Numerische Mathematik kompakt: Grundlagenwissen für Studium und Praxis
Gespeichert in:
| 1. Verfasser: | |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Vieweg
2006
|
| Ausgabe: | 3., aktualisierte und verb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Numerische Mathematik
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltstext Klappentext Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | Auch als Internetausgabe |
| Beschreibung: | XVI, 416 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3834802778 9783834802774 |
Internformat
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Dieses Lehrbuch behandelt in kompakter und übersichtlicher Form die grund¬
legenden Themen der Numerischen Mathematik. Es vermittelt ein solides Basis¬
wissen der wichtigen Algorithmen und dazugehörigen Fehler- und Aufwandsbe¬
trachtungen, das zur Lösung von zahlreichen in der Praxis auftretenden mathe¬
matischen Problemstellungen benötigt wird. Die vorgestellten Resultate werden
mit elementaren Methoden hergeleitet Für die meisten der vorgestellten Verfah¬
ren werden
me umsetzen lassen. Mit 150 Übungsaufgaben und weiterführenden Literaturhin¬
weisen ist das Buch für das Selbststudium geeignet. Zahlreiche Abbildungen und
übersichtliche Schemata erleichtern dabei das Lernen. Der das Buch ergänzende
Online-Service bietet zusätzliche Informationen und Lösungshinweise.
Das Lehrbuch ist ohne weitere Themenauswahl als Vorlage für zwei jeweils vier¬
stündige einführende Numerikvorlesungen verwendbar.
Der Inhalt
Interpolation, diskrete Fouriertransformation, Integration - direkte und iterative
Lösung linearer Gleichungssysteme - iterative Verfahren für nichtlineare Glei¬
chungssysteme - numerische Behandlung von Anfangs- und Randwertaufgaben
bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen - Störungstheorie und numerische
, Verfahren für Eigenwertprobleme bei Matrizen - Approximationstheorie sowie
Rechnerarithmetik
Die Zielgruppen
• Studierende der Mathematik und benachbarter Fächer an Universitäten und
Fachhochschulen im Grundstudium
• Studierende der anwendungsorientierten Studiengänge Wirtschaftsmathematik
und Technomathematik, auch der Bachelor-Studiengänge Mathematik
• Mathematiker, Informatiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure in Industrie
und Wirtschaft und an Forschungsinstituten
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Inhaltsverzeichnis viii
e
1 Polynominterpolation 1
1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen und Landausche Symbole. 1
1.1.1 Landausche Symbole. 2
1.2 Existenz und Eindeutigkeit bei der Polynominterpolation. 3
1.2.1 Die Lagrangesche Interpolationsformel. 3
1.2.2 Erste Vorgehensweise zur Berechnung des interpolierenden Polynoms . 4
1.3
1.4 Die Newtonsche Interpolationsformel, dividierte Differenzen. 7
1.5 Der bei der Polynominterpolation auftretende Fehler. 10
1.6 Tschebyscheff-Polynome. 12
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 16
- Übungsaufgaben. 17
2 Splinefunktionen 20
2.1 Einführende Bemerkungen. 20
2.2 Interpolierende lineare Splinefunktionen. 21
2.2.1 Die Berechnung interpolierender linearer Splinefunktionen. 21
2.3 Minimaleigenschaften kubischer Splinefunktionen. 22
2.4 Die Berechnung interpolierender kubischer Splinefunktionen. 24
2.4.1 Vorüberlegungen. 24
2.4.2 Natürliche Randbedingungen. 26
2.4.3 Vollständige Randbedingungen. 26
2.4.4 Periodische Randbedingungen. 27
2.4.5 Existenz und Eindeutigkeit der betrachteten interpolierenden kubischen
Splines
2.5 Fehlerabschätzungen für interpolierende kubische
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 33
- Übungsaufgaben. 34
3 Diskrete Fouriertransformation und Anwendungen 3fr
3.1 Diskrete Fouriertransformation. 36
3.2 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation. 37
3.2.1 Fourierreihen. 37
3.2.2 Trigonometrische Interpolation, Teil 1. 39
3.2.3 Trigonometrische Interpolation, Teil 2. 40
3.3 Schnelle
3.3.1 Einführende Bemerkungen. 43
3.3.2 Der grundlegende Zusammenhang. 43
3.3.3 Bit-Umkehr. 45
3.3.4 Der FFT-Algorithmus in der Situation N = 2q. 46
3.3.5 Aufwandsbetrachtungen für den FFT-Algorithmus. 49
3.3.6
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 50
Übungsaufgaben. 50
Lösung linearer Gleichungssysteme 53
4.1 Gestaffelte lineare Gleichungssysteme. 53
