4 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen. 306
5.2.5 Mächtigkeit von Mengen. 307
Inhaltsverzeichnis
5.3 Klassische algebraische Strukturen. -308
5.3.1 Operationen. 308-1
5.3.2 Halbgruppen. 308
5.3.3 Gruppen. 309
5.3.3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften. 309
5.3.3.2 Untergruppen und direkte Produkte. . 310
5.3.3.3 Abbildungen zwischen Gruppen. 312
5.3.4 -Darstellung von Gruppen. 313
5.3.41 Definitionen
5.3.4.2 Spezielle Darstellungen . 313
5.3.4.3 Direkte Summe .von Darstellungen . . . 314
5.3.4.4 Direktes Produkt von Darstellungen. 315
5.3.4.5 Heduzible und irreduzible Darstellungen. 315
5.3'.4.6 Erstes Schursches Lemma . 316
5.3.4.7 Clebsch-Gordan-Reihe.■. . . 316
5.3.4.8 ' Irreduzible Darstellung der' symmetrischen Gruppe Sm. 316
5.3.5 Anwendungen von Gruppen. 317
5.3.5.1 Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente. 317
5.3.5.2 Symmetriegruppen. 317
5.3.5.3 Symmetrieoperationen bei Molekülen. 318
5.3.5.4 Symmetriegruppen in der Kristallographie. 320
5.3.5.5 Symmetriegruppen in der Quantenmechanik. 322
5.3.5.6 Weitere Anwendungsbeispiele aus der Physik. 322
5.3.6
5.3.6.1 ' Definitionen. . . 323
5.3.6.2 Unterringe, Ideale. 324
5.3.6.3 Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz. 324
5.3.6.4 Endliche Körper und Schieberegister .;. 324
5.3.7 yektorräume. 327
5.3.7.1 Definition . . . 327
5.3.7.2 Lineare Abhängigkeit. 327
5.3.7.3 Lineare Abbildungen. 327
5.3.7.4 Unterräume, Dimensionsförxnel -. . . . . 328
5.3.7.5 Euklidische Vektorräume, Euklidische Norm. 328
5.3.7.6 Lineare Operatoren in Vektorräumen . 329
5.4 Elementare Zahlentheorie. 330
5.4.1 ■ Teilbarkeit .■. . 330
5.4.1.1 Teilbarkeit und elementare Teilbarkeitsregeln. 330
5.4.1.2 Primzahlen .,./. 330
5.4.1.3 Teübarkeitskriterien. . . 332
5.4.1.4 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches 333
5.4.1.5 Fibonacci-Zahlen. 334 .
5.4.2. Lineare Diophantische Gleichungen . ,. . .-. 335
5.4.3 Kongruenzen und Restklassen. . . . 337
5.4.4 Sätze von
5.4.5 Codierungen.
5.4.5.1 Prüfeeichenverfahren . :. 342
5.4.5.2 Fehlerkorrigierende Codes. 343
5.5 Kryptologie. 346
5.5.1 Aufgabe der Kryptologie.;.,. 346
5.5.2 Kryptosysteme. 346
5.5.3 Mathematische Präzisierung.■. . 346
5.5.4
6.5.41
5.5.42
5.5.43 Vigmere-Öläfce. .
5.5.5
5.5.5J
5.5.5.2
5.5.6
5.5.7 Vei&itaenirÄSffleniffiAeni Schlüssel.
5.5.7J Konzept von Dffie
5.5.7.2
5.5.7.3 RSA-VeÄhien. 351
' 5.5.8
5.5.9
5.6
5.6.1 Definition. . ■. . 353:
. 5.6.2 Kongraenzrelationen,Mktoi!algebren. 353;
5.6.3 Homomorphismen. 353
5.6.4 Homomorphiesatz. 354
5.6.5 Varietäten. 354
5.6.6 Termalgebren, freie Algebren. 354
'5.7 Boolesche Algebren und Schaltalgebra. 355
5.7.1 Definition . .
5.7.2 Dualitätsprinzip . . . . . . . . . 355
5.7.3 Bndliche Boolesche Algebren . 356
5.7.4 Boolesche Algebren als Ordnungen. 356
5.7.5 Boolesche Funktionen, Boolesche Ausdrücke. .'. 356
- ' 5.7.6 Normalformen. 358
5.7.7 Schaltalgebra.■. 358
5.8 Algorithmen der Graphentheorie.-.
5.8.1 Grundbegriffe und Bezeichnungen . 1.•. . . . 361
: 5.8,2 Durchlauf ungen von tmgerichteten Graphen.364
, ' 5.8.2.1 Kantenfolgen. 364
5.8.2.2 EulerscheUnien •.,. 365
: 5.8.2.3' Hamüton-Kreise ;. 366
5.8.3 Bäume und Gerüste. . .:. 367
5.8.3.1 Bäume. . .:.-. 367
5.8.3.2' Gerüste . . . . .-.:-. 368
; 5.8.4 Matehings . . ;. . . . . . . . 369
5:8.5 Planare Graphen.
■ 5.8.6 Bahnen in gerichteten Graphen.•. 371
- 5.8.7 Ixansportnetze . , \ . . . . . . . v. .
!5.9 Puzzy-Logik .;. .".•.;. 374
• 5.9.1 Grundlagen der Puzzy-Logik ,.:. . . .■ .'. 374
5.9.1.1
5.9.1.2 Zugehörigkeitsfunktionen. . . . . i. . 375
5.9.1.3 Puzzy^Mengen . •. .: :.■-,.; . . . 377
5.9.2 Verknüpfungen unscharfer Mengen . 378
5.9.2.1 Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen . 379
5.9.2.2 ' Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen . . 379'
5.9.2.3 Kompensatorische Operatoren .;. . . . . . .
Inhattsverzeichnis
5.9.2.4
5.9.2.5 Unscharf
5.9:3 -Pezy-wertige Relationen .
5.9.3.1
5.9.3.2
5.9.4
5.9.5
5.9.6 Wissensbasierte
5.9.6.1 Methode
5.9.6.2 Methode Sugeno. 389
5.9.6.3 Kognitive Systeme. 390
5.9.6.4 Wissensbasiertes Interpolationssystem . 392
Dfflerentialrechnung
6.1 Differentiation von Punktionen einer Veränderlichen . . . 394
6.1.1 Differentialquotient. -394
6:1.2
'6,1.2.1 Ableitungen elementarer Punktionen. 395
6.1.2.2 Grundregeln für das Differenzieren. 395
6.1.3 Ableitungen höherer Ordnung. .401
6.1.3.1 Definition der Ableitungen höherer Ordnung. -401
6.1.3.2 Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Punktionen. 401
6.1.3.3 Leibnizsche Regel.,,.:. 401
6.1.3.4 Höhere Ableitungen von Punktionen in Parameterdarstellung . . . 402
6.1.3.5 . Ableitungen höherer Ordnung der inversen Punktion . 402
6.1.4 Hauptsätze der Differentiakechnung. . 403
6.1.4.1 Monotoniebedingungen . , .-. . . . .-. . 403
6.1.4.2- SafevonFermat. . . .-.■•.,. 403
6.1.4.3 Satevon.Rolle .-. . 404
6.1.4:4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . .:. 404
6.1.4.5 Safe von Taylor für Punktionen, von einer Veränderlichen . . 405
6.1.4.6 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung. 405
6.1.5 Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten. 405
6.1.5.1
6.1.5.2 Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes 406
6.1.5.3 Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Punk-
tiony = f(x) . .-.-. 406
6.1.5.4 Bestimmung der globalen Extremwerte. 407
. 6.1.5.5 Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Punktion . 407
6.2 Differentiation von Punktionen von mehreren Veränderlichen. 408
6.2.1 Partielle Ableitungen .:. 408-
.6.2.1.1 Partielle Ableitung einer Punktion. 408
6.2.1.2 Geometrische Bedeutung bei zwei Veränderlichen. .;. 408
6.2.1.3 Begriff des Differentials .-.:. .408
6.2.1.4 Haupteigenschaften des Differentials . . 409 '
6.2.1.5 Partielles Differential . . . -,-. .:. 410
6.2.2 Vollständiges Differential und Differentiale-höherer Ordnung . .'. 410
6.2.2.1 Begriff des vollständigen Differentials einer Punktion von mehreren
Veränderlichen (totales Differential). 410
6.2.2.2 Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen. 411
6.2.2.3 Satz von Taylor für Punktionen von mehreren Veränderlichen . . . 412 .
6.2.3 Differentiationsregeln für Punktionen von mehreren Veränderlichen . 413
6.2.3.1
6.2Л2
'6.2.4 SufesÄifoimi
feímatóoaea
6 2.41!
6.2.42
• '6.2.5 Extremwerte voa
6.2.5.1
612.5.2
612.5.3
Veränderliohea. 418
612.5.4 Bestimmung der ¡Extremwerte eiaer Fuaktioa voa n Veräaderlichea 418
6.2.5.5 Lösung von Approximationsaufgaben. 418
612.5.6 Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen 419
Unendliche Reihen 420
7.1 ZaMerdfelgeu.,.,. 420:
7.1.1
7.1.1.1
7.1.1.2
7.1.1.3 _ Besehräabte
7.1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen.■. '. 421
7.2 Haben mit konstaaten Gliedera. . 422
7.2.1 Allgemeine Konvergenzsätze. . .-. 422
7.2.1.1 Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen . 422
7.2.1.2 Allgemeine Sätze über die Konvergenz vonReihen. 423:
7.2.2 Konvergenzkriterien für
7.2.2.1 Vergleichskriterium. 423
7.2.2.2 Quötientenkriterium von d'Alembert. 424
7.2.2.3 Wurzelkriterlum voa Cauchy.
7.2.2.4 Integralkriterium von Cauchy'. 425
7.2.3 Absolute und bedingte Konvergenz. 425
7.2.3.1 Definition . . .;.;.'. _ . .-. -425
7.2.3.2 . Bigenschaftea absolut koavergeater Reihen. 426
7.2.3.3 Alternierende Reihen . 426
7.2.4 Einige spezielle Reihen. . 427
7.2.4.1 Summeffisrerte einiger Reihen mit koBstaaten Gliedern. 427
7.2.4.2 Beraoullische und Bulersche Zahlen. 428
7.2.5 Absehätzung des Reihenrestes.:. 429
7.2.5.1 Abschätzung mittels
7.2.5.2 Alternierende konvergente. Reihen .'.,. 430
7.2.5.3 Spezielle Reihen . . 430
7.3 Bunktionenreihen .,.,.,.,.,.;-. 430
7.3.1/ Definitionen . . . ,-,'. 430
7.3.2 Gleichmäßige Konvergenz. ; .
7.3.2.1 Definition, Satz voa Weierstrass .-■.■. . '. . 431
7.3.2.2 BigeaschaftenjgleichiaäSigkonvergenter Reihen . .-,.•. . . . . 432
7.3.3 Potenzreihen. . . .,.,;. 432
7.3.3.1 Defiaitioa,,KoavergeHZ./. . , . . . , . . .'.,, 432
• 7.3.3.2 RechneamitPotenzreihea .,.,. .,.' . 433
7.3.3.3 Entwicklung in "Äylor-Reihen, MacLaurinsche Reihe . 434
7.3.4 Näherungsformem ._. 435
Inhattsverzeicknis XIX
7.3.5 Asymptotische
7.3:.51
7.3.5.2 Asymptotische
7,4 Fourier-Reihen .•.".'. 437
7Л.1
• 7.4.1.1 Grandbegriffe'.:.:.;.,'. 437
7.41.2 Wichtigste Eigenschaften von Foutier-Reihen . . . 438
7.4.2 Koeffizientenbestimmung für symmetrische Funktionen. . 439
7.42.1 Symmetrien verschiedener Art. 439
7.4.2.2 Formen der Entwicklung in eine Fourier-Reihe. 440
7.4.3 Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden. 441
7.4.4 Fourier-Reihe und
7.4.5 Hinweise zur Tabelle einiger Fottfier-Entwicklüngen . 442
Integralrechnung . 444
8.1 Unbestimmtes Iategral. .'. 444
8.1.1 Stamanfunktion oder Integral. 444
8.1.1.1 Unbestimmte Integrale ;■.:■:. 445
8.1.1.2 Integrale elementarer Funktionen '. '. 445
8.1.2 Integrationsregeln. 445
8.1.3 Integration rationaler Funktionen . .
8.1.3.1 Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome). 449
8.1.3.2 Integrale gebrochenrationaler Funktionen .;. 449
8.1.3.3 Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung . 449
8.1.4 Integration irrationaler Funktionen . :■■. ,. 452
8.1.41 Substitution zur Riiddrühruttgauf Integrale rationaler Funktionen . 452
8.1.4.2 Integration bmomischer Integranden. 453
8.1.4.3 Elliptische Integrale . 453
8.1.5 Integration trigonometrischer Funktionen : .•. 455
8.1.5.1 Substitution . 455
8.1.5.2 Vereinfachte Methoden .:.455
8.1.6 Integration weiterer transzendenter Funktionen . . . 456
8.1.6.1 Integrale mit Exponentialfunktionen. . 456
8.1.6.2 Integrale mit Hyperbelfunktionen . . 456
8.1.6.3 Anwendung der partiellen; Integration ;. . 457
8.1.6.4 Integrale transzendenter Funktionen . 457
8.2. Bestimmte Integrale . . .'■. . .■ : . . . . . :. 457
8.2.1 Grundbegriffe, Regeln und Sätze:. '457
8.2.1.1 Definition und Existenz des bestimmten Integrals. 457
8.2.1.2 Eigenschaften bestimmter Integrale. 458
8.2.1.3 Weitere Sätze über Integratiönsgrenzen. 460
8.2.1.4 Berechnung bestimmter Integrale. 462
8.2.2 Anwendungen bestimmter Integrale . -. 464
8.2.2.1 Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals : . . 464
8.2.2.2 Anwendungen in der Geometrie ;. . '465
, 8.2.2.3 Anwendungen in Mechanik und Physik. 467
8.2.3 Uneigentliche Integrale, Stidtjes-imdLebesgue-Integrale. 470
8.2.3.1 Verallgemeinerungen des Integralbegriffe . . 470
8.2.3.2 Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen . 471
8.2.3.3
8.2.4
8.2.4-.1
8.2.4.2
8.2.4.3
8.2.5
ЕЛЛ
8.3.1.1
8.3J.2
8.3.1.3 Bereohaiiag des I&irvenintegrals 1. Art . . . . 48t
8.3.Ш.4
8.3.2 Kurvenintegiale2. Art. .,-. 482
8.3.2.1 iDefmitionen. 482
8.3.2.2
8.3.2.3 Berechnung der Kurvenintegrale 2. Art . 483
8.3.3 Kurvenintegrele
8.3.3.1 Definition. 484
8.3.3.2 Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art . . 484
8.3.3.3 Umlaufintegral.■. . 485
8.3.4 Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg. 485
8.3.4.1 Zweidimensionaler Fall. 485
8.3.4.2 Ejdstenz der Stemmfunktion . . . . . . 486.
8.3.4.3 Dreidimensionaler Fall. . '. . 486
8.3.4.4 Berechnung der Stammfunktion. 486
8.4 Mehrfachintegrale. 488
8.4.1 Doppelintegral.' 488
8.4.1.1 Begriff des Doppelintegrals. 488
8.4.1.2 Berechnung des Böppelintegrals. 489
8.4.1.3 Anwendungen von
8.4.2 Dreifachintegral-. 491
8.4.2.1 Begriff des DretfaÄntegrals- . . . 491
8.4.2.2 Berechnung des Dreifachintegrals. 492
8.4.2.3 Anwendungen von Dreifachintegralen. 496
8.5 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . 496
•■ 8.5.1 Oberflachenmtegrale 1. Art. 496
8.6.1.1 . Begriff des OberfÄehenintegrals I.Art. ".■. 496
8.5.1.2 Berechnung des
8.5.1.3 Anwendungen
8.5.2 Oberfläehenintegrale2.Art . ,'.-. . . . . . . 499
■ ■ 8.5.2.1 Begriff des
8.5.2.2' Berechnung des Oberflächenintegrals 2. Art. 601
; ■ 8.5.3 Oberflaehenmtegral allgemeiner Art. . . . .''. . 502
8.5.3.1 Begriff des Oberflächenintegrals allgemeiner Art . . '. . 502
-: 8.5.3.2 Eigenschaften des Oberflichenintegrals. . : 502
9 Differentialgleichungen . ■ 504
' .9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen . '604
; '■ 9.1.1 Differentialgleichungen^ I.Ordnung.•.■■:.'. . 505
9.1.1.1
9.1.1.2 Wicht%e Integrationsmethoden . 506
9.1.1.3 Implizite Differenäalgleichungen . ¿.
9.1.1.4
9.1.1.5 Näherungsmethodenzur Integration von Differentialgleichungen
■ I.Ordnung . .v. .
Inìiattsverzcichnis
9.1.2
D^erentiaJgleietangen
9Л.2.1
911.2:2
9.1.2.3
9.1.2.4 Lösm^ linearer
9.1.2.5 Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizien¬
ten . . 522
9.1.2:6
9.1.3 Randwertprobleme . 532
9.1.3.1
9;1.3.2
9.1.3.3
9.1.3.4
9.2 Partielle Differentialgleichungen. 535
9.2.1 Partielle
9.2.1.1 Lineare
9.2.1.2 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen
9.2.2 Lineare
9.2.2.1 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ord-
nung mit zwei' unabhängigen Veränderlichen. . 540
9.2.2.2 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ord¬
nung mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen .
