Orthogonal polynomials and special functions: computation and applications
Saved in:
| Format: | Book |
|---|---|
| Language: | English |
| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
2006
|
| Series: | Lecture notes in mathematics
1883 |
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XIV, 418 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3540310622 9783540310624 |
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| 490 | 1 | |a Lecture notes in mathematics |v 1883 | |
| 650 | 4 | |a Fonctions spéciales | |
| 650 | 7 | |a Orthogonale Polynome |2 swd | |
| 650 | 7 | |a Orthogonale reeksen |2 gtt | |
| 650 | 4 | |a Polynômes orthogonaux | |
| 650 | 7 | |a Speciale functies (wiskunde) |2 gtt | |
| 650 | 7 | |a Spezielle Funktion |2 swd | |
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| 689 | 1 | |5 DE-604 | |
| 700 | 1 | |a Marcellán, Francisco |e Sonstige |4 oth | |
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|---|---|
| adam_text | CONTENTS ORTHOGONAL POLYNOMIALS, QUADRATURE, AND APPROXIMATION:
COMPUTATIONAL METHODS AND SOFTWARE (IN MATLAB) WALTER GAUTSCHI
................................................. 1 2 ORTHOGONAL
POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 4 2.1 RECURRENCE COEFFICIENTS . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 MODIFIED CHEBYSHEV
ALGORITHM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3
DISCRETE STIELTJES AND LANCZOS ALGORITHM . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 10 2.4 DISCRETIZATION METHODS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 CAUCHYINTEGRALS OF ORTHOGONAL
POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 SOBOLEV ORTHOGONAL
POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 30 3.1 SOBOLEV INNER PRODUCT AND RECURRENCE RELATION . . . . . . . . .
. . . . 30 3.2 MOMENT-BASED ALGORITHM . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 DISCRETIZATION ALGORITHM . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 ZEROS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 33 4 QUADRATURE . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 36 4.1 GAUSS-TY PE QUADRATURE FORMULAE . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 36 4.2 GAUSS*KRONROD QUADRATURE . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 GAUSS*TUR´ AN QUADRATURE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4
QUADRATURE FORMULAE BASED ON RATIONAL FUNCTIONS . . . . . . . . . . 43
4.5 CAUCHY PRINCIPAL VALUE INTEGRALS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 45 4.6 POLYNOMIALS ORTHOGONAL ON SEVERAL INTERVALS . . .
. . . . . . . . . . . . . 47 4.7 QUADRATURE ESTIMATES OF MATRIX
FUNCTIONALS . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5 APPROXIMATION . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 57 5.1 POLYNOMIAL LEAST SQUARES APPROXIMATION . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 57 5.2 MOMENT-PRESERVING SPLINE APPROXIMATION .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.3 SLOWLY CONVERGENT SERIES . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 X CONTENTS EQUILIBRIUM
PROBLEMS OF POTENTIAL THEORY IN THE COMPLEX PLANE ANDREI MART´ *NEZ
FINKELSHTEIN ...................................... 79 1 BACKGROUND . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 80 1.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.2
BACKGROUND OR WHAT YOU SHOULD BRING TO CLASS . . . . . . . . . . . . .
80 2 LOGARITHMIC POTENTIALS: DEFINITION AND PROPERTIES. . . . . . . . .
