Tensoranalysis:
Gespeichert in:
| Hauptverfasser: | , |
|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin
de Gruyter
2006
|
| Ausgabe: | 2., überarb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | de Gruyter Lehrbuch
|
| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis |
| Beschreibung: | XV, 414 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3110189437 9783110189438 |
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Datensatz im Suchindex
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
1 Algebraische Hilfsmittel 1
1.1 Die Summationskonvention 1
1.2 N tupel 5
1.2.1 Definitionen 5
1.2.2 Rechenoperationen 6
1.2.3 Lineare Unabhängigkeit 6
1.3 Determinanten 7
1.3.1 Definitionen 8
1.3.2 Berechnung von Determinanten 9
1.3.3 Rechnen mit Determinanten 11
1.4 Kronecker Symbole 12
1.4.1 Sij 12
1.4.2 ô p.Jq 14
1.4.3 £;..._, 15
1.4.4 Darstellung einer Determinante mit e¿...¡ 18
1.4.5 eijk 23
1.5 Matrizen 24
1.5.1 Definitionen 24
1.5.2 Rechenoperationen und einfache Folgerungen 26
1.5.3 Gleichungen zwischen Matrizen und Gleichungen zwischen Matrixelementen 31
1.5.4 Elementare Umformungen, Normalform, äquivalente Matrizen,
ähnliche Matrizen 31
1.5.5 Orthogonale Matrizen 33
1.6 Algorithmen 34
1.6.1 Berechnung einer Determinante 34
1.6.2 Lösung eindeutiger linearer Gleichungssysteme mit der gleichen Koeffizi¬
entenmatrix (,.Division durch eine reguläre Matrix , gaußscher Algorithmus) 35
1.6.3 Bestimmung des Ranges einer Matrix oder Determinante 36
X Inhalt
2 Tensoranalysis in symbolischer Schreibweise und
in kartesischen Koordinaten 37
2.1 Kartesische Koordinaten, Punkte, Ortsvektoren 37
2.1.1 Ortsvektoren und Punktkoordinaten 37
2.1.2 Die Transformation kartesischer Koordinatensysteme 38
2.1.3 Eigenschaften der Transförmationskoeffizienten 39
2.1.4 Das Transformationsgesetz für Basisvektoren 41
2.1.5 Das Transformationsgesetz für Punktkoordinaten 41
2.2 Vektoren 42
2.2.1 Vektoren, Vektorkomponenten und Vektorkoordinaten 42
2.2.2 Das Transformationsgesetz für Vektorkoordinaten 43
2.3 Tensoren 47
2.3.1 Tensoren zweiter Stufe 47
2.3.2 Tensoren beliebiger Stufe 51
2.3.3 Symmetrien in der Physik 53
2.4 Symbolische Schreibweise, Koordinaten und Matrizenschreibweise 54
2.5 Gleichheit, Addition und Subtraktion von Tensoren. Multiplikation von Tensoren
mit einem Skalar. Lineare Unabhängigkeit 55
2.6 Transponierte, isomere, symmetrische und antimetrische Tensoren 57
2.7 Die tensorielle Multiplikation von Tensoren 59
2.7.1 Definition 59
2.7.2 Eigenschaften 60
2.7.3 Tensoren, Tensorkomponenten und Tensorkoordinaten 64
2.7.4 Tensorgleichungen, Transformationsgleichungen und
Darstellungsgleichungen 65
2.8 5 Tensor, e Tensor, isotrope Tensoren 66
2.8.1 Der 5 Tensor 66
2.8.2 Der e Tensor 66
2.8.3 Isotrope Tensoren 68
2.9 Die skalare Multiplikation von Tensoren 68