9.2.2.3 Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen
2. Ordnung . . . .'; . . . . .-. . 543
9.2.3 Partielle Differentialgleichungen aus.Naturwissenschaft und Technik . 554
9.2.3.1 Problemstelluagen und Randbedingungen. . 554
9.2.3.2 Wellengleichung. 555
9.2.3.3 Wärmeleituhgs- und Diffusionsgleichung;für ein homogenes Medium ■ 556
9.2.3.4 Potentiälgleichüng. 557
9.2.3.5
9.2.4 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen: Soltonen, periodische Muster
und Chaos. . . . . . . . . . . . 566
. 9.2.4.1 Physikalscb-mathematiscbe Problemstelung . . . 566
9.2.4.2
9.2.4.3 NiehtlineareSehrödinger^Gleichung .;. 569
9.2.4.4 Sinus-Gordon-Gleichung. 569
9.2.4.5 Weitere nichtlineaieEvolutionsgleichuagen mit Soltonlösungen . . 571
10 Variationsrechnung . ■ 572
10.1 Aufgabenstelung. ; . 572
10.2 Historische Aufgaben .'.■.: . 573
10¿2.1
10.2.2 Brachistodhronenproblem .'.;. ,573
10.3 Variationsaufgaben mit Punktionen einer Veränderlchen .■.:.-. 574
10.3.1 Einfache Variationsaufgabe und ibctreniale . . . 574
10.3.2 Bulersote Differentialgleichung der Variationsrechnung . . . 574,
10.3.3 Variationsaufgaben mit
10.3.4 Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen. 577
10.3.5 Variationsaufgaben mit. mehreren-gesuchten Punktionen. 577
10.3.6 Variationsaufgaben in Parameterdaicstellufflg. 578
10.4 Variationsaufgaben mit Punktionen von mehreren Veränderlchen. 579
M.4J
І014.2
Ш0І.5
KOJ®
S0j6.î ÎBfcste
Lineare Integralgleichuiigeii 583
11.1 Hnföhrung
11.2
11.2.1 Integralgleichungen
11.2.2 Methode der sukzessiven Approsodmation,
11.2.3 ßrednolmsche
11.2.3.1 Fredholmsehe Lösungsmethode.
11.2.3.2
11.2.4 Numerische Verfahren für Rredholmsche Integralgleichungen 2. Art . 592
11.2.4.1 Approximation des Integrals.,. 592
11.2.4.2 Kernapproximation. 594
11.2.4.3 Kollokationsmethode. 596
11.3 Redholmsche
11.3.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen . . 598'
11.3.2 Begriffe, analytische Grundlagen. •. 599'
11.3.3
11.3.4 'Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art. 602
11.3.5 Konstruktion zweier
11.3.6 IteraitivesVerrahren. .--. . 604
11.4 Vblterraschelntegralgleichimgen': ; . 605
11.4.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . 605
11.4.2 Lösung durch Differenfäatioa. 606
11.43 Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art 607
11.4.4 Volterrasche Integralgleichungen vom Faltungstyp .'. 608
11.4.5 Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen 2. Art . . . . . . 609
11.5
11.5.1 AbelscheIntegralgleichung . \ .•./. .'. 611
11.5.2
11.5.2.1 Formulierung der Aufgabe. 612
11.5.2.2 . Ebdsiienz einer Lösung. 613
11.5.2.3 ■Bigenschaftendes'Gäuehy-Integrals . ./. 613
11.5.2.4 ¡Silbertsehes Randwertproblem. 613
11.5.2.5 Lösung des Hilbertschea Randwertproblems ./. 614
11.5.2.6 Lösung der charakteristischen Integralgleichung \. . 614
12
■12.1 Vektorräume.: : . .4. 616
; - 12.1.1 Begriff des Vektorraumes . . . . . .■.-.'. . 616
12.1.2 Lineare und aflfe-Kneare Teilmengen. .
■ 12.1.3 Linear unabhängige Elemente' '. -. -, . . 619
12.1.4 Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle. '.
12.1.4.1 Konvexe Mengen.■ . . . 619
: 12.1.4.2 Kegel . .'. 620
12.1.5 Lineare Operatoren uad^^ Funktionale. . . 620
12.1.5.1 Abbildungen. . •. 620
Inhattsverzeichnis
12.1.5.2 Homomorphismus und Endomorphismus . 621
Ш;б&
Шиб КошрІ8!нЯіа(ііоа'гМ1вї¥еМоиї8,ише
12.1.7 Geordnete: VeMwäume. . .621
■ 12.1.7.1 Kegel
12,1і7.2
12.1.7.3 Positive Operatoren. . . .•. . 623
12.1.7.4 Vektorverbfcde. 623
12.2 Metrische Räume: . .■.'. 624
12.2.1 Begriff des
12.2.1.1 Kugeb, Umgebungen imd offene Mengen. 626
12.2.1.2 Konvergem von Folgen im metrischen RWta. 626
12.2.1.3 Abgeschlossene Mengen und. Abschließung . .•.,.' 627
12.2.1.4 Dichte Teilmengen und
12.2.2 Vollständige metrische Räume • • .--. .■.■.■'-. 628
• 12.2.2.1 Cauchy-Folge. 628
12.2.2.2 Volstäadiger metrischer Raum.,.' . . 628
12.2.2.3 Einige fundamentale Sätzem vollständigen metrischen Räumen . 628
12.2.2.4 Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips. 629
12.2.2.6 Vervollständigung eines metrischen Raumes. 631
12.2.3 Stetige Operatoren. 631
12.3 Normierte Räume.,. 631
12.3.1 Begriff des,normierten Raumes-. 631
12.3.1.1 Axiome des normierten Raumes . . ._. 631
. ■ ■ 12.3.1.2 Einige Eigenschaften normierter Räume. . 632
12.3.2 Banach-Räume. 632
12.3.2.1 Reihen in normierten Räumen. 632
12.3.2.2 Beispiele von Banach-Räumen. 633
12.3.2.3 Sobolew-Räume. 633
12.3.3 Geordnete normierte Räume . , . 634
12.3.4 Normierte Algebren. 634
12.4 . Hilbert-Räume . . .;. 636
12.4.1' Begriff des BHbert-Raumes . . . 635
12.4.1.1 Skalarprodukt. . 636
12-.4.1.2 Unitäre Räume ^und einigerihrer Eigenschaften. 635
12.4.1.3 Hilbert-Raum . . :. . 636
12.4.2 Orthogonalität . . . ,.'.-. 636
12.4.2.1 EigensehaftenderOrthogonalität . 636
12.4.2.2 Orthogonale Systeme. 637
12.4.3 Pburier-Reihen im Bilbert-Raum. 638
.12.4.3.1
12.4.3.2 Parsevalsche Gleichung, Satz von Riesa-Pischer . . 638
12.4.4 Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert-Räume . . . . . . _ . . . .-> . 639"
12.5 Stetige lineare Operatoren und Funktionale. 639
12.5.1
12.5.1.1 Beschränktheit und Norin.linearer Operatoren . 639
12.5.1.2 Raum linearer stetiger Operatoren .-. .'. 640
12.5.1.3 Konvergenz von Operatorenfolgen. 640
12.5.2 Lineare stetige Operatoren in Banaeh-Räumen. 640
12.5.3 Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren.
12.5.3.1 Resolventenmenge und Resolvente eines Operators . . . 642
125.3.2 Spektrum eines Operators. . . 643
12.5.4 Stetige Idmeare
Ш.5АЛ
12,5.42 Stetige
Ш2.5.4.3
ІЙ.5.5
Ü12.5.6 Äennung konvexer Mengen.,.,,.,,.,. . , 641
312.5.7
|2'.'6
12.6.1
12.6.2
■■■'. 12.6.3 SelbstadjiungiertieOperatoren. . ,. 6#
JC2.6Ä1 Positiv
12.6.3.2 Projektoren im Hilbert-Raum. 648
■■■ 12.7 Kompakte Mengen und kompakte Operatoren.: . :. 64S
12.7.1 Kompakte Teilmengen in normiertes Räumen . . ¡, ,. . . . . . 648
12.7.2 Kompakte Operatoren. 649
" . 12.7.2.1 Begriff des kompakten Operators .,. 6»
12.7.2.2 Eigenschaften linearer kompakter Operatoren. 64f
12.7.2.3 Schwache Konvergenz von Elementen., . 649!
12.7.3 Predholmsche Alternative. 65©
. '■ 12.7.4 Kompakte Operatoren im Hilbert-Raum. . ,. 650-
12.7.5 Kompakte selbstadjungierte Operatoren . 65©
12.8 Nichtlineare Operatoren. 6531
12.8.1 BeispielenieatlmearerOperatoren . . . . . . .■., . 651
" 12.8.2 Differenzierbarkelt nichtlinearer Operatoren.
!■■:■ 12.8.3
•: 12.8.4 Schaudersches Pixpunktprinzip. 653
12.8.5 Leray-Schauder-Theorie, ;■■.-. .:., . 65a
12.8.6 Positive mchtlmeare Operatoren.654
12.8.7 Monotone Operatoren in Banach-Räumen .;. 655
12.9 Maß und Lebesgue-Integral. ■.-. 65&
12.9.1
12.9.2 Meßbare Funktionen. 657
12.9.2.1 Meßbare Pcmktioa' .;.'. 657
12.9.2.2 Eigenschaften der Klasse der meßbaren Punktionen . . 657
12.9.3.Integration.;. 657
12.9.3.1 Definition des Integrals. 657
12.9.3.2 Einige Eigenschaften des Integrals . . ;. 658
12.9.3.3 Konvergenzsätze '. 658
.12.9.4 #4Räume . . . '.•. . . . . '. . . .' . . 659
■■.'. : 12.9.5 Distributionen.'. . ,. 660'
■: • 12.9.5.1 Formel der partiellen Integration . . . . 660
12.9.5.2
"- 12.9.5.3 Distribution. 661
.!■■ 12.9.5.4 AbleitungÄerDistribution .;. . 661
13- Vektoranalysis und Feldtheorie 663
■.■■■'13.1 Grundbegriffe der Feldtheorie,. . . . . .'. . . . . . 663
:. 13.1.1 Vektorfunktion einer skalaren^^ Variablen .;. 663
; 13.1.1.1 Definitionen .„.;.,. 663
13.1Л.2
13.1,1.3' Differentiationsregem für Vektoren . . 663
Inhaltsverzeichnis XXV
13.1.1.4 Taytor-BntwicklungfiirVektDrftHfttienen.;. 864
13.1.2і
13.1.2.1 Skätares Feld oder sMaie
13.1.2.2 WiÄgeEffle^stalarerielder. 664
13.1.2.3 KQ©rdi|щtшdмs6eЖшgV0шSkaiaJгЫdem. / .■. 665
13.1.2.4 NiveaufläÄeii
13.1.3 Vektorfelder. 666
13.1.3.1
13.1.3.2 Wichtige
13.1.3.3
13.1.3.4 Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen . 668
13.1.3.5 Feldlinien. 669
13.2 Bäumliche
13.2.1 Bichtungs- und Volumenableitung .: 670
13.2.1.1 Richttmgsableitung eines skalaren Feldes . . . :.' 670
13.2.1.2 ffichtungsableitung eines vektoriellen Feldes. 670
13.2.1.3 Volumenableitung oder räumliche Ableitung. 671
13.2.2 Gradient eines Skalarfeldes.;. 671
13.2.2.1 Definition des Gradienten . . ■.'. 671
13.2.2.2 Gradient und Richtungsableitung . 672
Í3.2.2.3
13.2.2.4 Weitere Eigenschaften des Gradienten. 672
13.2.2.5 Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten. 672
13.2.2.6 Reehenregeln. 673
13.2.3 Vektorgradient . 673
13.2.4 Divergenz des Vektorfeldes. s. 673
13.2.4.1 Definition der Divergenz. 673
13.2.4.2 Divergenz in verschiedenen Koordinaten . 674
" 13.2.4.3 Regem zur Berechnung der Divergenz. 674
13.2.4.4 Divergenz eines ZentralfeMes. 674
13.2.5 Rotation des Vektorfeldes. 675
13.2.5.1 Definitionen der Rotation. 676
13.2.5.2 Rotation in verschiedenen Koordinaten . 676
13.2.5.3 Regeln zur Berechnung der Rotation.676
13.2.5.4 Rotation
13.2.6 Nablaoperator, Laplace-Operator. 677
13.2.6.1 Nablaoperator. . . . 677
13.2.6.2 Rechenregela für den Nablaoperator. 677
13.2.6.3 Vektorgradient. : . . 678
13.2.6.4 Zweifache Anwendung des Nablaoperators . . . . .,. . . . . . 678
13.2.6.5 baplace-Operator. . 678
13.2.7 Übersicht zu den räumlichen Differentialoperatiönen. 679
13.2.7.1 Prinzipielle Verknüpfimgen.und Ergebnisse
ren . .".'.'.-.".'. 679
13.2.7.2 Recheniegeln für
13.2.7.3 Vektoianalytisehe Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und Kugel¬
koordinaten .-.•. . . . . .-. . . 680
13.3- Integration^Vektorfeldern. . .■. 681
. 13.3.1 Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld -.-.
' 13.3.1.1 Kurvenintegral im Vektorfeld . . . . .' . 681
13.3.1.2 Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik .-.'. 682
13.3.1.3 Eigenschaften des Kurvenintegrals. . 682
XXVI
І
13.3.1.4
13.3.1.5 Umlauf integral eines Vektorfeldes. 683
13.3.1.6 Konservatives oder PotentiaMeld. 683
13.3.2
13.3.2.1 Vektor eines ebenem Plächenstiiekes. . 684
13.3.2.2 Beredaung vott Oberiäohenetegralen . . . 685
13.3.2.3 Oberfiäobenimtegraleimd Eluß von Feldern. 685
13.3.2.4 Oberflächenintegrale im kartesischen Koordinaten als
Oberfläohenintegrale 2. Art. 686
13.3.3 Integralsätze. 687
13.3.3.1 Integratoatz und Integralformel von Gauß. 687
13.3.3.2 Integralsatz von
13.3.3.3 Integralsätze von Green. 688
13.4 Berechnung von Feldern. 689
13.4.1 Reines Quellenfeld. 689
13.4.2 Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld. 689
13.4.3 Vektorfelder mit punktförmigen Quellen. 690
13.4.3.1 Coulomb-Feld der Punktladung., . 690
13.4.3.2 Gravitationsfeld der Punktmasse . 690
13.4.4
13.4.4.1 Diskrete Quellenverteilimg . '. 690
13.4.4.2 Kontinuierliche Quellenverteilung. 691
13.4.4.3 Zusammenfassung .:. 691
13.5 Differentialgleichungen der Feldtheorie .■. 691
13.5.1 Laplacesche Differentialgleichung. 691
13.5.2 Poissonsche Differentialgleichung. 691
14 Funktionentheorie 693
14.1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 693
14.1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit. 693
14.1.1.1 Definition der komplexen Funktion. 693
14.1.1.2 Grenzwert der komplexen Funktion. 693
14.1.1.3 Stetigkeit der komplexen Funktion. 693
14.1.1.4 Differenzierbarkeit der komplexen Funktion. 693
14.1.2 Analytische Funktionen. 694
14.1.2.1 Definition der analytischen Funktion . 694
14:1.2.2 Beispiele analytischer Funktionen. 694
14.1.2.3 Eigenschaften analytischer Funktionen. 694
14.1.2.4
14.1.3 Konforme Abbildung. 696
14.1.3.1 Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung. 696
14.1.3.2 Einfachste konforme Abbildungen. 697
14.1.3.3 Schwarzsches Spiegelungsprinzip. 703
14.1.3.4 Komplexe Potentiale .•. .703
14.1.3.5 Superpositionsprinzip. 705
14.1.3.6 Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene. 706
14.2 Integration im Komplexen . .-. 707
14.2.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral. 707
14.2.1.1 Definition des Integrals im Komplexen. 707
14.2.1.2 Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale . 708
14.2.2 Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz der Funktionentheorie. 710