4.1.1 Obere gestaffelte Gleichungssysteme. 53
4.1.2 Untere gestaffelte Gleichungssysteme. 54
4.2 Der Gauß-Algorithmus. 55
4.2.1 Einführende Bemerkungen. 55
4.2.2 Gauß-Algorithmus mit Pivotsuche. 58
4.3 Die Faktorisierang PA = LR. 58
4.3.1 Permutationsmatrix. 59
4.3.2 Eliminationsmatrizen. 61
4.3.3 Die Faktorisierang PA = LR. 63
4.4
4.5 Cholesky-Faktorisierung positiv definiter Matrizen. 68
4.5.1 Grundbegriffe. 68
4.5.2 Die Berechnung einer Faktorisierang
trizen
4.5.3 Eine Klasse positiv definiter Matrizen. 71
4.6 Bandmatrizen. 72
4.7 Normen und Fehlerabschätzungen. 73
4.7.1 Normen. 74
4.7.2 Spezielle Matrixnormen. 77
4.7.3 Die Konditionszahl einer Matrix. 80
4.7.4 Störungsresultate für Matrizen. 81
4.7.5 Fehlerabschätzungen für fehlerbehaftete Gleichungssysteme. 82
4.8 Orthogonalisierungsverfahren. 83
4.8.1 Elementare Eigenschaften orthogonaler Matrizen. 84
4.8.2 Die Faktorisierang
4.8.3 Die Faktorisierang
4.8.4 Anwendung 1 : Stabile Lösung schlecht konditionierter Gleichungssyste¬
me Ax = b . 89
4.8.5 Anwendung 2: Lineare Ausgleichsrechnung. 89
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 91
- Übungsaufgaben. 92
Nichtlineare Gleichungssysteme 97
5.1 Vorbemerkungen. 97
5.2 Der eindimensionale Fall. 98
5.2.1 Ein allgemeines Resultat. 98
5.2.2 Das Newton-Verfahren im eindimensionalen Fall. 99
5.3 Der Banachsche Fixpunktsatz .'. 100
5.4 Das Newton- Verfahren im mehrdimensionalen Fall . . 103
5.4.1 Einige Begriffe aus der
5.4.2 Das Newton-Verfahren und seine Konvergenz. 105
5.4.3 Nullstellenbestimmung bei Polynomen. 107
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 111
- Übungsaufgaben. 111
Numerische Integration von Funktionen 114
6.1 Interpolatorische Quadraturformeln. 115
6.2 Spezielle interpolatorische Quadraturformeln. 116
6.2.1 Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln. 116
6.2.2 Andere interpolatorische Quadraturformeln. 118
6.3 Der Fehler bei der interpolatorischen Quadratur. 118
6.4 Genauigkeit abgeschlossener Newton-Cotes-Formeln. 122
6.4.1 Der Beweis von Lemma 6.15. 124
6.5 Summierte Quadraturformeln . 126
6.5.1 Summierte Rechteckregeln. 126
6.5.2 Summierte Trapezregel. 127
6.5.3 Summierte Simpson-Regel. 128
6.6 Asymptotik der summierten Trapezregel. 129
6.6.1 Die Asymptotik. 129
6.7 Extrapolationsverfahren . 130
6.7.1 Grundidee. 130
6.7.2
6.7.3 Verfahrensfehler bei der Extrapolation. 132
6.8 Gaußsche Quadraturformem. 134
6.8.1 Einleitende Bemerkungen. 134
6.8.2 Orthogonale Polynome. 135
6.8.3 Optimale Wahl der Stützstellen und Gewichte. 138
6.8.4 Nullstellen von orthogonalen Polynomen als Eigenwerte. 140
6.9 Beweis der Asymptotik für die summierte Trapezregel. 142
6.9.1 Bernoulli-Polynome.
6.9.2 Der Beweis von Theorem 6.22. 143
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 145
Übungsaufgaben. 145
Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme 147
7.1 Ein Existenz-und Eindeutigkeitssatz. 147
7.2 Theorie der EinscMttverfahren. 149
7.2.1 Ein elementares Resultat zur Fehlerakkumulation. 151
7.3 Spezielle Einschrittverfahren. 152
7.3.1 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 1. 152
7.3.2 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 2. 153
7.3.3 EinschrittverfahrenderKonsistenzordnungp = 4. 155
7.4 Rundungsfehleranalyse. 155
7.5 Asymptotische Entwicklung der Approximationen. 157
7.5.1 Einführende Bemerkungen. 157
7.5.2 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrensfeh¬
lers, 1. Teil . 158
7.5.3 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrensfeh¬
lers, 2. Teil . 160
7.5.4 Asymptotische Entwicklungen des lokalen Verfahrensfehlers. 162
7.6 Extrapolationsmethoden für Einschrittverfahren. 163
7.7 Schrittweitensteuerung. 166
7.7.1 Verfahrensvorschrift. 166
7.7.2 Problemstellung. 166
7.7.3 Vorgehensweise bei gegebener Testschrittweite ftW. 167
7.7.4 Bestimmung einer neuen Testschrittweite ft№+1) im Fall 5(fc) >
7.7.5
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 170
- Übungsaufgaben. 170
Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme 173
8.1 Grundlegende Begriffe. 173
8.1.1 Mehrschrittverfahren. 173
8.1.2 Konvergenz- und Konsistenzordnung. 174
8.1.3 Nullstabilität, Lipschitzbedingung. 175
8.1.4 Übersicht. 176
8.2 Der globale Verfahrensfehler bei Mehrschrittverfahren. 176
8.2.1 Das Konvergenztheorem. 176
8.2.2 Hilfsresultat 1: Das Lemma von Gronwall. 179