2.9.1 Definition 68
2.9.2 Eigenschaften 69
2.9.3 Überschiebung, Verjüngung, Spur 75
2.9.4 Mehrfache skalare Produkte 76
2.10 Die vektorielle Multiplikation von Tensoren 78
2.10.1 Definition 78
2.10.2 Eigenschaften 82
2.10.3 Das Spatprodukt 83
2.11 Übersicht über die tensoralgebraischen Operationen 84
2.12 Differentialoperationen 85
2.12.1 Der Fundamentalsatz der Tensoranalysis 86
2.12.2 Der Gradient 86
Inhalt XI
2.12.3 Das (vollständige) Differential 89
2.12.4 Die Divergenz 91
2.12.5 Die Rotation 93
2.12.6 Der Laplace Operator 95
2.13 Indexbilanz und Strichbilanz 96
2.14 Integrale von Tensorfeldern 96
2.14.1 Kurvenintegrale von Tensorkoordinaten 97
2.14.2 Normalenvektor und Flächenvektor eines Flächenelements 99
2.14.3 Flächenintegrale von Tensorkoordinaten 102
2.14.4 Volumenintegrale von Tensorkoordinaten 106
2.14.5 Integrale von Tensorfeldern höherer Stufe 107
2.15 Gaußscher und stokesscher Satz 109
2.15.1 Der gaußsche Satz 109
2.15.2 Der stokessche Satz 113
3 Algebra von Tensoren zweiter Stufe 119
3.1 Die additive Zerlegung eines Tensors 119
3.2 Die Determinante eines Tensors 121
3.3 Der Vektor eines antimetrischen Tensors 122
3.4 Der Kotensor eines Tensors 123
3.5 Der Rang eines Tensors 124
3.6 Der inverse Tensor 124
3.7 Orthogonale Tensoren 126
3.8 Der Tensor als lineare Vektorfunktion 127
3.8.1 Rang 3 128
3.8.2 Rang 2 129
3.8.3 Rang 1 131
3.8.4 RangO 132
3.9 Reziproke Basen 132
3.9.1 Definition 132
3.9.2 Orthogonalitätsrelationen 133
3.9.3 Orthogonale und orthonormierte Basen 134
3.9.4 Reziproke Basen in der Ebene 135
3.10 Darstellung eines Tensors durch Vektoren 136
3.10.1 Rang 3 136
3.10.2 Rang 2 139
3.10.3 Rang 1 140
3.11 Eigenwerte und Eigenrichtungen. Die charakteristische Gleichung 142
3.11.1 Eigenwerte und Eigenrichtungen 142
3.11.2 Charakteristische Gleichung und Hauptinvarianten 143
XII Inhalt
3.11.3 Klassifikation von Tensoren nach der Art ihrer Eigenwerte,
Sätze über Eigenwerte 145
3.11.4 Sätze über Eigenvektoren 148
3.11.5 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen 154
3.12 Symmetrische Tensoren 158
3.12.1 Die Hauptachsentransformation 158
3.12.2 Eigenwerte und Rang des Tensors 162
3.12.3 Eigenwerte und Definitheit des Tensors 163
3.12.4 Symmetrische quadratische Matrizen 164
3.13 Orthogonale polare Tensoren 168
3.13.1 Die Drehung in der Ebene 168
3.13.2 Transformation auf eine Eigenrichtung 168
3.13.3 Der orthogonale Tensor als Funktion von Drehachse bzw.
Spiegelungsachse und Drehwinkel 172
3.13.3.1 Drehung 172
3.13.3.2 Spiegelung 175
3.13.3.3 Drehspiegelung 176
3.13.4 Drehung und Koordinatentransformation 177
3.14 Potenzen von Tensoren. Die Cayley Hamilton Gleichung 178
3.14.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 178
3.14.2 Potenzen mit reellen Exponenten 180
3.14.3 Die Cayley Hamilton Gleichung 182