14.2.2.1 Integralsatz von Gauchy für einfach zusammenhängende Gebiete . 710
Inhaltsverzeichnis
14.2.2.2 Imtegralsatz von Cauehy für mehrfach zusammenhängende Gebiete 710
14:2.3
14.2.3.1
14:2.31.2
$4.3
14.3.1
14.3.1.1 Konvergenz
Ш4.3.1.2
14.3.O
14.3.2 Taylor-Reihe. 713
14.3.3 Prinzip der analytischen Fortsetzung . . . .•. 714
14.3.4 Laurent-Etatwicktang . . 714
14.3.6 Isolierte singul&e Stellenund der Residuensatz . . . 716
14.3.5.1 Isolierte
14.3.5.2 Meromorphe Punktionen . 715
14.3.5.3 Elliptische Punktionen ;. 716
14.3.6.4 Residuum . ^. 716
14.3.5.5 Residuensatz. 716
14.4 Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen . . .■. 717
14.4.1 Anwendung der Cauchyschen Integralformela. . 717
14.4.2 Anwendung des Residuensatzes. 717
14.4.3 Anwendungen des Lemmas von Jordan . . . . 717
14.4^.3.1 Lemma von Jordan. 717
14.4.3.2 Beispiele zum Lemma von Jordan. 718
14.6 Algebraische und elementare transzendente Punktionen. 720
14.5.1 Algebraische Punktionen .
.14.5.2 Elementare transzendente Punktionen .'. 720
14.5.3 Beschreibung von Kurven in komplexer Form. . 723
14.6 Elliptische Punktionen. 724
14.6.1 Zusammenhang mit elliptischen Integralen. 724
14.6.2 Jacobische Punktionen. .-.- .v. 726
14.6.3 Thetafunktionen. .;.•
14.6.4 WeierstrassscheFunktionen.;. 728
15 Integraltraosformationen 730
' 15.1 Begriff der Integraltransformation .■. 730
15.1.1 Allgemeine Definition der Integraltransformationen. 730
16.1.2 Spezielle Integraltransformationen-. 730
16.1.3 Umkehrtransformationen .,.<.■. 730
16.1.4 Linearität der Integraltransformationen. 732
16.1.6
15.1.6 Anwendungen der Integraltransformationen ;.-.
15.2 Laplace-Iransformation .;.,.,._. 733
15.2.1 Eigenschaften der Laplace-Transformation. 733
.15.2.1.1 Laplace-lransformierte, Qxig&ial-und Bildbereieh . .'. 733
15.2.1.2 RechenregeM zur Laplace^-Iransformation. 734
15.2.1.3 Bildfunktionen spezieller Punktioneu. 737
15.2.1.4 Diracsche Delta-Punktioa und Distributionen , „. 740
15.2.2 Rücktransformation in den. Orjginalbereieh. .:. 741
16.2.2.1 Rücktransformation mit Hilfe vonTabellen . . .,. 741
15.2.2.2 Partialbruchzerlegung . . '. . :.'. . 741
15.2.2.3 Reihenentwicklungen . .•.-.•. . : 742
I
15i2.2.4
15.2.3 Lösimg vom DÄereniiaagtoiokingen mit
15.2.3il Gewöhriiche DMferentifttgleiclemgeB mit koastanten Koeffizienten 744
15.2.3.2 Gewöhnliche
ten. 745
15.2.3.3 Partielle
15.3 Fourier-Tramsforiaation.•. 747
15.3.1 Eigenschafta» der
15.3.1.1
15.3.1.2 Fomrier-Tcansformation und Umkehrtransformation. 748
15.3.1.3 Rechenregeln zur
15.3.1.4 Bildfunktionen spezieller Funktionem. 753
15.3.2 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Fourier-lransfonnation . . 754
15.3.2.1 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen. 754
15.3.2.2 Partielle Differentialgleichungen. 755
15.4 Z-Transformation. 757
15.4.1 Eigenschaften der Z-Transformation. 757
15.4.1.1 Diskrete Funktionen. 757
15.4.1.2 Definition der Z-Transformation. 757
15.4.1.3 Rechenregeln.'. . 758
15.4.1.4 Zusammenhang mit der Laplace-Tcansformation. 759
15.4.1.5 Umkehrung der Z-Transformation. 760
15.4.2 Anwendungen der Z-Transformation. 761
15.4.2.1 Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen. 761
- 15.4.2.2 Differenzengleichung 2. Ordnung (Anfangswertaufgabe). 762
15.4.2.3 Differenzengleichung 2. Ordnung (Randwertaufgabe). 763
15.5
15.5.1 Signale. 763
15.5.2
15.5.3
15.5.4 Diskrete
15.5.4.1 Schnelle
15.5.4.2 Diskrete Haar-Wavelet-Transformation. 766
15.5.5 Gabor-Transformation. 766
15.6 Walsh-Funktionen. 767
15.6.1 Treppenfunktionen.'., . . . . 767
15.6.2 Walsh-Systeme. 767
16 Wahrscheinlichkeitsrechnimg und mathematische Statistik 768
16.1 Kombinatorik. 768
16.1.1 Permutationen. 768
16.1.2 Kombinationen . . . .■. 768
16.1.3 Variationen. 769
16.1.4 ZusammenstelluiQg der Formeln der Kombinatorik '., . . . 770
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung . ._. 770
16.2.1 Ereignisse, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten. 770
16.2.1.1 Ereignisse . . 770
16.2.1.2 Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten. 771
16.2.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von
16.2.2 Zufallsgrößen,. Verteütmgefunktion. 774
16.2.2.1 Zufallsveränderliche. 774
16.2.2.2 Verteilungsfunktion. 774
Inhaltsverzeichfm XXDC
16.2.2.3 Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffeche Ungleichung . . 776
16.2.2.4 Mehrdimensionale Zufallsverättderliche. 777
16.2.3 Diskrete Verteilungen . . 777
16.2.3.1 Binomifllverteilung. . . 778
16.2.3.2
16.2.3.3 Poisson-Verteilung. 780
16.2.4 Stetige Verteilungen. 780
16.2.4.1 Normalverteilung. 780
16.2.4.2 Normierte Normalverteilung, Gaußsches Fehlerintegral. 782
16.2.4.3 Logarithmische Normalverteilung. 782
16.2.4.4 Exponentialverteilung. 783
16.2.4.5 Weibull-Verteilung. 784
16.2.4.6 ^-Verteüung. 785
16.2.4.7 Fisher-Verteilung.'. 785
16.2.4.8 Student-Verteilung. 786
16.2.6 Gesetze der großen Zahlen,'Grenzwertsätze. 787
16.2.5.1 Gesetz der großen Zahlen von
16.2.5.2 Grenzwertsatz von Lindeberg-Levy . . . .'. 788
16.2.6
16.2.6.1 Grundbegriffe, Markoffsche Ketten. 788
16.2.6.2 Poisson-Prozesse. 791
16.3 Mathematische Statistik . 793
16.3.1 Stichprobenfunktionen. 793
16.3.1.1 Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor. 793
16.3.1.2 Stichprobenfunktionen. 794
16.3.2 Beschreibende Statistik. 795
16.3.2.1 Statistische Erfassung gegebener Meßwerte . 795
16.3.2.2 Statistische Parameter. 796
16.3.3 Wichtige Prüfverfahren. 797
16.3.3.1 Prüfen auf Normalverteilung. . 797
16.3.3.2 Verteilung der Stichprobenmittelwerte .'. 799
16.3.3.3 Vertrauensgrenzen für den Mittelwert. 800
16.3.3.4 Vertrauensgrenzen für die Streuung. 801
16.3.3.5 Prinzip der Prüfverfahren .~. 802
16.3.4 Korrelation und Regression. 802
16.3.4.1 Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen. 802
16.3.4.2 Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen. 803
16.3.4.3 Mehrdimensionale Regression. 804
Í6.3.5
16.3.5.1 Simulation. 806
16.3.5.2 Zufallszahlen. 806
16.3.5.3 Beispiel für eine
16.3.5.4 Anwendungen der Monte-Carlo-Methode in der numerischen
Mathematik. 808
1.6.3.5.5 Weitere Anwendungen der Monte-Carlo-Methode. . 810
16.4 Theorie der Meßfehler. 811
16.4.1 Meßfehler und ihre Verteilung , . . 811
16.4.1.1 Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen. 811
16.4.1.2 Meßfehlerverteilungsdichte. 811
16.4.1.3 Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen. 813
16.4.1.4 Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen. 816
16.4.1.5 Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit . 816
XXX InkßMsiterzeickms
16.4.1.6
16.4.2 PeMarfortpflaazueg
16v4.2.1 GaußseheBFehlerfortpIamamagsgesetz. . 818
16.4.2.2 Fehleranalyse. 819
17 Dynamische Systeme und Chaos 821
17.1 Gewöhnliche Differentialgleiehüngen tmd Abbildungen . . . 821
17.1.1 Dynamische Systeme. 821
17.1.1.1 Grundbegriffe. 821
17.1.1.2 Invariante Mengen. 823
17.1.2 Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen . 824
17.1.2.1 Existenz des Flusses und Phasenraufflstruktur. 824
17.1.2.2 Lineare Differentialgleichungen . 825
17.1.2.3 Stabilitätstheorie. 827
17.1.2.4 Invariante Mannigfaltigkeiten. 830
17.1.2.5
17.1.2.6
17.1.3 Zeitdiskrete dynamische Systeme. 836
17.1.3.1 Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen. 836
17.1.3.2 Invariante Mannigfaltigkeiten. 836
17.1.3.3
17.1.4 Strukturelle Stabilität (Robustheit). 837
17.1.4.1 Strukturstabile Differeatialgleich'ungea. 837
17.1.4.2 Strukturstabile zeitdiskrete Systeme. 838
17.1.4.3
17.2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren. 840
17.2.1 Wahrscheialichkeitsmaße auf Attraktoren. 840:
17.2.1.1 Invariantes Maß. 840
17.2.1.2 Elemente der Ergodentheorie . .'. 841
17.2.2 Entropien. 843
17.2.2.1
17.2.2.2 Metrische Entropie. 843
17.2.3 Lyapunov-Exponenten. 844
17.2.4 Dimensionen . . ■. 845
17.2.4.1 Metrische Dimensionen. 845
17.2.4.2 Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen. 848
17.2.4.3 ' Lokale Hausdorff-Dimension nach
17.2.4.4 Beispiele von Attraktoren . 850
17.2.5 Seltsame Attraktoren und Chaos. 852
17.2.6 Chaos in eindimensionalen Abbildungen.'. 852
17.2.7 Rekonstruktion der Dynamik aus
17.2.7.1 Grundlagen, Rekonstruktionen mit genetischen Eigenschaften . . . 853
17.2.7.2 Rekonstruktionen mit prävalenten Eigenschaften . 854
17.3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos. 856
17.3.1 Bifurkationen in Morse^Smale-Systemen. 85.6
17.3.1.1 Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen. 856
17.3.1.2 Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit. 861
17.3.1.3 Globale Bifurkationen . 864
17.3.2 Übergänge zum Chaos. 865
17.3.2.1 Kaskade von Periodenverdopplungen. . 865
17.3.2.2 btermittenz. 865
17.3.2.3 Globale homoldine Bifurkationen. 866
XXXI
17.3.2.4 Auflösung eines
18 Optimierung • 873
18.1 Lineare Optimierung. 873
18.1.1 Problemstellung und geometrische Darstellung.'. 873
18.1.1.1 Formen der linearen Optimierung. 873
18.1.1.2 Beispiele und graphische Lösungen. 874
18.1.2 Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform . 875
18.1.2.1 Ecke und Basis. 875
18.1.2.2 Normalform der linearen Optimierungsaufgabe. 877
18.1.3 Simplexverfahren. 878
18.1.3.1
18.1.3.2 Übergang zum neuen
18.1.3.3 Bestimmung eines ersten
18.1.3.4 Revidiertes Simplexverfahren . 881
18.1.3.5 Dualität in der linearen Optimierung. 882
18.1.4 Spezielle lineare Optimierungsprobleme. 884
18.1.41 Transportproblem. 884
18.1.4.2 Zuordnungsproblem. 886
18.1.4.3 Verteilungsproblem'. 887 .
18.1.4.4 Rundreiseproblem. 887
18.1.4.5 Reihenfolgeproblem. 887
18.2 Nichtlineare Optimierung. 888
18.2.1 Problemstellung und theoretische Grundlagen. 888
18.2.1.1 Problemstellung. 888
18.2.1.2 OptimaUtätsbedingungen . 888 ,
18.2.1.3 Dualität in der Optimierung. 889
18.2.2 Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben. 890
18.2.2.1 Konvexe Optimierung . 890
18.2.2.2 Quadratische Optimierung. 890
18.2.3 Losungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben. 891
18.2.3.1 Verfahren von Wolfe. 891 -
18.2.3.2 Verfahren von Hildreth-d'Esopo. 893
18.2.4 Numerische Suchverfahren. 893
18.2.4.1 Eindimensionale Suche. 894
18.2.4.2 Mininramsuche im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum . . . 894
18.2.5 Verfahren für unrestringierte Aufgaben ». 895
18.2.5.1 Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren). 895
18.2.5.2 Anwendung des Newton-Verfahrens.,. . . 895
18.2.5.3 Verfahren der konjugiertem Gradienten. 896
18.2.5.4 Verfahren von Davidon,
18.2.6 Evolutionsstrategien. 897
18.2.6.1 Mutations-Selektions-Strategie.•. 897
18.2.6.2 Strategien mit Rekombination. 897.
18.2.7 Gradientenverfahren für Probleme mit Ungleichungsrestriktionen. 898
18.2.7.1 Verfahren der zulässigen Richtungen. 898
18.2.7.2 Verfahren der projezierten Gradienten. 900
18.2.8 Straf-und Barriereverfahren. 902
18.2.8.1 Strafverfahren. 902
18.2.8.2 Barriereverfahren. 903
18.2.9 Schnittebenenverfahren.'. 904
18.3 Diskrete dynamische Optimierung. 905
ШЛА
АЗ.І.і
18.3.1.2 D^aÄfehe0ptfeiMerijMgs|bto
18.3.2 Beispiele diskreter
18.3.2.1
18.3.2.2
18.3.3
18.3.3.1
18.3.3.2
18.3.4
18.3.5
18.3.5.1 Bestimmung
18.3.5.2 Bestimmung der optimalen:
18.3.6 Beispiele zur Anwendung der Punktionalgleichungsmethode. . 909
18.3.6.1 Optimale Emkauftpolitik. . 909
■ 18.3.6.2 Rueksaokproblem. 909
19 Numerische Mathematik 911
19.1 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen:init einer Unbekannten. 911
19.1.1 Iterationsverfahren .-. 911
19.1.1.1 Gewöhnliches Iteratiönsverfabren. 911
19.1.1.2 Newton-Verfahren. ,. 912
19.1.1.3 RegolafaJsi . . . 913
19.1.2 Lösung von Polynomgleichungen.•. 914
19.1.2.1 Horner-Schema. 914
19.1.2.2 Lage der Nullstellen.
19.1.2.3 Numerische Verführen.•. 916
19.2 Numerische Lösung von Gleichungssystemen. 917
' 19.2.1 Lineare Gleichungssysteme. . . 917
19.2.1.1 Dreieckszerlegung einer Matrix. 918
19.2.1.2 Ciholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix . 920*
19.2.1.3 Orthogonalisiertmgsverfahren. 920
19.2.1.4 Iteration in Gesamt-und Einzelschritten. 922
19.2.2 Nichtlineare Gleichungssysteme. . 923
19.2.2.1 Gewöhnliches Iterationsverfahrem. 923
19.2.2.2 Newton-Verfahren. 924
19.2.2.3 Ableitungsfreies Gaufi-Newton-Verfahren. 924'
19.3 Numerische Integration. 925
19.3.1 Allgemeine Qttadraturformel . . .■. 925>
19.3.2 Interpolationsqjiadraturen.'. 926:
19.3.2.1 Rechteckformel. 926
19.3.2.2
19.3.2.3 Hermitesche Trapezformel . . . 927
19.3.2.4 Simpson-Formel. . . 927
19.3.3 Quadraturformeb vom Gauß-Typ.'. 92?
19.3.3.1 Gaußsche Quadraturformem. 927
19.3.3.2 Lobattosche Quadraturformeb . 928
19.3.4 Verfahren von Romberg.-. 928
19.3.4.1 Algorithmus des
19.3.4.2 Extrapolationsprinzip -.». 929
19.4 Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen. 931
19.4.1 Anfangswertaufgaben. 931
Inhatísverzeichms XXXTTT
19.4.1.1
19.4.1.2 Runge-Kutta-Verfahren.
19.4.1.3 Mehrschrittverfahren. 932
19.4.1.4 Prediktor-Korrektor-Verfahren. 933
19.4.1.5 Konvergenz, Konsistenz, Stabilität. 934
19.4.2 Randwertaufgaben. 935
19.4.2.1 Differenzenverfahren. 936
19.4.2.2 Ansatzverfahren. 936
19.4.2.3 Schießverfahren. 937
19.5 Genäherte Integration von partiellen Differentialgleichungen. 938
19.5.1 Differenzenverfahren. 938
19.5.2 Ansatzverfahren .-. 939
19.5.3 Methode der flniten Elemente
19.6 Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse. 945
19.6.1 Polynominterpolation. 945
19.6.1.1 Newtonsche Interpolationsformel . 945
19.6.1.2 Interpolationsformel nach Lagrange'. 945
19.6.1.3 Interpolation nach Aitken-Neville. 946
19.6.2 Approximation im Mittel.'. 947
19.6.2.1 Stetige Aufgabe, Normalgleichungen. 947
19.6.2.2 Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder-Verfahren . . 948