8.2.3 Beschränktheit der Matrixfolge
8.2.4 Die Konsistenzordnung linearer Mehrschrittverfahren. 182
8.3 Spezielle lineare Mehrschrittverfahren - Vorbereitungen. 183
8.4 Adams-Verfahren. 186
8.4.1 Der Ansatz. 186
8.4.2 Adams-Bashfort-Verfahren. 186
8.4.3 Adams-Moulton-Verfahren. 190
8.5 Nyström- und Milne- Simpson- Verfahren. 191
8.5.1 Der Ansatz. 191
8.5.2 Nyström-Verfahren. 192
- 8.5.3 Milne-Simpson-Verfahren. 193
8.6 BDF-Verfahren . 195
8.6.1 Der Ansatz.'. 195
8.6.2 Tabellarische Übersicht über spezielle Mehrschrittverfahren. 197
8.7 Prädiktor-Korrektor-Verfahren. 197
8.7.1 Linearer Prädiktor/Linearer Korrektor. 201
8.8 Lineare homogene Differenzengleichungen. 202
8.8.1 Die Testgleichung. 202
8.8.2 Existenz und Eindeutigkeit bei linearen homogenen Differenzengleichun¬
gen . 203
8.8.3 Die komplexwertige allgemeine Lösung der homogenen Differenzen¬
gleichung
8.8.4 Die reellwertige allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung
Lu = 0. 208
8.8.5 Eine spezielle Differenzengleichung. 209
8.9 Steife Differenzialgleichungen. 212
8.9.1 Einführende Bemerkungen. 212
8.9.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung bei Anfangswertproblemen für
Differenzialgleichungen mit oberer Lipschitzeigenschaft. 214
8.9.3 Das implizite Euler-Verfahren für steife Differenzialgleichungen . 217
8.9.4 Steife Differenzialgleichungen in den Anwendungen . 219
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 220
- Übungsaufgaben. 221
Randwertprobleme 226
9.1 Problemstellung, Existenz, Eindeutigkeit. 226
9.1.1 Problemstellung. 226
9.1.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung. 227
9.2 Differenzenverfahren. 228
9.2.1 Numerische Differenziation. 228
9.2.2 Der Ansatz für Differenzenverfahren. 230
9.2.3 Das Konvergenzresultat für Differenzenverfahren.6 . . 231
9.2.4 Vorbereitungen für den Beweis von Teil (a) des Theorems 9.10. 233
9.2.5 Nachweis der Aussage in Teil(a) von Theorem 9.10. 237
9.3 Galerkin-Verfahren.*. . 237
9.3.1 Einführende Bemerkungen. 238
9.3.2 Eigenschaften des Differenzialoperators
9.3.3 Galerkin-Verfahren- ein allgemeiner Ansatz. 241
9.3.4 Systemmatrix. 244
9.3.5
9.3.6 Anwendungen. 247
9.3.7 Das Energiefunktional. 249
9.4 Einfachschießverfahren. 250
9.4.1 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit dem Newton-
Verfahren . 251
9.4.2 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit einer Fix¬
punktiteration . 252
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 252
- Übungsaufgaben. 253
10 Gesamtechritt-, Einzelschritt- und Retaationsverfahren 257
10.1 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. 257
10.1.1 Hintergrund zum Einsatz iterativer Verfahren bei linearen Gleichungssys¬
temen . 257
10.2 Lineare Fixpunktiteration. 258
10.2.1 Ein Modellbeispiel. 260
10.3 Einige spezielle Klassen von Matrizen. 262
10.3.1 Irreduzible Matrizen. 262
10.4 Das Gesamtschrittverfahren. 265
10.5 Das Einzelschrittverfahren. 267
10.5.1 Der Betrag einer Matrix. 267
10.5.2 Konvergenzergebrasse für das Einzelschrittverfahren. 268
10.6 Das Relaxationsverfahren und erste Konvergenzresultate. 270
10.6.1 M-Matrizen. 272
10.7 Relaxationsverfahren für konsistent geordnete Matrizen. 274
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 279
- Übungsaufgaben. 280
11 CG- und GMRES-Verfahren 285
11.1 Vorbetrachtungen. 285
11.1.1 Ausbück. 286
11.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums. 286
11.2.1 Existenz, Eindeutigkeit und Minimaleigenschaft. 287
11.2.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums (11.2) für gegebene A-konju-
gierte Basen. 288
11.3 Das CG-Verfahren für positiv
11.3.1 Einleitende Bemerkungen. 290
11.3.2 Die Berechnung A-konjugierter Suchrichtungen in K.n{A, b). 290
11.3.3 Der Algorithmus zum CG-Verfahren . 292
11.4 Die Konvergenzgeschwindigkeit des CG- Verfahrens. 293
11.5 Das CG-Verfahren für die Normalgleichungen. 296
11.6 Arnoldi-Prozess. 297
11.6.1 Vorbetrachtungen zum GMRES-Verfahren. 297
11.6.2 Arnoldi-Prozess. 297
11.7 GMRES auf der Basis des
11.7.1 Einführende Bemerkungen. 301
11.7.2 Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung des betrachteten Minimierungs-
problems . 302
11.7.3 Detaillierte Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösung des betrachte¬
ten Minimierungsproblems. 303
11.7.4 MATLAB-Programm für GMRES. 305