. . . . . . . . 82 2.1 SUPERHARMONIC FUNCTIONS . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.2 DEFINITION OF THE
LOGARITHMIC POTENTIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.3
SOME PRINCIPLES FOR POTENTIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 85 2.4 RECOVERING A MEASURE FROM ITS POTENTIAL . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 86 3 ENERGYAND EQUILIBRIUM . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.1
LOGARITHMIC ENERGY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 88 3.2 EXTREMAL PROBLEM, EQUILIBRIUM MEASURE AND
CAPACITY. . . . . . . 90 3.3 LINK WITH CONFORMAL MAPPING AND GREEN
FUNCTION . . . . . . . . . . 96 3.4 EQUILIBRIUM IN AN EXTERNAL FIELD . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.5 OTHER
EQUILIBRIUM PROBLEMS. EQUILIBRIUM WITH CONSTRAINTS . . . 106 4 TWO
APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 108 4.1 ANALYTIC PROPERTIES OF POLYNOMIALS .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2 COMPLEX DYNAMICS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 112 5 CONCLUSIONS, OR WHAT YOU SHOULD TAKE HOME . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 116 REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116 DISCRETE ORTHOGONAL POLYNOMIALS AND SUPERLINEAR CONVERGENCE OF
KRYLOV SUBSPACE METHODS IN NUMERICAL LINEAR ALGEBRA BERNHARD BECKERMANN
............................................ 119 1 BACKGROUND IN
NUMERICAL LINEAR ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120 1.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 1.2 CONJUGATE GRADIENTS,
LANCZOS, AND RITZ VALUES . . . . . . . . . . . . . . 124 1.3 KRYLOV
SUBSPACE METHODS AND DISCRETE ORTHOGONAL POLYNOMIALS: NON SYMMETRIC DATA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 1.4 KRYLOV
SUBSPACE METHODS AND DISCRETE ORTHOGONAL POLYNOMIALS: SYMMETRIC DATA . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2 EXTREMAL
PROBLEMS IN COMPLEX POTENTIAL THEORYAND N TH ROOT ASYMPTOTICS OF OP . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 138 2.1 ENERGYPROBLEMS WITH EXTERNAL FIELD . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 138 2.2 ENERGYPROBLEMS WITH CONSTRAINT AND
EXTERNAL FIELD . . . . . . . . . 145 2.3 ASYMPTOTICS FOR DISCRETE
ORTHOGONAL POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . 149 3 CONSEQUENCES . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 156 3.1 APPLICATIONS TO THE RATE OF CONVERGENCE OF CG
. . . . . . . . . . . . . . 156 3.2 APPLICATIONS TO THE RATE OF
CONVERGENCE OF RITZ VALUES . . . . . . . 165 3.3 CIRCULANTS, TOEPLITZ
MATRICES AND THEIR COUSINS . . . . . . . . . . . . . . 171 3.4
DISCRETIZATION OF ELLIPTIC PDE*S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 176 3.5 CONCLUSIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 REFERENCES . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 182 CONTENTS XI ORTHOGONAL RATIONAL
FUNCTIONS ON THE UNIT CIRCLE: FROM THE SCALAR TO THE MATRIX CASE ADHEMAR
BULTHEEL, PABLO GONZ´ ALEZ-VERA, ERIK HENDRIKSEN, OLAV NJ* ASTAD
.................................................... 187 1 MOTIVATION:
WHYORTHOGONAL RATIONAL FUNCTIONS? . . . . . . . . . . . . . . . . 188
1.1 LINEAR PREDICTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 189 1.2 KRYLOV SUBSPACE METHODS . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 1.3 NUMERICAL
QUADRATURE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 191 2 ORTHOGONAL RATIONAL FUNCTIONS ON THE UNIT CIRCLE . . . .