19.6.2.3 Mehrdimensionale Aufgaben. 949
19.6.2.4 Nichtlineare Quadratmittelaufgaben. 950
19.6.3 Tschebyscheff-Approximation. 951
19.6.3.1 Aufgabenstellung und Alternantensatz. 951
19.6.3.2 Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome. '951
19.6.3.3 Remes-Algorithmus . 953
19.6.3.4 Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Optimierung. 95a
19.6.4 Hannonische Analyse. 954
19.6.4.1 Pormehl zur trigonometrischen Interpolation. 954
19.6.4.2 Schnelle Pourier-Transformation (FPT). 955
19.7 Darstellung von Kurven und Flachen mit Hilfe von
19.7.1 Kubische
19.7.1.1
19.7.1.2 Ausgleichssplines. 960
19.7.2 Bikubische
19.7.2.1 Anwendung bikubischer
19.7.2.2
19.7.2.3 Bikubische Ausgleichssplines. 962
19.7.3 Bernstein-Bezier-Darstellung von Kurven und Flächen. 962
19.7.3.1 Prinzip der B-B-Kurvendarstellung. 963
19.7.3.2 B-B-Flächendarstellung. 964
19.8 Nutzung von Computern. 965 ■
19.8.1 Interne Zeichendarstellung. ■. 965
19.8.1.1 Zahlensysteme. 965
19.8.1.2 Interne Zahlendarstellung. 966
19.8.2 Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern. 968
19.8.2.1 Einführung, Fehlerarten. 968
19.8.2.2 Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung. . . . 968
19.8.2.3 Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen. 970
19.8.3 Bibliotheken numerischer. Verfahren. 973
19.8.3.1 NAG^Bibliothek. 974
XXXIV
19.8.3.2
19.8.3.3 Aachener
19.8.4 Anwendung mm Computeralgebrasystemen'. 975
19.8.4.1
191:8.4.2
20
20.1 Einführung. .'. .•. 982
20; 1.1 Kurzcharakterietjk von Computeralgebrasystemen. 982
20.1.2 Einführende Beispielen» die Hauptanwendungsgebiete. ,. . 983
20.1.2.1
20.1.2.2 Numerische Berechnungen . , 983
20.1.2.3 Graphische Darstellungen. 984
20.1.2.4 Programmierumg in Computeralgebrasystemen. 984
20.1.3 Aufbau von und Umgang mit Computeralgebrasystemen . . . 984
20.1.3.1 Hauptstrukturelemente.•. 984
20.2
20.2.1 Haupstrukturelemente. 986
20.2.2 Zahlenarten in
20.2.2.1 Grundtypen von Zahlen in
20.2.2.2 Spezielle Zahlen. 987
20.2.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen . '. 988
20.2.3 Wichtige Operatoren. 988
20.2.4 Listen. 989
20.2.4.1 Begriff und Bedeutung. 989
20.2.4.2 Verschachtelte Listen. 990
20.2.4.3 Operationen mit Listen. 990
2Ó.2.4.4
20.2.5 Vektoren und Matrizen als Listen . 991
20.2.5.1 Aufstellung geeigneter Listen. 991
20.2.5.2 Operationen mit Matrizen und Vektoren. 991
20.2.6 Funktionen. 993
20.2.6.1 Standardfunktionen. 993
20.2.6.2 Spezielle Punktionen. 993
20.2.6.3 Reine Funktionen. 993
20.2.7 Muster . ;. 993
■ 20.2.8 Funktionaloperationen. 994
20.2.9 Programmierung. 995
20.2.10 Ergänzungen zur Syntax, Informationen, Meldungen. 996
20.2.10.1 Kontexte, Attribute.• . . . 996
20.2.10.2 Informationen. 997
20.2.10.3 Meldungen . 997
20.3
20.3.1 Hauptstrukturelemente . . . 998
20.3.1.1 Typen und Objekte. . . .' . . . 998
20.3.1.2 Eingaben und Ausgaben . . 999
20.3.2 Zahlenarten in
20.3.2.1 Grundtypen von Zahlen in
20.3.2.2 Spezielle Zahlen. 1000
20.3.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen . 1000
20.3.3 Wichtige Operatoren in
20.3.4 Algebraische Ausdrücke. 1001
Inhalteverzeichnis XXXV
20.3.5 Folgen und Listen. 1002
20.3.6 Tabellen- und feldaxtige Strukturen, Vektoren und Matrizen.'. 1003
20.3.6.1 Tabellen-uad feldartige Strukturen. 1003
20.3.6.2 Eindimensionale
20.3.6.3 Zweidimensionale
20.3.6.4 Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen. 1005
20.3.7 Prozeduren, Funktionen und Operatoren . 1005
20.3.7.1 Prozeduren. 1005
20.3.7.2 Funktionen. 1006
20.3.7.3 Funktionaloperatoren. 1007
20.3.7.4 Differentialoperatoren . ;. 1007
20.3.7.5 Der Funktionaloperator map. 1007
20.3.8 Programmierung in
20.3.9 Ergänzungen zur Syntax, Informationen und Hilfe. 1008
20.3.9.1 Nutzung der Maple-Bibliothek . . . 1008
20.3.9.2 Umgebungsvariable.-.-.■. 1009
20.3.9.3 Informationen und Hilfe. 1009
20.4 Anwendungen von Computeralgebraeystemen. 1010
20.4.1 Manipulation algebraischer Ausdrücke.'. 1010
20.4.1.1
20.4.1.2
20.4.2 Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen. 1015
20.4.2.1
20.4.2.2
20.4.3 Elemente der linearen Algebra. 1019
20.4.3.1
20.4.3.2
20.4.4 Differential-und Integralrechnung. 1023
20.4.4.1
20.4.4.2
20.5 Graphik in Computeralgebrasystemen. 1030
20.5.1 Graphik mit
20.5.1.1 Grundlagen des Graphikaufbaus. 1030
20.5.1.2 Graphik-Primitive. 1030
■ 20.5.1.3 Graphikoptionen '.• . . 1031
20.5.1.4 Syntax der Graphikdarstellung. 1031
20.5.1.5 Zweidimensionale Kurven. 1033
20.5.1.6 Parameterdarstellung von Kurven. 1034
20.5.1.7 Darstellung von Mächen und Raumkurven. 1035
20.5.2 Graphik mit
20.5.2.1 Zweidimensionale Graphik. 1037
20.5.2.2 Dreidimensionale Graphik. 1039
21 Tabellen 1041
21.1 Häufig gebrauchte Konstanten.' . . 1041
21.2. Fundamentale physikalische Konstanten. 1041
21.3 Dezimalvorsätze.■.". 1043
21.4 Physikalische Einheiten im Sl-System.'. 1043
21.5 Wichtige Reihenentwicklungen. 1045
21.6 Fourier-Entwicklungen. 1050
21.7 Unbestimmte Integrale. 1053
21.7.1 Integrale rationaler Funktionen. 1053
21.7.1.1
2U.7.1.2 Integrale mit
21.7.1.3
21.7.1.4
21.7.1.5
21.7.3!j6
211.7.1.7 Einige
51.7.2
23.7.2.1
21.7.2.2
21.7.2.3 Integrale mit
23.7.2.4 Integrale mit \/ax + b und
21.7.2.5
21.7.2.6
21.7.2.7
21.7.2.8
21.7.2.9 Integrale mit anderen irrationalen Ausdrücken. 1070'
21.7.2.10 Rekursionsformcb für Integral mit binomischem Differential . . . 1070'
21.7.3 Integrale trigonometrischer Punktionen.
21.7.3.1 Integrale mit Smusfunktion. 1070
21.7.3.2 Integrale mit Kosmusfunktion. 1073
21.7.3.3 Integrale mit Sinus-und Kosinusfunktion. 1075
21.7.3.4 Integrale mit Tangonsfunktion. 3079
21.7.3.5 Integrale mit Kotangensfunktion.'. 1079
23.7.4 Integrale anderer transzendenter Punktionen. 108©
21.7.4.1
21.7.4.2 Integrale mit Exponentialfunktionen. 1081
21.7.4.3 Integrale mit logarithmischen Punktionen. 1082
21.7.4.4 Integrale mit inversen. trigonometrischen Punktionen. 10841
21.7.4.5 Integrale mit inversen Hyperbelfunktion . 1086
21.8 Bestimmte'Integrale . . . . '. 1086
21.8.1 Bestimmte Integrale trigonometrischer Punktionen.; . . 1086
21.8.2 Bestimmte Integrale von
21.8.3 Bestimmte Integrale logarithmischer Funktionen .'.'. 1088
21.8.4 .Bestimmte Integrale algebraischer Punktionen. . . . . .\ .-.'. 1089
21.9 Elliptische
21.9.0.1 Elliptische Integrale!. Gattung . : .-. . 1091
21.9.0.2 Elliptische Integrale '2. Gattung . . ,. . 1091
21.9.0.3 Vollständige elliptische Integrale
21.10
21.11 Bessel-Punktionen (Zylmderfunktionen) . '. 1094
21.12 Legendresche. Polynome 1. Art (Kugelfunktionen) . .
21.13
'21.14
^liM.lfoiuier-Koemus-îkansformationen
¿l.M^Potirier^mtis-Tíanšformationen
21.14.3
21.14.4Ëxponéntieïïe Pourier-Transformationen
21.15
21.16
.21.17 Normierte
Inhaìtsverzeichms XXXVH
«^1.99.
21.Ш8
2Í1.19
21.20
2Ш.21
1145
Mathematische Zeichen 1194 |
| adam_txt |
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Tkbellenverzeichnis XXXIX
1 Arithmetik 1
1.1 Elementare Rechenregeln .,. 1
1.1.1 Zahlen. 1
1.1.1.1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen. 1
1.1.1.2 Irrationale und transzendente Zahlen. 1
1.1.1.3 Reelle Zahlen. 2
1.1.1.4 Kettenbräche. 3
1.1.1.5 Kommensurabilität. 4
1.1.2 Beweismethoden. 5
1.1.2.1 Direkter Beweis.,. 5
1.1.2.2 Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch. 5
1.1.2.3 Vollständige Induktion . . . ,. 5
1.1.2.4 Konstruktiver Beweis. 6
1.1.3 Summen und Produkte.
1.1.3.1 Summen. 6
1.1.3.2 Produkte. 7
1.1.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 8
1.1.4.1 Potenzen . 8
1.1.4.2 Wurzeln. 8
1.1.4.3 Logarithmen . 9
1.1.4.4 Spezielle Logarithmen . 9
1.1.5 Algebraische Ausdrücke. 10
1.1.5.1 Definitionen. 10
1.1.5.2 Einteilung der algebraischen Ausdrücke. 11
1.1.6 Ganzrationale Ausdrücke. 11
1.1.6.1 Darstellung in Form eines Polynoms.'. 11
1.1.6.2 Zerlegung eines Polynoms in Faktoren. 11
1.1.6.3 Spezielle Formeln. 12
1.1.6.4 Binomischer Satz. 12
1.1.6.5 Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome . . 14
1.1.7 Gebrochenrationale Ausdrücke. 14
1.1.7.1 Rückführung auf die einfachste Form. 14
1.1.7.2 Bestimmung des ganzrationalen Anteils. 15
1.1.7.3 Partialbruchzerlegung. . 15
1.1.7.4 Umformung von Proportionen. 17
1.1.8 Irrationale Ausdrücke. 17
1.2 Endliche Reihen. 18
1.2.1 Definition der endlichen Reihe. 18
1.2.2 Arithmetische Reihen. 18
s
1.2.4 Spezielle endliche Reihen. 19
1.2.5 Mittelwerte.-.-.;. 19
1.2.5.1 Arithmetisches Mittel. 19
1.2.5.2 Geometrisches Mittel. 20
1.2.5.3 Harmonisches Mittel. 20
1.2.5.4 Quadratisches Mittel. 20
VI
I
IJ;
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.3.1 Tilgung.23
1.3.3.2 Gleiche Tilgungsraten. 23
1.3.3.3 Gleiähe Annuitäten. 24
1.3.4 Rentenrechauog.,.\. 24
1.3.4.1 Rente. . 24
1.3.4.2 Nachschüssig konstante Rente. 25
1.3.4.3 Kontostand nach n Rentenzahlungen. 25
1.3.5 Abschreibungen. 26
1.4 Ungleichungen. 28
1.4.1
1.4.1.1 Definitionen. 28
1.4.1.2 Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ
1.4.2 Spezielle Ungleichungen. 30
1.4.2.1
1.4.2.2 Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz zweier Zahlen . 30
1.4.2.3 Ungleichung
1.4.2.4 Ungleichung für das arithmetische und das quadratische Mittel ■: . ' 30
1.4.2.5 Ungleichungen für verschiedene Mittelwerte zweier reeller Zahlen . 30
1.4.2.6 Bernoullische Ungleichung . . . . . . . . . . 31
1.4.2.7 Binomische Ungleichung. . . . . ;. . ■.-.'. 31
1.4.2.8 Cauchy-Sehwarzsche Ungleichung. 31
1.4.2.9
1.4.2.10 Verallgemeinerte
1.4.2.11 Höldersehe Ungleichung.:. 32
1.4.2.12 Minkowskische Ungleichung. 33
1.4.3 Lösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades. 33
1.4.3.1. Allgemeines . . . .;. . 33
1.4.3.2 Ungleichungen 1. Grades .'.:. 33
1-.4.3.3; Ungleichungen 2. Grades . 33
1.4.3.4 Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades. 34
1.5 Komplexe Zahlen ' . .'. . 34
1.5.1 Imaginäre und komplexe Zahlen ~. . .■.'. 34
1.5.1.1
1.5.1.2 Komplexe Zahlen . ,.! . 34
1.5.2 Geometrische Darstellung. .• . . . -.■. . 35
1.5.2.1 VektordarsteHuag•■ . . , .'. 35
1.5.2.2 Gleichheit komplexer Zahlen. .35
1.5.2.3 Trigonometrische Form der komplexen Zahlen . . •. 3S
1.5.2.4 Bxponentialform einer komplexen Zahl . . 36
1.5.2.5 Konjugiert komplexe Zahlen.- . . . . . 36
1.5:3 Rechnen mit komplexen Zahlen. .: . . .-.-•. 36
1.5.3.1 Addition und Subtraktion. ¡. 36
1.5.3.2 Multiplikation. .'. 37
1.5.3.3 Division .,;.:. 37
1.5.3.4 A%emeine Regem für die vier Grandrechenarten . . 38
1.5.3.5 Potenzieren einer komplexen Zahl . ;. 38
1.5.3.6 Radizieren oder Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl 38
Inhaltsverzeichnis
1.6
1.6.1
іібЛ.1-
1.6.1.2 . Systeme aus
■1.6.1.3 Söheinbaie Wurzeln. 39
1.6.2 Gteietamgral. bis 4,
1.6.2.1 Gleichungen I.Grades
1.6.2.2
1.6.2.3 Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen) . 40
1.6.2.4 Gleichungen 4. Grades.:. 42
1.6.2.6 Gleichungen 5. und höheren Grades . . . . ,. 43
1.6.3 Gleichungen n-ten Grades .'.,. 43
1.6.3.1 Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen . . 43
1.6.3.2 Gleichungen mit reellen Koeffizienten . . .'. 44
1.6.4 RucMihrung transzendenter Gleichungen auf algebraische Gleichungen . 45
1.6.4.1 Definition.,.-.-. 46
1.6.4.2 Exponentialgleichungen. .'. -.:. 46
1.6;4,3 Logarithmische Gleichungen . . . . 46
1.6.4.4 Trigonometrische Gleichungen . ,. 46
1.6.4.5 Gleichungen mit Hyperbelfunktionen . .\. 47
Funktionen und Ehre Darstellung 48
2.1 Punktionsbegriff.
2.1.1 Definition der Punktion. 48
2.1.1.1 Punktion. , . 48
2.1.1.2 ReellePunktion .'. 48
2.1.1.3 Punktion von mehreren Veränderlichen. 48
2.1.1M Komplexe Punktion .'. 48
2.1.1.5 Weitere Punktionen. 48
2:i.l.6 Funktionale., . . :.■ . 48
2.1.1.7 Punktion und Abbildung. 49
2.1.2 Methoden zur Definition einer reellen Punktion. 49
2.1.2.1 Angabe einer Punktion . .■ . . 49
2.1.2.2 Analytische Darstellung reeller Punktionen •. . . 49
2.1.3 EinigePunktionstypen ,.-. t ,;.:.,.•. . 50
2.1.3.1 Monotone Punktionen '.".■■!.,.,. '50
2.1.3.2 Beschränkte Punktionen. . 51
2.1.3.3 Extremwerte von Punktionen . 51
2.1.3.4 Gerade Punktionen . 51
2.1.3.5 Ungerade Punktionen.'. 51
2.1.3.6 Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader. Punktionen. 52
2.1.3.7 Periodische Punktionen'. . . 52
2.1.3.8
2.1.4 Grenzwert von Punktionen .
2.1.4.1 Definition des Grenzweetes:einer Punktion.'. . . 53
2.1.4.2 Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge. 53
2.1.4.3 Konvergenzkriterium von. Gauchy .,.■. 53
2.1.4.4 Unendlicher Grenzwert einer Funktion . .■. 54
2.1.4.5 Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Punktion. 54'
2.1.4.6 Grenzwert einer Punktion für x gegen uaendlieh. 54
2.1.4.7 Sätze über Grenzwerte von Punktionen.'.;. 56
2.1.4.8 Berechnung von Grenzwerten .-'.,.;■. 55
2.Ф.4.0'
12.1.5 Stetigkeit einer Funktion.
2.1.5.1 Stetigkeit umdUnstetigkeitsstelle. 58
2.1.5.2
2.1.5.3 Händig auftretende Arten von Unstetigkeiten. 5t
2.1.5.4 Stetigkeit und UnstetigkeitspunJste elementarer
2.1.5.5 Eigenschaften stetiger Punktionen. 61
2.2
2.2.1 Algebraische Punktionen. 62
2.2.1.1 Ganzrationale Punktionen (Polynome) .;. 62
2.2.1.2 Gebroohenrationale Punktionen.
2.2.1.3 Irrationale Punktionen. 63
2.2.2 Transzendente Punktionen. 63
2.2.2.1 Exponentialfunktionen.". 63
2.2.2.2 Logarithmische Punktionen. 63
2.2.2.3 Trigonometrische Punktionen . 63>
2.2.2.4
2.2.2.5 Hyperbelfunktionen. 63
2.2.2.6 .
2.2.3 Zusammengesetzte Punktionen. .63
2.3 Polynome.'••■•.•.• • •.■.'. 64
2.3.1 Lineare Punktion . .■. -.• .
2.3.2 Quadratisches Polynom. .'. 64
2.3.3 Polynom 3. Grades. . 64
2.3.4 Polynom n-ten Grades. . . 65
■ 2.3.5 Parabel n-ter Ordnung. 66
2.4 Gebrochenrationale Punktionen . . . 86
2.4.1 Spezielle gebrochen lineare Punktion. 66
2.4.2 Gebrochenlineare Punktion. 66
2.4.3 Kurve 3. Ordnung, Typ
2.4.4 Kurve3. Ordnung,Typ
2.4.5 Kurve 3. Ordnung, Typ
2.4.6 Reziproke Potenz. . ,. 70'
' 2.5 Irrationale Punktionen , . .4. .;. 71
2.5.1 Quadratwurzel aus einem linearen Binom .* . 71
2.5.2 Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom . 71
2.5.3 Potenzfunktion .,.,'. 71
2.6 Exponentialfunktionen und logarithmische' Punktionen. 72
2.6.1 Exponentialfunktion \. 7,2
2.6.2 Logarithmische Punktionen. .73
2.6.3 GaufecheGloekenkurve. . . . 73
2.6.4 Bxponentialsumme.•. . .•. 73
2.6.5 Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve. 7.4
2.6.6 Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion. 75
2.7 Trigonometrische Punktionen (Winkelfunktionen). . .76
2.7.1 Grundlagen . . . . . 76
2.7.1.1 Definition und Darstellung . . . . .
2.7.1.2 Wertebereiche und Punktionsverläufe . 78
• 2.7.2 Wichtige Formeln für trigonometrische Punktionen. 80
2.7.2.1 Beziehungen zwischen den^^ trigonometrischen- Punktionen. 80-
2.7.2-2 Trigonometrische Punktionen der Summe und der Differenz zweier
Winkel (Additionstheoreme).
Inhaltsverzeichnis DE1
2.7.2>3 TngommetriseheltaktioneaftoWmkeWelfadie. 81
2.7.2.4 ' trigonometrische Punktionen des halben Winkels . .'. 82
2.7.2-5 Summen und Differenzen zweier taigonometrischer Punktionen . . 82
2.7.2.6 PSrodukte trigonometrischer Punktionen . 82
2.7.2.7 Potenzen trigonometrischer Funktionen. 83
2.7.3 Besehrabung von Schwingungen. 83
2.7.3.1 Problemstellung .'■._. 83
2.7.3.2
2.7.3.3 ' Vektordiagramm für Schwingungen . . . . .'. 84
2.7.3.4 Dämpfung von Schwingungen .;. 84
2.8 Zyklometrische Punktionen (Arkusfunktionen). 85
2.8.1 Definition der zyMometrischen Punktionen. 85
2.'8.2 Zuriiekführung auf die Hauptwerte. 85
2.8.3 Beziehungen zwischen den Hauptwerten. 86
2.8.4 Formeln für negative Argumente. 87
2.8.5 Summe und Differenz von aresin x und aresin
2.8.6 Summe und Differenz von
2.8.7 Summe und Differenz von aretanx und aretan
2.8.8 Spezielle Beziehungen für axesin x,
2.9 Hyperbelfunktionen. 88
2.9.1 Definition der Hyperbelfunktionen. 88
2.9.2 Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen. 89
2.9.2.1 Hyperbelsinus. . 89
2.9.2.2 Hyperbelkosinus. 89
2.9.2.3 Hyperbeltangens. :. 90
2.9.2.4 Hyperbelkotangens. 90
2.9.3 Wichtige Pormehi für HyperbeKunktionen. 90
2.9.3.1 Hyperbelfunktionen einer1 Variablen >.;. 90
2.9.3.2 Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Ar¬
gumentes ".;•.-. 90
2.9.3.3 Formeln für negative Argumente . . 90
2.9.3.4 HyperbeKunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente
(Additionstheoreme).'. 91
2.9.3.5 Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments. 91
2.9.3.6 Formel von Moivre für HyperbeKunktionen. 91
2.9.3.7 HyperbeKunktionen des halben Arguments .'. . 91
1 2.9.3.8 Summen und Differenzen von HyperbeKunktionen. 91
2.9.3.9 Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen
Punktionen mit Hufe komplexer Argumente . 92
2.10 Areafunktionen. 92
2.10.1 Definitionen. 92
2.10.1.1 Areasinus. 92
2.10.1.2 Areakosinus. 92
2.10.1.3 Areatangens.'. 93
2.10.1.4 Areakotangens . .:. . ,. 93
2.10.2 Darstellung der Areafunktionen. durch den natürlichen Logarithmus. 93
.2.10.3 Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen. . 94
2.10.4 Summen und Differenzen.von Areafunktionen. 94
2.10.5 Formern für negative Argumente .;. 94
2.11 Kurven dritter Ordnung.,. 95
2.11.1 'Semikubische Parabel.;. 95
2.11.2
2.11.3
2.H.4
2.1H.5
2.B2
2.12.1
' 2.12.2 Allgemeine Konohoide . 98
2.12.3 Pascaflsehc Sehneeko. 98
2.12.4 Kandioide. 99
2.12.5 Cassiniscnc Kurven.
■ 2.12.6 Lemniskate . 1«
■2.ШЗ
2.13.1 Gewöhnliche Zykloide. 103!
2.13.2 Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden. 102
2.13.3
2.13.4 Ilypozykloide und Astroide. 104
2.33.5 Verlängerte und verkürzte Bpizykloidc und Hypozykloidc. 105
2Л.4
2.14.1 Archimedische Spirale. 105
2.14.2 Hyperbolische Spirale.!. 106
2.14.3 Logarithmische Spirale. 106
2.14.4 Kvolvcnte des Kreises.
2.14.5 Kiothoide . .--.-.,. 107
2.15 Verschiedene andere Kurven'. . . . 108
2.15.1 KettenlinieoderKatenoide. 108
2.15.2 Schleppkurve oder
2.16 Aufstellung empirischer Kurven . . . . . . :■. . . .,.-.:. 189'
2.16.1 'Verfahrensweise . .'•. . ; ■. . .:■. . : . . 109
2.16.1.1 Kurvenbildervergleiche . ,.'. . ;. 109
'2.16.1.2
2.16.1.3 Parameterbestimmung. 109
2.16.2 Gebräuchlichste, empirische Formeln . ; . 110
2.16.2.1 Potenzfunktionen.'. 110
2.16.2.2 ISxponentialfunktionen. 110
2.16.2.3 Quadratisches Polynom. .:.■. . .
2.16.2.4 Gebrochealiaeare.Panktipn. . . . . 112
2.16.2.5 Quadratwurzel aus eiae» quadratischen Polynom . 112
[ 2.16.2.6 Verallgemeiaerte GaußseheGloekenkurve.- 113
2.16.2.7 Kurve3. Ordemg,Typ-
' 2.16.2.8 Kurve1
■
2.16.2.10 Produkt ausPotenz- und Exponentialfunktion .'. . , . . . . 114
2.16.2.11
■: 2.16.2.12 VoHständig durohgereckaetes Beispiel . . . 115
2.17 Skalen und
2.17.1 -Skalen . .-.;;.:.
