Vektoranalysis:
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Teubner
2006
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| Ausgabe: | 1. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker
Lehrbuch : Mathematik |
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | IX, 247 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 9783835101159 3835101153 |
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Inhaltsverzeichnis
1 Kurven 1
1.1 Wege, Kurven, Bogenlänge 1
1.1.1 Einführung: Ebene Kurven 1
1.1.2 Kurven im R" 5
1.1.3 Glatte und stückweise glatte Kurven 9
1.1.4 Die Bogenlänge 11
1.1.5 Parametertransformation, Orientierung 16
1.2 Theorie ebener Kurven 20
1.2.1 Bogenlänge und umschlossene Fläche 20
1.2.2 Krümmung und Krümmungsradius 24
1.2.3 Tangenteneinheitsvektor, Normalenvektor, natürliche Gleichung 27
1.2.4 Evolute und Evolvente 30
1.3 Beispiele ebener Kurven I: Kegelschnitte 33
1.3.1 Kreis 33
1.3.2 Ellipse 37
1.3.3 Hyperbel 40
1.3.4 Parabel 44
1.3.5 Allgemeine Kegelschnittgleichung, Hauptachsentransformation 49
1.4 Beispiele ebener Kurven II: Rollkurven, Blätter, Spiralen 55
1.4.1 Zykloiden 55
1.4.2 Epizykloiden 56
1.4.3 Anwendung: Wankelmotor 60
1.4.4 Hypozykloiden 63
1.4.5 Blattartige Kurven 66
1.4.6 Kurbelgetriebe 70
1.4.7 Spiralen 71
1.5 Theorie räumlicher Kurven 76
1.5.1 Krümmung, Torsion und begleitendes Dreibein 76
1.5.2 Berechnung von Krümmung, Torsion und Dreibein in beliebiger Parameterdar¬
stellung 79
1.5.3 Natürliche Gleichungen und Frenetsche Formeln 83
1.6 Vektorfelder, Potentiale, Kurvenintegrale 86
1.6.1 Vektorfelder und Skalarfelder 86
1.6.2 Kurvenintegrale 89
1.6.3 Der Kurvenhauptsatz 93
1.6.4 Potentialkriterium 96
1.6.5 Berechnung von Potentialen 100
1.6.6 Beweis des Potentialkriteriums 104
2 Flächen und Flächenintegrale 109
2.1 Flächenstücke und Flächen 109
2.1.1 Flächenstücke 109
2.1.2 Tangentialebenen, Normalenvektoren 112
2.1.3 Parametertransformation, Orientierung 115
2.1.4 Rächen 118
2.2 Flächenintegrale 119
2.2.1 Flächeninhalt 119
2.2.2 Flächenintegrale erster und zweiter Art 122
2.2.3 Transformationsformel für Flächenintegrale zweiter Art 126
3 Integralsätze 129
3.1 Der Gaußsche Integralsatz 129
3.1.1 Ergiebigkeit, Divergenz 129
3.1.2 Der Gaußsche Integralsatz für Bereiche mit stückweise glattem Rand 134
3.1.3 Die Kettenregel der Divergenz 136
3.1.4 Beweis des Gaußschen Integralsatzes für Bereiche mit stückweise glattem Rand 138
3.1.5 Gaußscher und Greenscher Integralsatz in der Ebene 141
3.1.6 Der Gaußsche Integralsatz für Skalarfelder I44
3.2 Der Stokessche Integralsatz I47
3.2.1 Einfache Flächenstücke I47
3.2.2 Zirkulation, Wirbelstärke, Rotation I48
3.2.3 Idee des Stokesschen Integralsatzes 153
3.2.4 Stokesscher Integralsatz im dreidimensionalen Raum 154
3.2.5 Zirkulation und Stokesscher Satz in der Ebene 158
3.3 Weitere Differential und Integralformeln im M3 I59
3.3.1 Nabla Operator l60
3.3.2 Formeln über Zusammensetzungen mit grad, div und rot 160
3.3.3 Gaußscher und Stokesscher Satz in div , grad , rot , und Nabla Form 162