11.8 Konvergenzgeschwindigkeit des GMRES-Verfahrens . 307
11.9 Nachtrag 1: Krylovräume . 307
ll.lONachtrag 2: Programmsysteme mit Multifunktionalität. 308
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 309
Übungsaufgaben. 310
12 Eigenwertprobleme 312
12.1 Einleitung. 312
12.2 Störangstheorie für Eigenwertprobleme. 312
12.2.1 Diagonalisierbare Matrizen. 312
12.2.2 Der allgemeine Fall. 314
12.3 Lokalisierung von Eigenwerten. 316
12.4 Variationssätze für symmetrische Eigenwertprobleme. 319
12.5 Störungsresultate für Eigenwerte symmetrischer Matrizen. 321
12.6 Nachtrag: Faktorisierungen von Matrizen. 321
12.6.1 Symmetrische Matrizen. 322
12.6.2 Diagonalisierbare Matrizen. 322
12.6.3 Schur-Faktorisierung. 322
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 323
- Übungsaufgaben. 323
13 Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme 326
13.1 Einführende Bemerkungen. 326
13.1.1 Ähnlichkeitstransformationen. 326
13.1.2 Vektoriteration.(.327
13.2 Transformation auf Hessenbergform. 328
13.2.1
bergmatrizen. 328
13.2.2 Der symmetrische Fall. 330
13.3
13.3.1 Der nichtsymmetrische Fall. Die Methode von Hyman. 332
13.3.2 Das Newton-Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte tridiagonaler
Matrizen. 334
13.4 Das Jacobi-Verfahren für symmetrische Matrizen . 335
13.4.1 Approximation der Eigenwerte durch Diagonaleinträge. 336
13.4.2 Givensrotationen zur Reduktion der Nichtdiagonaleinträge. 336
13.4.3 Zwei spezielle Jacobi-Verfahren. 340
13.5 Das QR-Verfahren. 342
13.5.1 Eindeutigkeit und Stetigkeit der
13.5.2 Definition des QR- Verfahrens. 345
13.5.3 Konvergenz des QR- Verfahrens für betragsmäßig einfache Eigenwerte 346
13.5.4 Praktische Durchführung des QR- Verfahrens für Hessenbergmatrizen . 349
13.6 Das LR-Verfahren. 354
13.7 Die Vektoriteration. 354
13.7.1 Definition und Eigenschaften der Vektoriteration. 354
13.7.2 Spezielle Vektoriterationen. 356
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 357
Übungsaufgaben. 357
14 Restglieddarstellung nach Peano 359
14.1 Einführende Bemerkungen. 359
14.2 Peano-Kerne. 360
14.3 Anwendungen. 362
14.3.1 Interpolation. 362
14.3.2 Numerische Integration. 362
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 363
- Übungsaufgaben. 363
15 Approximationstheorie 365
15.1 Einführende Bemerkungen. 365
15.2 Existenz eines Proximums. 366
15.3 Eindeutigkeit eines Proximums. 367
15.3.1 Einige Notationen; streng konvexe Mengen . 368
15.3.2 Strikt normierte Räume. 369
15.4 Approximationstheorie in Räumen mit Skalarprodukt. 371
15.4.1 Einige Grundlagen . 371
15.4.2
15.5
15.6 Anwendungen des Alternantensatzes. 378
15.6.1 Ein Beispiel. 378
15.6.2 Eine erste Anwendung des Alternantensatzes . 378
15.6.3 Eine zweite Anwendung des Alternantensatzes. 379
15.7 Haarsche Räume, Tschebyscheff- Systeme. 380
15.7.1 Alternantensatz für Haarsche Räume. 381
15.7.2 Eindeutigkeit des Proximums. 382
15.7.3 Untere Schranken für den Minimalabstand. 382
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 383
- • Übungsaufgaben. 383
16 Meehnerariihmetik ' 385
16.1 Zahlendarstellungen. 385
16.2 Allgemeine Gleitpunkt—Zahlensysteme. 386
16.2.1 Grandlegende Begriffe. 386
16.2.2 Struktur des normalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems
16.2.3 Struktur des denormalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems
16.3 Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis. 390
16.3.1 Die Gleitpunktzahlen des Standards
16.3.2 Weitere Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis. 392
16.4 Runden, Abschneiden. 392
16.4.1 Runden. 393
16.4.2 Abschneiden. 395
16.5 Arithmetik in Gleitpunkt-Zahlensystemen. 396
16.5.1 Arithmetische Grundoperationen in Gleitpunkt-Zahlensystemen . 396
16.5.2 Fehlerakkumulation bei der Hintereinanderausführang von Multiplika¬
tionen und Divisionen in Gleitpunkt-Zahlensystemen. 397
16.5.3 Fehlerverstärkung bei der ffintereinanderausführang von Additionen in
einem gegebenen Gleitpunkt-Zahlensystem
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 401
Literaturverzeichnis 402
Index 407 |
| adam_txt |
Dieses Lehrbuch behandelt in kompakter und übersichtlicher Form die grund¬
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Das Lehrbuch ist ohne weitere Themenauswahl als Vorlage für zwei jeweils vier¬
stündige einführende Numerikvorlesungen verwendbar.