. 2.17.2 iktÄtionspapiere . . .". . . .;. . . . 118
2.17.2.1
2.17.2.2
2.17.2.3 Funktionspapier mit einer reziproken Skala;■•.•. . 118
2.17.2.4 Hinweis. 119
2.18 Funktionen von mehreren Veränderlichen. .
2.18.1 Definition und Darstellung . . .;. .". . 120
Inhaltsverzeichnis
2.3¡8.1.1
2.Ш8.1.2
2.18.2
2Ä2.1
2.1812.2 ZweidimenMoiaate'GeMete . . . . .-. . 121
2.18.2.3
2.18.2.4 Methoden zur Definition einer Punktion . 121
2.18^2.5 Formen
2Ж236'
2.18.3. Grenzwerte . . 126
2.18.3.1 Definition." . . . 125
2.18.3.2 Exakte Formulierung.'.>.;. 125
2.18.3.3 Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche . . . . '. 125
2.18.3.4 Karierte Grenzwerte . . . . . . 125
2.18.4 Stetigkeit. 126
2.18.5 Eigenschaften stetiger Punktionen. 126
2.18.5.1 Nullstellensatz von
2.18.6.2 Zwischemwertsatz. 126
2.18.5.3 Satz über die Beschränktheit einer Punktion. 126
2.18.5.4 Satz von Weierstrass über'die Existenz des größten und kleinsten
Punktionswertes.'.'. . . 126
2.19 Nomographie . . . '. . 127
2.19.1 Nomogramme. 127
2.19.2 Netztafeln. . 127
2.19.3 Pluchtlmientafehi. . 128
2.19.3.1 Fluchtlinientafeln mit dreigeraden Skalen durch einen.Punkt . 128
2.19.3.2 Fluchtlinientafehi mit zwei parallelen und einer'dazu geneigten ge¬
radlinigen Skala .i. .:. 129
2.19.3.3 Fluchtlinientafehi mit zwei parallelen, geradlinigen Skalen und einer
Kurvenskala. . . 129
2.19.4 Netztafeln für mehr als drei Veränderliche ; . . 130
Geometrie 131
3.1 Planimetrie.
3.1.1. Grundbegriffe.'. : .:.,,,.:. . . -----. 131'
3.1.1.1- Punkt,Gerade,Strahl,Streck»;. .-.•. . '. 131
.3.1.1.2 Winkel. .: . . . . -.;■. .■.:. 131
3.1.1.3 Winkel an zwei sich schneidenden .Geraden .'. 132
3.1.1.4 Winkelpaare an gescfadfctenen'Pajrallelen.,.;. 132
• 3.1.1.5 Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß.'.-. 133
3.1.2 Geometrische Definition der Kreis- und Hyperbel-Punktionen. . . 133
3.1.2.1 Definitioncler Kreis- oder trigonometrischen Funktionen. 133
3.1.2.2 Geometrische Definition der Kyperbelfunktionen . 134-
3.1.3 EbeneDreiecke. 135
3.1.3.1 Aussagen zu ebenen Dreiecken. 135
3.1.3.2 Symmetrie. 136
3.1.4. Ebene Vierecke . , . ; . ■.■■.'.".,.-. . . . . .:. 138
3.1.4.1 Parallelogramm . .:-. . . . .■.;■. 138
ЗД.4.2
3.1.4.3 Mombus oder Raute :. 138
.3.1.4.4
3.1.4.5 Allgemeines Viereck .:.:. 139
3.11.4.6
3.1.4.7
3.1.5 Ebene Vieteoke oder Polygone. 3|#
3.1.6.1 Allgenaeines Vieleek.
3.1.5.2 ßegetotÄge ikonvexc Violtecke.
3.1.5.3 Einige regelmäßige fenvexe Violooke. Ml
3.1.6 Ebene Kreisfiguren. :
3.1.6.1 Kreis.
ЗЛ.6.2
3.1.6.3 Kreisring . 144
3.2 Ebene Trigonometrie. 14$
3.2.1 Dreiecksbeireehnungen. 14®
3.2.1.1 Berechnungen in reehtwinkligen ebenen Dreiecken.
3.2.1.2 Berechnungen
3.2.2 Geodätische Anwendungen. 148
3.2.2.1 Geodätische Koordinaten.
3.2.2.2 Winkel in der Geodäsie. 1«
3.2.2.3 Vormossungstcchnisohe Anwendungen. 181
3.3 Stereometrie. . . . . . . . . . . . .• ■. '■. , . 154
3.3.1
3.3.2 Kanten, Ecken, IUumwinkel. 151
3.3.3 Polyeder.
3.3.4
3.4 Sphärische Trigonometrie.
3.4.1 Grandbegriffe der Geometrie auf der Kugel .'. 163
3.4.1.1 KuTven.'Bogeu
3.4.1.2/ Spezielle Koordinatensysteme. 165
3.4.1.3 Sphärisches Zweieck. . . . . . . . . . 166
3.4.1.4 Sphärisches Dreieck .-. . 166;
3.4.1.5 Polardreieck.
3.4.1.6 Eulersche und Nichfr-Bulersche Dreiecke . .
. 3.4.1.7 Dreikant.'.-.,. 168
3.4.2 Haupteigensehaften sphärischer. Dreiecke . 168
3.4.2.1 Allgemeine Aussagen. 168^
:.- 3.4.2.2 Grondformefa. und Anwendungen . . . . .■. . 169;
3.42.3 Weitere Formeln. ■-. . . . .;.
3.4.3
: ' -3.4.3.1 Grumdaufgabem,'Genauigkeitsbeteachtungen . 173
3.4.3.2 RecblmEtÄg.spMriseheslJreieffili . . . 17S
3.4.3.3 '
3.4.3.4 Sphärische Kurveni. . , . \ .-.-. %. .'.'
3.5 Vektora^ebraundanalytiseheGeometrie . . :.". . '.'■. . . . /•.••.•■•
:-■ 3.5.1 Vektorafeebra .- .■. . .
3.5.1.1 Definition 4es Vektors.:. . 185-
3.5.1.2 Ilechenregeto .
3.5.1.3 Skalarprodakt und Vektorprodukt.'v. .'. . . . . .
3.5.1.4 Mehrfachemultiplikative
3.5.1.5
3.5.1.6 Kovariante und kontravBiriante Koordinaten eines Vektors . . 193'
3.5.1.7 Geometrische Anwendungen der-Vektoralgebra . . . 194
3.5.2 Analytische Geometrie der Ebene. 196
3.5.2.1 Ebene Koordinatensysteme .'. ' 195
Inhaltsverzeichnis
Зіб.2.2
3.5.2.3
3Ä24 Flächeninhalte . . . .:. . ., .;.'. . . . . . . . . . 199
3.8.2.6 Gleichung einer Kurve ,".-,. 199
ШЖ
3v&2.7
ЗЛ2.8
3Ä2.9
3.6.2:30 Barabel.-.-:■. . .
3.6.2.11 Kur«n2.'Oidnung'(Kegelsdhnitte) . 210
З.б.З
3.5Д1
. 3.5.3.2
3.6.3v3 Teilung einer Strecke . . 219
3.5.3.4 System aus vier Punkten .',. 219
3.5Д5
3.6.3.6
3.5.3.7 Geraden im Raum . . ■.,.'. .,. . . . . .
3.5.3.8 Schnittpunkte und Winkel von Ebenen und Geraden . 225
3.6.3.9 Flächen 2. Ordnung, Gleichungen in Normalform . . 226
3.5.3.10 Flächen 2. Ordnung, allgemeine aeorie. 230
3.6 Differentialgeomelirie. . 232
3.6.1 EbeneKurven . . .'. . .-. ¡. .;. . . . . . 232
3.6.1.1 Definitionen ebener Kurven. 232
3.6.1.2 Lokale Elemente einer Kurve . . . . . . . . 232
3.6.1.3 Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten . . . 238
3.6.1.4 Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung . 243-
3.6.1.5 Evoluten und Evolventen ,r. 244
3.6.1.6 Einhüllende von Kurvenscharen.■. 244
3.6.2 Raumkurven. 245
-3.6.2.1 Definitionen
3.6.2.2 Begleitendes Dreibein ;. 246
3.6.2.3 Krümmung und Windung . .:. . 248
3.6.3 Flächen.■.:,.:.:, . . . . . . .-.■'.■.
3.6.3.1 Definitionen für Flächen . . . . . . _ . 251
3.6.3.2 Tangentialebene und Flächennormale . . 252
3.6.3.3 Linienelement auf einer. Fläche.'. .> .;■. 25$
3^6.3.4 ., Krummung:einer Fläche- . . . .: . . . . . ■'.;.-. . . 255
3.6.3.5 Regelflächen und abwickelbare Flächen'- . 287
3.6.3.6 Geodätische Linienauf einer Fläche .
4 Lineare Algebra 269
4.1 Matrizen .,.'., . . .'. . -i . . . . ; . . .
4.1.1 Begriff der Matrix. .------. 239
4.1.2 Quadratische Matrizen .,.,.:. 280
4.1.3 Vektoren. . . . . . , .,. . . . . 2.61
.4.1.4 Rechenoperationen mit Matrizen . 26,2
4.1.5 . Rechenregeln für Matrizen . . . . ■; . . 265
4.1.6 Vektor-uad Matrizennorm . . :.: . 26^6
4.1.6.1 Vektornormen . . . . . ./. . . 266
: ' 4.1.6.2 Matrizennprmen. 267
4.2 Determinanten. 26?
ЖТ
4.2.1 Definitionen. 267
4.2.2
4.2.3
4.3 Tensoren. 270
4.3.1 Transformation, des Koöidmatensystems. 270
4.3.2 Tensoren
4.3.3 Tensoren mit speziellen.
4.3.3.1 Tensoren 2. Stufe. 272
4.3.3.2 Invariante Tensoren. 273
4.3.4 Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen. 274
4.3.4.1 Kovariante und kontravariante Basisvektoren. 274
4.3.4.2 Kovariante und komtravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe 274
4.3.4.3 Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren
2. Stufe. 275
4.3.4.4 Rechenregeln. 276
4.3.5 Pseudotensoren.'. 277
4.3.5.1 Punktspiegelung am. Koordinatenursprung. 277
4.3.5.2 Einführung des Begriffe Pseudotensor. 278
4.4 Lineare Gleichungssysteme.,. 279
4.4.1 Lineare Systeme, Austauschverfahren. 279
4.4.1.1 Lineare Systeme. 279
4.4.1.2 Austauschverfahren. 279
4.4.1.3 Lineare Abhängigkeiten . . . 280
4.4.1.4 Invertierung einer Matrix. 280
4.4.2 Lösung linearer Gleichlingssysteme. 280
4.4.2.1 Definition und Lösbarkeit . 280
4.4.2.2 Anwendung des Austauschverfahrens. 282
4.4.2.3 Cramersche Regel. 283
4.4.2.4 Gaußscher Algorithmus. 284
4.4.3 Überbestimmte lineare Gleictangssysteme. 285
4.4.3.1 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare
Quadratmittelprobleme .■. 285
4.4.3.2 Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme 286
4.5 Eigenwertaufgaben bei Matrizen . 286
4.5.1 Allgemeines Eigenwertproblem. 286
4.5.2 Spezielles Eigenwertproblem. 286
4.5.2.1 Charakteristisches Polynom . :_. 286
4.5.2.2
4.5.2.3 Hauptachsentransformation quadratischer Formen . 289
4.5.2.4 Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten. 291
4.5.3 Singulärwertzerlegung. 293
Algebra und Diskrete Mathematik 295
5.1 Logik. 296
5.1.1 Aussagenlogik. 295
5.1.2 Ausdrücke der Prädikatenlogik. . . . 298
5.2 Mengenlehre. 299
5.2.1 Mengenbegriff, spezielle Mengen. 299
5.2.2 Operationen mit Mengen. 301
5.2.3 Relationen und Abbildungen. 303
5.2.4 Äquivalenz- und Ordnungsrelationen. 306
5.2.5 Mächtigkeit von Mengen. 307
Inhaltsverzeichnis
5.3 Klassische algebraische Strukturen. -308
5.3.1 Operationen. 308-1
5.3.2 Halbgruppen. 308
5.3.3 Gruppen. 309
5.3.3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften. 309
5.3.3.2 Untergruppen und direkte Produkte. . 310
5.3.3.3 Abbildungen zwischen Gruppen. 312
5.3.4 -Darstellung von Gruppen. 313
5.3.41 Definitionen
5.3.4.2 Spezielle Darstellungen . 313
5.3.4.3 Direkte Summe .von Darstellungen . . . 314
5.3.4.4 Direktes Produkt von Darstellungen. 315
5.3.4.5 Heduzible und irreduzible Darstellungen. 315
5.3'.4.6 Erstes Schursches Lemma . 316
5.3.4.7 Clebsch-Gordan-Reihe.■. . . 316
5.3.4.8 ' Irreduzible Darstellung der' symmetrischen Gruppe Sm. 316
5.3.5 Anwendungen von Gruppen. 317
5.3.5.1 Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente. 317
5.3.5.2 Symmetriegruppen. 317
5.3.5.3 Symmetrieoperationen bei Molekülen. 318
5.3.5.4 Symmetriegruppen in der Kristallographie. 320
5.3.5.5 Symmetriegruppen in der Quantenmechanik. 322
5.3.5.6 Weitere Anwendungsbeispiele aus der Physik. 322
5.3.6
5.3.6.1 ' Definitionen. . . 323
5.3.6.2 Unterringe, Ideale. 324
5.3.6.3 Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz. 324
5.3.6.4 Endliche Körper und Schieberegister .;. 324
5.3.7 yektorräume. 327
5.3.7.1 Definition . . . 327
5.3.7.2 Lineare Abhängigkeit. 327
5.3.7.3 Lineare Abbildungen. 327
5.3.7.4 Unterräume, Dimensionsförxnel -. . . . . 328
5.3.7.5 Euklidische Vektorräume, Euklidische Norm. 328
5.3.7.6 Lineare Operatoren in Vektorräumen . 329
5.4 Elementare Zahlentheorie. 330
5.4.1 ■ Teilbarkeit .■. . 330
5.4.1.1 Teilbarkeit und elementare Teilbarkeitsregeln. 330
5.4.1.2 Primzahlen .,./. 330
5.4.1.3 Teübarkeitskriterien. . . 332
5.4.1.4 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches 333
5.4.1.5 Fibonacci-Zahlen. 334 .
5.4.2. Lineare Diophantische Gleichungen . ,. . .-. 335
5.4.3 Kongruenzen und Restklassen. . . . 337
5.4.4 Sätze von
5.4.5 Codierungen.
5.4.5.1 Prüfeeichenverfahren . :. 342
5.4.5.2 Fehlerkorrigierende Codes. 343
5.5 Kryptologie. 346
5.5.1 Aufgabe der Kryptologie.;.,. 346
5.5.2 Kryptosysteme. 346
5.5.3 Mathematische Präzisierung.■. . 346
5.5.4
6.5.41
5.5.42
5.5.43 Vigmere-Öläfce. .
5.5.5
5.5.5J
5.5.5.2
5.5.6
5.5.7 Vei&itaenirÄSffleniffiAeni Schlüssel.
5.5.7J Konzept von Dffie
5.5.7.2
5.5.7.3 RSA-VeÄhien. 351
' 5.5.8
5.5.9
5.6
5.6.1 Definition. . ■. . 353:
. 5.6.2 Kongraenzrelationen,Mktoi!algebren. 353;
5.6.3 Homomorphismen. 353
5.6.4 Homomorphiesatz. 354
5.6.5 Varietäten. 354
5.6.6 Termalgebren, freie Algebren. 354
'5.7 Boolesche Algebren und Schaltalgebra. 355
5.7.1 Definition . .
5.7.2 Dualitätsprinzip . . . . . . . . . 355
5.7.3 Bndliche Boolesche Algebren . 356
5.7.4 Boolesche Algebren als Ordnungen. 356
5.7.5 Boolesche Funktionen, Boolesche Ausdrücke. .'. 356
- ' 5.7.6 Normalformen. 358
5.7.7 Schaltalgebra.■. 358
5.8 Algorithmen der Graphentheorie.-.
5.8.1 Grundbegriffe und Bezeichnungen . 1.•. . . . 361
: 5.8,2 Durchlauf ungen von tmgerichteten Graphen.364
, ' 5.8.2.1 Kantenfolgen. 364
5.8.2.2 EulerscheUnien •.,. 365
: 5.8.2.3' Hamüton-Kreise ;. 366
5.8.3 Bäume und Gerüste. . .:. 367
5.8.3.1 Bäume. . .:.-. 367
5.8.3.2' Gerüste . . . . .-.:-. 368
; 5.8.4 Matehings . . ;. . . . . . . . 369
5:8.5 Planare Graphen.