3.15 Grundinvarianten 183
3.16 Die polare Zerlegung eines Tensors 185
4 Tensoranalysis in krummlinigen Koordinaten 191
4.1 Krummlinige Koordinaten 191
4.1.1 Krummlinige Koordinatensysteme 191
4.1.2 Koordinatenflächen und Koordinatenlinien 193
4.1.3 Holonome Basen 194
4.1.4 Geradlinige und kartesische Koordinatensysteme 197
4.1.5 Orthogonale Koordinatensysteme 199
4.2 Holonome Tensorkoordinaten 199
4.2.1 Allgemeines 199
4.2.2 Transformationen zwischen
zwei krummlinigen Koordinatensystemen 202
4.2.3 Die Summationskonvention 205
4.2.4 DerS Tensor 206
4.2.4.1 Die holonomen Koordinaten 206
4.2.4.2 Eigenschaften der Metrikkoeffizienten 207
4.2.5 Herauf und Herunterziehen von Indizes 210
4.2.6 Dere Tensor 211
4.2.6.1 Die holonomen Koordinaten 211
4.2.6.2 Eigenschaften der holonomen Koordinaten 213
Inhalt Xm
4.2.7 Isotrope Tensoren 215
4.2.8 Tensoralgebra in holonomen Koordinaten 215
4.2.8.1 Gleichheit, Addition und Subtraktion 215
4.2.8.2 Transposition, symmetrische und antimetrische Tensoren .... 217
4.2.8.3 Die tensorielle Multiplikation 218
4.2.8.4 Die Überschiebung und ihre Spezialfälle 219
4.2.8.5 Zusammenfassung 220
4.3 Physikalische Basen und Tensorkoordinaten 221
4.4 Differentialoperationen 223
4.4.1 Partielle Ableitung und Differential des Ortsvektors 224
4.4.2 Partielle Ableitung und vollständiges Differential der holonomen Basen,
Christoffel Symbole 225
4.4.3 Christoffel Symbole und Metrikkoeffizienten 226
4.4.4 Die partielle Ableitung von Tensoren.
Die partielle und die kovariante Ableitung von Tensorkoordinaten 227
4.4.5 Das vollständige Differential von Tensoren.
Das vollständige und das absolute Differential von Tensorkoordinaten . . . 229
4.4.6 Ableitungen nach einem Parameter 231
4.4.7 Der Gradient 231
4.4.8 Divergenz und Rotation 233
4.4.9 Physikalische Koordinaten von Differentialoperationen 234
4.4.10 Die zweite kovariante Ableitung einer Tensorkoordinate.
Der Laplace Operator 237
4.4.11 Integrale von Tensorfeldern 239
4.4.11.1 Kurven , Flächen und Volumenelemente 239
4A.ll.2 Integrale in krummlinigen Koordinaten 241
5 Darstellungstheorie 245
5.1 Der Grundgedanke der Darstellungstheorie 245
5.2 Die verallgemeinerte Cayley Hamilton Gleichung 247
5.3 Invarianten von Vektoren und Tensoren zweiter Stufe 249
5.3.1 Invarianten von Vektoren 250
5.3.2 Invarianten eines Tensors zweiter Stufe 251
5.3.3 Simultaninvarianten von Tensoren zweiter Stufe und Vektoren 257
5.3.4 Zusammenfassung 261
5.4 Isotrope Tensorfunktionen 262
5.4.1 Invarianzbedingungen 262
5.4.2 Skalarwertige Funktionen 264
5.4.3 Vektorwertige Funktionen 264
5.4.4 Tensorwertige Funktionen 267
5.4.5 Zusammenfassung 270
5.5 Berücksichtigung von Anisotropien 271
XIV Inhalt
6 Der Vektorraum 277
6.1 Einfache algebraische Systeme 277
6.1.1 Die Halbgruppe 277
6.1.2 Die Gruppe 279
6.1.3 Der Ring 282