Der Inhalt
Interpolation, diskrete Fouriertransformation, Integration - direkte und iterative
Lösung linearer Gleichungssysteme - iterative Verfahren für nichtlineare Glei¬
chungssysteme - numerische Behandlung von Anfangs- und Randwertaufgaben
bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen - Störungstheorie und numerische
, Verfahren für Eigenwertprobleme bei Matrizen - Approximationstheorie sowie
Rechnerarithmetik
Die Zielgruppen
• Studierende der Mathematik und benachbarter Fächer an Universitäten und
Fachhochschulen im Grundstudium
• Studierende der anwendungsorientierten Studiengänge Wirtschaftsmathematik
und Technomathematik, auch der Bachelor-Studiengänge Mathematik
• Mathematiker, Informatiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure in Industrie
und Wirtschaft und an Forschungsinstituten
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Inhaltsverzeichnis viii
e
1 Polynominterpolation 1
1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen und Landausche Symbole. 1
1.1.1 Landausche Symbole. 2
1.2 Existenz und Eindeutigkeit bei der Polynominterpolation. 3
1.2.1 Die Lagrangesche Interpolationsformel. 3
1.2.2 Erste Vorgehensweise zur Berechnung des interpolierenden Polynoms . 4
1.3
1.4 Die Newtonsche Interpolationsformel, dividierte Differenzen. 7
1.5 Der bei der Polynominterpolation auftretende Fehler. 10
1.6 Tschebyscheff-Polynome. 12
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 16
- Übungsaufgaben. 17
2 Splinefunktionen 20
2.1 Einführende Bemerkungen. 20
2.2 Interpolierende lineare Splinefunktionen. 21
2.2.1 Die Berechnung interpolierender linearer Splinefunktionen. 21
2.3 Minimaleigenschaften kubischer Splinefunktionen. 22
2.4 Die Berechnung interpolierender kubischer Splinefunktionen. 24
2.4.1 Vorüberlegungen. 24
2.4.2 Natürliche Randbedingungen. 26
2.4.3 Vollständige Randbedingungen. 26
2.4.4 Periodische Randbedingungen. 27
2.4.5 Existenz und Eindeutigkeit der betrachteten interpolierenden kubischen
Splines
2.5 Fehlerabschätzungen für interpolierende kubische
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 33
- Übungsaufgaben. 34
3 Diskrete Fouriertransformation und Anwendungen 3fr
3.1 Diskrete Fouriertransformation. 36
3.2 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation. 37
3.2.1 Fourierreihen. 37
3.2.2 Trigonometrische Interpolation, Teil 1. 39
3.2.3 Trigonometrische Interpolation, Teil 2. 40
3.3 Schnelle
3.3.1 Einführende Bemerkungen. 43
3.3.2 Der grundlegende Zusammenhang. 43
3.3.3 Bit-Umkehr. 45
3.3.4 Der FFT-Algorithmus in der Situation N = 2q. 46
3.3.5 Aufwandsbetrachtungen für den FFT-Algorithmus. 49
3.3.6
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 50
Übungsaufgaben. 50
Lösung linearer Gleichungssysteme 53
4.1 Gestaffelte lineare Gleichungssysteme. 53
4.1.1 Obere gestaffelte Gleichungssysteme. 53
4.1.2 Untere gestaffelte Gleichungssysteme. 54
4.2 Der Gauß-Algorithmus. 55
4.2.1 Einführende Bemerkungen. 55
4.2.2 Gauß-Algorithmus mit Pivotsuche. 58
4.3 Die Faktorisierang PA = LR. 58
4.3.1 Permutationsmatrix. 59
4.3.2 Eliminationsmatrizen. 61
4.3.3 Die Faktorisierang PA = LR. 63
4.4
4.5 Cholesky-Faktorisierung positiv definiter Matrizen. 68
4.5.1 Grundbegriffe. 68
4.5.2 Die Berechnung einer Faktorisierang
trizen
4.5.3 Eine Klasse positiv definiter Matrizen. 71
4.6 Bandmatrizen. 72
4.7 Normen und Fehlerabschätzungen. 73
4.7.1 Normen. 74
4.7.2 Spezielle Matrixnormen. 77
4.7.3 Die Konditionszahl einer Matrix. 80
4.7.4 Störungsresultate für Matrizen. 81
4.7.5 Fehlerabschätzungen für fehlerbehaftete Gleichungssysteme. 82
4.8 Orthogonalisierungsverfahren. 83
4.8.1 Elementare Eigenschaften orthogonaler Matrizen. 84
4.8.2 Die Faktorisierang
4.8.3 Die Faktorisierang
4.8.4 Anwendung 1 : Stabile Lösung schlecht konditionierter Gleichungssyste¬
me Ax = b . 89
4.8.5 Anwendung 2: Lineare Ausgleichsrechnung. 89
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 91