. . . . . . . . . . . . 191 2.1 PRELIMINARIES . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 2.2
THE FUNDAMENTAL SPACES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 194 2.3 REPRODUCING KERNELS . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 2.4 RECURRENCE
RELATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 197 3 QUADRATURE AND INTERPOLATION . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 3.1 QUADRATURE . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 202 3.2 INTERPOLATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 3.3 INTERPOLATION AND
QUADRATURE USING THE KERNELS . . . . . . . . . . . . . 205 4 DENSITY AND
THE PROOF OF FAVARD*S THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 206 4.1 DENSITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.2 PROOF OF FAVARD*S
THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207 5 CONVERGENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.1 ORTHOGONAL
POLYNOMIALS W.R.T. VARYING MEASURES. . . . . . . . . . . . . 207 5.2
SZEG* O*S CONDITION AND CONVERGENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 208 6 SZEG* O*S PROBLEM . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7 HILBERT
MODULES AND HARDY SPACES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 212 7.1 INNER PRODUCTS AND NORMS . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.2 CARATH´ EODORYFUNCTION AND
SPECTRAL FACTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8 MORF AND
REPRODUCING KERNELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 214 8.1 ORTHOGONAL RATIONAL FUNCTIONS . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.2 REPRODUCING KERNELS . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9
RECURRENCE FOR THE MORF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 219 9.1 THE RECURSION . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.2
FUNCTIONS OF THE SECOND KIND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 222 10 INTERPOLATION AND QUADRATURE . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.1 THE KERNELS . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 223 10.2 THE MORF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11 MINIMALISATION
AND SZEG* O*S PROBLEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 225 12 WHAT WE DID NOT DISCUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 REFERENCES . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 227 ORTHOGONAL POLYNOMIALS AND SEPARATION OF VARIABLES
VADIM B. KUZNETSOV .............................................. 229 1
CHEBYSHEV POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 230 1.1 PAFNUTY LVOVICH CHEBYSHEV . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 1.2 NOTATION AND
STANDARD FORMULAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230 1.3 POLYNOMIALS T N ( X ) AND U N ( X ) . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 232 XII CONTENTS 1.4 ORTHOGONALITY. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 234 1.5 OTHER RESULTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 1.6 LEAST POSSIBLE
DEVIATION FROM ZERO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
2 GEGENBAUER POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 235 2.1 LEOPOLD BERNHARD GEGENBAUER . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 2.2 POLYNOMIALS C (
G ) N ( X ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 236 2.3 BETA INTEGRAL AND ELLIPTIC COORDINATES . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 238 2.4 Q -OPERATOR . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
239 3 MONOMIAL AND ELEMENTARYSYMMETRIC FUNCTIONS . . . . . . . . . . . .
. . . . . 241 3.1 DEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 3.2 FACTORIZING
SYMMETRIC POLYNOMIALS E * 1 ,* 2 ( X 1 ,X 2 ) . . . . . . . . . . . .
242 3.3 FACTORIZING THE BASIS E * ( X 1 ,...,X N ) . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 244 3.4 LIOUVILLE INTEGRABLE SYSTEMS . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 3.5 SEPARATION OF
VARIABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 248 3.6 FACTORIZING SYMMETRIC MONOMIALS M * 1 ,* 2 ( X 1 ,X 2 )
. . . . . . . . . . . . 249 3.7 FACTORIZING THE BASIS M * ( X 1 ,...,X N
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 REFERENCES . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 252 AN ALGEBRAIC APPROACH TO THE ASKEY SCHEME
OF ORTHOGONAL POLYNOMIALS PAUL TERWILLIGER
................................................. 255 1 LEONARD PAIRS
AND LEONARD SY STEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 256 1.1 LEONARD PAIRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 1.2 AN EXAMPLE . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 257 1.3 LEONARD SY STEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 258 1.4 THE D 4 ACTION . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
2 THE STRUCTURE OF A LEONARD SY STEM . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 262 2.1 THE ANTIAUTOMORPHISM * . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 2.2 THE SCALARS A I ,X
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 266 2.3 THE POLYNOMIALS P I . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 2.4 THE SCALARS *, M I . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 270 3 THE STANDARD BASIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 3.1 THE SCALARS B I ,C I .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 272 3.2 THE SCALARS K I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 3.3 THE POLYNOMIALS V I
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 275 3.4 THE POLYNOMIALS U I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 3.5 A BILINEAR FORM . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277 4 ASKEY-WILSON DUALITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 4.1 THE THREE-TERM RECURRENCE
AND THE DIFFERENCE EQUATION . . . . . 280 4.2 THE ORTHOGONALITYRELATIONS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 4.3 THE
MATRIX P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 282 5 THE SPLIT DECOMPOSITION . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 5.1 THE
SPLIT BASIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 287 5.2 THE PARAMETER ARRAYAND THE CLASSIFYING
SPACE . . . . . . . . . . . . . 287 5.3 EVERYTHING IN TERMS OF THE
PARAMETER ARRAY . . . . . . . . . . . . . . . . 289 CONTENTS XIII 6 THE
TERMINATING BRANCH OF THE ASKEYSCHEME . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 292 7 APPLICATIONS AND RELATED TOPICS . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 295 7.1 A CHARACTERIZATION OF LEONARD
SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 7.2 LEONARD PAIRS
A, A * WITH A LOWER BIDIAGONAL AND A * UPPER BIDIAGONAL . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 298 7.3 LEONARD PAIRS A, A * WITH A TRIDIAGONAL AND A * DIAGONAL . .