■ 5.8.6 Bahnen in gerichteten Graphen.•. 371
- 5.8.7 Ixansportnetze . , \ . . . . . . . v. .
!5.9 Puzzy-Logik .;. .".•.;. 374
• 5.9.1 Grundlagen der Puzzy-Logik ,.:. . . .■ .'. 374
5.9.1.1
5.9.1.2 Zugehörigkeitsfunktionen. . . . . i. . 375
5.9.1.3 Puzzy^Mengen . •. .: :.■-,.; . . . 377
5.9.2 Verknüpfungen unscharfer Mengen . 378
5.9.2.1 Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen . 379
5.9.2.2 ' Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen . . 379'
5.9.2.3 Kompensatorische Operatoren .;. . . . . . .
Inhattsverzeichnis
5.9.2.4
5.9.2.5 Unscharf
5.9:3 -Pezy-wertige Relationen .
5.9.3.1
5.9.3.2
5.9.4
5.9.5
5.9.6 Wissensbasierte
5.9.6.1 Methode
5.9.6.2 Methode Sugeno. 389
5.9.6.3 Kognitive Systeme. 390
5.9.6.4 Wissensbasiertes Interpolationssystem . 392
Dfflerentialrechnung
6.1 Differentiation von Punktionen einer Veränderlichen . . . 394
6.1.1 Differentialquotient. -394
6:1.2
'6,1.2.1 Ableitungen elementarer Punktionen. 395
6.1.2.2 Grundregeln für das Differenzieren. 395
6.1.3 Ableitungen höherer Ordnung. .401
6.1.3.1 Definition der Ableitungen höherer Ordnung. -401
6.1.3.2 Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Punktionen. 401
6.1.3.3 Leibnizsche Regel.,,.:. 401
6.1.3.4 Höhere Ableitungen von Punktionen in Parameterdarstellung . . . 402
6.1.3.5 . Ableitungen höherer Ordnung der inversen Punktion . 402
6.1.4 Hauptsätze der Differentiakechnung. . 403
6.1.4.1 Monotoniebedingungen . , .-. . . . .-. . 403
6.1.4.2- SafevonFermat. . . .-.■•.,. 403
6.1.4.3 Satevon.Rolle .-. . 404
6.1.4:4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . .:. 404
6.1.4.5 Safe von Taylor für Punktionen, von einer Veränderlichen . . 405
6.1.4.6 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung. 405
6.1.5 Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten. 405
6.1.5.1
6.1.5.2 Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes 406
6.1.5.3 Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Punk-
tiony = f(x) . .-.-. 406
6.1.5.4 Bestimmung der globalen Extremwerte. 407
. 6.1.5.5 Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Punktion . 407
6.2 Differentiation von Punktionen von mehreren Veränderlichen. 408
6.2.1 Partielle Ableitungen .:. 408-
.6.2.1.1 Partielle Ableitung einer Punktion. 408
6.2.1.2 Geometrische Bedeutung bei zwei Veränderlichen. .;. 408
6.2.1.3 Begriff des Differentials .-.:. .408
6.2.1.4 Haupteigenschaften des Differentials . . 409 '
6.2.1.5 Partielles Differential . . . -,-. .:. 410
6.2.2 Vollständiges Differential und Differentiale-höherer Ordnung . .'. 410
6.2.2.1 Begriff des vollständigen Differentials einer Punktion von mehreren
Veränderlichen (totales Differential). 410
6.2.2.2 Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen. 411
6.2.2.3 Satz von Taylor für Punktionen von mehreren Veränderlichen . . . 412 .
6.2.3 Differentiationsregeln für Punktionen von mehreren Veränderlichen . 413
6.2.3.1
6.2Л2
'6.2.4 SufesÄifoimi
feímatóoaea
6 2.41!
6.2.42
• '6.2.5 Extremwerte voa
6.2.5.1
612.5.2
612.5.3
Veränderliohea. 418
612.5.4 Bestimmung der ¡Extremwerte eiaer Fuaktioa voa n Veräaderlichea 418
6.2.5.5 Lösung von Approximationsaufgaben. 418
612.5.6 Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen 419
Unendliche Reihen 420
7.1 ZaMerdfelgeu.,.,. 420:
7.1.1
7.1.1.1
7.1.1.2
7.1.1.3 _ Besehräabte
7.1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen.■. '. 421
7.2 Haben mit konstaaten Gliedera. . 422
7.2.1 Allgemeine Konvergenzsätze. . .-. 422
7.2.1.1 Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen . 422
7.2.1.2 Allgemeine Sätze über die Konvergenz vonReihen. 423:
7.2.2 Konvergenzkriterien für
7.2.2.1 Vergleichskriterium. 423
7.2.2.2 Quötientenkriterium von d'Alembert. 424
7.2.2.3 Wurzelkriterlum voa Cauchy.
7.2.2.4 Integralkriterium von Cauchy'. 425
7.2.3 Absolute und bedingte Konvergenz. 425
7.2.3.1 Definition . . .;.;.'. _ . .-. -425
7.2.3.2 . Bigenschaftea absolut koavergeater Reihen. 426
7.2.3.3 Alternierende Reihen . 426
7.2.4 Einige spezielle Reihen. . 427
7.2.4.1 Summeffisrerte einiger Reihen mit koBstaaten Gliedern. 427
7.2.4.2 Beraoullische und Bulersche Zahlen. 428
7.2.5 Absehätzung des Reihenrestes.:. 429
7.2.5.1 Abschätzung mittels
7.2.5.2 Alternierende konvergente. Reihen .'.,. 430
7.2.5.3 Spezielle Reihen . . 430
7.3 Bunktionenreihen .,.,.,.,.,.;-. 430
7.3.1/ Definitionen . . . ,-,'. 430
7.3.2 Gleichmäßige Konvergenz. ; .
7.3.2.1 Definition, Satz voa Weierstrass .-■.■. . '. . 431
7.3.2.2 BigeaschaftenjgleichiaäSigkonvergenter Reihen . .-,.•. . . . . 432
7.3.3 Potenzreihen. . . .,.,;. 432
7.3.3.1 Defiaitioa,,KoavergeHZ./. . , . . . , . . .'.,, 432
• 7.3.3.2 RechneamitPotenzreihea .,.,. .,.' . 433
7.3.3.3 Entwicklung in "Äylor-Reihen, MacLaurinsche Reihe . 434
7.3.4 Näherungsformem ._. 435
Inhattsverzeicknis XIX
7.3.5 Asymptotische
7.3:.51
7.3.5.2 Asymptotische
7,4 Fourier-Reihen .•.".'. 437
7Л.1
• 7.4.1.1 Grandbegriffe'.:.:.;.,'. 437
7.41.2 Wichtigste Eigenschaften von Foutier-Reihen . . . 438
7.4.2 Koeffizientenbestimmung für symmetrische Funktionen. . 439
7.42.1 Symmetrien verschiedener Art. 439
7.4.2.2 Formen der Entwicklung in eine Fourier-Reihe. 440
7.4.3 Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden. 441
7.4.4 Fourier-Reihe und
7.4.5 Hinweise zur Tabelle einiger Fottfier-Entwicklüngen . 442
Integralrechnung . 444
8.1 Unbestimmtes Iategral. .'. 444
8.1.1 Stamanfunktion oder Integral. 444
8.1.1.1 Unbestimmte Integrale ;■.:■:. 445
8.1.1.2 Integrale elementarer Funktionen '. '. 445
8.1.2 Integrationsregeln. 445
8.1.3 Integration rationaler Funktionen . .
8.1.3.1 Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome). 449
8.1.3.2 Integrale gebrochenrationaler Funktionen .;. 449
8.1.3.3 Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung . 449
8.1.4 Integration irrationaler Funktionen . :■■. ,. 452
8.1.41 Substitution zur Riiddrühruttgauf Integrale rationaler Funktionen . 452
8.1.4.2 Integration bmomischer Integranden. 453
8.1.4.3 Elliptische Integrale . 453
8.1.5 Integration trigonometrischer Funktionen : .•. 455
8.1.5.1 Substitution . 455
8.1.5.2 Vereinfachte Methoden .:.455
8.1.6 Integration weiterer transzendenter Funktionen . . . 456
8.1.6.1 Integrale mit Exponentialfunktionen. . 456
8.1.6.2 Integrale mit Hyperbelfunktionen . . 456
8.1.6.3 Anwendung der partiellen; Integration ;. . 457
8.1.6.4 Integrale transzendenter Funktionen . 457
8.2. Bestimmte Integrale . . .'■. . .■ : . . . . . :. 457
8.2.1 Grundbegriffe, Regeln und Sätze:. '457
8.2.1.1 Definition und Existenz des bestimmten Integrals. 457
8.2.1.2 Eigenschaften bestimmter Integrale. 458
8.2.1.3 Weitere Sätze über Integratiönsgrenzen. 460
8.2.1.4 Berechnung bestimmter Integrale. 462
8.2.2 Anwendungen bestimmter Integrale . -. 464
8.2.2.1 Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals : . . 464
8.2.2.2 Anwendungen in der Geometrie ;. . '465
, 8.2.2.3 Anwendungen in Mechanik und Physik. 467
8.2.3 Uneigentliche Integrale, Stidtjes-imdLebesgue-Integrale. 470
8.2.3.1 Verallgemeinerungen des Integralbegriffe . . 470
8.2.3.2 Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen . 471
8.2.3.3
8.2.4
8.2.4-.1
8.2.4.2
8.2.4.3
8.2.5
ЕЛЛ
8.3.1.1
8.3J.2
8.3.1.3 Bereohaiiag des I&irvenintegrals 1. Art . . . . 48t
8.3.Ш.4
8.3.2 Kurvenintegiale2. Art. .,-. 482
8.3.2.1 iDefmitionen. 482
8.3.2.2
8.3.2.3 Berechnung der Kurvenintegrale 2. Art . 483
8.3.3 Kurvenintegrele
8.3.3.1 Definition. 484
8.3.3.2 Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art . . 484
8.3.3.3 Umlaufintegral.■. . 485
8.3.4 Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg. 485
8.3.4.1 Zweidimensionaler Fall. 485
8.3.4.2 Ejdstenz der Stemmfunktion . . . . . . 486.
8.3.4.3 Dreidimensionaler Fall. . '. . 486
8.3.4.4 Berechnung der Stammfunktion. 486
8.4 Mehrfachintegrale. 488
8.4.1 Doppelintegral.' 488
8.4.1.1 Begriff des Doppelintegrals. 488
8.4.1.2 Berechnung des Böppelintegrals. 489
8.4.1.3 Anwendungen von
8.4.2 Dreifachintegral-. 491
8.4.2.1 Begriff des DretfaÄntegrals- . . . 491
8.4.2.2 Berechnung des Dreifachintegrals. 492
8.4.2.3 Anwendungen von Dreifachintegralen. 496
8.5 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . 496
•■ 8.5.1 Oberflachenmtegrale 1. Art. 496
8.6.1.1 . Begriff des OberfÄehenintegrals I.Art. ".■. 496
8.5.1.2 Berechnung des
8.5.1.3 Anwendungen
8.5.2 Oberfläehenintegrale2.Art . ,'.-. . . . . . . 499
■ ■ 8.5.2.1 Begriff des
8.5.2.2' Berechnung des Oberflächenintegrals 2. Art. 601
; ■ 8.5.3 Oberflaehenmtegral allgemeiner Art. . . . .''. . 502
8.5.3.1 Begriff des Oberflächenintegrals allgemeiner Art . . '. . 502
-: 8.5.3.2 Eigenschaften des Oberflichenintegrals. . : 502
9 Differentialgleichungen . ■ 504
' .9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen . '604
; '■ 9.1.1 Differentialgleichungen^ I.Ordnung.•.■■:.'. . 505
9.1.1.1
9.1.1.2 Wicht%e Integrationsmethoden . 506
9.1.1.3 Implizite Differenäalgleichungen . ¿.
9.1.1.4
9.1.1.5 Näherungsmethodenzur Integration von Differentialgleichungen
■ I.Ordnung . .v. .
Inìiattsverzcichnis
9.1.2
D^erentiaJgleietangen
9Л.2.1
911.2:2
9.1.2.3
9.1.2.4 Lösm^ linearer
9.1.2.5 Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizien¬
ten . . 522
9.1.2:6
9.1.3 Randwertprobleme . 532
9.1.3.1
9;1.3.2
9.1.3.3
9.1.3.4
9.2 Partielle Differentialgleichungen. 535
9.2.1 Partielle
9.2.1.1 Lineare
9.2.1.2 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen
9.2.2 Lineare
9.2.2.1 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ord-
nung mit zwei' unabhängigen Veränderlichen. . 540
9.2.2.2 Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen 2. Ord¬
nung mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen .
9.2.2.3 Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen
2. Ordnung . . . .'; . . . . .-. . 543
9.2.3 Partielle Differentialgleichungen aus.Naturwissenschaft und Technik . 554
9.2.3.1 Problemstelluagen und Randbedingungen. . 554
9.2.3.2 Wellengleichung. 555
9.2.3.3 Wärmeleituhgs- und Diffusionsgleichung;für ein homogenes Medium ■ 556
9.2.3.4 Potentiälgleichüng. 557
9.2.3.5
9.2.4 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen: Soltonen, periodische Muster
und Chaos. . . . . . . . . . . . 566
. 9.2.4.1 Physikalscb-mathematiscbe Problemstelung . . . 566
9.2.4.2
9.2.4.3 NiehtlineareSehrödinger^Gleichung .;. 569
9.2.4.4 Sinus-Gordon-Gleichung. 569
9.2.4.5 Weitere nichtlineaieEvolutionsgleichuagen mit Soltonlösungen . . 571
10 Variationsrechnung . ■ 572
10.1 Aufgabenstelung. ; . 572
10.2 Historische Aufgaben .'.■.: . 573
10¿2.1
10.2.2 Brachistodhronenproblem .'.;. ,573
10.3 Variationsaufgaben mit Punktionen einer Veränderlchen .■.:.-. 574
10.3.1 Einfache Variationsaufgabe und ibctreniale . . . 574
10.3.2 Bulersote Differentialgleichung der Variationsrechnung . . . 574,
10.3.3 Variationsaufgaben mit
10.3.4 Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen. 577
10.3.5 Variationsaufgaben mit. mehreren-gesuchten Punktionen. 577
10.3.6 Variationsaufgaben in Parameterdaicstellufflg. 578
10.4 Variationsaufgaben mit Punktionen von mehreren Veränderlchen. 579
M.4J
І014.2
Ш0І.5
KOJ®
S0j6.î ÎBfcste
Lineare Integralgleichuiigeii 583
11.1 Hnföhrung
11.2
11.2.1 Integralgleichungen
11.2.2 Methode der sukzessiven Approsodmation,
11.2.3 ßrednolmsche
11.2.3.1 Fredholmsehe Lösungsmethode.
11.2.3.2
11.2.4 Numerische Verfahren für Rredholmsche Integralgleichungen 2. Art . 592
11.2.4.1 Approximation des Integrals.,. 592
11.2.4.2 Kernapproximation. 594
11.2.4.3 Kollokationsmethode. 596
11.3 Redholmsche
11.3.1 Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen . . 598'
11.3.2 Begriffe, analytische Grundlagen. •. 599'
11.3.3
11.3.4 'Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art. 602
11.3.5 Konstruktion zweier
11.3.6 IteraitivesVerrahren. .--. . 604
11.4 Vblterraschelntegralgleichimgen': ; . 605
11.4.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . 605
11.4.2 Lösung durch Differenfäatioa. 606
11.43 Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art 607
11.4.4 Volterrasche Integralgleichungen vom Faltungstyp .'. 608
11.4.5 Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen 2. Art . . . . . . 609
11.5
11.5.1 AbelscheIntegralgleichung . \ .•./. .'. 611
11.5.2
11.5.2.1 Formulierung der Aufgabe. 612
11.5.2.2 . Ebdsiienz einer Lösung. 613
11.5.2.3 ■Bigenschaftendes'Gäuehy-Integrals . ./. 613
11.5.2.4 ¡Silbertsehes Randwertproblem. 613
11.5.2.5 Lösung des Hilbertschea Randwertproblems ./. 614
11.5.2.6 Lösung der charakteristischen Integralgleichung \. . 614
12
■12.1 Vektorräume.: : . .4. 616
; - 12.1.1 Begriff des Vektorraumes . . . . . .■.-.'. . 616
12.1.2 Lineare und aflfe-Kneare Teilmengen. .
■ 12.1.3 Linear unabhängige Elemente' '. -. -, . . 619
12.1.4 Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle. '.
12.1.4.1 Konvexe Mengen.■ . . . 619
: 12.1.4.2 Kegel . .'. 620
12.1.5 Lineare Operatoren uad^^ Funktionale. . . 620
12.1.5.1 Abbildungen. . •. 620
Inhattsverzeichnis
12.1.5.2 Homomorphismus und Endomorphismus . 621
Ш;б&
Шиб КошрІ8!нЯіа(ііоа'гМ1вї¥еМоиї8,ише
12.1.7 Geordnete: VeMwäume. . .621
■ 12.1.7.1 Kegel
12,1і7.2
12.1.7.3 Positive Operatoren. . . .•. . 623
12.1.7.4 Vektorverbfcde. 623
12.2 Metrische Räume: . .■.'. 624
12.2.1 Begriff des
12.2.1.1 Kugeb, Umgebungen imd offene Mengen. 626
12.2.1.2 Konvergem von Folgen im metrischen RWta. 626
12.2.1.3 Abgeschlossene Mengen und. Abschließung . .•.,.' 627
12.2.1.4 Dichte Teilmengen und
12.2.2 Vollständige metrische Räume • • .--. .■.■.■'-. 628
• 12.2.2.1 Cauchy-Folge. 628
12.2.2.2 Volstäadiger metrischer Raum.,.' . . 628
12.2.2.3 Einige fundamentale Sätzem vollständigen metrischen Räumen . 628
12.2.2.4 Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips. 629
12.2.2.6 Vervollständigung eines metrischen Raumes. 631
12.2.3 Stetige Operatoren. 631
12.3 Normierte Räume.,. 631
12.3.1 Begriff des,normierten Raumes-. 631
12.3.1.1 Axiome des normierten Raumes . . ._. 631
. ■ ■ 12.3.1.2 Einige Eigenschaften normierter Räume. . 632
12.3.2 Banach-Räume. 632
12.3.2.1 Reihen in normierten Räumen. 632
12.3.2.2 Beispiele von Banach-Räumen. 633
12.3.2.3 Sobolew-Räume. 633
12.3.3 Geordnete normierte Räume . , . 634
12.3.4 Normierte Algebren. 634
12.4 . Hilbert-Räume . . .;. 636
12.4.1' Begriff des BHbert-Raumes . . . 635
12.4.1.1 Skalarprodukt. . 636
12-.4.1.2 Unitäre Räume ^und einigerihrer Eigenschaften. 635
12.4.1.3 Hilbert-Raum . . :. . 636
12.4.2 Orthogonalität . . . ,.'.-. 636
12.4.2.1 EigensehaftenderOrthogonalität . 636
12.4.2.2 Orthogonale Systeme. 637
12.4.3 Pburier-Reihen im Bilbert-Raum. 638
.12.4.3.1
12.4.3.2 Parsevalsche Gleichung, Satz von Riesa-Pischer . . 638
12.4.4 Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert-Räume . . . . . . _ . . . .-> . 639"
12.5 Stetige lineare Operatoren und Funktionale. 639
12.5.1
12.5.1.1 Beschränktheit und Norin.linearer Operatoren . 639
12.5.1.2 Raum linearer stetiger Operatoren .-. .'. 640
12.5.1.3 Konvergenz von Operatorenfolgen. 640
12.5.2 Lineare stetige Operatoren in Banaeh-Räumen. 640
12.5.3 Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren.