3.3.4 Partielle Integration I64
3.3.5 Die beiden Greenschen Integralformeln 165
3.3.6 Krummlinige orthogonale Koordinaten 166
3.3.7 Die Differentialoperatoren grad, div, rot, A in krummlinigen orthogonalen
Koordinaten 170
3.4 Wirbelfreiheit, Quellfreiheit, Potentiale I74
3.4.1 Wirbelfreiheit: rot V = 0, skalare Potentiale 174
3.4.2 Laplace Gleichung, harmonische Funktionen l7^
3.4.3 Poissongleichung I78
3.4.4 Quellfreiheit: div W = 0, Vektorpotentiale 18°
3.4.5 Quellfreie Vektorpotentiale 183
3.4.6 Helmholtzscher Zerlegungssatz 18^
4 Alternierende Differentialformen 189
4.1 Alternierende Differentialformen im R3 189
4.1.1 Integralsätze in Komponentenschreibweise 189
4.1.2 Differentialformen und totale Differentiale 191
4.1.3 Rechenregeln für Differentialformen 193
4.1.4 Integration von Differentialformen, Integralsätze 196
4.2 Alternierende Differentialformen im R" 198
4.2.1 Definition, Rechenregeln 198
4.2.2 Integrale über p dimensionalen Flächen 200
4.2.3 Transformationsformel für Integrale 201
4.2.4 Der allgemeine Stokessche Satz 202
5 Kartesische Tensoren 205
5.1 Tensoralgebra 205
5.1.1 Motivation: Spannungstensor 205
5.1.2 Definition kartesischer Tensoren 206
5.1.3 Rechenregeln für Tensoren 211
5.1.4 Invariante Tensoren 214
5.1.5 Diagonalisierung symmetrischer Tensoren und das Tensorellipsoid 217
5.2 Tensoranalysis 220
5.2.1 Differenzierbare Tensorfelder, Fundamentalsatz der Feldtheorie 220
5.2.2 Zusammenhang zwischen Tensorgradienten und grad, div, rot, A 222
5.2.3 Der Gaußsche Satz für Tensorfelder zweiter Stufe 224
5.2.4 Anwendungen 225
Lösungen zu den Übungen 231
Symbole 237
Literaturverzeichnis 235
Stichwortverzeichnis 243 |
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Inhaltsverzeichnis
1 Kurven 1
1.1 Wege, Kurven, Bogenlänge 1
1.1.1 Einführung: Ebene Kurven 1
1.1.2 Kurven im R" 5
1.1.3 Glatte und stückweise glatte Kurven 9
1.1.4 Die Bogenlänge 11
1.1.5 Parametertransformation, Orientierung 16
1.2 Theorie ebener Kurven 20
1.2.1 Bogenlänge und umschlossene Fläche 20
1.2.2 Krümmung und Krümmungsradius 24
1.2.3 Tangenteneinheitsvektor, Normalenvektor, natürliche Gleichung 27
1.2.4 Evolute und Evolvente 30
1.3 Beispiele ebener Kurven I: Kegelschnitte 33
1.3.1 Kreis 33
1.3.2 Ellipse 37
1.3.3 Hyperbel 40
1.3.4 Parabel 44
1.3.5 Allgemeine Kegelschnittgleichung, Hauptachsentransformation 49
1.4 Beispiele ebener Kurven II: Rollkurven, Blätter, Spiralen 55
1.4.1 Zykloiden 55
1.4.2 Epizykloiden 56
1.4.3 Anwendung: Wankelmotor 60
1.4.4 Hypozykloiden 63
1.4.5 Blattartige Kurven 66
1.4.6 Kurbelgetriebe 70
1.4.7 Spiralen 71
1.5 Theorie räumlicher Kurven 76
1.5.1 Krümmung, Torsion und begleitendes Dreibein 76
1.5.2 Berechnung von Krümmung, Torsion und Dreibein in beliebiger Parameterdar¬
stellung 79
1.5.3 Natürliche Gleichungen und Frenetsche Formeln 83
1.6 Vektorfelder, Potentiale, Kurvenintegrale 86
1.6.1 Vektorfelder und Skalarfelder 86
1.6.2 Kurvenintegrale 89
1.6.3 Der Kurvenhauptsatz 93
1.6.4 Potentialkriterium 96
1.6.5 Berechnung von Potentialen 100