. . . 298 7.4 CHARACTERIZATIONS OF THE PARAMETER ARRAYS . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 299 8 THE ASKEY-WILSON RELATIONS . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 8.1 LEONARD PAIRS
AND THE LIE ALGEBRA SL 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.2 LEONARD PAIRS AND THE QUANTUM ALGEBRA U Q ( SL 2 ) . . . . . . . . .
. . . 302 8.3 LEONARD PAIRS IN COMBINATORICS . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 303 9 TRIDIAGONAL PAIRS . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10 APPENDIX: LIST OF PARAMETER ARRAYS . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 308 11 SUGGESTIONS FOR FURTHER RESEARCH . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 REFERENCES . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 326 PAINLEV´ E EQUATIONS * NONLINEAR
SPECIAL FUNCTIONS PETER A. CLARKSON
................................................ 331 1 INTRODUCTION . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 333 2 INVERSE PROBLEMS FOR THE PAINLEV´ E
EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 2.1 INTEGRAL
EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 335 2.2 ISOMONODROMYPROBLEMS . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 3 HAMILTONIAN STRUCTURE . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 338 4 B¨ ACKLUND TRANSFORMATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 4.1 B¨ ACKLUND TRANSFORMATIONS
FOR P II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 4.2 B¨
ACKLUND TRANSFORMATIONS FOR P III . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 342 4.3 B¨ ACKLUND TRANSFORMATIONS FOR P IV . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 343 4.4 B¨ ACKLUND TRANSFORMATIONS FOR
P V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 4.5 B¨
ACKLUND TRANSFORMATIONS FOR P VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 345 4.6 AFFINE WEY L GROUPS . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 5 RATIONAL SOLUTIONS . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 347 5.1 RATIONAL SOLUTIONS OF P II . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 5.2 THE YABLONSKII-VOROB*EV
POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 5.3
DETERMINANTAL REPRESENTATION OF RATIONAL SOLUTIONS OF P II . . . . 354
5.4 RATIONAL SOLUTIONS OF P III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 358 5.5 RATIONAL SOLUTIONS OF P IV . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 5.6 RATIONAL
SOLUTIONS OF P V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 364 5.7 RATIONAL SOLUTIONS OF P VI . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 6 OTHER ELEMENTARYSOLUTIONS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
367 6.1 ELEMENTARYSOLUTIONS OF P III . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 367 6.2 ELEMENTARYSOLUTIONS OF P V . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 6.3
ELEMENTARYSOLUTIONS OF P VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 370 7 SPECIAL FUNCTION SOLUTIONS . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 7.1 SPECIAL
FUNCTION SOLUTIONS OF P II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 373 7.2 SPECIAL FUNCTION SOLUTIONS OF P III . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 375 XIV CONTENTS 7.3 SPECIAL FUNCTION
SOLUTIONS OF P IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
376 7.4 SPECIAL FUNCTION SOLUTIONS OF P V . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 378 7.5 SPECIAL FUNCTION SOLUTIONS OF P VI . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 8 OTHER MATHEMATICAL
PROPERTIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 380 8.1 HIROTA BILINEAR FORMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 380 8.2 COALESCENCE CASCADE . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 8.3
THE P II HIERARCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 382 9 ASYMPTOTIC EXPANSIONS AND CONNECTION
FORMULAE . . . . . . . . . . . . . . . . 384 9.1 FIRST PAINLEV´ E
EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 384 9.2 SECOND PAINLEV´ E EQUATION. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 387 9.3 CONNECTION FORMULAE FOR P II . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 10
APPLICATIONS OF PAINLEV´ E EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 392 10.1 REDUCTIONS OF PARTIAL DIFFERENTIAL
EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 10.2 COMBINATORICS . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 396 10.3 ORTHOGONAL POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 11 DISCUSSION . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 400 REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 INDEX
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
|
| adam_txt |
CONTENTS ORTHOGONAL POLYNOMIALS, QUADRATURE, AND APPROXIMATION:
COMPUTATIONAL METHODS AND SOFTWARE (IN MATLAB) WALTER GAUTSCHI
. 1 2 ORTHOGONAL
POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 4 2.1 RECURRENCE COEFFICIENTS . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 MODIFIED CHEBYSHEV
ALGORITHM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3
DISCRETE STIELTJES AND LANCZOS ALGORITHM . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 10 2.4 DISCRETIZATION METHODS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 CAUCHYINTEGRALS OF ORTHOGONAL
POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 SOBOLEV ORTHOGONAL
POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 30 3.1 SOBOLEV INNER PRODUCT AND RECURRENCE RELATION . . . . . . . . .
. . . . 30 3.2 MOMENT-BASED ALGORITHM . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 DISCRETIZATION ALGORITHM . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 ZEROS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 33 4 QUADRATURE . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 36 4.1 GAUSS-TY PE QUADRATURE FORMULAE . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 36 4.2 GAUSS*KRONROD QUADRATURE . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 GAUSS*TUR´ AN QUADRATURE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4
QUADRATURE FORMULAE BASED ON RATIONAL FUNCTIONS . . . . . . . . . . 43
4.5 CAUCHY PRINCIPAL VALUE INTEGRALS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 45 4.6 POLYNOMIALS ORTHOGONAL ON SEVERAL INTERVALS . . .
. . . . . . . . . . . . . 47 4.7 QUADRATURE ESTIMATES OF MATRIX
FUNCTIONALS . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5 APPROXIMATION . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 57 5.1 POLYNOMIAL LEAST SQUARES APPROXIMATION . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 57 5.2 MOMENT-PRESERVING SPLINE APPROXIMATION .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.3 SLOWLY CONVERGENT SERIES . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 X CONTENTS EQUILIBRIUM
PROBLEMS OF POTENTIAL THEORY IN THE COMPLEX PLANE ANDREI MART´ *NEZ
FINKELSHTEIN . 79 1 BACKGROUND . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 80 1.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.2
BACKGROUND OR WHAT YOU SHOULD BRING TO CLASS . . . . . . . . . . . . .
80 2 LOGARITHMIC POTENTIALS: DEFINITION AND PROPERTIES. . . . . . . . .