12.5.3.1 Resolventenmenge und Resolvente eines Operators . . . 642
125.3.2 Spektrum eines Operators. . . 643
12.5.4 Stetige Idmeare
Ш.5АЛ
12,5.42 Stetige
Ш2.5.4.3
ІЙ.5.5
Ü12.5.6 Äennung konvexer Mengen.,.,,.,,.,. . , 641
312.5.7
|2'.'6
12.6.1
12.6.2
■■■'. 12.6.3 SelbstadjiungiertieOperatoren. . ,. 6#
JC2.6Ä1 Positiv
12.6.3.2 Projektoren im Hilbert-Raum. 648
■■■ 12.7 Kompakte Mengen und kompakte Operatoren.: . :. 64S
12.7.1 Kompakte Teilmengen in normiertes Räumen . . ¡, ,. . . . . . 648
12.7.2 Kompakte Operatoren. 649
" . 12.7.2.1 Begriff des kompakten Operators .,. 6»
12.7.2.2 Eigenschaften linearer kompakter Operatoren. 64f
12.7.2.3 Schwache Konvergenz von Elementen., . 649!
12.7.3 Predholmsche Alternative. 65©
. '■ 12.7.4 Kompakte Operatoren im Hilbert-Raum. . ,. 650-
12.7.5 Kompakte selbstadjungierte Operatoren . 65©
12.8 Nichtlineare Operatoren. 6531
12.8.1 BeispielenieatlmearerOperatoren . . . . . . .■., . 651
" 12.8.2 Differenzierbarkelt nichtlinearer Operatoren.
!■■:■ 12.8.3
•: 12.8.4 Schaudersches Pixpunktprinzip. 653
12.8.5 Leray-Schauder-Theorie, ;■■.-. .:., . 65a
12.8.6 Positive mchtlmeare Operatoren.654
12.8.7 Monotone Operatoren in Banach-Räumen .;. 655
12.9 Maß und Lebesgue-Integral. ■.-. 65&
12.9.1
12.9.2 Meßbare Funktionen. 657
12.9.2.1 Meßbare Pcmktioa' .;.'. 657
12.9.2.2 Eigenschaften der Klasse der meßbaren Punktionen . . 657
12.9.3.Integration.;. 657
12.9.3.1 Definition des Integrals. 657
12.9.3.2 Einige Eigenschaften des Integrals . . ;. 658
12.9.3.3 Konvergenzsätze '. 658
.12.9.4 #4Räume . . . '.•. . . . . '. . . .' . . 659
■■.'. : 12.9.5 Distributionen.'. . ,. 660'
■: • 12.9.5.1 Formel der partiellen Integration . . . . 660
12.9.5.2
"- 12.9.5.3 Distribution. 661
.!■■ 12.9.5.4 AbleitungÄerDistribution .;. . 661
13- Vektoranalysis und Feldtheorie 663
■.■■■'13.1 Grundbegriffe der Feldtheorie,. . . . . .'. . . . . . 663
:. 13.1.1 Vektorfunktion einer skalaren^^ Variablen .;. 663
; 13.1.1.1 Definitionen .„.;.,. 663
13.1Л.2
13.1,1.3' Differentiationsregem für Vektoren . . 663
Inhaltsverzeichnis XXV
13.1.1.4 Taytor-BntwicklungfiirVektDrftHfttienen.;. 864
13.1.2і
13.1.2.1 Skätares Feld oder sMaie
13.1.2.2 WiÄgeEffle^stalarerielder. 664
13.1.2.3 KQ©rdi|щtшdмs6eЖшgV0шSkaiaJгЫdem. / .■. 665
13.1.2.4 NiveaufläÄeii
13.1.3 Vektorfelder. 666
13.1.3.1
13.1.3.2 Wichtige
13.1.3.3
13.1.3.4 Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen . 668
13.1.3.5 Feldlinien. 669
13.2 Bäumliche
13.2.1 Bichtungs- und Volumenableitung .: 670
13.2.1.1 Richttmgsableitung eines skalaren Feldes . . . :.' 670
13.2.1.2 ffichtungsableitung eines vektoriellen Feldes. 670
13.2.1.3 Volumenableitung oder räumliche Ableitung. 671
13.2.2 Gradient eines Skalarfeldes.;. 671
13.2.2.1 Definition des Gradienten . . ■.'. 671
13.2.2.2 Gradient und Richtungsableitung . 672
Í3.2.2.3
13.2.2.4 Weitere Eigenschaften des Gradienten. 672
13.2.2.5 Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten. 672
13.2.2.6 Reehenregeln. 673
13.2.3 Vektorgradient . 673
13.2.4 Divergenz des Vektorfeldes. s. 673
13.2.4.1 Definition der Divergenz. 673
13.2.4.2 Divergenz in verschiedenen Koordinaten . 674
" 13.2.4.3 Regem zur Berechnung der Divergenz. 674
13.2.4.4 Divergenz eines ZentralfeMes. 674
13.2.5 Rotation des Vektorfeldes. 675
13.2.5.1 Definitionen der Rotation. 676
13.2.5.2 Rotation in verschiedenen Koordinaten . 676
13.2.5.3 Regeln zur Berechnung der Rotation.676
13.2.5.4 Rotation
13.2.6 Nablaoperator, Laplace-Operator. 677
13.2.6.1 Nablaoperator. . . . 677
13.2.6.2 Rechenregela für den Nablaoperator. 677
13.2.6.3 Vektorgradient. : . . 678
13.2.6.4 Zweifache Anwendung des Nablaoperators . . . . .,. . . . . . 678
13.2.6.5 baplace-Operator. . 678
13.2.7 Übersicht zu den räumlichen Differentialoperatiönen. 679
13.2.7.1 Prinzipielle Verknüpfimgen.und Ergebnisse
ren . .".'.'.-.".'. 679
13.2.7.2 Recheniegeln für
13.2.7.3 Vektoianalytisehe Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und Kugel¬
koordinaten .-.•. . . . . .-. . . 680
13.3- Integration^Vektorfeldern. . .■. 681
. 13.3.1 Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld -.-.
' 13.3.1.1 Kurvenintegral im Vektorfeld . . . . .' . 681
13.3.1.2 Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik .-.'. 682
13.3.1.3 Eigenschaften des Kurvenintegrals. . 682
XXVI
І
13.3.1.4
13.3.1.5 Umlauf integral eines Vektorfeldes. 683
13.3.1.6 Konservatives oder PotentiaMeld. 683
13.3.2
13.3.2.1 Vektor eines ebenem Plächenstiiekes. . 684
13.3.2.2 Beredaung vott Oberiäohenetegralen . . . 685
13.3.2.3 Oberfiäobenimtegraleimd Eluß von Feldern. 685
13.3.2.4 Oberflächenintegrale im kartesischen Koordinaten als
Oberfläohenintegrale 2. Art. 686
13.3.3 Integralsätze. 687
13.3.3.1 Integratoatz und Integralformel von Gauß. 687
13.3.3.2 Integralsatz von
13.3.3.3 Integralsätze von Green. 688
13.4 Berechnung von Feldern. 689
13.4.1 Reines Quellenfeld. 689
13.4.2 Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld. 689
13.4.3 Vektorfelder mit punktförmigen Quellen. 690
13.4.3.1 Coulomb-Feld der Punktladung., . 690
13.4.3.2 Gravitationsfeld der Punktmasse . 690
13.4.4
13.4.4.1 Diskrete Quellenverteilimg . '. 690
13.4.4.2 Kontinuierliche Quellenverteilung. 691
13.4.4.3 Zusammenfassung .:. 691
13.5 Differentialgleichungen der Feldtheorie .■. 691
13.5.1 Laplacesche Differentialgleichung. 691
13.5.2 Poissonsche Differentialgleichung. 691
14 Funktionentheorie 693
14.1 Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 693
14.1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit. 693
14.1.1.1 Definition der komplexen Funktion. 693
14.1.1.2 Grenzwert der komplexen Funktion. 693
14.1.1.3 Stetigkeit der komplexen Funktion. 693
14.1.1.4 Differenzierbarkeit der komplexen Funktion. 693
14.1.2 Analytische Funktionen. 694
14.1.2.1 Definition der analytischen Funktion . 694
14:1.2.2 Beispiele analytischer Funktionen. 694
14.1.2.3 Eigenschaften analytischer Funktionen. 694
14.1.2.4
14.1.3 Konforme Abbildung. 696
14.1.3.1 Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung. 696
14.1.3.2 Einfachste konforme Abbildungen. 697
14.1.3.3 Schwarzsches Spiegelungsprinzip. 703
14.1.3.4 Komplexe Potentiale .•. .703
14.1.3.5 Superpositionsprinzip. 705
14.1.3.6 Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene. 706
14.2 Integration im Komplexen . .-. 707
14.2.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral. 707
14.2.1.1 Definition des Integrals im Komplexen. 707
14.2.1.2 Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale . 708
14.2.2 Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz der Funktionentheorie. 710
14.2.2.1 Integralsatz von Gauchy für einfach zusammenhängende Gebiete . 710
Inhaltsverzeichnis
14.2.2.2 Imtegralsatz von Cauehy für mehrfach zusammenhängende Gebiete 710
14:2.3
14.2.3.1
14:2.31.2
$4.3
14.3.1
14.3.1.1 Konvergenz
Ш4.3.1.2
14.3.O
14.3.2 Taylor-Reihe. 713
14.3.3 Prinzip der analytischen Fortsetzung . . . .•. 714
14.3.4 Laurent-Etatwicktang . . 714
14.3.6 Isolierte singul&e Stellenund der Residuensatz . . . 716
14.3.5.1 Isolierte
14.3.5.2 Meromorphe Punktionen . 715
14.3.5.3 Elliptische Punktionen ;. 716
14.3.6.4 Residuum . ^. 716
14.3.5.5 Residuensatz. 716
14.4 Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen . . .■. 717
14.4.1 Anwendung der Cauchyschen Integralformela. . 717
14.4.2 Anwendung des Residuensatzes. 717
14.4.3 Anwendungen des Lemmas von Jordan . . . . 717
14.4^.3.1 Lemma von Jordan. 717
14.4.3.2 Beispiele zum Lemma von Jordan. 718
14.6 Algebraische und elementare transzendente Punktionen. 720
14.5.1 Algebraische Punktionen .
.14.5.2 Elementare transzendente Punktionen .'. 720
14.5.3 Beschreibung von Kurven in komplexer Form. . 723
14.6 Elliptische Punktionen. 724
14.6.1 Zusammenhang mit elliptischen Integralen. 724
14.6.2 Jacobische Punktionen. .-.- .v. 726
14.6.3 Thetafunktionen. .;.•
14.6.4 WeierstrassscheFunktionen.;. 728
15 Integraltraosformationen 730
' 15.1 Begriff der Integraltransformation .■. 730
15.1.1 Allgemeine Definition der Integraltransformationen. 730
16.1.2 Spezielle Integraltransformationen-. 730
16.1.3 Umkehrtransformationen .,.<.■. 730
16.1.4 Linearität der Integraltransformationen. 732
16.1.6
15.1.6 Anwendungen der Integraltransformationen ;.-.
15.2 Laplace-Iransformation .;.,.,._. 733
15.2.1 Eigenschaften der Laplace-Transformation. 733
.15.2.1.1 Laplace-lransformierte, Qxig&ial-und Bildbereieh . .'. 733
15.2.1.2 RechenregeM zur Laplace^-Iransformation. 734
15.2.1.3 Bildfunktionen spezieller Punktioneu. 737
15.2.1.4 Diracsche Delta-Punktioa und Distributionen , „. 740
15.2.2 Rücktransformation in den. Orjginalbereieh. .:. 741
16.2.2.1 Rücktransformation mit Hilfe vonTabellen . . .,. 741
15.2.2.2 Partialbruchzerlegung . . '. . :.'. . 741
15.2.2.3 Reihenentwicklungen . .•.-.•. . : 742
I
15i2.2.4
15.2.3 Lösimg vom DÄereniiaagtoiokingen mit
15.2.3il Gewöhriiche DMferentifttgleiclemgeB mit koastanten Koeffizienten 744
15.2.3.2 Gewöhnliche
ten. 745
15.2.3.3 Partielle
15.3 Fourier-Tramsforiaation.•. 747
15.3.1 Eigenschafta» der
15.3.1.1
15.3.1.2 Fomrier-Tcansformation und Umkehrtransformation. 748
15.3.1.3 Rechenregeln zur
15.3.1.4 Bildfunktionen spezieller Funktionem. 753
15.3.2 Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Fourier-lransfonnation . . 754
15.3.2.1 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen. 754
15.3.2.2 Partielle Differentialgleichungen. 755
15.4 Z-Transformation. 757
15.4.1 Eigenschaften der Z-Transformation. 757
15.4.1.1 Diskrete Funktionen. 757
15.4.1.2 Definition der Z-Transformation. 757
15.4.1.3 Rechenregeln.'. . 758
15.4.1.4 Zusammenhang mit der Laplace-Tcansformation. 759
15.4.1.5 Umkehrung der Z-Transformation. 760
15.4.2 Anwendungen der Z-Transformation. 761
15.4.2.1 Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen. 761
- 15.4.2.2 Differenzengleichung 2. Ordnung (Anfangswertaufgabe). 762
15.4.2.3 Differenzengleichung 2. Ordnung (Randwertaufgabe). 763
15.5
15.5.1 Signale. 763
15.5.2
15.5.3
15.5.4 Diskrete
15.5.4.1 Schnelle
15.5.4.2 Diskrete Haar-Wavelet-Transformation. 766
15.5.5 Gabor-Transformation. 766
15.6 Walsh-Funktionen. 767
15.6.1 Treppenfunktionen.'., . . . . 767
15.6.2 Walsh-Systeme. 767
16 Wahrscheinlichkeitsrechnimg und mathematische Statistik 768
16.1 Kombinatorik. 768
16.1.1 Permutationen. 768
16.1.2 Kombinationen . . . .■. 768
16.1.3 Variationen. 769
16.1.4 ZusammenstelluiQg der Formeln der Kombinatorik '., . . . 770
16.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung . ._. 770
16.2.1 Ereignisse, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten. 770
16.2.1.1 Ereignisse . . 770
16.2.1.2 Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten. 771
16.2.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von
16.2.2 Zufallsgrößen,. Verteütmgefunktion. 774
16.2.2.1 Zufallsveränderliche. 774
16.2.2.2 Verteilungsfunktion. 774
Inhaltsverzeichfm XXDC
16.2.2.3 Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffeche Ungleichung . . 776