- Übungsaufgaben. 92
Nichtlineare Gleichungssysteme 97
5.1 Vorbemerkungen. 97
5.2 Der eindimensionale Fall. 98
5.2.1 Ein allgemeines Resultat. 98
5.2.2 Das Newton-Verfahren im eindimensionalen Fall. 99
5.3 Der Banachsche Fixpunktsatz .'. 100
5.4 Das Newton- Verfahren im mehrdimensionalen Fall . . 103
5.4.1 Einige Begriffe aus der
5.4.2 Das Newton-Verfahren und seine Konvergenz. 105
5.4.3 Nullstellenbestimmung bei Polynomen. 107
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 111
- Übungsaufgaben. 111
Numerische Integration von Funktionen 114
6.1 Interpolatorische Quadraturformeln. 115
6.2 Spezielle interpolatorische Quadraturformeln. 116
6.2.1 Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln. 116
6.2.2 Andere interpolatorische Quadraturformeln. 118
6.3 Der Fehler bei der interpolatorischen Quadratur. 118
6.4 Genauigkeit abgeschlossener Newton-Cotes-Formeln. 122
6.4.1 Der Beweis von Lemma 6.15. 124
6.5 Summierte Quadraturformeln . 126
6.5.1 Summierte Rechteckregeln. 126
6.5.2 Summierte Trapezregel. 127
6.5.3 Summierte Simpson-Regel. 128
6.6 Asymptotik der summierten Trapezregel. 129
6.6.1 Die Asymptotik. 129
6.7 Extrapolationsverfahren . 130
6.7.1 Grundidee. 130
6.7.2
6.7.3 Verfahrensfehler bei der Extrapolation. 132
6.8 Gaußsche Quadraturformem. 134
6.8.1 Einleitende Bemerkungen. 134
6.8.2 Orthogonale Polynome. 135
6.8.3 Optimale Wahl der Stützstellen und Gewichte. 138
6.8.4 Nullstellen von orthogonalen Polynomen als Eigenwerte. 140
6.9 Beweis der Asymptotik für die summierte Trapezregel. 142
6.9.1 Bernoulli-Polynome.
6.9.2 Der Beweis von Theorem 6.22. 143
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 145
Übungsaufgaben. 145
Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme 147
7.1 Ein Existenz-und Eindeutigkeitssatz. 147
7.2 Theorie der EinscMttverfahren. 149
7.2.1 Ein elementares Resultat zur Fehlerakkumulation. 151
7.3 Spezielle Einschrittverfahren. 152
7.3.1 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 1. 152
7.3.2 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 2. 153
7.3.3 EinschrittverfahrenderKonsistenzordnungp = 4. 155
7.4 Rundungsfehleranalyse. 155
7.5 Asymptotische Entwicklung der Approximationen. 157
7.5.1 Einführende Bemerkungen. 157
7.5.2 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrensfeh¬
lers, 1. Teil . 158
7.5.3 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrensfeh¬
lers, 2. Teil . 160
7.5.4 Asymptotische Entwicklungen des lokalen Verfahrensfehlers. 162
7.6 Extrapolationsmethoden für Einschrittverfahren. 163
7.7 Schrittweitensteuerung. 166
7.7.1 Verfahrensvorschrift. 166
7.7.2 Problemstellung. 166
7.7.3 Vorgehensweise bei gegebener Testschrittweite ftW. 167
7.7.4 Bestimmung einer neuen Testschrittweite ft№+1) im Fall 5(fc) >
7.7.5
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 170
- Übungsaufgaben. 170
Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme 173
8.1 Grundlegende Begriffe. 173
8.1.1 Mehrschrittverfahren. 173
8.1.2 Konvergenz- und Konsistenzordnung. 174
8.1.3 Nullstabilität, Lipschitzbedingung. 175
8.1.4 Übersicht. 176
8.2 Der globale Verfahrensfehler bei Mehrschrittverfahren. 176
8.2.1 Das Konvergenztheorem. 176
8.2.2 Hilfsresultat 1: Das Lemma von Gronwall. 179
8.2.3 Beschränktheit der Matrixfolge
8.2.4 Die Konsistenzordnung linearer Mehrschrittverfahren. 182
8.3 Spezielle lineare Mehrschrittverfahren - Vorbereitungen. 183
8.4 Adams-Verfahren. 186
8.4.1 Der Ansatz. 186
8.4.2 Adams-Bashfort-Verfahren. 186
8.4.3 Adams-Moulton-Verfahren. 190
8.5 Nyström- und Milne- Simpson- Verfahren. 191
8.5.1 Der Ansatz. 191
8.5.2 Nyström-Verfahren. 192
- 8.5.3 Milne-Simpson-Verfahren. 193
8.6 BDF-Verfahren . 195
8.6.1 Der Ansatz.'. 195
8.6.2 Tabellarische Übersicht über spezielle Mehrschrittverfahren. 197
8.7 Prädiktor-Korrektor-Verfahren. 197
8.7.1 Linearer Prädiktor/Linearer Korrektor. 201