6.1.4 Der Körper 284
6.2 Der (affine) Vektorraum 286
6.2.1 Vektorraum, Nullvektor, Subtraktion 286
6.2.2 Lineare Operationen, lineare Kombination, lineare Unabhängigkeit .... 290
6.2.3 Basis und Dimension 290
6.2.4 Koordinaten 294
6.2.5 Transformationsgleichungen 295
6.3 Abbildungen 296
6.3.1 Allgemeine Abbildungen 296
6.3.2 Lineare Abbildungen 297
6.3.3 Tabellarische Zusammenfassung 304
6.4 Dualität 305
6.4.1 Der Dualraum 305
6.4.2 Die natürliche skalare Multiplikation 306
6.4.3 Duale Basen 308
6.4.4 Transformationsgleichungen 309
6.5 Der (affine) Tensorraum 311
6.5.1 Die tensorielle Multiplikation 311
6.5.2 Affine Tensorräume und Tensoren 312
6.5.3 Transformationsgleichungen 313
6.6 Der euklidische Vektorraum 315
6.6.1 Die skalare Multiplikation 315
6.6.2 Die Metrik 317
6.6.3 Dualität 320
6.7 Der Punktraum 323
6.7.1 Der affine (Punkt )Raum 323
6.7.2 Der euklidische (Punkt )Raum 325
Literatur 327
Anhang A
Lösungen der Aufgaben 329
Anhang B
Zylinder und Kugelkoordinaten 391
Inhalt XV
B.l Zylinderkoordinaten 391
B.l.l Transformationsgleichungen für Punktkoordinaten 391
B.1.2 Basen 392
B.l.3 Transformationsgleichungen für Tensorkoordinaten 392
B.1.4 Einheitstensor und e Tensor 394
B.1.5 Die Christoffel Symbole 394
B.1.6 Differentialoperatoren 395
B.l.7 Kurven , Flächen und Volumenelemente 396
B.2 Kugelkoordinaten 397
B.2.1 Transformationsgleichungen für Punktkoordinaten 397
B.2.2 Basen 398
B.2.3 Transformationsgleichungen für Tensorkoordinaten 398
B.2.4 Einheitstensor und e Tensor 401
B.2.5 Die Christoffel Symbole 402
B.2.6 Differentialoperatoren 402
B.2.7 Kurven , Flächen und Volumenelemente 405
Sachwortregister 407
|
| adam_txt |
Inhalt
1 Algebraische Hilfsmittel 1
1.1 Die Summationskonvention 1
1.2 N tupel 5
1.2.1 Definitionen 5
1.2.2 Rechenoperationen 6
1.2.3 Lineare Unabhängigkeit 6
1.3 Determinanten 7
1.3.1 Definitionen 8
1.3.2 Berechnung von Determinanten 9
1.3.3 Rechnen mit Determinanten 11
1.4 Kronecker Symbole 12
1.4.1 Sij 12
1.4.2 ô'p.Jq 14
1.4.3 £;._, 15
1.4.4 Darstellung einer Determinante mit e¿.¡ 18
1.4.5 eijk 23
1.5 Matrizen 24
1.5.1 Definitionen 24
1.5.2 Rechenoperationen und einfache Folgerungen 26
1.5.3 Gleichungen zwischen Matrizen und Gleichungen zwischen Matrixelementen 31
1.5.4 Elementare Umformungen, Normalform, äquivalente Matrizen,
ähnliche Matrizen 31
1.5.5 Orthogonale Matrizen 33
1.6 Algorithmen 34
1.6.1 Berechnung einer Determinante 34
1.6.2 Lösung eindeutiger linearer Gleichungssysteme mit der gleichen Koeffizi¬
entenmatrix (,.Division durch eine reguläre Matrix", gaußscher Algorithmus) 35
1.6.3 Bestimmung des Ranges einer Matrix oder Determinante 36
X Inhalt
2 Tensoranalysis in symbolischer Schreibweise und
in kartesischen Koordinaten 37
2.1 Kartesische Koordinaten, Punkte, Ortsvektoren 37
2.1.1 Ortsvektoren und Punktkoordinaten 37
