Mathematische Grundlagen der Informatik: mathematisches Denken und Beweisen ; eine Einführung
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Teubner
2006
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| Ausgabe: | 3., überarb. und erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Leitfäden der Informatik
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung 11
I
1 Aussagen 19
1.1 Definition und Beispiele. 19
1.2 Verknüpfungen von Aussagen. 21
1.3 Tautologie und Kontradiktion. 27
1.4 Aussageformen. 31
1.5 Aussagen mit
2 Mengen und Mengenoperationen 36
2.1 Mengen. 36
2.2 Gleichheit von Mengen. 39
2.3 Komplementäre Mengen. 41
2.4 Die leere Menge. 42
2.5 Teilmenge und Obermenge. 43
2.6 Potenzmenge und Mengenfamilien . 45
2.7 Vereinigung, Durchschnitt und Differenz von Mengen. 47
2.8 Produkt von Mengen. 52
2.9 Weitere Rechenregeln für Mengenoperationen. 55
3 Mathematisches Beweisen 58
4 Relationen 63
4.1 Definition und erste Beispiele. 63
4.2 Operationen auf Relationen. 67
4.3 Wichtige Eigenschaften von Relationen. 71
4.4 Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilung. 74
4.5 Rechnen mit Äquivalenzrelationen . 80
4.6 Halbordnungsrelationen. 83
5 Abbildungen und Funktionen 89
5.1 Definition und erste Beispiele. 89
5.2 Surjektive, injektive und bijektive Abbildungen. 94
5.3 Folgen und Mengenfamilien. . 100
5.4 Kardinalität von Mengen . 103
Quellen und weiterführende Literatur. 108
II
6 Grandlegende Beweisstrategien 111
6.1 Direkter Beweis. 112
6.2 Beweis durch Kontraposition. 114
6.3 Widerspruchs-Beweis. 115
6.4 Äquivalenzbeweis. 116
6.5 Beweis atomarer Aussagen. 117
6.6 Beweis durch Fallunterscheidung. 119
6.7 Beweis von Aussagen mit
6.8 Kombinatorischer Beweis. 124
7 Vollständige Induktion 128
7.1 Idee der vollständigen Induktion . 129
7.2 Beispiele für Induktionsbeweise. 130
7.3 Struktur von Induktionsbeweisen. 133
7.4 Verallgemeinerte vollständige Induktion. 135
7.5 Induktive Definitionen. 136
8 Zählen 147
8.1 Grundlegende Zählprinzipien . 147
8.2 Permutationen und Binomialkoeffizienten. 152
8.3 Rechnen mit Binomialkoeffizienten. 157
9 Diskrete Stochastik 166
9.1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten . 166
9.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit. 174
9.3 Zufallsvariablen. 176
9.4 Binomial-Verteilung und geometrische Verteilung. 182
Quellen und weiterführende Literatur . 187
III
10 Boolesche Algebra 191
10.1 Schaltfunktionen und Ausdrücke. 191
10.2 Definition der Booleschen Algebra. 197
10.3 Beispiele Boolescher Algebren. 200
10.4 Eigenschaften Boolescher Algebren. 206
10.5 Halbordnungen in einer Boole'schen Algebra. 210
10.6 Atome. 213
10.7 Normalformen für Boole'sche Ausdrücke. 216
10.8 Minimierung Boolescher Ausdrücke . 219
10.9 Der Isomorphie-Satz. 221
10.10 Schaltkreis-Algebra. 225
11 Graphen und Bäume 233
11.1 Grundbegriffe. 234
11.2 Wege und Kreise in Graphen. 241
11.3 Graphen und Matrizen. 247
11.4 Isomorphismen auf Graphen. 254
11.5 Bäume. 258
12 Aussagenlogik 264
12.1 Boole'sehe Algebra und Aussagenlogik. 264
12.2 Normalformen. 269
12.3 Erffllbarkeitsäquivalente Formeln. 271
12.4 Unerfüllbare Klauselmengen. 276
12.5 Erfüllbarkeit von Homklauseln. 280
12.6 Resolution.*--.'. 283
12.7 Klauselmengen in 2KNF. 291
13
13.1 Die Teilbarkeitsrelation. 296
13.2
13.3
13.4 Der größte gemeinsame Teiler und der Algorithmus von Euklid 308
13.5 Der kleine Satz von
13.6 Verschlüsselung mit dem kleinen Satz von
13.7 Das
Queüen und weiterführende Literatur. 324
Index 327 |
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung 11
I
1 Aussagen 19
1.1 Definition und Beispiele. 19
1.2 Verknüpfungen von Aussagen. 21
1.3 Tautologie und Kontradiktion. 27
1.4 Aussageformen. 31
1.5 Aussagen mit
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2.4 Die leere Menge. 42
2.5 Teilmenge und Obermenge. 43
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2.8 Produkt von Mengen. 52
2.9 Weitere Rechenregeln für Mengenoperationen. 55
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4 Relationen 63
4.1 Definition und erste Beispiele. 63
4.2 Operationen auf Relationen. 67
4.3 Wichtige Eigenschaften von Relationen. 71
4.4 Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilung. 74
4.5 Rechnen mit Äquivalenzrelationen . 80
4.6 Halbordnungsrelationen. 83
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5.1 Definition und erste Beispiele. 89
5.2 Surjektive, injektive und bijektive Abbildungen. 94
5.3 Folgen und Mengenfamilien. . 100
5.4 Kardinalität von Mengen . 103
Quellen und weiterführende Literatur. 108
II
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6.1 Direkter Beweis. 112
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6.7 Beweis von Aussagen mit
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7 Vollständige Induktion 128
7.1 Idee der vollständigen Induktion . 129
7.2 Beispiele für Induktionsbeweise. 130
7.3 Struktur von Induktionsbeweisen. 133
7.4 Verallgemeinerte vollständige Induktion. 135
7.5 Induktive Definitionen. 136
8 Zählen 147
8.1 Grundlegende Zählprinzipien . 147
8.2 Permutationen und Binomialkoeffizienten. 152
8.3 Rechnen mit Binomialkoeffizienten. 157
9 Diskrete Stochastik 166
9.1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten . 166
9.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit. 174
9.3 Zufallsvariablen. 176
9.4 Binomial-Verteilung und geometrische Verteilung. 182
Quellen und weiterführende Literatur . 187
III
10 Boolesche Algebra 191
10.1 Schaltfunktionen und Ausdrücke. 191
10.2 Definition der Booleschen Algebra. 197
10.3 Beispiele Boolescher Algebren. 200
10.4 Eigenschaften Boolescher Algebren. 206
10.5 Halbordnungen in einer Boole'schen Algebra. 210
10.6 Atome. 213
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10.8 Minimierung Boolescher Ausdrücke . 219
10.9 Der Isomorphie-Satz. 221
10.10 Schaltkreis-Algebra. 225
11 Graphen und Bäume 233
11.1 Grundbegriffe. 234
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11.4 Isomorphismen auf Graphen. 254
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