1.6.6 Beweis des Potentialkriteriums 104
2 Flächen und Flächenintegrale 109
2.1 Flächenstücke und Flächen 109
2.1.1 Flächenstücke 109
2.1.2 Tangentialebenen, Normalenvektoren 112
2.1.3 Parametertransformation, Orientierung 115
2.1.4 Rächen 118
2.2 Flächenintegrale 119
2.2.1 Flächeninhalt 119
2.2.2 Flächenintegrale erster und zweiter Art 122
2.2.3 Transformationsformel für Flächenintegrale zweiter Art 126
3 Integralsätze 129
3.1 Der Gaußsche Integralsatz 129
3.1.1 Ergiebigkeit, Divergenz 129
3.1.2 Der Gaußsche Integralsatz für Bereiche mit stückweise glattem Rand 134
3.1.3 Die Kettenregel der Divergenz 136
3.1.4 Beweis des Gaußschen Integralsatzes für Bereiche mit stückweise glattem Rand 138
3.1.5 Gaußscher und Greenscher Integralsatz in der Ebene 141
3.1.6 Der Gaußsche Integralsatz für Skalarfelder I44
3.2 Der Stokessche Integralsatz I47
3.2.1 Einfache Flächenstücke I47
3.2.2 Zirkulation, Wirbelstärke, Rotation I48
3.2.3 Idee des Stokesschen Integralsatzes 153
3.2.4 Stokesscher Integralsatz im dreidimensionalen Raum 154
3.2.5 Zirkulation und Stokesscher Satz in der Ebene 158
3.3 Weitere Differential und Integralformeln im M3 I59
3.3.1 Nabla Operator l60
3.3.2 Formeln über Zusammensetzungen mit grad, div und rot 160
3.3.3 Gaußscher und Stokesscher Satz in div , grad , rot , und Nabla Form 162
3.3.4 Partielle Integration I64
3.3.5 Die beiden Greenschen Integralformeln 165
3.3.6 Krummlinige orthogonale Koordinaten 166
3.3.7 Die Differentialoperatoren grad, div, rot, A in krummlinigen orthogonalen
Koordinaten 170
3.4 Wirbelfreiheit, Quellfreiheit, Potentiale I74
3.4.1 Wirbelfreiheit: rot V = 0, skalare Potentiale 174
3.4.2 Laplace Gleichung, harmonische Funktionen l7^
3.4.3 Poissongleichung I78
3.4.4 Quellfreiheit: div W = 0, Vektorpotentiale 18°
3.4.5 Quellfreie Vektorpotentiale 183
3.4.6 Helmholtzscher Zerlegungssatz 18^
4 Alternierende Differentialformen 189
4.1 Alternierende Differentialformen im R3 189
4.1.1 Integralsätze in Komponentenschreibweise 189
4.1.2 Differentialformen und totale Differentiale 191
4.1.3 Rechenregeln für Differentialformen 193
4.1.4 Integration von Differentialformen, Integralsätze 196
4.2 Alternierende Differentialformen im R" 198
4.2.1 Definition, Rechenregeln 198
4.2.2 Integrale über p dimensionalen Flächen 200
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4.2.4 Der allgemeine Stokessche Satz 202
5 Kartesische Tensoren 205
5.1 Tensoralgebra 205
5.1.1 Motivation: Spannungstensor 205
5.1.2 Definition kartesischer Tensoren 206
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5.1.4 Invariante Tensoren 214
5.1.5 Diagonalisierung symmetrischer Tensoren und das Tensorellipsoid 217
5.2 Tensoranalysis 220
5.2.1 Differenzierbare Tensorfelder, Fundamentalsatz der Feldtheorie 220
5.2.2 Zusammenhang zwischen Tensorgradienten und grad, div, rot, A 222
5.2.3 Der Gaußsche Satz für Tensorfelder zweiter Stufe 224
5.2.4 Anwendungen 225
Lösungen zu den Übungen 231
Symbole 237
Literaturverzeichnis 235
Stichwortverzeichnis 243 |
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