2.1.2 Die Transformation kartesischer Koordinatensysteme 38
2.1.3 Eigenschaften der Transförmationskoeffizienten 39
2.1.4 Das Transformationsgesetz für Basisvektoren 41
2.1.5 Das Transformationsgesetz für Punktkoordinaten 41
2.2 Vektoren 42
2.2.1 Vektoren, Vektorkomponenten und Vektorkoordinaten 42
2.2.2 Das Transformationsgesetz für Vektorkoordinaten 43
2.3 Tensoren 47
2.3.1 Tensoren zweiter Stufe 47
2.3.2 Tensoren beliebiger Stufe 51
2.3.3 Symmetrien in der Physik 53
2.4 Symbolische Schreibweise, Koordinaten und Matrizenschreibweise 54
2.5 Gleichheit, Addition und Subtraktion von Tensoren. Multiplikation von Tensoren
mit einem Skalar. Lineare Unabhängigkeit 55
2.6 Transponierte, isomere, symmetrische und antimetrische Tensoren 57
2.7 Die tensorielle Multiplikation von Tensoren 59
2.7.1 Definition 59
2.7.2 Eigenschaften 60
2.7.3 Tensoren, Tensorkomponenten und Tensorkoordinaten 64
2.7.4 Tensorgleichungen, Transformationsgleichungen und
Darstellungsgleichungen 65
2.8 5 Tensor, e Tensor, isotrope Tensoren 66
2.8.1 Der 5 Tensor 66
2.8.2 Der e Tensor 66
2.8.3 Isotrope Tensoren 68
2.9 Die skalare Multiplikation von Tensoren 68
2.9.1 Definition 68
2.9.2 Eigenschaften 69
2.9.3 Überschiebung, Verjüngung, Spur 75
2.9.4 Mehrfache skalare Produkte 76
2.10 Die vektorielle Multiplikation von Tensoren 78
2.10.1 Definition 78
2.10.2 Eigenschaften 82
2.10.3 Das Spatprodukt 83
2.11 Übersicht über die tensoralgebraischen Operationen 84
2.12 Differentialoperationen 85
2.12.1 Der Fundamentalsatz der Tensoranalysis 86
2.12.2 Der Gradient 86
Inhalt XI
2.12.3 Das (vollständige) Differential 89
2.12.4 Die Divergenz 91
2.12.5 Die Rotation 93
2.12.6 Der Laplace Operator 95
2.13 Indexbilanz und Strichbilanz 96
2.14 Integrale von Tensorfeldern 96
2.14.1 Kurvenintegrale von Tensorkoordinaten 97
2.14.2 Normalenvektor und Flächenvektor eines Flächenelements 99
2.14.3 Flächenintegrale von Tensorkoordinaten 102
2.14.4 Volumenintegrale von Tensorkoordinaten 106
2.14.5 Integrale von Tensorfeldern höherer Stufe 107
2.15 Gaußscher und stokesscher Satz 109
2.15.1 Der gaußsche Satz 109
2.15.2 Der stokessche Satz 113
3 Algebra von Tensoren zweiter Stufe 119
3.1 Die additive Zerlegung eines Tensors 119
3.2 Die Determinante eines Tensors 121
3.3 Der Vektor eines antimetrischen Tensors 122
3.4 Der Kotensor eines Tensors 123
3.5 Der Rang eines Tensors 124
3.6 Der inverse Tensor 124
3.7 Orthogonale Tensoren 126
3.8 Der Tensor als lineare Vektorfunktion 127
3.8.1 Rang 3 128
3.8.2 Rang 2 129
3.8.3 Rang 1 131
3.8.4 RangO 132
3.9 Reziproke Basen 132
3.9.1 Definition 132
3.9.2 Orthogonalitätsrelationen 133
3.9.3 Orthogonale und orthonormierte Basen 134
3.9.4 Reziproke Basen in der Ebene 135
3.10 Darstellung eines Tensors durch Vektoren 136
3.10.1 Rang 3 136
3.10.2 Rang 2 139
3.10.3 Rang 1 140