. . . . . . . . 82 2.1 SUPERHARMONIC FUNCTIONS . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.2 DEFINITION OF THE
LOGARITHMIC POTENTIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.3
SOME PRINCIPLES FOR POTENTIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 85 2.4 RECOVERING A MEASURE FROM ITS POTENTIAL . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 86 3 ENERGYAND EQUILIBRIUM . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.1
LOGARITHMIC ENERGY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 88 3.2 EXTREMAL PROBLEM, EQUILIBRIUM MEASURE AND
CAPACITY. . . . . . . 90 3.3 LINK WITH CONFORMAL MAPPING AND GREEN
FUNCTION . . . . . . . . . . 96 3.4 EQUILIBRIUM IN AN EXTERNAL FIELD . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.5 OTHER
EQUILIBRIUM PROBLEMS. EQUILIBRIUM WITH CONSTRAINTS . . . 106 4 TWO
APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 108 4.1 ANALYTIC PROPERTIES OF POLYNOMIALS .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2 COMPLEX DYNAMICS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 112 5 CONCLUSIONS, OR WHAT YOU SHOULD TAKE HOME . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 116 REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116 DISCRETE ORTHOGONAL POLYNOMIALS AND SUPERLINEAR CONVERGENCE OF
KRYLOV SUBSPACE METHODS IN NUMERICAL LINEAR ALGEBRA BERNHARD BECKERMANN
. 119 1 BACKGROUND IN
NUMERICAL LINEAR ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120 1.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 1.2 CONJUGATE GRADIENTS,
LANCZOS, AND RITZ VALUES . . . . . . . . . . . . . . 124 1.3 KRYLOV
SUBSPACE METHODS AND DISCRETE ORTHOGONAL POLYNOMIALS: NON SYMMETRIC DATA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 1.4 KRYLOV
SUBSPACE METHODS AND DISCRETE ORTHOGONAL POLYNOMIALS: SYMMETRIC DATA . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2 EXTREMAL
PROBLEMS IN COMPLEX POTENTIAL THEORYAND N TH ROOT ASYMPTOTICS OF OP . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 138 2.1 ENERGYPROBLEMS WITH EXTERNAL FIELD . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 138 2.2 ENERGYPROBLEMS WITH CONSTRAINT AND
EXTERNAL FIELD . . . . . . . . . 145 2.3 ASYMPTOTICS FOR DISCRETE
ORTHOGONAL POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . 149 3 CONSEQUENCES . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 156 3.1 APPLICATIONS TO THE RATE OF CONVERGENCE OF CG
. . . . . . . . . . . . . . 156 3.2 APPLICATIONS TO THE RATE OF
CONVERGENCE OF RITZ VALUES . . . . . . . 165 3.3 CIRCULANTS, TOEPLITZ
MATRICES AND THEIR COUSINS . . . . . . . . . . . . . . 171 3.4
DISCRETIZATION OF ELLIPTIC PDE*S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 176 3.5 CONCLUSIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 REFERENCES . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 182 CONTENTS XI ORTHOGONAL RATIONAL
FUNCTIONS ON THE UNIT CIRCLE: FROM THE SCALAR TO THE MATRIX CASE ADHEMAR
BULTHEEL, PABLO GONZ´ ALEZ-VERA, ERIK HENDRIKSEN, OLAV NJ* ASTAD
. 187 1 MOTIVATION:
WHYORTHOGONAL RATIONAL FUNCTIONS? . . . . . . . . . . . . . . . . 188
1.1 LINEAR PREDICTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 189 1.2 KRYLOV SUBSPACE METHODS . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 1.3 NUMERICAL
QUADRATURE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 191 2 ORTHOGONAL RATIONAL FUNCTIONS ON THE UNIT CIRCLE . . . .
. . . . . . . . . . . . 191 2.1 PRELIMINARIES . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 2.2
THE FUNDAMENTAL SPACES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 194 2.3 REPRODUCING KERNELS . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 2.4 RECURRENCE
RELATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 197 3 QUADRATURE AND INTERPOLATION . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 3.1 QUADRATURE . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 202 3.2 INTERPOLATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 3.3 INTERPOLATION AND
QUADRATURE USING THE KERNELS . . . . . . . . . . . . . 205 4 DENSITY AND
THE PROOF OF FAVARD*S THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 206 4.1 DENSITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.2 PROOF OF FAVARD*S
THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207 5 CONVERGENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.1 ORTHOGONAL
POLYNOMIALS W.R.T. VARYING MEASURES. . . . . . . . . . . . . 207 5.2
SZEG* O*S CONDITION AND CONVERGENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 208 6 SZEG* O*S PROBLEM . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7 HILBERT
MODULES AND HARDY SPACES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 212 7.1 INNER PRODUCTS AND NORMS . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.2 CARATH´ EODORYFUNCTION AND
SPECTRAL FACTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8 MORF AND
REPRODUCING KERNELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 214 8.1 ORTHOGONAL RATIONAL FUNCTIONS . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.2 REPRODUCING KERNELS . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9