8.8 Lineare homogene Differenzengleichungen. 202
8.8.1 Die Testgleichung. 202
8.8.2 Existenz und Eindeutigkeit bei linearen homogenen Differenzengleichun¬
gen . 203
8.8.3 Die komplexwertige allgemeine Lösung der homogenen Differenzen¬
gleichung
8.8.4 Die reellwertige allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung
Lu = 0. 208
8.8.5 Eine spezielle Differenzengleichung. 209
8.9 Steife Differenzialgleichungen. 212
8.9.1 Einführende Bemerkungen. 212
8.9.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung bei Anfangswertproblemen für
Differenzialgleichungen mit oberer Lipschitzeigenschaft. 214
8.9.3 Das implizite Euler-Verfahren für steife Differenzialgleichungen . 217
8.9.4 Steife Differenzialgleichungen in den Anwendungen . 219
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 220
- Übungsaufgaben. 221
Randwertprobleme 226
9.1 Problemstellung, Existenz, Eindeutigkeit. 226
9.1.1 Problemstellung. 226
9.1.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung. 227
9.2 Differenzenverfahren. 228
9.2.1 Numerische Differenziation. 228
9.2.2 Der Ansatz für Differenzenverfahren. 230
9.2.3 Das Konvergenzresultat für Differenzenverfahren.6 . . 231
9.2.4 Vorbereitungen für den Beweis von Teil (a) des Theorems 9.10. 233
9.2.5 Nachweis der Aussage in Teil(a) von Theorem 9.10. 237
9.3 Galerkin-Verfahren.*. . 237
9.3.1 Einführende Bemerkungen. 238
9.3.2 Eigenschaften des Differenzialoperators
9.3.3 Galerkin-Verfahren- ein allgemeiner Ansatz. 241
9.3.4 Systemmatrix. 244
9.3.5
9.3.6 Anwendungen. 247
9.3.7 Das Energiefunktional. 249
9.4 Einfachschießverfahren. 250
9.4.1 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit dem Newton-
Verfahren . 251
9.4.2 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit einer Fix¬
punktiteration . 252
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 252
- Übungsaufgaben. 253
10 Gesamtechritt-, Einzelschritt- und Retaationsverfahren 257
10.1 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. 257
10.1.1 Hintergrund zum Einsatz iterativer Verfahren bei linearen Gleichungssys¬
temen . 257
10.2 Lineare Fixpunktiteration. 258
10.2.1 Ein Modellbeispiel. 260
10.3 Einige spezielle Klassen von Matrizen. 262
10.3.1 Irreduzible Matrizen. 262
10.4 Das Gesamtschrittverfahren. 265
10.5 Das Einzelschrittverfahren. 267
10.5.1 Der Betrag einer Matrix. 267
10.5.2 Konvergenzergebrasse für das Einzelschrittverfahren. 268
10.6 Das Relaxationsverfahren und erste Konvergenzresultate. 270
10.6.1 M-Matrizen. 272
10.7 Relaxationsverfahren für konsistent geordnete Matrizen. 274
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 279
- Übungsaufgaben. 280
11 CG- und GMRES-Verfahren 285
11.1 Vorbetrachtungen. 285
11.1.1 Ausbück. 286
11.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums. 286
11.2.1 Existenz, Eindeutigkeit und Minimaleigenschaft. 287
11.2.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums (11.2) für gegebene A-konju-
gierte Basen. 288
11.3 Das CG-Verfahren für positiv
11.3.1 Einleitende Bemerkungen. 290
11.3.2 Die Berechnung A-konjugierter Suchrichtungen in K.n{A, b). 290
11.3.3 Der Algorithmus zum CG-Verfahren . 292
11.4 Die Konvergenzgeschwindigkeit des CG- Verfahrens. 293
11.5 Das CG-Verfahren für die Normalgleichungen. 296
11.6 Arnoldi-Prozess. 297
11.6.1 Vorbetrachtungen zum GMRES-Verfahren. 297
11.6.2 Arnoldi-Prozess. 297
11.7 GMRES auf der Basis des
11.7.1 Einführende Bemerkungen. 301
11.7.2 Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung des betrachteten Minimierungs-
problems . 302
11.7.3 Detaillierte Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösung des betrachte¬
ten Minimierungsproblems. 303
11.7.4 MATLAB-Programm für GMRES. 305
11.8 Konvergenzgeschwindigkeit des GMRES-Verfahrens . 307
11.9 Nachtrag 1: Krylovräume . 307
ll.lONachtrag 2: Programmsysteme mit Multifunktionalität. 308
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 309