3.11 Eigenwerte und Eigenrichtungen. Die charakteristische Gleichung 142
3.11.1 Eigenwerte und Eigenrichtungen 142
3.11.2 Charakteristische Gleichung und Hauptinvarianten 143
XII Inhalt
3.11.3 Klassifikation von Tensoren nach der Art ihrer Eigenwerte,
Sätze über Eigenwerte 145
3.11.4 Sätze über Eigenvektoren 148
3.11.5 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen 154
3.12 Symmetrische Tensoren 158
3.12.1 Die Hauptachsentransformation 158
3.12.2 Eigenwerte und Rang des Tensors 162
3.12.3 Eigenwerte und Definitheit des Tensors 163
3.12.4 Symmetrische quadratische Matrizen 164
3.13 Orthogonale polare Tensoren 168
3.13.1 Die Drehung in der Ebene 168
3.13.2 Transformation auf eine Eigenrichtung 168
3.13.3 Der orthogonale Tensor als Funktion von Drehachse bzw.
Spiegelungsachse und Drehwinkel 172
3.13.3.1 Drehung 172
3.13.3.2 Spiegelung 175
3.13.3.3 Drehspiegelung 176
3.13.4 Drehung und Koordinatentransformation 177
3.14 Potenzen von Tensoren. Die Cayley Hamilton Gleichung 178
3.14.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 178
3.14.2 Potenzen mit reellen Exponenten 180
3.14.3 Die Cayley Hamilton Gleichung 182
3.15 Grundinvarianten 183
3.16 Die polare Zerlegung eines Tensors 185
4 Tensoranalysis in krummlinigen Koordinaten 191
4.1 Krummlinige Koordinaten 191
4.1.1 Krummlinige Koordinatensysteme 191
4.1.2 Koordinatenflächen und Koordinatenlinien 193
4.1.3 Holonome Basen 194
4.1.4 Geradlinige und kartesische Koordinatensysteme 197
4.1.5 Orthogonale Koordinatensysteme 199
4.2 Holonome Tensorkoordinaten 199
4.2.1 Allgemeines 199
4.2.2 Transformationen zwischen
zwei krummlinigen Koordinatensystemen 202
4.2.3 Die Summationskonvention 205
4.2.4 DerS Tensor 206
4.2.4.1 Die holonomen Koordinaten 206
4.2.4.2 Eigenschaften der Metrikkoeffizienten 207
4.2.5 Herauf und Herunterziehen von Indizes 210
4.2.6 Dere Tensor 211
4.2.6.1 Die holonomen Koordinaten 211
4.2.6.2 Eigenschaften der holonomen Koordinaten 213
Inhalt Xm
4.2.7 Isotrope Tensoren 215
4.2.8 Tensoralgebra in holonomen Koordinaten 215
4.2.8.1 Gleichheit, Addition und Subtraktion 215
4.2.8.2 Transposition, symmetrische und antimetrische Tensoren . 217
4.2.8.3 Die tensorielle Multiplikation 218
4.2.8.4 Die Überschiebung und ihre Spezialfälle 219
4.2.8.5 Zusammenfassung 220
4.3 Physikalische Basen und Tensorkoordinaten 221
4.4 Differentialoperationen 223
4.4.1 Partielle Ableitung und Differential des Ortsvektors 224
4.4.2 Partielle Ableitung und vollständiges Differential der holonomen Basen,
Christoffel Symbole 225
4.4.3 Christoffel Symbole und Metrikkoeffizienten 226
4.4.4 Die partielle Ableitung von Tensoren.
Die partielle und die kovariante Ableitung von Tensorkoordinaten 227
4.4.5 Das vollständige Differential von Tensoren.
Das vollständige und das absolute Differential von Tensorkoordinaten . . . 229