16.2.2.4 Mehrdimensionale Zufallsverättderliche. 777
16.2.3 Diskrete Verteilungen . . 777
16.2.3.1 Binomifllverteilung. . . 778
16.2.3.2
16.2.3.3 Poisson-Verteilung. 780
16.2.4 Stetige Verteilungen. 780
16.2.4.1 Normalverteilung. 780
16.2.4.2 Normierte Normalverteilung, Gaußsches Fehlerintegral. 782
16.2.4.3 Logarithmische Normalverteilung. 782
16.2.4.4 Exponentialverteilung. 783
16.2.4.5 Weibull-Verteilung. 784
16.2.4.6 ^-Verteüung. 785
16.2.4.7 Fisher-Verteilung.'. 785
16.2.4.8 Student-Verteilung. 786
16.2.6 Gesetze der großen Zahlen,'Grenzwertsätze. 787
16.2.5.1 Gesetz der großen Zahlen von
16.2.5.2 Grenzwertsatz von Lindeberg-Levy . . . .'. 788
16.2.6
16.2.6.1 Grundbegriffe, Markoffsche Ketten. 788
16.2.6.2 Poisson-Prozesse. 791
16.3 Mathematische Statistik . 793
16.3.1 Stichprobenfunktionen. 793
16.3.1.1 Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor. 793
16.3.1.2 Stichprobenfunktionen. 794
16.3.2 Beschreibende Statistik. 795
16.3.2.1 Statistische Erfassung gegebener Meßwerte . 795
16.3.2.2 Statistische Parameter. 796
16.3.3 Wichtige Prüfverfahren. 797
16.3.3.1 Prüfen auf Normalverteilung. . 797
16.3.3.2 Verteilung der Stichprobenmittelwerte .'. 799
16.3.3.3 Vertrauensgrenzen für den Mittelwert. 800
16.3.3.4 Vertrauensgrenzen für die Streuung. 801
16.3.3.5 Prinzip der Prüfverfahren .~. 802
16.3.4 Korrelation und Regression. 802
16.3.4.1 Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen. 802
16.3.4.2 Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen. 803
16.3.4.3 Mehrdimensionale Regression. 804
Í6.3.5
16.3.5.1 Simulation. 806
16.3.5.2 Zufallszahlen. 806
16.3.5.3 Beispiel für eine
16.3.5.4 Anwendungen der Monte-Carlo-Methode in der numerischen
Mathematik. 808
1.6.3.5.5 Weitere Anwendungen der Monte-Carlo-Methode. . 810
16.4 Theorie der Meßfehler. 811
16.4.1 Meßfehler und ihre Verteilung , . . 811
16.4.1.1 Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen. 811
16.4.1.2 Meßfehlerverteilungsdichte. 811
16.4.1.3 Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen. 813
16.4.1.4 Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen. 816
16.4.1.5 Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit . 816
XXX InkßMsiterzeickms
16.4.1.6
16.4.2 PeMarfortpflaazueg
16v4.2.1 GaußseheBFehlerfortpIamamagsgesetz. . 818
16.4.2.2 Fehleranalyse. 819
17 Dynamische Systeme und Chaos 821
17.1 Gewöhnliche Differentialgleiehüngen tmd Abbildungen . . . 821
17.1.1 Dynamische Systeme. 821
17.1.1.1 Grundbegriffe. 821
17.1.1.2 Invariante Mengen. 823
17.1.2 Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen . 824
17.1.2.1 Existenz des Flusses und Phasenraufflstruktur. 824
17.1.2.2 Lineare Differentialgleichungen . 825
17.1.2.3 Stabilitätstheorie. 827
17.1.2.4 Invariante Mannigfaltigkeiten. 830
17.1.2.5
17.1.2.6
17.1.3 Zeitdiskrete dynamische Systeme. 836
17.1.3.1 Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen. 836
17.1.3.2 Invariante Mannigfaltigkeiten. 836
17.1.3.3
17.1.4 Strukturelle Stabilität (Robustheit). 837
17.1.4.1 Strukturstabile Differeatialgleich'ungea. 837
17.1.4.2 Strukturstabile zeitdiskrete Systeme. 838
17.1.4.3
17.2 Quantitative Beschreibung von Attraktoren. 840
17.2.1 Wahrscheialichkeitsmaße auf Attraktoren. 840:
17.2.1.1 Invariantes Maß. 840
17.2.1.2 Elemente der Ergodentheorie . .'. 841
17.2.2 Entropien. 843
17.2.2.1
17.2.2.2 Metrische Entropie. 843
17.2.3 Lyapunov-Exponenten. 844
17.2.4 Dimensionen . . ■. 845
17.2.4.1 Metrische Dimensionen. 845
17.2.4.2 Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen. 848
17.2.4.3 ' Lokale Hausdorff-Dimension nach
17.2.4.4 Beispiele von Attraktoren . 850
17.2.5 Seltsame Attraktoren und Chaos. 852
17.2.6 Chaos in eindimensionalen Abbildungen.'. 852
17.2.7 Rekonstruktion der Dynamik aus
17.2.7.1 Grundlagen, Rekonstruktionen mit genetischen Eigenschaften . . . 853
17.2.7.2 Rekonstruktionen mit prävalenten Eigenschaften . 854
17.3 Bifurkationstheorie und Wege zum Chaos. 856
17.3.1 Bifurkationen in Morse^Smale-Systemen. 85.6
17.3.1.1 Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen. 856
17.3.1.2 Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit. 861
17.3.1.3 Globale Bifurkationen . 864
17.3.2 Übergänge zum Chaos. 865
17.3.2.1 Kaskade von Periodenverdopplungen. . 865
17.3.2.2 btermittenz. 865
17.3.2.3 Globale homoldine Bifurkationen. 866
XXXI
17.3.2.4 Auflösung eines
18 Optimierung • 873
18.1 Lineare Optimierung. 873
18.1.1 Problemstellung und geometrische Darstellung.'. 873
18.1.1.1 Formen der linearen Optimierung. 873
18.1.1.2 Beispiele und graphische Lösungen. 874
18.1.2 Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform . 875
18.1.2.1 Ecke und Basis. 875
18.1.2.2 Normalform der linearen Optimierungsaufgabe. 877
18.1.3 Simplexverfahren. 878
18.1.3.1
18.1.3.2 Übergang zum neuen
18.1.3.3 Bestimmung eines ersten
18.1.3.4 Revidiertes Simplexverfahren . 881
18.1.3.5 Dualität in der linearen Optimierung. 882
18.1.4 Spezielle lineare Optimierungsprobleme. 884
18.1.41 Transportproblem. 884
18.1.4.2 Zuordnungsproblem. 886
18.1.4.3 Verteilungsproblem'. 887 .
18.1.4.4 Rundreiseproblem. 887
18.1.4.5 Reihenfolgeproblem. 887
18.2 Nichtlineare Optimierung. 888
18.2.1 Problemstellung und theoretische Grundlagen. 888
18.2.1.1 Problemstellung. 888
18.2.1.2 OptimaUtätsbedingungen . 888 ,
18.2.1.3 Dualität in der Optimierung. 889
18.2.2 Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben. 890
18.2.2.1 Konvexe Optimierung . 890
18.2.2.2 Quadratische Optimierung. 890
18.2.3 Losungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben. 891
18.2.3.1 Verfahren von Wolfe. 891 -
18.2.3.2 Verfahren von Hildreth-d'Esopo. 893
18.2.4 Numerische Suchverfahren. 893
18.2.4.1 Eindimensionale Suche. 894
18.2.4.2 Mininramsuche im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum . . . 894
18.2.5 Verfahren für unrestringierte Aufgaben ». 895
18.2.5.1 Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren). 895
18.2.5.2 Anwendung des Newton-Verfahrens.,. . . 895
18.2.5.3 Verfahren der konjugiertem Gradienten. 896
18.2.5.4 Verfahren von Davidon,
18.2.6 Evolutionsstrategien. 897
18.2.6.1 Mutations-Selektions-Strategie.•. 897
18.2.6.2 Strategien mit Rekombination. 897.
18.2.7 Gradientenverfahren für Probleme mit Ungleichungsrestriktionen. 898
18.2.7.1 Verfahren der zulässigen Richtungen. 898
18.2.7.2 Verfahren der projezierten Gradienten. 900
18.2.8 Straf-und Barriereverfahren. 902
18.2.8.1 Strafverfahren. 902
18.2.8.2 Barriereverfahren. 903
18.2.9 Schnittebenenverfahren.'. 904
18.3 Diskrete dynamische Optimierung. 905
ШЛА
АЗ.І.і
18.3.1.2 D^aÄfehe0ptfeiMerijMgs|bto
18.3.2 Beispiele diskreter
18.3.2.1
18.3.2.2
18.3.3
18.3.3.1
18.3.3.2
18.3.4
18.3.5
18.3.5.1 Bestimmung
18.3.5.2 Bestimmung der optimalen:
18.3.6 Beispiele zur Anwendung der Punktionalgleichungsmethode. . 909
18.3.6.1 Optimale Emkauftpolitik. . 909
■ 18.3.6.2 Rueksaokproblem. 909
19 Numerische Mathematik 911
19.1 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen:init einer Unbekannten. 911
19.1.1 Iterationsverfahren .-. 911
19.1.1.1 Gewöhnliches Iteratiönsverfabren. 911
19.1.1.2 Newton-Verfahren. ,. 912
19.1.1.3 RegolafaJsi . . . 913
19.1.2 Lösung von Polynomgleichungen.•. 914
19.1.2.1 Horner-Schema. 914
19.1.2.2 Lage der Nullstellen.
19.1.2.3 Numerische Verführen.•. 916
19.2 Numerische Lösung von Gleichungssystemen. 917
' 19.2.1 Lineare Gleichungssysteme. . . 917
19.2.1.1 Dreieckszerlegung einer Matrix. 918
19.2.1.2 Ciholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix . 920*
19.2.1.3 Orthogonalisiertmgsverfahren. 920
19.2.1.4 Iteration in Gesamt-und Einzelschritten. 922
19.2.2 Nichtlineare Gleichungssysteme. . 923
19.2.2.1 Gewöhnliches Iterationsverfahrem. 923
19.2.2.2 Newton-Verfahren. 924
19.2.2.3 Ableitungsfreies Gaufi-Newton-Verfahren. 924'
19.3 Numerische Integration. 925
19.3.1 Allgemeine Qttadraturformel . . .■. 925>
19.3.2 Interpolationsqjiadraturen.'. 926:
19.3.2.1 Rechteckformel. 926
19.3.2.2
19.3.2.3 Hermitesche Trapezformel . . . 927
19.3.2.4 Simpson-Formel. . . 927
19.3.3 Quadraturformeb vom Gauß-Typ.'. 92?
19.3.3.1 Gaußsche Quadraturformem. 927
19.3.3.2 Lobattosche Quadraturformeb . 928
19.3.4 Verfahren von Romberg.-. 928
19.3.4.1 Algorithmus des
19.3.4.2 Extrapolationsprinzip -.». 929
19.4 Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen. 931
19.4.1 Anfangswertaufgaben. 931
Inhatísverzeichms XXXTTT
19.4.1.1
19.4.1.2 Runge-Kutta-Verfahren.
19.4.1.3 Mehrschrittverfahren. 932
19.4.1.4 Prediktor-Korrektor-Verfahren. 933
19.4.1.5 Konvergenz, Konsistenz, Stabilität. 934
19.4.2 Randwertaufgaben. 935
19.4.2.1 Differenzenverfahren. 936
19.4.2.2 Ansatzverfahren. 936
19.4.2.3 Schießverfahren. 937
19.5 Genäherte Integration von partiellen Differentialgleichungen. 938
19.5.1 Differenzenverfahren. 938
19.5.2 Ansatzverfahren .-. 939
19.5.3 Methode der flniten Elemente
19.6 Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische Analyse. 945
19.6.1 Polynominterpolation. 945
19.6.1.1 Newtonsche Interpolationsformel . 945
19.6.1.2 Interpolationsformel nach Lagrange'. 945
19.6.1.3 Interpolation nach Aitken-Neville. 946
19.6.2 Approximation im Mittel.'. 947
19.6.2.1 Stetige Aufgabe, Normalgleichungen. 947
19.6.2.2 Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder-Verfahren . . 948
19.6.2.3 Mehrdimensionale Aufgaben. 949
19.6.2.4 Nichtlineare Quadratmittelaufgaben. 950
19.6.3 Tschebyscheff-Approximation. 951
19.6.3.1 Aufgabenstellung und Alternantensatz. 951
19.6.3.2 Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome. '951
19.6.3.3 Remes-Algorithmus . 953
19.6.3.4 Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Optimierung. 95a
19.6.4 Hannonische Analyse. 954
19.6.4.1 Pormehl zur trigonometrischen Interpolation. 954
19.6.4.2 Schnelle Pourier-Transformation (FPT). 955
19.7 Darstellung von Kurven und Flachen mit Hilfe von
19.7.1 Kubische
19.7.1.1
19.7.1.2 Ausgleichssplines. 960
19.7.2 Bikubische
19.7.2.1 Anwendung bikubischer
19.7.2.2
19.7.2.3 Bikubische Ausgleichssplines. 962
19.7.3 Bernstein-Bezier-Darstellung von Kurven und Flächen. 962
19.7.3.1 Prinzip der B-B-Kurvendarstellung. 963
19.7.3.2 B-B-Flächendarstellung. 964
19.8 Nutzung von Computern. 965 ■
19.8.1 Interne Zeichendarstellung. ■. 965
19.8.1.1 Zahlensysteme. 965
19.8.1.2 Interne Zahlendarstellung. 966
19.8.2 Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern. 968
19.8.2.1 Einführung, Fehlerarten. 968
19.8.2.2 Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung. . . . 968
19.8.2.3 Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen. 970
19.8.3 Bibliotheken numerischer. Verfahren. 973
19.8.3.1 NAG^Bibliothek. 974
XXXIV
19.8.3.2
19.8.3.3 Aachener
19.8.4 Anwendung mm Computeralgebrasystemen'. 975
19.8.4.1
191:8.4.2
20
20.1 Einführung. .'. .•. 982
20; 1.1 Kurzcharakterietjk von Computeralgebrasystemen. 982
20.1.2 Einführende Beispielen» die Hauptanwendungsgebiete. ,. . 983
20.1.2.1
20.1.2.2 Numerische Berechnungen . , 983
20.1.2.3 Graphische Darstellungen. 984
20.1.2.4 Programmierumg in Computeralgebrasystemen. 984
20.1.3 Aufbau von und Umgang mit Computeralgebrasystemen . . . 984
20.1.3.1 Hauptstrukturelemente.•. 984
20.2
20.2.1 Haupstrukturelemente. 986
20.2.2 Zahlenarten in
20.2.2.1 Grundtypen von Zahlen in
20.2.2.2 Spezielle Zahlen. 987
20.2.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen . '. 988
20.2.3 Wichtige Operatoren. 988
20.2.4 Listen. 989
20.2.4.1 Begriff und Bedeutung. 989
20.2.4.2 Verschachtelte Listen. 990
20.2.4.3 Operationen mit Listen. 990
2Ó.2.4.4
20.2.5 Vektoren und Matrizen als Listen . 991
20.2.5.1 Aufstellung geeigneter Listen. 991
20.2.5.2 Operationen mit Matrizen und Vektoren. 991
20.2.6 Funktionen. 993
20.2.6.1 Standardfunktionen. 993
20.2.6.2 Spezielle Punktionen. 993
20.2.6.3 Reine Funktionen. 993
20.2.7 Muster . ;. 993
■ 20.2.8 Funktionaloperationen. 994
20.2.9 Programmierung. 995
20.2.10 Ergänzungen zur Syntax, Informationen, Meldungen. 996
20.2.10.1 Kontexte, Attribute.• . . . 996
20.2.10.2 Informationen. 997
20.2.10.3 Meldungen . 997
20.3
20.3.1 Hauptstrukturelemente . . . 998
20.3.1.1 Typen und Objekte. . . .' . . . 998
20.3.1.2 Eingaben und Ausgaben . . 999
20.3.2 Zahlenarten in
20.3.2.1 Grundtypen von Zahlen in
20.3.2.2 Spezielle Zahlen. 1000
20.3.2.3 Darstellung und Konvertierung von Zahlen . 1000
20.3.3 Wichtige Operatoren in
20.3.4 Algebraische Ausdrücke. 1001
Inhalteverzeichnis XXXV
20.3.5 Folgen und Listen. 1002
20.3.6 Tabellen- und feldaxtige Strukturen, Vektoren und Matrizen.'. 1003
20.3.6.1 Tabellen-uad feldartige Strukturen. 1003
20.3.6.2 Eindimensionale
20.3.6.3 Zweidimensionale
20.3.6.4 Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen. 1005
20.3.7 Prozeduren, Funktionen und Operatoren . 1005
20.3.7.1 Prozeduren. 1005
20.3.7.2 Funktionen. 1006
20.3.7.3 Funktionaloperatoren. 1007
20.3.7.4 Differentialoperatoren . ;. 1007
20.3.7.5 Der Funktionaloperator map. 1007
20.3.8 Programmierung in
20.3.9 Ergänzungen zur Syntax, Informationen und Hilfe. 1008
20.3.9.1 Nutzung der Maple-Bibliothek . . . 1008
20.3.9.2 Umgebungsvariable.-.-.■. 1009
20.3.9.3 Informationen und Hilfe. 1009
20.4 Anwendungen von Computeralgebraeystemen. 1010
20.4.1 Manipulation algebraischer Ausdrücke.'. 1010
20.4.1.1
20.4.1.2
20.4.2 Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen. 1015
20.4.2.1
20.4.2.2
20.4.3 Elemente der linearen Algebra. 1019
20.4.3.1
20.4.3.2
20.4.4 Differential-und Integralrechnung. 1023
20.4.4.1
20.4.4.2
20.5 Graphik in Computeralgebrasystemen. 1030
20.5.1 Graphik mit
20.5.1.1 Grundlagen des Graphikaufbaus. 1030
20.5.1.2 Graphik-Primitive. 1030
■ 20.5.1.3 Graphikoptionen '.• . . 1031
20.5.1.4 Syntax der Graphikdarstellung. 1031
20.5.1.5 Zweidimensionale Kurven. 1033
20.5.1.6 Parameterdarstellung von Kurven. 1034
20.5.1.7 Darstellung von Mächen und Raumkurven. 1035
20.5.2 Graphik mit
20.5.2.1 Zweidimensionale Graphik. 1037
20.5.2.2 Dreidimensionale Graphik. 1039
21 Tabellen 1041
21.1 Häufig gebrauchte Konstanten.' . . 1041
21.2. Fundamentale physikalische Konstanten. 1041
21.3 Dezimalvorsätze.■.". 1043
21.4 Physikalische Einheiten im Sl-System.'. 1043
21.5 Wichtige Reihenentwicklungen. 1045
21.6 Fourier-Entwicklungen. 1050
21.7 Unbestimmte Integrale. 1053
21.7.1 Integrale rationaler Funktionen. 1053
21.7.1.1
2U.7.1.2 Integrale mit
21.7.1.3
21.7.1.4
21.7.1.5
21.7.3!j6
211.7.1.7 Einige
51.7.2
23.7.2.1
21.7.2.2
21.7.2.3 Integrale mit
23.7.2.4 Integrale mit \/ax + b und
21.7.2.5
21.7.2.6
21.7.2.7
21.7.2.8
21.7.2.9 Integrale mit anderen irrationalen Ausdrücken. 1070'
21.7.2.10 Rekursionsformcb für Integral mit binomischem Differential . . . 1070'
21.7.3 Integrale trigonometrischer Punktionen.
21.7.3.1 Integrale mit Smusfunktion. 1070
21.7.3.2 Integrale mit Kosmusfunktion. 1073
21.7.3.3 Integrale mit Sinus-und Kosinusfunktion. 1075
21.7.3.4 Integrale mit Tangonsfunktion. 3079
21.7.3.5 Integrale mit Kotangensfunktion.'. 1079
23.7.4 Integrale anderer transzendenter Punktionen. 108©
21.7.4.1
21.7.4.2 Integrale mit Exponentialfunktionen. 1081
21.7.4.3 Integrale mit logarithmischen Punktionen. 1082
21.7.4.4 Integrale mit inversen. trigonometrischen Punktionen. 10841
21.7.4.5 Integrale mit inversen Hyperbelfunktion . 1086
21.8 Bestimmte'Integrale . . . . '. 1086
21.8.1 Bestimmte Integrale trigonometrischer Punktionen.; . . 1086
21.8.2 Bestimmte Integrale von
21.8.3 Bestimmte Integrale logarithmischer Funktionen .'.'. 1088
21.8.4 .Bestimmte Integrale algebraischer Punktionen. . . . . .\ .-.'. 1089
21.9 Elliptische
21.9.0.1 Elliptische Integrale!. Gattung . : .-. . 1091
21.9.0.2 Elliptische Integrale '2. Gattung . . ,. . 1091
21.9.0.3 Vollständige elliptische Integrale
21.10
21.11 Bessel-Punktionen (Zylmderfunktionen) . '. 1094
21.12 Legendresche. Polynome 1. Art (Kugelfunktionen) . .
21.13
'21.14
^liM.lfoiuier-Koemus-îkansformationen
¿l.M^Potirier^mtis-Tíanšformationen
21.14.3
21.14.4Ëxponéntieïïe Pourier-Transformationen
21.15
21.16
.21.17 Normierte
Inhaìtsverzeichms XXXVH
«^1.99.
21.Ш8
2Í1.19
21.20
2Ш.21
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