Übungsaufgaben. 310
12 Eigenwertprobleme 312
12.1 Einleitung. 312
12.2 Störangstheorie für Eigenwertprobleme. 312
12.2.1 Diagonalisierbare Matrizen. 312
12.2.2 Der allgemeine Fall. 314
12.3 Lokalisierung von Eigenwerten. 316
12.4 Variationssätze für symmetrische Eigenwertprobleme. 319
12.5 Störungsresultate für Eigenwerte symmetrischer Matrizen. 321
12.6 Nachtrag: Faktorisierungen von Matrizen. 321
12.6.1 Symmetrische Matrizen. 322
12.6.2 Diagonalisierbare Matrizen. 322
12.6.3 Schur-Faktorisierung. 322
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 323
- Übungsaufgaben. 323
13 Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme 326
13.1 Einführende Bemerkungen. 326
13.1.1 Ähnlichkeitstransformationen. 326
13.1.2 Vektoriteration.(.327
13.2 Transformation auf Hessenbergform. 328
13.2.1
bergmatrizen. 328
13.2.2 Der symmetrische Fall. 330
13.3
13.3.1 Der nichtsymmetrische Fall. Die Methode von Hyman. 332
13.3.2 Das Newton-Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte tridiagonaler
Matrizen. 334
13.4 Das Jacobi-Verfahren für symmetrische Matrizen . 335
13.4.1 Approximation der Eigenwerte durch Diagonaleinträge. 336
13.4.2 Givensrotationen zur Reduktion der Nichtdiagonaleinträge. 336
13.4.3 Zwei spezielle Jacobi-Verfahren. 340
13.5 Das QR-Verfahren. 342
13.5.1 Eindeutigkeit und Stetigkeit der
13.5.2 Definition des QR- Verfahrens. 345
13.5.3 Konvergenz des QR- Verfahrens für betragsmäßig einfache Eigenwerte 346
13.5.4 Praktische Durchführung des QR- Verfahrens für Hessenbergmatrizen . 349
13.6 Das LR-Verfahren. 354
13.7 Die Vektoriteration. 354
13.7.1 Definition und Eigenschaften der Vektoriteration. 354
13.7.2 Spezielle Vektoriterationen. 356
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 357
Übungsaufgaben. 357
14 Restglieddarstellung nach Peano 359
14.1 Einführende Bemerkungen. 359
14.2 Peano-Kerne. 360
14.3 Anwendungen. 362
14.3.1 Interpolation. 362
14.3.2 Numerische Integration. 362
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 363
- Übungsaufgaben. 363
15 Approximationstheorie 365
15.1 Einführende Bemerkungen. 365
15.2 Existenz eines Proximums. 366
15.3 Eindeutigkeit eines Proximums. 367
15.3.1 Einige Notationen; streng konvexe Mengen . 368
15.3.2 Strikt normierte Räume. 369
15.4 Approximationstheorie in Räumen mit Skalarprodukt. 371
15.4.1 Einige Grundlagen . 371
15.4.2
15.5
15.6 Anwendungen des Alternantensatzes. 378
15.6.1 Ein Beispiel. 378
15.6.2 Eine erste Anwendung des Alternantensatzes . 378
15.6.3 Eine zweite Anwendung des Alternantensatzes. 379
15.7 Haarsche Räume, Tschebyscheff- Systeme. 380
15.7.1 Alternantensatz für Haarsche Räume. 381
15.7.2 Eindeutigkeit des Proximums. 382
15.7.3 Untere Schranken für den Minimalabstand. 382
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 383
- • Übungsaufgaben. 383
16 Meehnerariihmetik ' 385
16.1 Zahlendarstellungen. 385
16.2 Allgemeine Gleitpunkt—Zahlensysteme. 386
16.2.1 Grandlegende Begriffe. 386
16.2.2 Struktur des normalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems
16.2.3 Struktur des denormalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems
16.3 Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis. 390
16.3.1 Die Gleitpunktzahlen des Standards
16.3.2 Weitere Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis. 392
16.4 Runden, Abschneiden. 392
16.4.1 Runden. 393
16.4.2 Abschneiden. 395
16.5 Arithmetik in Gleitpunkt-Zahlensystemen. 396
16.5.1 Arithmetische Grundoperationen in Gleitpunkt-Zahlensystemen . 396
16.5.2 Fehlerakkumulation bei der Hintereinanderausführang von Multiplika¬
tionen und Divisionen in Gleitpunkt-Zahlensystemen. 397
16.5.3 Fehlerverstärkung bei der ffintereinanderausführang von Additionen in
einem gegebenen Gleitpunkt-Zahlensystem
- Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 401
Literaturverzeichnis 402
Index 407 |
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