4.4.6 Ableitungen nach einem Parameter 231
4.4.7 Der Gradient 231
4.4.8 Divergenz und Rotation 233
4.4.9 Physikalische Koordinaten von Differentialoperationen 234
4.4.10 Die zweite kovariante Ableitung einer Tensorkoordinate.
Der Laplace Operator 237
4.4.11 Integrale von Tensorfeldern 239
4.4.11.1 Kurven , Flächen und Volumenelemente 239
4A.ll.2 Integrale in krummlinigen Koordinaten 241
5 Darstellungstheorie 245
5.1 Der Grundgedanke der Darstellungstheorie 245
5.2 Die verallgemeinerte Cayley Hamilton Gleichung 247
5.3 Invarianten von Vektoren und Tensoren zweiter Stufe 249
5.3.1 Invarianten von Vektoren 250
5.3.2 Invarianten eines Tensors zweiter Stufe 251
5.3.3 Simultaninvarianten von Tensoren zweiter Stufe und Vektoren 257
5.3.4 Zusammenfassung 261
5.4 Isotrope Tensorfunktionen 262
5.4.1 Invarianzbedingungen 262
5.4.2 Skalarwertige Funktionen 264
5.4.3 Vektorwertige Funktionen 264
5.4.4 Tensorwertige Funktionen 267
5.4.5 Zusammenfassung 270
5.5 Berücksichtigung von Anisotropien 271
XIV Inhalt
6 Der Vektorraum 277
6.1 Einfache algebraische Systeme 277
6.1.1 Die Halbgruppe 277
6.1.2 Die Gruppe 279
6.1.3 Der Ring 282
6.1.4 Der Körper 284
6.2 Der (affine) Vektorraum 286
6.2.1 Vektorraum, Nullvektor, Subtraktion 286
6.2.2 Lineare Operationen, lineare Kombination, lineare Unabhängigkeit . 290
6.2.3 Basis und Dimension 290
6.2.4 Koordinaten 294
6.2.5 Transformationsgleichungen 295
6.3 Abbildungen 296
6.3.1 Allgemeine Abbildungen 296
6.3.2 Lineare Abbildungen 297
6.3.3 Tabellarische Zusammenfassung 304
6.4 Dualität 305
6.4.1 Der Dualraum 305
6.4.2 Die natürliche skalare Multiplikation 306
6.4.3 Duale Basen 308
6.4.4 Transformationsgleichungen 309
6.5 Der (affine) Tensorraum 311
6.5.1 Die tensorielle Multiplikation 311
6.5.2 Affine Tensorräume und Tensoren 312
6.5.3 Transformationsgleichungen 313
6.6 Der euklidische Vektorraum 315
6.6.1 Die skalare Multiplikation 315
6.6.2 Die Metrik 317
6.6.3 Dualität 320
6.7 Der Punktraum 323
6.7.1 Der affine (Punkt )Raum 323
6.7.2 Der euklidische (Punkt )Raum 325
Literatur 327
Anhang A
Lösungen der Aufgaben 329
Anhang B
Zylinder und Kugelkoordinaten 391
Inhalt XV
B.l Zylinderkoordinaten 391
B.l.l Transformationsgleichungen für Punktkoordinaten 391
B.1.2 Basen 392
B.l.3 Transformationsgleichungen für Tensorkoordinaten 392
B.1.4 Einheitstensor und e Tensor 394
B.1.5 Die Christoffel Symbole 394
B.1.6 Differentialoperatoren 395
B.l.7 Kurven , Flächen und Volumenelemente 396
B.2 Kugelkoordinaten 397
B.2.1 Transformationsgleichungen für Punktkoordinaten 397
B.2.2 Basen 398
B.2.3 Transformationsgleichungen für Tensorkoordinaten 398
B.2.4 Einheitstensor und e Tensor 401
B.2.5 Die Christoffel Symbole 402
B.2.6 Differentialoperatoren 402
B.2.7 Kurven , Flächen und Volumenelemente 405
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