RECURRENCE FOR THE MORF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 219 9.1 THE RECURSION . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.2
FUNCTIONS OF THE SECOND KIND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 222 10 INTERPOLATION AND QUADRATURE . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.1 THE KERNELS . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 223 10.2 THE MORF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11 MINIMALISATION
AND SZEG* O*S PROBLEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 225 12 WHAT WE DID NOT DISCUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 REFERENCES . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 227 ORTHOGONAL POLYNOMIALS AND SEPARATION OF VARIABLES
VADIM B. KUZNETSOV . 229 1
CHEBYSHEV POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 230 1.1 PAFNUTY LVOVICH CHEBYSHEV . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 1.2 NOTATION AND
STANDARD FORMULAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230 1.3 POLYNOMIALS T N ( X ) AND U N ( X ) . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 232 XII CONTENTS 1.4 ORTHOGONALITY. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 234 1.5 OTHER RESULTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 1.6 LEAST POSSIBLE
DEVIATION FROM ZERO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
2 GEGENBAUER POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 235 2.1 LEOPOLD BERNHARD GEGENBAUER . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 2.2 POLYNOMIALS C (
G ) N ( X ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 236 2.3 BETA INTEGRAL AND ELLIPTIC COORDINATES . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 238 2.4 Q -OPERATOR . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
239 3 MONOMIAL AND ELEMENTARYSYMMETRIC FUNCTIONS . . . . . . . . . . . .
. . . . . 241 3.1 DEFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 3.2 FACTORIZING
SYMMETRIC POLYNOMIALS E * 1 ,* 2 ( X 1 ,X 2 ) . . . . . . . . . . . .
242 3.3 FACTORIZING THE BASIS E * ( X 1 ,.,X N ) . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 244 3.4 LIOUVILLE INTEGRABLE SYSTEMS . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 3.5 SEPARATION OF
VARIABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 248 3.6 FACTORIZING SYMMETRIC MONOMIALS M * 1 ,* 2 ( X 1 ,X 2 )
. . . . . . . . . . . . 249 3.7 FACTORIZING THE BASIS M * ( X 1 ,.,X N
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 REFERENCES . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 252 AN ALGEBRAIC APPROACH TO THE ASKEY SCHEME
OF ORTHOGONAL POLYNOMIALS PAUL TERWILLIGER
. 255 1 LEONARD PAIRS
AND LEONARD SY STEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 256 1.1 LEONARD PAIRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 1.2 AN EXAMPLE . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 257 1.3 LEONARD SY STEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 258 1.4 THE D 4 ACTION . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
2 THE STRUCTURE OF A LEONARD SY STEM . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 262 2.1 THE ANTIAUTOMORPHISM * . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 2.2 THE SCALARS A I ,X
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 266 2.3 THE POLYNOMIALS P I . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 2.4 THE SCALARS *, M I . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 270 3 THE STANDARD BASIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 3.1 THE SCALARS B I ,C I .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 272 3.2 THE SCALARS K I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 3.3 THE POLYNOMIALS V I
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 275 3.4 THE POLYNOMIALS U I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 3.5 A BILINEAR FORM . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277 4 ASKEY-WILSON DUALITY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 4.1 THE THREE-TERM RECURRENCE
AND THE DIFFERENCE EQUATION . . . . . 280 4.2 THE ORTHOGONALITYRELATIONS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 4.3 THE
MATRIX P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 282 5 THE SPLIT DECOMPOSITION . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 5.1 THE
SPLIT BASIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 287 5.2 THE PARAMETER ARRAYAND THE CLASSIFYING
SPACE . . . . . . . . . . . . . 287 5.3 EVERYTHING IN TERMS OF THE
PARAMETER ARRAY . . . . . . . . . . . . . . . . 289 CONTENTS XIII 6 THE
TERMINATING BRANCH OF THE ASKEYSCHEME . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 292 7 APPLICATIONS AND RELATED TOPICS . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 295 7.1 A CHARACTERIZATION OF LEONARD
SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 7.2 LEONARD PAIRS
A, A * WITH A LOWER BIDIAGONAL AND A * UPPER BIDIAGONAL . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 298 7.3 LEONARD PAIRS A, A * WITH A TRIDIAGONAL AND A * DIAGONAL . .
. . . 298 7.4 CHARACTERIZATIONS OF THE PARAMETER ARRAYS . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 299 8 THE ASKEY-WILSON RELATIONS . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 8.1 LEONARD PAIRS
AND THE LIE ALGEBRA SL 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.2 LEONARD PAIRS AND THE QUANTUM ALGEBRA U Q ( SL 2 ) . . . . . . . . .
. . . 302 8.3 LEONARD PAIRS IN COMBINATORICS . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 303 9 TRIDIAGONAL PAIRS . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10 APPENDIX: LIST OF PARAMETER ARRAYS . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 308 11 SUGGESTIONS FOR FURTHER RESEARCH . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 REFERENCES . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 326 PAINLEV´ E EQUATIONS * NONLINEAR
SPECIAL FUNCTIONS PETER A. CLARKSON
. 331 1 INTRODUCTION . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 333 2 INVERSE PROBLEMS FOR THE PAINLEV´ E
EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 2.1 INTEGRAL
EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 335 2.2 ISOMONODROMYPROBLEMS . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 3 HAMILTONIAN STRUCTURE . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 338 4 B¨ ACKLUND TRANSFORMATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 4.1 B¨ ACKLUND TRANSFORMATIONS
FOR P II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 4.2 B¨
ACKLUND TRANSFORMATIONS FOR P III . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 342 4.3 B¨ ACKLUND TRANSFORMATIONS FOR P IV . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 343 4.4 B¨ ACKLUND TRANSFORMATIONS FOR
P V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 4.5 B¨
ACKLUND TRANSFORMATIONS FOR P VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 345 4.6 AFFINE WEY L GROUPS . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 5 RATIONAL SOLUTIONS . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 347 5.1 RATIONAL SOLUTIONS OF P II . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 5.2 THE YABLONSKII-VOROB*EV
POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 5.3
DETERMINANTAL REPRESENTATION OF RATIONAL SOLUTIONS OF P II . . . . 354
5.4 RATIONAL SOLUTIONS OF P III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 358 5.5 RATIONAL SOLUTIONS OF P IV . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 5.6 RATIONAL
SOLUTIONS OF P V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 364 5.7 RATIONAL SOLUTIONS OF P VI . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 6 OTHER ELEMENTARYSOLUTIONS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
367 6.1 ELEMENTARYSOLUTIONS OF P III . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 367 6.2 ELEMENTARYSOLUTIONS OF P V . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 6.3
ELEMENTARYSOLUTIONS OF P VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 370 7 SPECIAL FUNCTION SOLUTIONS . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 7.1 SPECIAL
FUNCTION SOLUTIONS OF P II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 373 7.2 SPECIAL FUNCTION SOLUTIONS OF P III . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 375 XIV CONTENTS 7.3 SPECIAL FUNCTION
SOLUTIONS OF P IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
376 7.4 SPECIAL FUNCTION SOLUTIONS OF P V . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 378 7.5 SPECIAL FUNCTION SOLUTIONS OF P VI . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 8 OTHER MATHEMATICAL
PROPERTIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 380 8.1 HIROTA BILINEAR FORMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 380 8.2 COALESCENCE CASCADE . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 8.3
THE P II HIERARCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 382 9 ASYMPTOTIC EXPANSIONS AND CONNECTION
FORMULAE . . . . . . . . . . . . . . . . 384 9.1 FIRST PAINLEV´ E
EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 384 9.2 SECOND PAINLEV´ E EQUATION. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 387 9.3 CONNECTION FORMULAE FOR P II . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 10
APPLICATIONS OF PAINLEV´ E EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 392 10.1 REDUCTIONS OF PARTIAL DIFFERENTIAL
EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 10.2 COMBINATORICS . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 396 10.3 ORTHOGONAL POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 11 DISCUSSION . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 400 REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 INDEX
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 |
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